Номер 316, страница 72 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

316. a) В нашем классе коллекционируют только марки и монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты — 5 человек. Всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки? Сколько — только монеты? (Решите задачу, используя рисунок 30.)

Марки — 8 Монеты — 5

11

Рис. 30

б) Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в лыжной секции. Сколько учащихся занимаются и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?

в) Из 35 учащихся класса 12 участвовали в конкурсе чтецов, 10 — в конкурсе на лучший рисунок, 4 принимали участие в обоих конкурсах. Сколько учащихся не участвовало ни в одном конкурсе?

г) В нашем классе 32 учащихся. Из них 23 любят кошек, 18 — собак. Причём 10 учащихся любят и кошек, и собак. Сколько учащихся нашего класса не любят ни кошек, ни собак?

д) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино — 21, а 5 учащихся не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько учащихся нашего класса ходили и на экскурсию, и в кино?

е) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 учащихся, в кино и в музей — 6, а 2 учащихся не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько учащихся нашего класса ходили в кино?

а)

Объяснение: Если сложить количество коллекционеров марок (8) и количество коллекционеров монет (5), получится $8 + 5 = 13$ человек. Это больше, чем общее число коллекционеров (11). Такое возможно только в том случае, если некоторые ученики коллекционируют и марки, и монеты одновременно. Эти ученики посчитаны дважды: один раз как коллекционеры марок, и второй раз — как коллекционеры монет. Количество таких учеников равно разнице между суммой и общим числом коллекционеров.

1. Найдем, сколько человек коллекционируют и марки, и монеты (находятся в пересечении множеств):
$8 + 5 - 11 = 2$ (человека).

2. Теперь найдем, сколько человек коллекционируют только марки. Для этого из общего числа коллекционеров марок вычтем тех, кто коллекционирует и то, и другое:
$8 - 2 = 6$ (человек).

3. Аналогично найдем, сколько человек коллекционируют только монеты. Из общего числа коллекционеров монет вычтем тех, кто коллекционирует и то, и другое:
$5 - 2 = 3$ (человека).

Ответ: 2 человека коллекционируют и марки, и монеты, что и объясняет "лишних" людей при простом сложении. Только марки коллекционируют 6 человек, только монеты — 3 человека.

б)

Пусть $Х$ — множество учащихся, занимающихся в хоре, а $Л$ — множество учащихся, занимающихся в лыжной секции. По условию, в классе нет учащихся, не посещающих занятий, значит, общее число учащихся равно объединению этих двух множеств: $|Х \cup Л| = 38$.
Известно, что $|Х| = 24$ и $|Л| = 15$.
Чтобы найти количество учащихся, которые занимаются и в хоре, и в лыжной секции (то есть, размер пересечения множеств $|Х \cap Л|$), воспользуемся формулой включений-исключений:
$|Х \cup Л| = |Х| + |Л| - |Х \cap Л|$
Подставим известные значения:
$38 = 24 + 15 - |Х \cap Л|$
$38 = 39 - |Х \cap Л|$
$|Х \cap Л| = 39 - 38 = 1$.
Значит, 1 учащийся занимается и в хоре, и в лыжной секции.

Ответ: 1 учащийся.

в)

1. Сначала найдем общее количество учащихся, которые участвовали хотя бы в одном конкурсе. Для этого сложим количество участников каждого конкурса и вычтем тех, кто участвовал в обоих (так как их посчитали дважды):
$12 (\text{чтецы}) + 10 (\text{рисунок}) - 4 (\text{оба}) = 18$ (учащихся).
Итак, 18 учащихся приняли участие хотя бы в одном конкурсе.

2. Теперь, чтобы найти, сколько учащихся не участвовало ни в одном конкурсе, вычтем количество участников из общего числа учащихся в классе:
$35 (\text{всего}) - 18 (\text{участники}) = 17$ (учащихся).

Ответ: 17 учащихся.

г)

1. Найдем, сколько всего учащихся любят хотя бы одно из этих животных (кошек или собак). Для этого сложим количество тех, кто любит кошек, и тех, кто любит собак, а затем вычтем тех, кто любит и кошек, и собак:
$23 (\text{любят кошек}) + 18 (\text{любят собак}) - 10 (\text{любят обоих}) = 31$ (учащийся).
Таким образом, 31 учащийся любит кошек, или собак, или обоих.

2. Чтобы найти количество учащихся, которые не любят ни кошек, ни собак, вычтем полученное число из общего количества учащихся в классе:
$32 (\text{всего}) - 31 (\text{любят хотя бы одно}) = 1$ (учащийся).

Ответ: 1 учащийся.

д)

1. Сначала определим, сколько всего учащихся ходили либо на экскурсию, либо в кино, либо и туда, и туда. Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто никуда не ходил:
$30 (\text{всего}) - 5 (\text{никуда не ходили}) = 25$ (учащихся).
Итак, 25 учащихся посетили хотя бы одно мероприятие.

2. Теперь найдем, сколько учащихся ходили и на экскурсию, и в кино. Если сложить тех, кто был на экскурсии, и тех, кто был в кино, мы дважды посчитаем тех, кто был и там, и там. Разница между этой суммой и числом, полученным в п.1, и будет искомым количеством:
$(23 (\text{на экскурсии}) + 21 (\text{в кино})) - 25 (\text{всего участников}) = 44 - 25 = 19$ (учащихся).

Ответ: 19 учащихся.

е)

1. Найдем общее количество учащихся, которые ходили хотя бы на одно из мероприятий (в музей или в кино). Для этого из общего числа учащихся вычтем тех, кто не ходил никуда:
$30 (\text{всего}) - 2 (\text{не ходили}) = 28$ (учащихся).
Итак, 28 учащихся были в музее, или в кино, или и там, и там.

2. Известно, что в музее было 23 человека, а и в музее, и в кино — 6 человек. Значит, только в музее (но не в кино) было:
$23 - 6 = 17$ (учащихся).

3. Мы знаем, что всего в мероприятиях участвовало 28 человек. Из них 17 были только в музее, а 6 — и в музее, и в кино. Оставшиеся — это те, кто был только в кино. Но вопрос стоит о том, сколько всего ходили в кино.
Воспользуемся формулой включений-исключений. Пусть $М$ — число ходивших в музей, $К$ — в кино.
$|М \cup К| = |М| + |К| - |М \cap К|$
$28 = 23 + |К| - 6$
$28 = 17 + |К|$
$|К| = 28 - 17 = 11$.
Всего в кино ходили 11 учащихся.

Ответ: 11 учащихся.