Страница 40 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

153. Что называют степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ $(n > 1)$?

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим единицы ($n > 1$), называют произведение n множителей, каждый из которых равен a.

Это записывается в виде формулы:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

В данном выражении:

• число a — это основание степени (число, которое умножается само на себя);
• число n — это показатель степени (число, которое показывает, сколько раз основание умножается на себя).

Например, запись $5^3$ (читается как "пять в третьей степени" или "пять в кубе") означает, что число 5 нужно умножить само на себя 3 раза:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Здесь основанием степени является число 5, а показателем степени — число 3.

Условие $n > 1$ в вопросе уточняет, что речь идет о произведении, состоящем как минимум из двух множителей. Случай, когда показатель степени равен 1, определяется отдельно: $a^1 = a$ для любого числа a.

Ответ: Степенью числа a с натуральным показателем n (при $n > 1$) является произведение n множителей, каждый из которых равен a.

154. Чему равна первая степень любого числа?

Первая степень любого числа равна самому этому числу.

По определению, степень числа $a$ с натуральным показателем $n$, обозначаемая как $a^n$, представляет собой произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Когда показатель степени равен 1 ($n=1$), это означает, что число $a$ берется в качестве множителя всего один раз. Следовательно, результат равен самому числу $a$.

Это можно записать в виде общего правила:

$a^1 = a$

Это правило справедливо для любого числа $a$ — положительного, отрицательного, дробного, иррационального или даже комплексного.

Например:

• $5^1 = 5$
• $(-17)^1 = -17$
• $(\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3}$
• $\pi^1 = \pi$

Ответ: Первая степень любого числа равна самому этому числу.

?155 Что называют:

a) квадратом числа;

б) кубом числа?

а) квадратом числа
Квадратом числа (или второй степенью числа) называют результат умножения этого числа на само себя. Для любого числа $a$ его квадрат записывается как $a^2$ и вычисляется по формуле $a^2 = a \cdot a$.
Такое название связано с тем, что площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется именно по этой формуле.
Например, квадрат числа 8 равен $8^2 = 8 \cdot 8 = 64$. Квадрат отрицательного числа, например -4, равен $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$.
Ответ: Квадратом числа $a$ называют произведение двух множителей, каждый из которых равен $a$.

б) кубом числа
Кубом числа (или третьей степенью числа) называют результат умножения этого числа на само себя три раза. Для любого числа $a$ его куб записывается как $a^3$ и вычисляется по формуле $a^3 = a \cdot a \cdot a$.
Это название также имеет геометрическое происхождение: объём куба с ребром $a$ равен $a^3$.
Например, куб числа 5 равен $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$. Куб отрицательного числа, например -2, равен $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Ответ: Кубом числа $a$ называют произведение трех множителей, каждый из которых равен $a$.

156. Запишите сумму в виде произведения:

а) $5 + 5$;

б) $8 + 8 + 8 + 8$;

в) $a + a + a$.

а) Чтобы представить сумму $5 + 5$ в виде произведения, нужно определить, какое число складывается и сколько раз. В данном случае число $5$ складывается $2$ раза. По определению умножения, это можно записать как произведение числа $5$ на количество слагаемых, то есть на $2$.
$5 + 5 = 5 \cdot 2$.
Ответ: $5 \cdot 2$.

б) В сумме $8 + 8 + 8 + 8$ число $8$ повторяется $4$ раза. Следовательно, эту сумму можно заменить произведением числа $8$ на $4$.
$8 + 8 + 8 + 8 = 8 \cdot 4$.
Ответ: $8 \cdot 4$.

в) В выражении $a + a + a$ слагаемое $a$ складывается $3$ раза. По аналогии с предыдущими примерами, мы можем записать эту сумму как произведение слагаемого $a$ на их количество, то есть на $3$.
$a + a + a = 3 \cdot a$.
Ответ: $3 \cdot a$.

157. Запишите произведение в виде степени:

а) $5 \cdot 5$;

б) $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$;

в) $a \cdot a \cdot a$.

а) Чтобы представить произведение в виде степени, необходимо посчитать, сколько раз число умножается само на себя. В выражении $5 \cdot 5$ число 5 (основание степени) умножается на себя 2 раза. Следовательно, показатель степени равен 2.
$5 \cdot 5 = 5^2$
Ответ: $5^2$

б) В выражении $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$ число 8 является основанием степени. Оно умножается само на себя 4 раза, значит, показатель степени равен 4.
$8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 8^4$
Ответ: $8^4$

в) В выражении $a \cdot a \cdot a \cdot a$ основанием степени является переменная $a$. Она повторяется в произведении 4 раза, поэтому показатель степени равен 4.
$a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4$
Ответ: $a^4$

158. Используя специальные названия второй и третьей степени, прочитайте степени: $2^2$; $2^3$; $3^2$; $3^3$; $4^3$; $5^2$.

В математике для второй и третьей степени числа существуют специальные названия, которые связаны с геометрией:

• Вторую степень числа ($a^2$) называют квадратом числа, потому что площадь квадрата со стороной $a$ равна $a \cdot a = a^2$.
• Третью степень числа ($a^3$) называют кубом числа, потому что объем куба с ребром $a$ равен $a \cdot a \cdot a = a^3$.

Используя эти специальные названия, прочитаем заданные степени:

$2^2$

Это вторая степень числа 2, которая называется "квадрат двух" или "два в квадрате".

Ответ: два в квадрате.

$2^3$

Это третья степень числа 2, которая называется "куб двух" или "два в кубе".

Ответ: два в кубе.

$3^2$

Это вторая степень числа 3, которая называется "квадрат трех" или "три в квадрате".

Ответ: три в квадрате.

$3^3$

Это третья степень числа 3, которая называется "куб трех" или "три в кубе".

Ответ: три в кубе.

$4^3$

Это третья степень числа 4, которая называется "куб четырех" или "четыре в кубе".

Ответ: четыре в кубе.

$5^2$

Это вторая степень числа 5, которая называется "квадрат пяти" или "пять в квадрате".

Ответ: пять в квадрате.

Вычислите (159–162).

159. а) $3^2$; б) $3 \cdot 2$; в) $5^2$; г) $5 \cdot 2$; д) $9^2$; е) $9 \cdot 2$; ж) $2^3$; з) $2 \cdot 3$.

а) Возведение числа в квадрат (вторую степень) означает умножение этого числа само на себя.

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Ответ: 9

б) Данное выражение представляет собой произведение двух чисел.

$3 \cdot 2 = 6$

Ответ: 6

в) Возведение числа в квадрат (вторую степень) означает умножение этого числа само на себя.

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 25

г) Данное выражение представляет собой произведение двух чисел.

$5 \cdot 2 = 10$

Ответ: 10

д) Возведение числа в квадрат (вторую степень) означает умножение этого числа само на себя.

$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

Ответ: 81

е) Данное выражение представляет собой произведение двух чисел.

$9 \cdot 2 = 18$

Ответ: 18

ж) Возведение числа в куб (третью степень) означает, что число нужно умножить само на себя два раза.

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Ответ: 8

з) Данное выражение представляет собой произведение двух чисел.

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

160. а) $2^2$

б) $4^2$

в) $6^2$

г) $7^2$

д) $8^2$

е) $9^2$

ж) $10^2$

з) $1^2$

а) Чтобы вычислить $2^2$ (два в квадрате), необходимо умножить число 2 само на себя.
$2^2 = 2 \times 2 = 4$.
Ответ: 4

б) Чтобы вычислить $4^2$ (четыре в квадрате), необходимо умножить число 4 само на себя.
$4^2 = 4 \times 4 = 16$.
Ответ: 16

в) Чтобы вычислить $6^2$ (шесть в квадрате), необходимо умножить число 6 само на себя.
$6^2 = 6 \times 6 = 36$.
Ответ: 36

г) Чтобы вычислить $7^2$ (семь в квадрате), необходимо умножить число 7 само на себя.
$7^2 = 7 \times 7 = 49$.
Ответ: 49

д) Чтобы вычислить $8^2$ (восемь в квадрате), необходимо умножить число 8 само на себя.
$8^2 = 8 \times 8 = 64$.
Ответ: 64

е) Чтобы вычислить $9^2$ (девять в квадрате), необходимо умножить число 9 само на себя.
$9^2 = 9 \times 9 = 81$.
Ответ: 81

ж) Чтобы вычислить $10^2$ (десять в квадрате), необходимо умножить число 10 само на себя.
$10^2 = 10 \times 10 = 100$.
Ответ: 100

з) Чтобы вычислить $1^2$ (один в квадрате), необходимо умножить число 1 само на себя. Любая степень числа 1 равна 1.
$1^2 = 1 \times 1 = 1$.
Ответ: 1

161. а) $3^3$;

б) $4^3$;

в) $5^3$;

г) $1^3$;

д) $0^3$;

е) $10^3$;

ж) $6^3$;

з) $7^3$.

а) Чтобы найти значение выражения $3^3$ (три в кубе), необходимо число 3 умножить само на себя три раза.
$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$.
Ответ: 27

б) Чтобы найти значение выражения $4^3$ (четыре в кубе), необходимо число 4 умножить само на себя три раза.
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$.
Ответ: 64

в) Чтобы найти значение выражения $5^3$ (пять в кубе), необходимо число 5 умножить само на себя три раза.
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 5 = 125$.
Ответ: 125

г) Чтобы найти значение выражения $1^3$ (один в кубе), необходимо число 1 умножить само на себя три раза. Единица в любой степени равна единице.
$1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
Ответ: 1

д) Чтобы найти значение выражения $0^3$ (ноль в кубе), необходимо число 0 умножить само на себя три раза. Ноль в любой положительной степени равен нулю.
$0^3 = 0 \times 0 \times 0 = 0$.
Ответ: 0

е) Чтобы найти значение выражения $10^3$ (десять в кубе), необходимо число 10 умножить само на себя три раза.
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 100 \times 10 = 1000$.
Ответ: 1000

ж) Чтобы найти значение выражения $6^3$ (шесть в кубе), необходимо число 6 умножить само на себя три раза.
$6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$.
Ответ: 216

з) Чтобы найти значение выражения $7^3$ (семь в кубе), необходимо число 7 умножить само на себя три раза.
$7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$.
Ответ: 343

162. а) $3^4$;

б) $3^5$;

в) $1^8$;

г) $0^4$;

Д) $100^1$;

е) $1^1$;

ж) $11^2$;

з) $12^2$.

а) Степень $3^4$ означает, что число 3 (основание степени) нужно умножить само на себя 4 раза (показатель степени).

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$

Ответ: 81

б) Степень $3^5$ означает, что число 3 нужно умножить само на себя 5 раз.

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$

Ответ: 243

в) Степень $1^8$ означает, что число 1 нужно умножить само на себя 8 раз. Любая степень числа 1 равна 1.

$1^8 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

г) Степень $0^4$ означает, что число 0 нужно умножить само на себя 4 раза. Ноль в любой натуральной степени равен нулю.

$0^4 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

д) Любое число в первой степени равно самому себе.

$100^1 = 100$

Ответ: 100

е) Любое число в первой степени равно самому себе. Также, как указано в пункте "в", любая степень числа 1 равна 1.

$1^1 = 1$

Ответ: 1

ж) Степень $11^2$ (также называется "одиннадцать в квадрате") означает, что число 11 нужно умножить само на себя.

$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$

Ответ: 121

з) Степень $12^2$ (также называется "двенадцать в квадрате") означает, что число 12 нужно умножить само на себя.

$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$

Ответ: 144

163. Составьте таблицу квадратов чисел от 0 до 15.

Для составления таблицы квадратов чисел от 0 до 15, необходимо каждое число из этого диапазона возвести во вторую степень. Возведение числа $n$ в квадрат означает умножение его само на себя: $n^2 = n \cdot n$.

Проведем вычисления для каждого числа от 0 до 15:

$0^2 = 0 \cdot 0 = 0$

$1^2 = 1 \cdot 1 = 1$

$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

$6^2 = 6 \cdot 6 = 36$

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$

$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$

$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$

$13^2 = 13 \cdot 13 = 169$

$14^2 = 14 \cdot 14 = 196$

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

Ответ:

164. Составьте таблицу кубов чисел от 0 до 10.

Для составления таблицы кубов чисел от 0 до 10 необходимо последовательно возвести каждое целое число в этом диапазоне в третью степень. Возведение в куб означает умножение числа на само себя три раза. Формула для вычисления куба числа $n$: $n^3 = n \times n \times n$.

Вычисление: $0^3 = 0 \times 0 \times 0 = 0$.

Ответ: 0

Вычисление: $1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1$.

Ответ: 1

Вычисление: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

Ответ: 8

Вычисление: $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$.

Ответ: 27

Вычисление: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$.

Ответ: 64

Вычисление: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.

Ответ: 125

Вычисление: $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$.

Ответ: 216

Вычисление: $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$.

Ответ: 343

Вычисление: $8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512$.

Ответ: 512

Вычисление: $9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729$.

Ответ: 729

Вычисление: $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.

Ответ: 1000

Итоговая таблица кубов чисел от 0 до 10:

165. Вычислите степени числа 2 с показателями от 1 до 10.

Чтобы вычислить степени числа 2, необходимо возвести число 2 в степень с соответствующим показателем. Возведение в степень $n$ означает умножение числа на само себя $n$ раз. Выполним вычисления для показателей от 1 до 10.

Степень с показателем 1
$2^1 = 2$
Ответ: 2

Степень с показателем 2
$2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
Ответ: 4

Степень с показателем 3
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
Ответ: 8

Степень с показателем 4
$2^4 = 2^3 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$
Ответ: 16

Степень с показателем 5
$2^5 = 2^4 \cdot 2 = 16 \cdot 2 = 32$
Ответ: 32

Степень с показателем 6
$2^6 = 2^5 \cdot 2 = 32 \cdot 2 = 64$
Ответ: 64

Степень с показателем 7
$2^7 = 2^6 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128$
Ответ: 128

Степень с показателем 8
$2^8 = 2^7 \cdot 2 = 128 \cdot 2 = 256$
Ответ: 256

Степень с показателем 9
$2^9 = 2^8 \cdot 2 = 256 \cdot 2 = 512$
Ответ: 512

Степень с показателем 10
$2^{10} = 2^9 \cdot 2 = 512 \cdot 2 = 1024$
Ответ: 1024

166. Запишите число в виде квадрата натурального числа:

а) $9$;

б) $25$;

в) $100$;

г) $16$;

д) $49$;

е) $81$;

ж) $64$;

з) $36$.

а) Чтобы представить число 9 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 9. Таким числом является 3, поскольку $3 \times 3 = 9$. Следовательно, $9 = 3^2$.

Ответ: $3^2$.

б) Чтобы представить число 25 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 25. Таким числом является 5, поскольку $5 \times 5 = 25$. Следовательно, $25 = 5^2$.

Ответ: $5^2$.

в) Чтобы представить число 100 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 100. Таким числом является 10, поскольку $10 \times 10 = 100$. Следовательно, $100 = 10^2$.

Ответ: $10^2$.

г) Чтобы представить число 16 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 16. Таким числом является 4, поскольку $4 \times 4 = 16$. Следовательно, $16 = 4^2$.

Ответ: $4^2$.

д) Чтобы представить число 49 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 49. Таким числом является 7, поскольку $7 \times 7 = 49$. Следовательно, $49 = 7^2$.

Ответ: $7^2$.

е) Чтобы представить число 81 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 81. Таким числом является 9, поскольку $9 \times 9 = 81$. Следовательно, $81 = 9^2$.

Ответ: $9^2$.

ж) Чтобы представить число 64 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 64. Таким числом является 8, поскольку $8 \times 8 = 64$. Следовательно, $64 = 8^2$.

Ответ: $8^2$.

з) Чтобы представить число 36 в виде квадрата натурального числа, нужно найти такое натуральное число, квадрат которого равен 36. Таким числом является 6, поскольку $6 \times 6 = 36$. Следовательно, $36 = 6^2$.

Ответ: $6^2$.

167. Вычислите степени числа 10 с показателями от 1 до 7.

Для вычисления степени числа 10 с натуральным показателем необходимо записать цифру 1 и после нее дописать столько нулей, каков показатель степени. Выполним вычисления для показателей от 1 до 7.

Степень с показателем 1
Любое число в первой степени равно самому себе.$10^1 = 10$
Ответ: 10

Степень с показателем 2
Вторая степень (квадрат) числа — это результат умножения числа само на себя.$10^2 = 10 \times 10 = 100$
Ответ: 100

Степень с показателем 3
Третья степень (куб) — это результат умножения числа само на себя три раза.$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$
Ответ: 1 000

Степень с показателем 4
Показатель степени 4 означает, что результатом будет являться единица с четырьмя нулями.$10^4 = 10\,000$
Ответ: 10 000

Степень с показателем 5
Результатом будет являться единица с пятью нулями.$10^5 = 100\,000$
Ответ: 100 000

Степень с показателем 6
Результатом будет являться единица с шестью нулями (один миллион).$10^6 = 1\,000\,000$
Ответ: 1 000 000

Степень с показателем 7
Результатом будет являться единица с семью нулями (десять миллионов).$10^7 = 10\,000\,000$
Ответ: 10 000 000

168. Запишите в виде степени с основанием 10 число:

а) $100 = 10^2$;

б) $1000 = 10^3$;

в) $10\;000 = 10^4$;

г) $10 = 10^1$;

д) $100\;000 = 10^5$;

е) $1\;000\;000 = 10^6$.

Чтобы представить число в виде степени с основанием 10, необходимо посчитать количество нулей в этом числе. Полученное количество будет показателем степени, в которую нужно возвести основание 10.

а) Число 100 содержит два нуля. Следовательно, 100 можно записать как 10 во второй степени.
$100 = 10 \cdot 10 = 10^2$
Ответ: $10^2$.

б) Число 1000 содержит три нуля. Следовательно, 1000 можно записать как 10 в третьей степени.
$1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$
Ответ: $10^3$.

в) Число 10 000 содержит четыре нуля. Следовательно, 10 000 можно записать как 10 в четвертой степени.
$10 000 = 10^4$
Ответ: $10^4$.

г) Число 10 содержит один ноль. Следовательно, 10 можно записать как 10 в первой степени.
$10 = 10^1$
Ответ: $10^1$.

д) Число 100 000 содержит пять нулей. Следовательно, 100 000 можно записать как 10 в пятой степени.
$100 000 = 10^5$
Ответ: $10^5$.

е) Число 1 000 000 содержит шесть нулей. Следовательно, 1 000 000 можно записать как 10 в шестой степени.
$1 000 000 = 10^6$
Ответ: $10^6$.

169. Запишите число в виде произведения одинаковых чисел:

а) 4;

б) 1;

в) 27;

г) 256.

а) Чтобы записать число 4 в виде произведения одинаковых чисел, необходимо найти такое число, которое при умножении само на себя дает в результате 4. Этим числом является 2.

Проверка: $2 \times 2 = 4$.

Ответ: $4 = 2 \times 2$.

б) Число 1 можно представить как произведение любого количества единиц, так как умножение на 1 не изменяет результат. Самый простой вариант — это произведение двух единиц.

Проверка: $1 \times 1 = 1$.

Ответ: $1 = 1 \times 1$.

в) Для числа 27 ищем такое число, которое при умножении само на себя три раза даст 27. Этим числом является 3.

Проверка: $3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$.

Ответ: $27 = 3 \times 3 \times 3$.

г) Число 256 можно представить в виде произведения одинаковых чисел несколькими способами.
Например, 256 является квадратом числа 16: $16 \times 16 = 256$.
Также 256 является четвертой степенью числа 4: $4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256$.
Наконец, 256 можно представить как произведение восьми двоек: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 256$.
Любой из этих вариантов является правильным решением. В качестве ответа можно записать любой из них.

Ответ: $256 = 16 \times 16$.

170. Запишите каждое число в виде степени: $2^3$; $5^3$; $2^6$; $3^5$.

8

Чтобы представить число 8 в виде степени, необходимо найти основание (число, которое возводится в степень) и показатель (число, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя). Разложим число 8 на простые множители:
$8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
Мы видим, что число 2 умножается само на себя 3 раза. Следовательно, 8 можно записать как 2 в 3-й степени.
$8 = 2^3$

Ответ: $2^3$.

125

Чтобы представить число 125 в виде степени, найдем его множители. Поскольку число 125 оканчивается на 5, попробуем использовать 5 в качестве основания.
$125 = 5 \cdot 25 = 5 \cdot 5 \cdot 5$
Число 5 умножается само на себя 3 раза. Таким образом, 125 можно записать как 5 в 3-й степени.
$125 = 5^3$

Ответ: $5^3$.

64

Число 64 можно представить в виде степени несколькими способами.
1. С основанием 2. Разложим 64 на множители:
$64 = 2 \cdot 32 = 2 \cdot 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$.
Так как множитель 2 повторяется 6 раз, то $64 = 2^6$.
2. С основанием 4. Сгруппируем множители из предыдущего разложения по два:
$64 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.
3. С основанием 8. Мы знаем, что 64 является квадратом числа 8:
$64 = 8 \cdot 8 = 8^2$.
Все найденные варианты являются верными.

Ответ: $2^6$, или $4^3$, или $8^2$.

243

Чтобы представить число 243 в виде степени, разложим его на простые множители. Сумма цифр числа 243 ($2+4+3=9$) делится на 3, значит, и само число 243 делится на 3.
$243 = 3 \cdot 81$
$81 = 3 \cdot 27$
$27 = 3 \cdot 9$
$9 = 3 \cdot 3$
Собрав все множители, получаем: $243 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$.
Число 3 умножается само на себя 5 раз. Следовательно, 243 можно записать как 3 в 5-й степени.
$243 = 3^5$

Ответ: $3^5$.

171. Среди первых пяти натуральных чисел имеются два неравных числа m и n, такие, что $n^m = m^n$. Найдите эти числа.

По условию задачи, нам нужно найти два различных натуральных числа $m$ и $n$ среди первых пяти натуральных чисел, то есть из множества $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, которые удовлетворяют равенству $n^m = m^n$.

Мы можем найти эти числа методом перебора, проверяя все возможные пары различных чисел из заданного множества.

1. Проверим пару чисел 1 и 2. Пусть $m=1, n=2$.
   $2^1 = 2$
   $1^2 = 1$
   $2 \neq 1$, пара не подходит. В общем, для любого натурального $n>1$, $n^1 = n$, а $1^n = 1$, поэтому равенство не выполняется.
2. Проверим пару чисел 2 и 3. Пусть $m=2, n=3$.
   $3^2 = 9$
   $2^3 = 8$
   $9 \neq 8$, пара не подходит.
3. Проверим пару чисел 2 и 4. Пусть $m=2, n=4$.
   $4^2 = 16$
   $2^4 = 16$
   $16 = 16$, равенство выполняется. Числа 2 и 4 различны и принадлежат множеству первых пяти натуральных чисел. Следовательно, эта пара чисел является решением.
4. Проверим пару чисел 3 и 4. Пусть $m=3, n=4$.
   $4^3 = 64$
   $3^4 = 81$
   $64 \neq 81$, пара не подходит.

Продолжая перебор, можно убедиться, что других пар, удовлетворяющих условию, среди первых пяти натуральных чисел нет. Таким образом, искомые числа — это 2 и 4.

Ответ: 2 и 4.