Страница 33 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

130. Перепишите в тетрадь и выполните вычитание:

а) $ \begin{array}{r} 728 \\ - 325 \\ \hline \end{array} $

б) $ \begin{array}{r} 1356 \\ - 246 \\ \hline \end{array} $

в) $ \begin{array}{r} 92\,507 \\ - 2\,400 \\ \hline \end{array} $

г) $ \begin{array}{r} 10\,101 \\ - 9\,898 \\ \hline \end{array} $

а) Выполним вычитание в столбик. Начнем с разряда единиц: $8 - 5 = 3$. Далее вычитаем десятки: $2 - 2 = 0$. И наконец, вычитаем сотни: $7 - 3 = 4$. Соединив полученные цифры, получаем результат.
$728 - 325 = 403$.
Ответ: 403.

б) Выполним вычитание в столбик. Начнем с разряда единиц: $6 - 6 = 0$. Далее вычитаем десятки: $5 - 4 = 1$. Вычитаем сотни: $3 - 2 = 1$. В разряде тысяч у уменьшаемого остается 1. Соединив полученные цифры, получаем результат.
$1356 - 246 = 1110$.
Ответ: 1110.

в) Выполним вычитание в столбик. Начнем с разряда единиц: $7 - 0 = 7$. Далее вычитаем десятки: $0 - 0 = 0$. Вычитаем сотни: $5 - 4 = 1$. Вычитаем тысячи: $2 - 2 = 0$. В разряде десятков тысяч у уменьшаемого остается 9. Соединив полученные цифры, получаем результат.
$92507 - 2400 = 90107$.
Ответ: 90107.

г) Выполним вычитание в столбик.
В разряде единиц: из 1 вычесть 8 нельзя. Занимаем единицу из старших разрядов. Так как в разряде десятков стоит 0, занимаем у сотен. В разряде сотен была 1, она становится 0, а в разряде десятков – 10. Теперь занимаем у десятков для единиц: в десятках останется 9, а в единицах будет $10 + 1 = 11$. $11 - 8 = 3$.
В разряде десятков: осталось 9, $9 - 9 = 0$.
В разряде сотен: осталось 0, вычесть 8 нельзя. Занимаем у тысяч. Так как там 0, занимаем у десятков тысяч. Там была 1, становится 0, а в тысячах – 10. Теперь занимаем у тысяч для сотен: в тысячах останется 9, а в сотнях будет 10. $10 - 8 = 2$.
В разряде тысяч: осталось 9, $9 - 9 = 0$.
Соединив полученные цифры (незначащие нули слева опускаем), получаем результат.
$10101 - 9898 = 203$.
Ответ: 203.

131. а) Уменьшите 309 на 12.

б) Уменьшите произведение чисел 409 и 5 на 920.

в) Из числа 9999 вычтите произведение чисел 999 и 9.

г) Разность чисел 9999 и 999 увеличьте в 9 раз.

д) Вычтите сумму чисел 328 и 532 из числа 1000.

е) Вычтите произведение чисел 12345 и 9 из числа 1 000 000.

а) Чтобы уменьшить число 309 на 12, необходимо выполнить вычитание:
$309 - 12 = 297$.
Ответ: 297

б) Сначала найдем произведение чисел 409 и 5:
$409 \times 5 = 2045$.
Затем уменьшим полученное произведение на 920:
$2045 - 920 = 1125$.
Ответ: 1125

в) Сначала вычислим произведение чисел 999 и 9:
$999 \times 9 = 8991$.
Теперь вычтем полученный результат из числа 9999:
$9999 - 8991 = 1008$.
Ответ: 1008

г) Первым действием найдем разность чисел 9999 и 999:
$9999 - 999 = 9000$.
Затем увеличим полученную разность в 9 раз, то есть умножим на 9:
$9000 \times 9 = 81000$.
Ответ: 81000

д) Сначала найдем сумму чисел 328 и 532:
$328 + 532 = 860$.
Теперь вычтем полученную сумму из числа 1000:
$1000 - 860 = 140$.
Ответ: 140

е) Сначала вычислим произведение чисел 12 345 и 9:
$12345 \times 9 = 111105$.
Теперь вычтем полученный результат из числа 1 000 000:
$1000000 - 111105 = 888895$.
Ответ: 888895

132. Вычислите неизвестное число $x$, удовлетворяющее равенству:

а) $x + 209 = 700;$

б) $296 + x = 925;$

в) $x - 283 = 79;$

г) $x - 8096 = 10951;$

д) $756 - x = 236;$

е) $839 - x = 125.$

а) В уравнении $x + 209 = 700$ неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 700 - 209$
$x = 491$
Проверка: $491 + 209 = 700$.
Ответ: 491

б) В уравнении $296 + x = 925$ неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 925 - 296$
$x = 629$
Проверка: $296 + 629 = 925$.
Ответ: 629

в) В уравнении $x - 283 = 79$ неизвестное $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 79 + 283$
$x = 362$
Проверка: $362 - 283 = 79$.
Ответ: 362

г) В уравнении $x - 8096 = 10951$ неизвестное $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 10951 + 8096$
$x = 19047$
Проверка: $19047 - 8096 = 10951$.
Ответ: 19047

д) В уравнении $756 - x = 236$ неизвестное $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 756 - 236$
$x = 520$
Проверка: $756 - 520 = 236$.
Ответ: 520

е) В уравнении $839 - x = 125$ неизвестное $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 839 - 125$
$x = 714$
Проверка: $839 - 714 = 125$.
Ответ: 714

133. На доске были записаны верно выполненные примеры на сложение и вычитание, потом некоторые цифры стёрли и заменили их буквами. Перепишите примеры, заменяя буквы цифрами так, чтобы опять получились верные записи:

a) $\begin{array}{r}72\text{и} \\+ \ 1\text{р}3 \\\hline\text{т}98\end{array}$

б) $\begin{array}{r}\text{д}52 \\- 6\text{в}4 \\\hline28\text{а}\end{array}$

в) $\begin{array}{r}5\text{ин} \\+ \text{д}79 \\\hline0381\end{array}$

г) $\begin{array}{r}\text{ну}56 \\- 5\text{л}8 \\\hline88\text{ъ}\end{array}$

а)

Рассмотрим пример на сложение в столбик:

 72и+ 1р3----- т98 

Решаем его, двигаясь справа налево по разрядам.
1. Разряд единиц: $и + 3 = 8$. Из этого уравнения находим $и$: $и = 8 - 3 = 5$.
2. Разряд десятков: $2 + р = 9$. Отсюда находим $р$: $р = 9 - 2 = 7$.
3. Разряд сотен: $7 + 1 = т$. Отсюда находим $т$: $т = 8$.
Таким образом, искомый пример: $725 + 173 = 898$. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: $725 + 173 = 898$.

б)

Рассмотрим пример на вычитание в столбик:

 д52- 6в4----- 28а 

Решаем его, двигаясь справа налево по разрядам.
1. Разряд единиц: $2 - 4 = а$. Поскольку 2 меньше 4, мы должны "занять" десяток из старшего разряда. Получаем: $(10 + 2) - 4 = 12 - 4 = 8$. Следовательно, $а = 8$.
2. Разряд десятков: В разряде десятков уменьшаемого теперь стоит не 5, а 4. Получаем: $4 - в = 8$. Поскольку 4 меньше 8, мы "занимаем" сотню из старшего разряда. Получаем: $(10 + 4) - в = 8$, то есть $14 - в = 8$. Отсюда $в = 14 - 8 = 6$.
3. Разряд сотен: В разряде сотен уменьшаемого теперь стоит $д-1$. Получаем: $(д - 1) - 6 = 2$. Отсюда $д - 1 = 8$, что дает $д = 9$.
Таким образом, искомый пример: $952 - 664 = 288$. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: $952 - 664 = 288$.

в)

Рассмотрим пример на сложение в столбик:

 5ин+ д79----- o381 

Решаем его, двигаясь справа налево по разрядам. Обратим внимание, что сумма является четырехзначным числом.
1. Разряд единиц: $н + 9$ оканчивается на 1. Это означает, что $н + 9 = 11$. Отсюда $н = 11 - 9 = 2$. Единицу переносим в разряд десятков.
2. Разряд десятков: С учетом переноса, $1 + и + 7 = 8$. Упрощаем: $8 + и = 8$. Отсюда $и = 0$.
3. Разряд сотен: $5 + д$ оканчивается на 3. Поскольку в результате получилось четырехзначное число, был перенос в следующий разряд, значит $5 + д = 13$. Отсюда $д = 13 - 5 = 8$. Единицу переносим в разряд тысяч.
4. Разряд тысяч: Цифра $о$ равна перенесенной единице, то есть $о = 1$.
Таким образом, искомый пример: $502 + 879 = 1381$. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: $502 + 879 = 1381$.

г)

Рассмотрим пример на вычитание в столбик:

 ну56- 5л8----- 88ь 

Решаем его, двигаясь справа налево по разрядам. Уменьшаемое является четырехзначным числом, а вычитаемое и разность — трехзначными.
1. Разряд единиц: $6 - 8 = ь$. Поскольку 6 меньше 8, "занимаем" десяток. Получаем: $(10 + 6) - 8 = 16 - 8 = 8$. Следовательно, $ь = 8$.
2. Разряд десятков: В разряде десятков уменьшаемого теперь стоит 4. Получаем: $4 - л = 8$. Поскольку 4 меньше 8, "занимаем" сотню. Получаем: $(10 + 4) - л = 8$, то есть $14 - л = 8$. Отсюда $л = 14 - 8 = 6$.
3. Разряд сотен: В разряде сотен уменьшаемого теперь стоит $у-1$. Получаем: $(у - 1) - 5 = 8$. Это уравнение не имеет решения в однозначных цифрах, значит, мы должны "занять" тысячу. Получаем: $(10 + у - 1) - 5 = 8$, то есть $9 + у = 13$. Отсюда $у = 13 - 9 = 4$.
4. Разряд тысяч: В разряде тысяч уменьшаемого теперь стоит $н-1$. Поскольку разность является трехзначным числом, результат вычитания в этом разряде равен 0. То есть, $н - 1 = 0$. Отсюда $н = 1$.
Таким образом, искомый пример: $1456 - 568 = 888$. Проверка подтверждает правильность решения.

Ответ: $1456 - 568 = 888$.

134. Восстановите примеры, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:

a) $\begin{array}{c} 636 \\ + \ 766 \\ \hline a300 \end{array}$

б) $\begin{array}{c} a4a \\ + \ 33a \\ \hline 6084 \end{array}$

в) $\begin{array}{c} удар \\ + \ удар \\ \hline драка \end{array}$

д) $\begin{array}{c} деталь \\ + \ деталь \\ \hline изделие \end{array}$

а)

Рассмотрим данный пример на сложение в столбик:
636
+
766
-------
a300

Начнем сложение с разряда единиц: $6 + 6 = 12$. Таким образом, последняя цифра суммы должна быть 2. Однако в примере указано, что последняя цифра суммы равна 0.

Это противоречие означает, что в условии задачи содержится опечатка, и в таком виде пример не имеет решения. Если выполнить сложение, получится $636 + 766 = 1402$, что не соответствует шаблону `a300`.

Ответ: Задача в исходном виде не имеет решения из-за опечатки в условии (последняя цифра суммы $6+6=12$ должна быть 2, а не 0).

б)

Рассмотрим пример:
a4a
+
33a
-------
6084

В этом примере складываются два трехзначных числа. Буква `a` обозначает одну и ту же цифру.

Оценим максимально возможную сумму двух трехзначных чисел. Первое число `a4a`, где `a` — цифра сотен, не может быть больше, чем 949 (при $a=9$). Второе число `33a` не может быть больше, чем 339 (при $a=9$).

Максимально возможная сумма этих двух чисел: $949 + 339 = 1288$.

В условии задачи указана сумма 6084. Так как $1288 < 6084$, сумма двух трехзначных чисел ни при каких значениях `a` не может равняться 6084.

Следовательно, в условии задачи содержится опечатка, и в таком виде пример не имеет решения.

Ответ: Задача в исходном виде не имеет решения из-за опечатки в условии (сумма двух трехзначных чисел не может быть 6084).

в)

Запишем пример в виде $2 \times (удар) = драка$.

Здесь `удар` — четырехзначное число, а `драка` — пятизначное. Разные буквы обозначают разные цифры.

1. Поскольку `драка` является результатом удвоения четырехзначного числа, его первая цифра `д` может быть только 1. Это следует из того, что $2 \times 9999 = 19998$ — максимальный возможный результат. Значит, д = 1.

2. Из $2 \times (удар) = 1рака$ следует, что $2 \times у$ (с возможным переносом из разряда сотен) должно дать число, начинающееся с 1. Это значит, что $у \ge 5$.

3. Рассмотрим разряд сотен в слове `драка`, где стоит буква `а`. Сумма для этого разряда: $2 \times д + c_{10} = а + 10c_{100}$, где $c_{10}$ — перенос из разряда десятков, а $c_{100}$ — перенос в разряд тысяч. Подставив $д=1$, получаем $2 + c_{10} = а + 10c_{100}$. Так как $a$ и $c_{10}$ — это цифры (0 или 1), то $c_{100}$ может быть только 0. Отсюда $a = 2 + c_{10}$. Поскольку $c_{10}$ может быть 0 или 1, то $a=2$ или $a=3$.

4. Рассмотрим разряд тысяч: $2 \times у + c_{100} = р + 10д$. Так как $c_{100}=0$ и $д=1$, получаем $2у = р + 10$. Отсюда следует, что `р` — четная цифра.

5. Рассмотрим разряд единиц: $2 \times р = а + 10c_1$, где $c_1$ — перенос в разряд десятков.

Проверим два случая для `а`:
- Случай 1: $a=2$ (это означает, что $c_{10}=0$). Тогда из уравнения для единиц $2 \times р = 2 + 10c_1$. Отсюда $р=1$ (но $д=1$, цифры должны быть разными) или $р=6$ (при $c_1=1$). Значит, р=6. Из $2у = р+10$ получаем $2у=16$, т.е. у=8. Теперь найдем `к` из разряда десятков: $2 \times а + c_1 = к + 10c_{10}$. Подставляем известные значения: $2 \times 2 + 1 = к + 10 \times 0 \implies к=5$. Все найденные цифры различны: $д=1, а=2, к=5, р=6, у=8$.
- Случай 2: $a=3$ (это означает, что $c_{10}=1$). Тогда $2 \times р = 3 + 10c_1$. Это уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть ($2р$) всегда четная, а правая ($3+10c_1$) всегда нечетная.

Таким образом, решение единственное. Восстановим пример: $удар \rightarrow 8126$, $драка \rightarrow 16252$.
Проверка: $8126 + 8126 = 16252$. Все верно.

Ответ: $8126 + 8126 = 16252$.

г)

Запишем пример в виде $2 \times (деталь) = изделие$.

Здесь `деталь` — шестизначное число, а `изделие` — семизначное.

1. Поскольку `изделие` — семизначное число, оно не меньше 1 000 000. Значит, $2 \times (деталь) \ge 1000000$, откуда `деталь` $\ge 500000$. Следовательно, `д` $\ge 5$.

2. Первая цифра произведения `изделие`, `и`, может быть только 1, так как $2 \times (деталь) < 2 \times 1000000 = 2000000$. Итак, и = 1.

3. Запишем уравнения для каждого разряда, обозначая $c_N$ перенос из предыдущего разряда:

• (1) $2 \times ь = е + 10c_1$ (`е` - четное)
• (2) $2 \times л + c_1 = и + 10c_{10} \implies 2л+c_1=1+10c_{10}$
• (3) $2 \times а + c_{10} = л + 10c_{100}$
• (4) $2 \times т + c_{100} = е + 10c_{1k}$
• (5) $2 \times е + c_{1k} = д + 10c_{100k}$
• (6) $2 \times д + c_{100k} = з + 10и \implies 2д+c_{100k}=з+10$

4. Из (2) следует, что $2л+c_1$ должно оканчиваться на 1. Это возможно только если $c_1=1$ (т.е. $ь \ge 5$). Тогда возможные варианты: $2л+1=1 \implies л=0$ ($c_{10}=0$) или $2л+1=11 \implies л=5$ ($c_{10}=1$).

5. Случай $л=0, c_{10}=0$ невозможен. Из (3) получаем $2а=10c_{100}$, т.е. $а=5$ ($c_{100}=1$, т.к. $а \ne л$). Тогда из (4) $2т+1=е+10c_{1k}$. Левая часть нечетная, а правая должна быть четной, так как `е` — четное. Противоречие.

6. Остается единственный вариант: л=5, $c_{10}=1$. Из (3): $2а+1=5+10c_{100} \implies 2а=4+10c_{100} \implies а=2+5c_{100}$. Значит, $а=2$ ($c_{100}=0$) или $а=7$ ($c_{100}=1$).

7. Пусть $а=2$ ($c_{100}=0$). Из (4): $2т=е+10c_{1k}$. Пробуем возможные пары (е,ь), учитывая, что цифры 1,2,5 заняты: (4,7), (6,8), (8,9).
- Если $е=4$, то $2т$ оканчивается на 4 $\implies т=2$ или $т=7$. Оба заняты.
- Если $е=6$, то $2т$ оканчивается на 6 $\implies т=3$ или $т=8$. `т=3` свободно. Из (5): $c_{1k}=0$, $2 \times 6 = д+10c_{100k} \implies д=2$. Но $а=2$.
- Если $е=8$, то $2т$ оканчивается на 8 $\implies т=4$ или $т=9$. `т=4` свободно ($c_{1k}=0$). Из (5): $2 \times 8 = д+10c_{100k} \implies 16=д+10c_{100k} \implies д=6, c_{100k}=1$. `д=6` - новая цифра.
При $е=8$ из (1) имеем $2ь=18 \implies ь=9$.
Из (6) находим `з`: $2д+c_{100k}=з+10 \implies 2 \times 6+1=з+10 \implies 13=з+10 \implies з=3$.
Мы нашли все цифры: `и=1, з=3, д=6, е=8, л=5, а=2, т=4, ь=9`. Все они различны.

8. Проверка: `деталь` = 684259, `изделие` = 1368518. $684259 + 684259 = 1368518$. Решение верное. (Случай $а=7$ не дает решений).

Ответ: $684259 + 684259 = 1368518$.

Выполните действия (135, 136).

135. а) $(5486 + 3578) + 1422;$

б) $4523 + (3788 + 1477);$

в) $(357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643);$

г) $(357 + 298 + 428) + (102 + 572 + 643);$

д) $(259 + 728 + 293) + (541 + 607 + 272).$

а) (5486 + 3578) + 1422

Решим пример, следуя порядку действий. Сначала выполним сложение в скобках, а затем прибавим к результату оставшееся число.

1) Сложение в скобках: $5486 + 3578 = 9064$.

2) Сложение с оставшимся числом: $9064 + 1422 = 10486$.

Ответ: 10486

б) 4523 + (3788 + 1477)

Выполним действия по порядку. Сначала найдем сумму чисел в скобках, а затем прибавим ее к первому числу.

1) Сложение в скобках: $3788 + 1477 = 5265$.

2) Финальное сложение: $4523 + 5265 = 9788$.

Ответ: 9788

в) (357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643)

Сначала вычислим сумму чисел в каждой из скобок, а затем сложим полученные результаты.

1) Сумма в первой скобке: $357 + 768 + 589 = 1125 + 589 = 1714$.

2) Сумма во второй скобке: $332 + 211 + 643 = 543 + 643 = 1186$.

3) Сложение результатов: $1714 + 1186 = 2900$.

Ответ: 2900

г) (357 + 298 + 428) + (102 + 572 + 643)

Вычислим сумму в каждой скобке по отдельности, после чего сложим полученные значения.

1) Сумма в первой скобке: $357 + 298 + 428 = 655 + 428 = 1083$.

2) Сумма во второй скобке: $102 + 572 + 643 = 674 + 643 = 1317$.

3) Сложение результатов: $1083 + 1317 = 2400$.

Ответ: 2400

д) (259 + 728 + 293) + (541 + 607 + 272)

Найдем суммы в каждой из скобок и сложим их.

1) Сумма в первой скобке: $259 + 728 + 293 = 987 + 293 = 1280$.

2) Сумма во второй скобке: $541 + 607 + 272 = 1148 + 272 = 1420$.

3) Сложение результатов: $1280 + 1420 = 2700$.

Ответ: 2700

136. a) $375 026 + 408 724 - 49 678;$

б) $700 000 - (50 345 + 168 724);$

в) $900 000 - (125 480 + 89 256);$

г) $1 700 000 - (836 724 + 64 048);$

д) $1 000 000 - (35 724 - 5928).$

а) $375 026 + 408 724 - 49 678$

В данном выражении нет скобок, поэтому выполняем действия по порядку слева направо.
1. Сначала выполним сложение: $375 026 + 408 724 = 783 750$.
2. Затем из полученной суммы вычтем $49 678$: $783 750 - 49 678 = 734 072$.

Ответ: $734 072$

б) $700 000 - (50 345 + 168 724)$

Согласно порядку действий, сначала выполним операцию в скобках.
1. Найдем сумму в скобках: $50 345 + 168 724 = 219 069$.
2. Затем выполним вычитание: $700 000 - 219 069 = 480 931$.

Ответ: $480 931$

в) $900 000 - (125 480 + 89 256)$

Первым действием выполним сложение в скобках.
1. Сложим числа в скобках: $125 480 + 89 256 = 214 736$.
2. Затем выполним вычитание: $900 000 - 214 736 = 685 264$.

Ответ: $685 264$

г) $1 700 000 - (836 724 + 64 048)$

Первым действием будет сложение в скобках.
1. Найдем сумму в скобках: $836 724 + 64 048 = 900 772$.
2. Теперь выполним вычитание: $1 700 000 - 900 772 = 799 228$.

Ответ: $799 228$

д) $1 000 000 - (35 724 - 5 928)$

Сначала выполним вычитание в скобках.
1. Найдем разность в скобках: $35 724 - 5 928 = 29 796$.
2. Затем вычтем полученный результат из $1 000 000$: $1 000 000 - 29 796 = 970 204$.

Ответ: $970 204$