Страница 28 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

105. Запишите равенство, выражающее распределительный закон, сформулируйте этот закон.

Равенство, выражающее распределительный закон: $a(b+c) = ab+ac$

Распределительный закон гласит: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Равенство, выражающее распределительный закон

Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ распределительный закон умножения относительно сложения выражается следующим равенством:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Аналогичное равенство существует и для вычитания:
$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Формулировка этого закона

Относительно сложения: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Относительно вычитания: чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Ответ: Равенство: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Формулировка: чтобы умножить число на сумму двух чисел, нужно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения.

106. Для каких чисел выполняется распределительный закон?

Распределительный закон, также известный как дистрибутивность умножения относительно сложения, является одним из фундаментальных свойств арифметических операций. Он устанавливает связь между операциями умножения и сложения (или вычитания). Смысл закона заключается в том, что умножение числа на сумму можно заменить суммой произведений этого числа на каждое из слагаемых.

Формально это записывается следующими равенствами для любых чисел $a$, $b$ и $c$:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (для сложения)

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ (для вычитания)

Данный закон является универсальным и выполняется для всех основных числовых множеств, изучаемых в математике. Это свойство справедливо для натуральных чисел (например, 1, 15, 2023), целых чисел (например, -10, 0, 5), рациональных чисел (любых обыкновенных и десятичных дробей, например, $\frac{1}{3}$, -2.5), действительных (вещественных) чисел, которые включают в себя и иррациональные числа (например, $\sqrt{2}$, $\pi$). Более того, этот закон выполняется и для комплексных чисел.

Для таких числовых систем, как поле действительных или комплексных чисел, распределительный закон является одной из аксиом, то есть одним из основополагающих свойств, принимаемых без доказательства.

Приведём пример, чтобы убедиться в его справедливости. Возьмем числа $a=5$, $b=10$, $c=4$.

Вычислим левую часть равенства: $5 \cdot (10 + 4) = 5 \cdot 14 = 70$.

Вычислим правую часть равенства: $5 \cdot 10 + 5 \cdot 4 = 50 + 20 = 70$.

Так как $70 = 70$, мы видим, что распределительный закон выполняется.

Ответ: Распределительный закон выполняется для любых чисел (натуральных, целых, рациональных, действительных).

107. Примените распределительный закон, раскрыв скобки:

а) $5 \cdot (32 + 17) = 5 \cdot 32 + 5 \cdot 17;$

б) $19 \cdot (28 + 43) = 19 \cdot \ldots + 19 \cdot \ldots;$

в) $7 \cdot (3 + 8);$

г) $10 \cdot (15 + 6);$

д) $5 \cdot (10 + 12);$

е) $6 \cdot (12 + 4).$

Для решения этих задач используется распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон можно записать в виде формулы: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Суть закона в том, что для умножения числа на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

а) В данном пункте показан пример применения распределительного закона. Раскроем скобки и вычислим значение:
$5 \cdot (32 + 17) = 5 \cdot 32 + 5 \cdot 17$
Вычислим каждое произведение:
$5 \cdot 32 = 160$
$5 \cdot 17 = 85$
Сложим результаты:
$160 + 85 = 245$
Ответ: $5 \cdot (32 + 17) = 5 \cdot 32 + 5 \cdot 17 = 245$.

б) Применим распределительный закон, чтобы заполнить пропуски в выражении $19 \cdot (28 + 43) = 19 \cdot \dots + 19 \cdot \dots$.
Нужно умножить множитель 19 на каждое слагаемое в скобках (28 и 43):
$19 \cdot (28 + 43) = 19 \cdot 28 + 19 \cdot 43$
Теперь вычислим значение выражения:
$19 \cdot 28 = 532$
$19 \cdot 43 = 817$
$532 + 817 = 1349$
Ответ: $19 \cdot (28 + 43) = 19 \cdot 28 + 19 \cdot 43 = 1349$.

в) Раскроем скобки в выражении $7 \cdot (3 + 8)$ по распределительному закону:
$7 \cdot (3 + 8) = 7 \cdot 3 + 7 \cdot 8$
Вычислим результат:
$21 + 56 = 77$
Ответ: $7 \cdot (3 + 8) = 7 \cdot 3 + 7 \cdot 8 = 77$.

г) Раскроем скобки в выражении $10 \cdot (15 + 6)$ по распределительному закону:
$10 \cdot (15 + 6) = 10 \cdot 15 + 10 \cdot 6$
Вычислим результат:
$150 + 60 = 210$
Ответ: $10 \cdot (15 + 6) = 10 \cdot 15 + 10 \cdot 6 = 210$.

д) Раскроем скобки в выражении $5 \cdot (10 + 12)$ по распределительному закону:
$5 \cdot (10 + 12) = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 12$
Вычислим результат:
$50 + 60 = 110$
Ответ: $5 \cdot (10 + 12) = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 12 = 110$.

е) Раскроем скобки в выражении $6 \cdot (12 + 4)$ по распределительному закону:
$6 \cdot (12 + 4) = 6 \cdot 12 + 6 \cdot 4$
Вычислим результат:
$72 + 24 = 96$
Ответ: $6 \cdot (12 + 4) = 6 \cdot 12 + 6 \cdot 4 = 96$.

108. Используя распределительный закон, запишите произведение в виде суммы:

а) $10 \cdot (12 + 3);$

б) $(12 + 31) \cdot 15;$

в) $(17 + 43) \cdot 8;$

г) $(93 + 28) \cdot 16;$

д) $5 \cdot (8 + a);$

е) $7 \cdot (x + 9);$

ж) $12 \cdot (a + b);$

з) $(x + y) \cdot 15;$

и) $a \cdot (x + y).$

Здесь $a, b, x$ и $y$ — натуральные числа.

Для решения этой задачи используется распределительный закон умножения относительно сложения, который формулируется так: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. В виде формулы это выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ или $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$.

а) Применяем распределительный закон к выражению $10 \cdot (12 + 3)$. Умножаем 10 на каждое слагаемое в скобках: $10 \cdot 12$ и $10 \cdot 3$. Затем складываем полученные произведения: $10 \cdot 12 + 10 \cdot 3$. Для проверки можно вычислить: $120 + 30 = 150$. Ответ: $10 \cdot 12 + 10 \cdot 3$.

б) Для выражения $(12 + 31) \cdot 15$ каждое слагаемое в скобках умножаем на 15: $12 \cdot 15$ и $31 \cdot 15$. Складываем результаты: $12 \cdot 15 + 31 \cdot 15$. Для проверки можно вычислить: $180 + 465 = 645$. Ответ: $12 \cdot 15 + 31 \cdot 15$.

в) Используем распределительный закон для $(17 + 43) \cdot 8$. Умножаем 17 на 8 и 43 на 8, после чего складываем произведения: $17 \cdot 8 + 43 \cdot 8$. Для проверки можно вычислить: $136 + 344 = 480$. Ответ: $17 \cdot 8 + 43 \cdot 8$.

г) В выражении $(93 + 28) \cdot 16$ умножаем каждое слагаемое (93 и 28) на 16 и складываем полученные произведения: $93 \cdot 16 + 28 \cdot 16$. Для проверки можно вычислить: $1488 + 448 = 1936$. Ответ: $93 \cdot 16 + 28 \cdot 16$.

д) Для выражения $5 \cdot (8 + a)$ умножаем 5 на каждое слагаемое в скобках: $5 \cdot 8$ и $5 \cdot a$. Получаем сумму $5 \cdot 8 + 5 \cdot a$. Упрощаем, вычислив произведение чисел: $40 + 5a$. Ответ: $40 + 5a$.

е) В выражении $7 \cdot (x + 9)$ применяем распределительный закон: умножаем 7 на $x$ и 7 на 9. Складываем результаты: $7 \cdot x + 7 \cdot 9$. Упрощаем выражение: $7x + 63$. Ответ: $7x + 63$.

ж) Для $12 \cdot (a + b)$ умножаем 12 на $a$ и 12 на $b$. Получаем сумму $12 \cdot a + 12 \cdot b$, что можно записать как $12a + 12b$. Ответ: $12a + 12b$.

з) Для $(x + y) \cdot 15$ умножаем каждое слагаемое ($x$ и $y$) на 15. Сумма произведений будет $x \cdot 15 + y \cdot 15$. В стандартном виде это записывается как $15x + 15y$. Ответ: $15x + 15y$.

и) В выражении $a \cdot (x + y)$ умножаем множитель $a$ на каждое слагаемое в скобках ($x$ и $y$). Получаем сумму $a \cdot x + a \cdot y$, или, опуская знак умножения, $ax + ay$. Ответ: $ax + ay$.