Страница 26 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

96. В девятиэтажном доме два подъезда. На каждом этаже в подъезде 6 квартир. Определите, какое из следующих произведений $2 \cdot 6$; $9 \cdot 6$; $2 \cdot (9 \cdot 6)$; $(2 \cdot 9) \cdot 6$ определяет количество квартир:

а) в подъезде;

б) на одном этаже в двух подъездах;

в) в двух подъездах.

Для решения задачи проанализируем данные: в доме 9 этажей, 2 подъезда, и на каждом этаже в каждом подъезде по 6 квартир.

а) в подъезде

Чтобы найти количество квартир в одном подъезде, необходимо умножить количество этажей на количество квартир на одном этаже. В одном подъезде 9 этажей, и на каждом из них по 6 квартир.
Таким образом, расчет будет выглядеть так: $9 \cdot 6 = 54$ квартиры.
Этому расчету соответствует произведение $9 \cdot 6$.
Ответ: $9 \cdot 6$.

б) на одном этаже в двух подъездах

Чтобы найти общее количество квартир на одном этаже во всем доме, нужно умножить количество подъездов на количество квартир на одном этаже в одном подъезде. В доме 2 подъезда, и в каждом из них на одном этаже по 6 квартир.
Расчет: $2 \cdot 6 = 12$ квартир.
Этому расчету соответствует произведение $2 \cdot 6$.
Ответ: $2 \cdot 6$.

в) в двух подъездах

Чтобы найти общее количество квартир во всем доме (в двух подъездах), можно использовать два подхода:
1. Умножить количество квартир в одном подъезде на количество подъездов. Количество квартир в одном подъезде равно $9 \cdot 6$. Умножив это на 2 (количество подъездов), получим выражение $2 \cdot (9 \cdot 6)$.
2. Умножить общее количество квартир на одном этаже во всем доме на количество этажей. Количество квартир на одном этаже в двух подъездах равно $2 \cdot 6$. Умножив это на 9 (количество этажей), получим выражение $(2 \cdot 6) \cdot 9$.
Согласно сочетательному свойству умножения, $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$. Поэтому $2 \cdot (9 \cdot 6) = (2 \cdot 9) \cdot 6$. Оба этих произведения определяют общее количество квартир в доме.
Вычислим значение: $2 \cdot (9 \cdot 6) = 2 \cdot 54 = 108$ квартир.
Или так: $(2 \cdot 9) \cdot 6 = 18 \cdot 6 = 108$ квартир.
Следовательно, подходят оба произведения из предложенных вариантов.
Ответ: $2 \cdot (9 \cdot 6)$ и $(2 \cdot 9) \cdot 6$.

97. Для упрощения вычислений полезно помнить, что

$2 \cdot 5 = 10$; $4 \cdot 25 = 100$; $8 \cdot 125 = 1000$.

Пользуясь этими равенствами, вычислите устно:

а) $3 \cdot 2 \cdot 5$;

б) $2 \cdot 7 \cdot 5$;

в) $4 \cdot 9 \cdot 25$;

г) $7 \cdot 25 \cdot 4$;

д) $125 \cdot 7 \cdot 8$;

е) $12 \cdot 8 \cdot 125$;

ж) $2 \cdot 17 \cdot 5$;

з) $16 \cdot 25 \cdot 4$;

и) $13 \cdot 125 \cdot 8$.

а) Чтобы вычислить произведение $3 \cdot 2 \cdot 5$, удобно сгруппировать множители 2 и 5. Используя равенство $2 \cdot 5 = 10$, получаем: $3 \cdot (2 \cdot 5) = 3 \cdot 10 = 30$.
Ответ: 30

б) В выражении $2 \cdot 7 \cdot 5$ сгруппируем множители 2 и 5. Зная, что $2 \cdot 5 = 10$, вычисляем: $(2 \cdot 5) \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$.
Ответ: 70

в) Чтобы найти значение выражения $4 \cdot 9 \cdot 25$, сгруппируем множители 4 и 25. Используя равенство $4 \cdot 25 = 100$, получаем: $(4 \cdot 25) \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$.
Ответ: 900

г) В выражении $7 \cdot 25 \cdot 4$ сгруппируем множители 25 и 4. Зная, что $25 \cdot 4 = 100$, вычисляем: $7 \cdot (25 \cdot 4) = 7 \cdot 100 = 700$.
Ответ: 700

д) Для вычисления $125 \cdot 7 \cdot 8$ сгруппируем множители 125 и 8. Используя равенство $125 \cdot 8 = 1000$, получаем: $(125 \cdot 8) \cdot 7 = 1000 \cdot 7 = 7000$.
Ответ: 7000

е) В выражении $12 \cdot 8 \cdot 125$ сгруппируем множители 8 и 125. Зная, что $8 \cdot 125 = 1000$, вычисляем: $12 \cdot (8 \cdot 125) = 12 \cdot 1000 = 12000$.
Ответ: 12000

ж) Чтобы вычислить произведение $2 \cdot 17 \cdot 5$, сгруппируем множители 2 и 5. Используя равенство $2 \cdot 5 = 10$, получаем: $(2 \cdot 5) \cdot 17 = 10 \cdot 17 = 170$.
Ответ: 170

з) В выражении $16 \cdot 25 \cdot 4$ сгруппируем множители 25 и 4. Зная, что $25 \cdot 4 = 100$, вычисляем: $16 \cdot (25 \cdot 4) = 16 \cdot 100 = 1600$.
Ответ: 1600

и) Для вычисления $13 \cdot 125 \cdot 8$ сгруппируем множители 125 и 8. Используя равенство $125 \cdot 8 = 1000$, получаем: $13 \cdot (125 \cdot 8) = 13 \cdot 1000 = 13000$.
Ответ: 13000

98. Вычислите:

a) $16 \cdot 25 = 4 \cdot (4 \cdot 25) = 4 \cdot 100 = 400$;

б) $82 \cdot 5$;

в) $36 \cdot 25$;

г) $25 \cdot 32$;

д) $28 \cdot 25$;

е) $16 \cdot 125$;

ж) $64 \cdot 125$;

з) $75 \cdot 12$;

и) $75 \cdot 44$.

б) Представим число 82 в виде произведения $41 \cdot 2$ и применим сочетательное свойство умножения, чтобы сгруппировать 2 и 5: $82 \cdot 5 = (41 \cdot 2) \cdot 5 = 41 \cdot (2 \cdot 5) = 41 \cdot 10 = 410$. Ответ: 410

в) Разложим число 36 на множители $9 \cdot 4$ и сгруппируем множители, используя сочетательное свойство, чтобы получить произведение $4 \cdot 25 = 100$: $36 \cdot 25 = (9 \cdot 4) \cdot 25 = 9 \cdot (4 \cdot 25) = 9 \cdot 100 = 900$. Ответ: 900

г) Представим число 32 как произведение $4 \cdot 8$ и сгруппируем множители так, чтобы получить 100: $25 \cdot 32 = 25 \cdot (4 \cdot 8) = (25 \cdot 4) \cdot 8 = 100 \cdot 8 = 800$. Ответ: 800

д) Разложим число 28 на множители $7 \cdot 4$ и используем сочетательное свойство, чтобы умножить 4 на 25: $28 \cdot 25 = (7 \cdot 4) \cdot 25 = 7 \cdot (4 \cdot 25) = 7 \cdot 100 = 700$. Ответ: 700

е) Для упрощения вычислений воспользуемся тем, что $8 \cdot 125 = 1000$. Представим 16 как произведение $2 \cdot 8$: $16 \cdot 125 = (2 \cdot 8) \cdot 125 = 2 \cdot (8 \cdot 125) = 2 \cdot 1000 = 2000$. Ответ: 2000

ж) Аналогично предыдущему примеру, представим 64 как $8 \cdot 8$ и воспользуемся тем, что $8 \cdot 125 = 1000$: $64 \cdot 125 = (8 \cdot 8) \cdot 125 = 8 \cdot (8 \cdot 125) = 8 \cdot 1000 = 8000$. Ответ: 8000

з) Разложим оба множителя на более удобные для вычисления: $75 = 3 \cdot 25$ и $12 = 4 \cdot 3$. Затем перегруппируем множители: $75 \cdot 12 = (3 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 3) = (25 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 3) = 100 \cdot 9 = 900$. Ответ: 900

и) Разложим оба числа на множители: $75 = 3 \cdot 25$ и $44 = 4 \cdot 11$. Сгруппируем множители для получения круглого числа: $75 \cdot 44 = (3 \cdot 25) \cdot (4 \cdot 11) = (25 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 11) = 100 \cdot 33 = 3300$. Ответ: 3300

99. Вычислите:

а) $6 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 0;$

б) $(108 \cdot 2 + 5 \cdot 13) \cdot 0.$

а)

В данном выражении $6 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 0$ одним из множителей является ноль.

Существует свойство умножения на ноль, которое гласит, что произведение любого числа на ноль всегда равно нулю. Математически это записывается так: для любого числа $a$ справедливо равенство $a \cdot 0 = 0$.

Поскольку в нашем произведении есть множитель 0, результат всего выражения будет равен нулю, независимо от значений других множителей.

$6 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

б)

Рассмотрим выражение $(108 \cdot 2 + 5 \cdot 13) \cdot 0$.

В этом случае все выражение, заключенное в скобки, умножается на ноль. Мы можем применить то же свойство умножения на ноль.

Нет необходимости вычислять значение выражения в скобках. Каким бы ни был результат сложения произведений $108 \cdot 2$ и $5 \cdot 13$, при умножении этого результата на 0 итоговый ответ будет 0.

Обозначим выражение в скобках как $A = 108 \cdot 2 + 5 \cdot 13$. Тогда исходное выражение примет вид $A \cdot 0$, что равно 0.

$(108 \cdot 2 + 5 \cdot 13) \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

100. а) Увеличьте число 48 на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза.

б) Увеличьте число 48 в 3 раза, полученный результат увеличьте на 3.

в) Одинаковые ли результаты получены в пунктах а и б?

а) Первым действием увеличим число 48 на 3. Это означает, что нужно выполнить сложение.
$48 + 3 = 51$
Вторым действием полученный результат, то есть 51, увеличим в 3 раза. Это означает, что нужно выполнить умножение.
$51 \times 3 = 153$
Ответ: 153

б) Первым действием увеличим число 48 в 3 раза. Это означает, что нужно выполнить умножение.
$48 \times 3 = 144$
Вторым действием полученный результат, то есть 144, увеличим на 3. Это означает, что нужно выполнить сложение.
$144 + 3 = 147$
Ответ: 147

в) Чтобы ответить на этот вопрос, сравним результаты, полученные в предыдущих пунктах.
Результат в пункте а) равен 153.
Результат в пункте б) равен 147.
Поскольку $153 \neq 147$, результаты не являются одинаковыми.
Ответ: Нет, результаты разные.

101. a) В первый день туристы прошли пешком 18 км, а во второй день они проехали на автобусе в 5 раз больше. Какое расстояние туристы преодолели за два дня?

б) В первом мотке 42 м проволоки, а во втором в 3 раза больше. Сколько проволоки в двух мотках?

а)

Для решения задачи нужно выполнить два действия. Сначала определим расстояние, которое туристы проехали на автобусе во второй день, а затем сложим его с расстоянием, пройденным в первый день.

1. Находим расстояние, которое туристы преодолели во второй день. Оно в 5 раз больше, чем 18 км:

$18 \text{ км} \times 5 = 90 \text{ км}$

2. Теперь находим общее расстояние за два дня, складывая путь, пройденный в первый и второй день:

$18 \text{ км} + 90 \text{ км} = 108 \text{ км}$

Ответ: 108 км.

б)

Чтобы найти общее количество проволоки, сначала нужно вычислить, сколько проволоки во втором мотке, а затем сложить это значение с количеством проволоки в первом мотке.

1. Находим количество проволоки во втором мотке. Его в 3 раза больше, чем в первом:

$42 \text{ м} \times 3 = 126 \text{ м}$

2. Складываем количество проволоки в первом и втором мотках, чтобы найти общее количество:

$42 \text{ м} + 126 \text{ м} = 168 \text{ м}$

Ответ: 168 м.

102. В многоквартирном доме 96 квартир, из них 24 — однокомнатные. Двухкомнатных квартир в 2 раза больше, чем однокомнатных. Остальные квартиры трёхкомнатные. Сколько в доме трёхкомнатных квартир?

Для того чтобы найти количество трёхкомнатных квартир в доме, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдём количество двухкомнатных квартир.

В условии сказано, что в доме 24 однокомнатные квартиры, а двухкомнатных — в 2 раза больше. Чтобы найти количество двухкомнатных квартир, нужно умножить количество однокомнатных на 2.

$24 * 2 = 48$ (двухкомнатных квартир)

2. Найдём общее количество однокомнатных и двухкомнатных квартир.

Теперь сложим количество однокомнатных и двухкомнатных квартир, чтобы узнать, сколько их всего вместе.

$24 + 48 = 72$ (квартиры)

3. Найдём количество трёхкомнатных квартир.

Всего в доме 96 квартир. Мы знаем, что 72 из них — однокомнатные и двухкомнатные. Остальные — трёхкомнатные. Чтобы найти их количество, вычтем из общего числа квартир сумму однокомнатных и двухкомнатных.

$96 - 72 = 24$ (трёхкомнатные квартиры)

Ответ: в доме 24 трёхкомнатные квартиры.

103. a) На овощную базу сначала привезли помидоры на 6 машинах по 120 ящиков в каждой, потом ещё на 8 машинах по 140 ящиков в каждой. Сколько всего ящиков помидоров привезли на базу?

б) Токарь за один час обтачивает 12 деталей, а другой токарь — 11 деталей. Над выполнением задания первый работал 2 ч, потом второй — 3 ч. Сколько деталей они обточили вместе?

а)

Чтобы найти общее количество ящиков помидоров, нужно сначала вычислить, сколько ящиков привезли в каждой партии, а затем сложить эти два значения.

1. Вычислим, сколько ящиков привезли на 6 машинах (первая партия):

$6 \times 120 = 720$ (ящиков).

2. Вычислим, сколько ящиков привезли на 8 машинах (вторая партия):

$8 \times 140 = 1120$ (ящиков).

3. Сложим количество ящиков из обеих партий, чтобы найти общее количество:

$720 + 1120 = 1840$ (ящиков).

Ответ: всего на базу привезли 1840 ящиков помидоров.

б)

Чтобы узнать, сколько всего деталей обточили токари, нужно рассчитать количество деталей, изготовленных каждым из них, и сложить полученные результаты.

1. Узнаем, сколько деталей обточил первый токарь за 2 часа:

$12 \times 2 = 24$ (детали).

2. Узнаем, сколько деталей обточил второй токарь за 3 часа:

$11 \times 3 = 33$ (детали).

3. Найдем общее количество деталей, сложив результаты:

$24 + 33 = 57$ (деталей).

Ответ: вместе они обточили 57 деталей.