Страница 25 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

88. Вычислите:

а) $4 + 4 + 4 = 3 \cdot 4 = 12;$

б) $7 + 7 + 7 + 7;$

в) $8 + 8 + 8 + 8 + 8;$

г) $11 + 11 + 11 + 11 + 11;$

д) $15 + 15 + 15 + 15;$

е) $46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46;$

ж) $750 + 750 + 750 + 750;$

з) $128 + 128 + 128 + 128 + 128;$

и) $2011 + 2011 + 2011.$

б) Чтобы вычислить сумму $7 + 7 + 7 + 7$, мы складываем число 7 четыре раза. Такую сумму одинаковых слагаемых можно заменить умножением. Для этого нужно слагаемое (7) умножить на количество слагаемых (4).
$7 + 7 + 7 + 7 = 4 \cdot 7 = 28$
Ответ: 28

в) Чтобы вычислить сумму $8 + 8 + 8 + 8 + 8$, мы складываем число 8 пять раз. Заменим сложение умножением: умножим слагаемое (8) на количество слагаемых (5).
$8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5 \cdot 8 = 40$
Ответ: 40

г) В данном выражении $11 + 11 + 11 + 11 + 11$ число 11 складывается пять раз. Заменим сложение умножением.
$11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5 \cdot 11 = 55$
Ответ: 55

д) В выражении $15 + 15 + 15 + 15$ представленa сумма четырех одинаковых слагаемых, равных 15. Заменим сложение умножением.
$15 + 15 + 15 + 15 = 4 \cdot 15 = 60$
Ответ: 60

е) В выражении $46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46$ число 46 складывается шесть раз. Представим эту сумму в виде произведения.
$46 + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 = 6 \cdot 46 = 276$
Ответ: 276

ж) Сумма $750 + 750 + 750 + 750$ состоит из четырех слагаемых, каждое из которых равно 750. Заменим сложение умножением.
$750 + 750 + 750 + 750 = 4 \cdot 750 = 3000$
Ответ: 3000

з) Сумма $128 + 128 + 128 + 128 + 128$ состоит из пяти одинаковых слагаемых. Заменим сложение умножением.
$128 + 128 + 128 + 128 + 128 = 5 \cdot 128 = 640$
Ответ: 640

и) В выражении $2011 + 2011 + 2011$ число 2011 складывается три раза. Заменим сумму произведением.
$2011 + 2011 + 2011 = 3 \cdot 2011 = 6033$
Ответ: 6033

89. Запишите в виде произведения:

a) $a+a+a=3 \cdot a$;

б) $b+b+b+b$;

в) $c+c+c+c+c$;

г) $d+d+d$;

д) $a+a+a+a$;

е) $b+b$;

ж) $c+c+c+c$;

з) $d+d+d+d+d$;

и) $a+a+a+a+a+a$;

к) $b+b$.

б) Сумма состоит из четырех одинаковых слагаемых, каждое из которых равно $b$. По определению умножения, сумма одинаковых слагаемых может быть заменена произведением этого слагаемого на их количество. В данном случае, мы складываем $b$ четыре раза, что равносильно умножению $b$ на 4. Таким образом, $b + b + b + b = 4 \cdot b$.
Ответ: $4 \cdot b$.

в) В данном выражении переменная $c$ складывается сама с собой 5 раз. Это можно представить как умножение числа 5 на переменную $c$. Следовательно, $c + c + c + c + c = 5 \cdot c$.
Ответ: $5 \cdot c$.

г) Сумма состоит из трех одинаковых слагаемых $d$. Согласно определению умножения, мы можем заменить сложение произведением этого слагаемого на их число, то есть на 3. Значит, $d + d + d = 3 \cdot d$.
Ответ: $3 \cdot d$.

д) Здесь переменная $a$ складывается 4 раза. Это эквивалентно произведению числа 4 на $a$. Поэтому, $a + a + a + a = 4 \cdot a$.
Ответ: $4 \cdot a$.

е) В этой сумме три слагаемых, каждое из которых равно $b$. Значит, сумму можно записать как произведение числа 3 на $b$. $b + b + b = 3 \cdot b$.
Ответ: $3 \cdot b$.

ж) Сумма четырех одинаковых слагаемых $c$ равна произведению этого слагаемого на их количество, то есть на 4. Таким образом, $c + c + c + c = 4 \cdot c$.
Ответ: $4 \cdot c$.

з) В выражении пять слагаемых, равных $d$. Эту сумму можно заменить произведением числа 5 на $d$. Следовательно, $d + d + d + d + d = 5 \cdot d$.
Ответ: $5 \cdot d$.

и) Данная сумма состоит из шести одинаковых слагаемых $a$. Это равносильно умножению $a$ на 6. Значит, $a + a + a + a + a + a = 6 \cdot a$.
Ответ: $6 \cdot a$.

к) Сумма двух одинаковых слагаемых $b$ может быть записана как произведение числа 2 на $b$. Поэтому, $b + b = 2 \cdot b$.
Ответ: $2 \cdot b$.

90. a) Число 12 сначала увеличили в 2 раза, полученный результат увеличили ещё в 3 раза. Какой получился результат?

б) Задумали число, увеличили его в 3 раза, полученный результат увеличили ещё в 4 раза. Во сколько раз увеличилось число в итоге?

а)

Чтобы решить эту задачу, нужно выполнить действия последовательно.
1. Сначала увеличим число 12 в 2 раза. Увеличить в несколько раз — значит умножить.
$12 \times 2 = 24$
2. Теперь полученный результат, число 24, увеличим ещё в 3 раза.
$24 \times 3 = 72$
В результате получился ответ 72.

Ответ: 72

б)

Чтобы узнать, во сколько раз увеличилось число в итоге, нужно перемножить все множители, на которые его увеличивали.
Пусть задуманное число — это $x$.
1. Сначала его увеличили в 3 раза, получилось $3 \times x = 3x$.
2. Затем результат увеличили ещё в 4 раза: $3x \times 4 = 12x$.
Чтобы найти, во сколько раз итоговое число ($12x$) больше начального ($x$), нужно разделить большее на меньшее:
$\frac{12x}{x} = 12$
Таким образом, число в итоге увеличилось в 12 раз.

Ответ: в 12 раз

91. Какие законы использованы при следующих вычислениях:

$20 \cdot 30 = (2 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 10) = (2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = 6 \cdot 100 = 600?$

Вычислите:

а) $20 \cdot 50;$

б) $80 \cdot 40;$

в) $200 \cdot 40;$

г) $50 \cdot 400;$

д) $200 \cdot 100;$

е) $90 \cdot 2000;$

ж) $2000 \cdot 130;$

з) $700 \cdot 8000;$

и) $120 \cdot 6000.$

При переходе от выражения $(2 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 10)$ к выражению $(2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10)$ были использованы следующие законы умножения:

• Переместительный закон умножения (коммутативность): от перемены мест множителей произведение не меняется. Формула: $a \cdot b = b \cdot a$.
• Сочетательный закон умножения (ассоциативность): чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Формула: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Применение этих законов позволяет свободно переставлять и группировать множители для удобства вычислений: $20 \cdot 30 = (2 \cdot 10) \cdot (3 \cdot 10) = 2 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (10 \cdot 10) = 6 \cdot 100 = 600$.

а) $20 \cdot 50 = (2 \cdot 10) \cdot (5 \cdot 10) = (2 \cdot 5) \cdot (10 \cdot 10) = 10 \cdot 100 = 1000$. Ответ: 1000.

б) $80 \cdot 40 = (8 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 10) = (8 \cdot 4) \cdot (10 \cdot 10) = 32 \cdot 100 = 3200$. Ответ: 3200.

в) $200 \cdot 40 = (2 \cdot 100) \cdot (4 \cdot 10) = (2 \cdot 4) \cdot (100 \cdot 10) = 8 \cdot 1000 = 8000$. Ответ: 8000.

г) $50 \cdot 400 = (5 \cdot 10) \cdot (4 \cdot 100) = (5 \cdot 4) \cdot (10 \cdot 100) = 20 \cdot 1000 = 20000$. Ответ: 20000.

д) $200 \cdot 100 = 2 \cdot 100 \cdot 100 = 2 \cdot 10000 = 20000$. Ответ: 20000.

е) $90 \cdot 2000 = (9 \cdot 10) \cdot (2 \cdot 1000) = (9 \cdot 2) \cdot (10 \cdot 1000) = 18 \cdot 10000 = 180000$. Ответ: 180000.

ж) $2000 \cdot 130 = (2 \cdot 1000) \cdot (13 \cdot 10) = (2 \cdot 13) \cdot (1000 \cdot 10) = 26 \cdot 10000 = 260000$. Ответ: 260000.

з) $700 \cdot 8000 = (7 \cdot 100) \cdot (8 \cdot 1000) = (7 \cdot 8) \cdot (100 \cdot 1000) = 56 \cdot 100000 = 5600000$. Ответ: 5600000.

и) $120 \cdot 6000 = (12 \cdot 10) \cdot (6 \cdot 1000) = (12 \cdot 6) \cdot (10 \cdot 1000) = 72 \cdot 10000 = 720000$. Ответ: 720000.

92. Запишите число в виде произведения двух множителей:

а) $48 = 8 \cdot \dots$;

б) $42 = 6 \cdot \dots$;

в) $72 = 8 \cdot \dots$;

г) $81 = 9 \cdot \dots$;

д) $36 = 6 \cdot \dots$;

е) $63 = 7 \cdot \dots$;

ж) $49 = 7 \cdot \dots$;

з) $56 = 8 \cdot \dots$;

и) $54 = 6 \cdot \dots$.

а) Чтобы найти второй множитель, необходимо произведение (48) разделить на известный множитель (8).
$48 : 8 = 6$
Таким образом, $48 = 8 \cdot 6$.
Ответ: 6

б) Чтобы найти неизвестный множитель, разделим число 42 на известный множитель 6.
$42 : 6 = 7$
Следовательно, $42 = 6 \cdot 7$.
Ответ: 7

в) Найдём второй множитель, разделив произведение 72 на первый множитель 8.
$72 : 8 = 9$
Получаем, $72 = 8 \cdot 9$.
Ответ: 9

г) Для нахождения второго множителя разделим 81 на 9.
$81 : 9 = 9$
Значит, $81 = 9 \cdot 9$.
Ответ: 9

д) Чтобы найти второй множитель, разделим произведение 36 на известный множитель 6.
$36 : 6 = 6$
Таким образом, $36 = 6 \cdot 6$.
Ответ: 6

е) Найдём неизвестный множитель, разделив число 63 на 7.
$63 : 7 = 9$
Следовательно, $63 = 7 \cdot 9$.
Ответ: 9

ж) Чтобы найти второй множитель, нужно разделить произведение 49 на известный множитель 7.
$49 : 7 = 7$
Получаем, $49 = 7 \cdot 7$.
Ответ: 7

з) Найдём второй множитель, разделив произведение 56 на первый множитель 8.
$56 : 8 = 7$
Значит, $56 = 8 \cdot 7$.
Ответ: 7

и) Для нахождения второго множителя разделим 54 на 6.
$54 : 6 = 9$
Таким образом, $54 = 6 \cdot 9$.
Ответ: 9

93. Запишите число в виде произведения двух равных множителей:

а) 1;

б) 4;

в) 0;

г) 9;

д) 16;

е) 25;

ж) 49;

з) 64;

и) 36;

к) 81;

л) 100;

м) 121.

Чтобы записать число в виде произведения двух равных множителей, необходимо найти такое число, которое при умножении само на себя (то есть при возведении в квадрат) даст исходное число. Это число является квадратным корнем из исходного числа.

а) Для числа 1 искомым множителем является 1, так как $1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $1 \cdot 1$

б) Для числа 4 искомым множителем является 2, так как $2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: $2 \cdot 2$

в) Для числа 0 искомым множителем является 0, так как $0 \cdot 0 = 0$.

Ответ: $0 \cdot 0$

г) Для числа 9 искомым множителем является 3, так как $3 \cdot 3 = 9$.

Ответ: $3 \cdot 3$

д) Для числа 16 искомым множителем является 4, так как $4 \cdot 4 = 16$.

Ответ: $4 \cdot 4$

е) Для числа 25 искомым множителем является 5, так как $5 \cdot 5 = 25$.

Ответ: $5 \cdot 5$

ж) Для числа 49 искомым множителем является 7, так как $7 \cdot 7 = 49$.

Ответ: $7 \cdot 7$

з) Для числа 64 искомым множителем является 8, так как $8 \cdot 8 = 64$.

Ответ: $8 \cdot 8$

и) Для числа 36 искомым множителем является 6, так как $6 \cdot 6 = 36$.

Ответ: $6 \cdot 6$

к) Для числа 81 искомым множителем является 9, так как $9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: $9 \cdot 9$

л) Для числа 100 искомым множителем является 10, так как $10 \cdot 10 = 100$.

Ответ: $10 \cdot 10$

м) Для числа 121 искомым множителем является 11, так как $11 \cdot 11 = 121$.

Ответ: $11 \cdot 11$

94. Запишите каждое из чисел 15; 25; 13; 24; 36; 14; 17 в виде произведения двух множителей всеми возможными способами.

15
Чтобы представить число 15 в виде произведения двух множителей, найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 15.
1) $15 \div 1 = 15$, следовательно, $15 = 1 \cdot 15$.
2) $15 \div 3 = 5$, следовательно, $15 = 3 \cdot 5$.
Других пар натуральных множителей для числа 15 нет, так как следующий делитель 5 уже является вторым множителем в найденной паре.
Ответ: $15 = 1 \cdot 15$; $15 = 3 \cdot 5$.

25
Чтобы представить число 25 в виде произведения двух множителей, найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 25.
1) $25 \div 1 = 25$, следовательно, $25 = 1 \cdot 25$.
2) $25 \div 5 = 5$, следовательно, $25 = 5 \cdot 5$.
Других пар натуральных множителей для числа 25 нет.
Ответ: $25 = 1 \cdot 25$; $25 = 5 \cdot 5$.

13
Число 13 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Поэтому его можно представить в виде произведения двух натуральных множителей только одним способом.
$13 = 1 \cdot 13$.
Ответ: $13 = 1 \cdot 13$.

24
Чтобы представить число 24 в виде произведения двух множителей, найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 24.
1) $24 \div 1 = 24$, следовательно, $24 = 1 \cdot 24$.
2) $24 \div 2 = 12$, следовательно, $24 = 2 \cdot 12$.
3) $24 \div 3 = 8$, следовательно, $24 = 3 \cdot 8$.
4) $24 \div 4 = 6$, следовательно, $24 = 4 \cdot 6$.
Следующий делитель 6 уже является вторым множителем в последней паре. Таким образом, мы нашли все возможные способы.
Ответ: $24 = 1 \cdot 24$; $24 = 2 \cdot 12$; $24 = 3 \cdot 8$; $24 = 4 \cdot 6$.

36
Чтобы представить число 36 в виде произведения двух множителей, найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 36.
1) $36 \div 1 = 36$, следовательно, $36 = 1 \cdot 36$.
2) $36 \div 2 = 18$, следовательно, $36 = 2 \cdot 18$.
3) $36 \div 3 = 12$, следовательно, $36 = 3 \cdot 12$.
4) $36 \div 4 = 9$, следовательно, $36 = 4 \cdot 9$.
5) $36 \div 6 = 6$, следовательно, $36 = 6 \cdot 6$.
Мы нашли все возможные способы, так как перебор делителей дошел до квадратного корня из 36.
Ответ: $36 = 1 \cdot 36$; $36 = 2 \cdot 18$; $36 = 3 \cdot 12$; $36 = 4 \cdot 9$; $36 = 6 \cdot 6$.

14
Чтобы представить число 14 в виде произведения двух множителей, найдем все пары натуральных чисел, произведение которых равно 14.
1) $14 \div 1 = 14$, следовательно, $14 = 1 \cdot 14$.
2) $14 \div 2 = 7$, следовательно, $14 = 2 \cdot 7$.
Других пар натуральных множителей для числа 14 нет.
Ответ: $14 = 1 \cdot 14$; $14 = 2 \cdot 7$.

17
Число 17 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Поэтому его можно представить в виде произведения двух натуральных множителей только одним способом.
$17 = 1 \cdot 17$.
Ответ: $17 = 1 \cdot 17$.

95. В школьную библиотеку привезли 20 пачек по 60 книг в каждой. Надо ли развязывать пачки, чтобы сосчитать число всех книг? Сколько книг привезли?

Надо ли развязывать пачки, чтобы сосчитать число всех книг?

Чтобы сосчитать общее количество книг, развязывать пачки не обязательно. Мы знаем, что всего привезли 20 пачек, и в каждой из них находится ровно 60 книг. Для нахождения общего числа книг можно использовать умножение, вместо того чтобы пересчитывать каждую книгу вручную.

Ответ: нет, не надо.

Сколько книг привезли?

Чтобы найти общее количество книг, нужно умножить количество пачек на количество книг в каждой пачке.

Количество пачек — 20.
Количество книг в одной пачке — 60.

Выполним умножение:
$20 \times 60 = 1200$ (книг).

Ответ: 1200 книг.