Страница 18 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

61. Найдите неизвестное число, обозначенное буквой $x$:

а) $43 + x = 64;$

б) $x + 45 = 59;$

в) $34 - x = 26;$

г) $x - 53 = 35.$

а) В уравнении $43 + x = 64$ неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 64 - 43$
$x = 21$
Проверим: $43 + 21 = 64$.
Ответ: 21

б) В уравнении $x + 45 = 59$ неизвестное $x$ является слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$x = 59 - 45$
$x = 14$
Проверим: $14 + 45 = 59$.
Ответ: 14

в) В уравнении $34 - x = 26$ неизвестное $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$x = 34 - 26$
$x = 8$
Проверим: $34 - 8 = 26$.
Ответ: 8

г) В уравнении $x - 53 = 35$ неизвестное $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$x = 35 + 53$
$x = 88$
Проверим: $88 - 53 = 35$.
Ответ: 88

62. Найдите разность чисел 46 и 22. Прибавьте к уменьшаемому и вычитаемому по 1; по 2; по 3 и в каждом случае найдите разность. Сравните полученные результаты.

Найдем разность чисел 46 и 22.
В этом выражении уменьшаемое равно 46, а вычитаемое равно 22.
$46 - 22 = 24$
Ответ: 24.

Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 1 и найдем разность.
Новое уменьшаемое: $46 + 1 = 47$.
Новое вычитаемое: $22 + 1 = 23$.
Найдем новую разность: $47 - 23 = 24$.
Ответ: 24.

Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 2 и найдем разность.
Новое уменьшаемое: $46 + 2 = 48$.
Новое вычитаемое: $22 + 2 = 24$.
Найдем новую разность: $48 - 24 = 24$.
Ответ: 24.

Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 3 и найдем разность.
Новое уменьшаемое: $46 + 3 = 49$.
Новое вычитаемое: $22 + 3 = 25$.
Найдем новую разность: $49 - 25 = 24$.
Ответ: 24.

Сравним полученные результаты.
Сравним все полученные результаты: 24, 24, 24, 24. Все они равны.
Это иллюстрирует свойство разности: разность не изменится, если к уменьшаемому и вычитаемому прибавить одно и то же число.
В общем виде: $(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.
Ответ: все полученные результаты равны 24.

63. Докажите, что от прибавления к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа разность не изменяется. То есть если $a - b = c$, то $(a + n) - (b + n) = c$.

Для доказательства данного утверждения необходимо преобразовать левую часть равенства $(a + n) - (b + n) = c$, используя исходное условие $a - b = c$.

Рассмотрим выражение $(a + n) - (b + n)$. Согласно правилу вычитания суммы, чтобы вычесть сумму $(b+n)$, нужно вычесть каждое ее слагаемое. Раскроем скобки:
$(a + n) - (b + n) = a + n - b - n$

Воспользуемся переместительным свойством сложения, чтобы сгруппировать слагаемые:
$a + n - b - n = a - b + n - n$

Так как разность одинаковых чисел равна нулю, $n - n = 0$. Подставим это значение в наше выражение:
$a - b + 0 = a - b$

Из условия задачи мы знаем, что $a - b = c$. Следовательно, мы можем заменить выражение $a - b$ на $c$:
$(a + n) - (b + n) = a - b = c$

Таким образом, мы доказали, что прибавление одного и того же числа $n$ к уменьшаемому $a$ и вычитаемому $b$ не изменяет их разность.

Ответ: Утверждение доказано, так как $(a + n) - (b + n) = a + n - b - n = (a - b) + (n - n) = a - b = c$.

64. Используя утверждение, сформулированное в предыдущей задаче, вычислите:

а) $68 - 19$;

б) $35 - 18$;

в) $65 - 17$;

г) $47 - 29$;

д) $302 - 99$;

е) $134 - 98$;

ж) $200 - 97$;

з) $132 - 96$;

и) $649 - 199$;

к) $606 - 399$;

л) $370 - 298$;

м) $793 - 495$.

Утверждение из предыдущей задачи, вероятно, заключается в следующем свойстве вычитания: чтобы вычесть число, можно сначала вычесть ближайшее к нему большее круглое число, а затем прибавить разницу. Это свойство можно записать в виде формулы: $a - b = a - (c - d) = (a - c) + d$, где $b$ — вычитаемое, а $c$ — удобное для вычитания круглое число, большее $b$.

а) $68 - 19$

Представим вычитаемое 19 в виде разности $20 - 1$ и применим свойство:

$68 - 19 = 68 - (20 - 1) = 68 - 20 + 1 = 48 + 1 = 49$.

Ответ: 49.

б) $35 - 18$

Представим вычитаемое 18 в виде разности $20 - 2$:

$35 - 18 = 35 - (20 - 2) = 35 - 20 + 2 = 15 + 2 = 17$.

Ответ: 17.

в) $65 - 17$

Представим вычитаемое 17 в виде разности $20 - 3$:

$65 - 17 = 65 - (20 - 3) = 65 - 20 + 3 = 45 + 3 = 48$.

Ответ: 48.

г) $47 - 29$

Представим вычитаемое 29 в виде разности $30 - 1$:

$47 - 29 = 47 - (30 - 1) = 47 - 30 + 1 = 17 + 1 = 18$.

Ответ: 18.

д) $302 - 99$

Представим вычитаемое 99 в виде разности $100 - 1$:

$302 - 99 = 302 - (100 - 1) = 302 - 100 + 1 = 202 + 1 = 203$.

Ответ: 203.

е) $134 - 98$

Представим вычитаемое 98 в виде разности $100 - 2$:

$134 - 98 = 134 - (100 - 2) = 134 - 100 + 2 = 34 + 2 = 36$.

Ответ: 36.

ж) $200 - 97$

Представим вычитаемое 97 в виде разности $100 - 3$:

$200 - 97 = 200 - (100 - 3) = 200 - 100 + 3 = 100 + 3 = 103$.

Ответ: 103.

з) $132 - 96$

Представим вычитаемое 96 в виде разности $100 - 4$:

$132 - 96 = 132 - (100 - 4) = 132 - 100 + 4 = 32 + 4 = 36$.

Ответ: 36.

и) $649 - 199$

Представим вычитаемое 199 в виде разности $200 - 1$:

$649 - 199 = 649 - (200 - 1) = 649 - 200 + 1 = 449 + 1 = 450$.

Ответ: 450.

к) $606 - 399$

Представим вычитаемое 399 в виде разности $400 - 1$:

$606 - 399 = 606 - (400 - 1) = 606 - 400 + 1 = 206 + 1 = 207$.

Ответ: 207.

л) $370 - 298$

Представим вычитаемое 298 в виде разности $300 - 2$:

$370 - 298 = 370 - (300 - 2) = 370 - 300 + 2 = 70 + 2 = 72$.

Ответ: 72.

м) $793 - 495$

Представим вычитаемое 495 в виде разности $500 - 5$:

$793 - 495 = 793 - (500 - 5) = 793 - 500 + 5 = 293 + 5 = 298$.

Ответ: 298.

65. Выполните действия «цепочкой» по образцу:

$75 - 5 + 17 - 20 = 70 + 17 - 20 = 87 - 20 = 67.$

а) $18 + 9 - 23 + 32;$

б) $33 - 6 + 25 - 17;$

в) $37 - 33 + 19 - 3;$

г) $53 + 12 - 15 + 17;$

д) $14 - 6 + 29 - 11;$

е) $45 + 25 - 18 + 101;$

ж) $38 + 3 - 5 - 28;$

з) $64 - 16 + 19 - 2.$

а) $18 + 9 - 23 + 32 = 27 - 23 + 32 = 4 + 32 = 36$.
Ответ: 36.

б) $33 - 6 + 25 - 17 = 27 + 25 - 17 = 52 - 17 = 35$.
Ответ: 35.

в) $37 - 33 + 19 - 3 = 4 + 19 - 3 = 23 - 3 = 20$.
Ответ: 20.

г) $53 + 12 - 15 + 17 = 65 - 15 + 17 = 50 + 17 = 67$.
Ответ: 67.

д) $14 - 6 + 29 - 11 = 8 + 29 - 11 = 37 - 11 = 26$.
Ответ: 26.

е) $45 + 25 - 18 + 101 = 70 - 18 + 101 = 52 + 101 = 153$.
Ответ: 153.

ж) $38 + 3 - 5 - 28 = 41 - 5 - 28 = 36 - 28 = 8$.
Ответ: 8.

з) $64 - 16 + 19 - 2 = 48 + 19 - 2 = 67 - 2 = 65$.
Ответ: 65.

66. a) Задумали число, увеличили его на $45$ и получили $66$ (рис. 1, а). Каким действием можно найти задуманное число? Найдите его.

a)

$+45$

$66$

б)

$-45$

$66$

в)

$+120$

$-49$

$200$

Рис. 1

б) Задумали число, уменьшили его на $45$ и получили $66$ (рис. 1, б). Найдите задуманное число.

в) Задумали число, увеличили его на $120$, результат уменьшили на $49$. Получили $200$ (рис. 1, в). Найдите задуманное число.

а) Чтобы найти задуманное число, нужно выполнить действие, обратное сложению, то есть вычитание. Если обозначить задуманное число за $x$, то по условию задачи имеем уравнение: $x + 45 = 66$.
Чтобы найти $x$, нужно из суммы (66) вычесть известное слагаемое (45).
$x = 66 - 45$
$x = 21$
Проверка: $21 + 45 = 66$.
Ответ: задуманное число можно найти действием вычитания; оно равно 21.

б) Пусть задуманное число – это $x$. По условию, его уменьшили на 45 и получили 66. Составим уравнение: $x - 45 = 66$.
Чтобы найти уменьшаемое ($x$), нужно к разности (66) прибавить вычитаемое (45). То есть, нужно выполнить действие, обратное вычитанию – сложение.
$x = 66 + 45$
$x = 111$
Проверка: $111 - 45 = 66$.
Ответ: 111.

в) Пусть задуманное число – это $x$. Составим уравнение по условию задачи: $(x + 120) - 49 = 200$.
Чтобы найти задуманное число, будем выполнять обратные действия в обратном порядке. "Развернем" цепочку вычислений с конца.
1. Последним действием было вычитание 49. Чтобы найти число, которое было до этого действия, нужно к результату (200) прибавить 49.
$200 + 49 = 249$
Таким образом, мы получили, что $x + 120 = 249$.
2. Первым действием было сложение со 120. Чтобы найти исходное число $x$, нужно из полученного результата (249) вычесть 120.
$x = 249 - 120$
$x = 129$
Проверка: $(129 + 120) - 49 = 249 - 49 = 200$.
Ответ: 129.