Страница 17 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

52. Какое число называют разностью чисел $a$ и $b$?

Разностью чисел $a$ и $b$ называют такое число, которое в сумме с числом $b$ (вычитаемым) даёт число $a$ (уменьшаемое).

Если обозначить эту разность буквой $c$, то определение можно записать в виде математического равенства:

$c + b = a$

Отсюда следует, что для нахождения разности $c$ необходимо из числа $a$ вычесть число $b$:

$c = a - b$

Например, разностью чисел 20 и 5 является число 15. Это верно, потому что при сложении разности 15 и вычитаемого 5 мы получаем уменьшаемое 20: $15 + 5 = 20$.

Ответ: Разностью чисел $a$ и $b$ называют такое число $c$, которое удовлетворяет равенству $c + b = a$. Это число находят с помощью действия вычитания: $c = a - b$.

53. В равенстве $35 - 12 = 23$ назовите уменьшаемое, вычитаемое, разность.

В предоставленном математическом равенстве $35 - 12 = 23$ необходимо определить названия его компонентов, которые используются при операции вычитания.

Уменьшаемое

Уменьшаемым называется число, из которого вычитают другое число. В данном выражении это число 35.

Ответ: 35

Вычитаемое

Вычитаемым называется число, которое вычитают из уменьшаемого. В данном выражении это число 12.

Ответ: 12

Разность

Разностью называется результат, который получается в итоге вычитания. В данном выражении это число 23.

Ответ: 23

54. Как обозначают разность чисел $a$ и $b$, если $a > b$?

Разностью двух чисел a и b называется результат, получаемый при вычитании одного числа из другого. В общем виде разность записывается как выражение, где между числами стоит знак минус «-».

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым. В выражении «разность чисел a и b» число a является уменьшаемым, а b — вычитаемым.

Таким образом, разность чисел a и b обозначается математическим выражением $a - b$.

Условие $a > b$ (a больше b) указывает на то, что из большего числа вычитается меньшее, и, следовательно, результат вычитания (разность) будет положительным числом. Это условие не меняет самого обозначения разности.

Ответ: $a - b$

55. Чему равна разность равных чисел?

Разность равных чисел всегда равна нулю. Разность — это результат вычитания одного числа из другого. Если мы вычитаем число само из себя, то есть уменьшаемое равно вычитаемому, то в результате всегда получается ноль.

Это можно выразить общей формулой. Пусть у нас есть любое число, обозначим его буквой $a$. Тогда разность этого числа и равного ему числа будет:
$a - a = 0$

Это правило действует для абсолютно любых чисел:
- Для положительных: $5 - 5 = 0$
- Для отрицательных: $(-10) - (-10) = -10 + 10 = 0$
- Для нуля: $0 - 0 = 0$
- Для дробных: $3.14 - 3.14 = 0$

Таким образом, какое бы число мы ни взяли, при вычитании его из самого себя результат будет нулевым.

Ответ: 0

56. Чему равна разность $a - 0$?

Разность $a - 0$ представляет собой операцию вычитания, где из числа $a$ (уменьшаемое) вычитается число $0$ (вычитаемое).

Согласно основному свойству вычитания, если из любого числа вычесть ноль, то число не изменится. Ноль является нейтральным элементом для операции сложения и вычитания. Это означает, что прибавление или вычитание нуля не меняет исходное значение.

Например, если $a = 5$, то $5 - 0 = 5$. Если $a = -10$, то $-10 - 0 = -10$.

Следовательно, для любого значения $a$ выполняется равенство: $a - 0 = a$

Ответ: $a$

57. Убедитесь с помощью натурального ряда, что $12 - 8 = 4$.

Натуральный ряд чисел — это последовательность всех целых положительных чисел, которые мы используем при счете, расположенных в порядке их возрастания: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...$

Чтобы выполнить вычитание $12 - 8$ с помощью натурального ряда, необходимо найти в этом ряду число $12$ и отсчитать от него $8$ чисел в обратном порядке (влево, в сторону уменьшения).

Выполним это пошагово:
Начинаем с числа $12$.
1-й шаг назад: $11$
2-й шаг назад: $10$
3-й шаг назад: $9$
4-й шаг назад: $8$
5-й шаг назад: $7$
6-й шаг назад: $6$
7-й шаг назад: $5$
8-й шаг назад: $4$
После восьми шагов назад от числа $12$ мы получаем число $4$. Это доказывает, что $12 - 8 = 4$.

Ответ: Равенство $12 - 8 = 4$ подтверждается тем, что если в натуральном ряду чисел от числа $12$ отсчитать $8$ чисел назад (в сторону уменьшения), то итоговым числом будет $4$.

58. Вычислите:

а) $40 - 30;$

б) $97 - 67;$

в) $67 - 33;$

г) $500 - 200;$

д) $200 - 108;$

е) $90 - 86;$

ж) $170 - 130;$

з) $600 - 87.$

а) Чтобы найти разность чисел 40 и 30, нужно из 4 десятков вычесть 3 десятка. В результате получается 1 десяток, то есть 10.
$40 - 30 = 10$
Ответ: 10

б) Для вычисления разности 97 и 67, можно вычитать по разрядам. Сначала вычтем единицы: $7 - 7 = 0$. Затем вычтем десятки: $90 - 60 = 30$. Результат равен 30.
$97 - 67 = 30$
Ответ: 30

в) Вычтем из 67 число 33. Сначала вычтем единицы: $7 - 3 = 4$. Затем вычтем десятки: $60 - 30 = 30$. Сложим полученные результаты: $30 + 4 = 34$.
$67 - 33 = 34$
Ответ: 34

г) Чтобы найти разность чисел 500 и 200, нужно из 5 сотен вычесть 2 сотни. В результате получаем 3 сотни, то есть 300.
$500 - 200 = 300$
Ответ: 300

д) Для вычисления разности 200 и 108, удобно вычесть сначала 100, а затем 8.
$200 - 100 = 100$
$100 - 8 = 92$
Таким образом, $200 - 108 = 92$.
Ответ: 92

е) Вычислим разность 90 и 86. Это небольшая разница, её легко посчитать.
$90 - 86 = 4$
Ответ: 4

ж) Вычтем из 170 число 130. Это то же самое, что вычесть 13 десятков из 17 десятков.
$17 \text{ десятков} - 13 \text{ десятков} = 4 \text{ десятка}$, что равно 40.
$170 - 130 = 40$
Ответ: 40

з) Чтобы вычесть 87 из 600, можно представить 600 как $599 + 1$.
$600 - 87 = (599 + 1) - 87 = 599 - 87 + 1 = 512 + 1 = 513$
Другой способ — представить 87 как $100 - 13$.
$600 - 87 = 600 - (100 - 13) = 600 - 100 + 13 = 500 + 13 = 513$
$600 - 87 = 513$
Ответ: 513

Восстановите равенство, вставив пропущенное число (59, 60):

59. а) $63 - 45 + \dots = 63;$

б) $\dots - 51 + 51 = 76;$

в) $92 - \dots + 45 = 92;$

г) $56 - \dots + \dots = 56;$

д) $(45 + 12) - \dots = 45;$

е) $(\dots + 16) - 16 = 47;$

ж) $(\dots + 73) - 31 = 73;$

з) $(72 + \dots) - \dots = 72.$

а)

В равенстве $63 - 45 + ... = 63$ мы видим, что начальное число (63) равно конечному результату. Это означает, что последующие операции (вычитание 45 и прибавление неизвестного числа) должны в сумме дать ноль. Чтобы компенсировать вычитание 45, нужно прибавить 45.

Обозначим пропущенное число как $x$:

$63 - 45 + x = 63$

Вычтем 63 из обеих частей уравнения:

$-45 + x = 0$

$x = 45$

Проверка: $63 - 45 + 45 = 18 + 45 = 63$.

Ответ: 45.

б)

В равенстве $... - 51 + 51 = 76$ мы видим, что от неизвестного числа сначала отнимают 51, а потом прибавляют 51. Операции вычитания и сложения одного и того же числа являются взаимообратными и в результате не изменяют исходное число ($-51 + 51 = 0$).

Обозначим пропущенное число как $x$:

$x - 51 + 51 = 76$

$x + 0 = 76$

$x = 76$

Проверка: $76 - 51 + 51 = 25 + 51 = 76$.

Ответ: 76.

в)

В равенстве $92 - ... + 45 = 92$ начальное число равно конечному результату. Это означает, что вычитание неизвестного числа и прибавление 45 должны в сумме дать ноль.

Обозначим пропущенное число как $x$:

$92 - x + 45 = 92$

Вычтем 92 из обеих частей уравнения:

$-x + 45 = 0$

$x = 45$

Проверка: $92 - 45 + 45 = 47 + 45 = 92$.

Ответ: 45.

г)

В равенстве $56 - ... + ... = 56$ начальное число равно конечному результату. Чтобы равенство было верным, вычитаемое и прибавляемое числа должны быть одинаковыми. Тогда они взаимно уничтожатся.

Обозначим пропущенное число как $x$. Равенство примет вид:

$56 - x + x = 56$

$56 = 56$

Это равенство верно для любого значения $x$. Значит, в оба пропуска можно вставить любое одинаковое число.

Например, вставим число 10: $56 - 10 + 10 = 46 + 10 = 56$.

Ответ: любое число, вставленное в оба пропуска. Например, 10.

д)

В равенстве $(45 + 12) - ... = 45$ мы видим, что в скобках к числу 45 прибавляется 12. Чтобы в результате снова получить 45, нужно вычесть то же самое число, которое мы прибавили, то есть 12.

Обозначим пропущенное число как $x$:

$(45 + 12) - x = 45$

$57 - x = 45$

$x = 57 - 45$

$x = 12$

Проверка: $(45 + 12) - 12 = 57 - 12 = 45$.

Ответ: 12.

е)

В равенстве $(... + 16) - 16 = 47$ к неизвестному числу сначала прибавляют 16, а затем вычитают 16. Эти две операции взаимно уничтожаются ($+16 - 16 = 0$). Следовательно, неизвестное число равно результату.

Обозначим пропущенное число как $x$:

$(x + 16) - 16 = 47$

$x + 0 = 47$

$x = 47$

Проверка: $(47 + 16) - 16 = 63 - 16 = 47$.

Ответ: 47.

ж)

Рассмотрим равенство $(... + 73) - 31 = 73$. Обозначим пропущенное число как $x$.

$(x + 73) - 31 = 73$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x + 73 - 31 = 73$

Вычтем 73 из обеих частей уравнения:

$x - 31 = 0$

$x = 31$

Проверка: $(31 + 73) - 31 = 104 - 31 = 73$.

Ответ: 31.

з)

В равенстве $(72 + ...) - ... = 72$ начальное число в скобках (72) равно конечному результату. Чтобы равенство было верным, прибавляемое и вычитаемое числа должны быть одинаковыми, так как они взаимно уничтожаются.

Обозначим пропущенное число как $x$. Равенство примет вид:

$(72 + x) - x = 72$

$72 + x - x = 72$

$72 = 72$

Это равенство верно для любого значения $x$. Значит, в оба пропуска можно вставить любое одинаковое число.

Например, вставим число 25: $(72 + 25) - 25 = 97 - 25 = 72$.

Ответ: любое число, вставленное в оба пропуска. Например, 25.

60. а) $20 + \dots = 30$;

б) $\dots + 47 = 50$;

В) $40 - \dots = 23$;

Г) $\dots - 32 = 10$.

а) В данном уравнении $20 + ... = 30$ необходимо найти неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (30) вычесть известное слагаемое (20).
$30 - 20 = 10$
Проверка: $20 + 10 = 30$.
Ответ: 10

б) В уравнении $... + 47 = 50$ также ищем неизвестное слагаемое. Для этого из суммы (50) вычитаем известное слагаемое (47).
$50 - 47 = 3$
Проверка: $3 + 47 = 50$.
Ответ: 3

в) В уравнении $40 - ... = 23$ нужно найти неизвестное вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого (40) вычесть разность (23).
$40 - 23 = 17$
Проверка: $40 - 17 = 23$.
Ответ: 17

г) В последнем уравнении $... - 32 = 10$ искомое число — это уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (10) прибавить вычитаемое (32).
$10 + 32 = 42$
Проверка: $42 - 32 = 10$.
Ответ: 42