Страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

21. Запишите все трёхзначные числа без повторения одинаковых цифр, в записи которых используются цифры:

а) 5, 6, 7;

б) 0, 1, 2.

а)

Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 5, 6 и 7 без их повторения, нужно рассмотреть все варианты расположения этих цифр. Так как все цифры отличны от нуля, любая из них может стоять на первом месте.

Это задача на нахождение числа перестановок из 3 элементов. Количество таких чисел можно найти по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$.

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Значит, всего можно составить 6 различных чисел. Перечислим их, поочередно ставя каждую из цифр на первое место:

• Если первая цифра 5, то остальные две (6 и 7) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 567, 576.
• Если первая цифра 6, то остальные две (5 и 7) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 657, 675.
• Если первая цифра 7, то остальные две (5 и 6) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 756, 765.

Ответ: 567, 576, 657, 675, 756, 765.

б)

Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 0, 1 и 2 без их повторения, нужно учесть важное правило: трёхзначное число не может начинаться с нуля.

Рассмотрим варианты для каждой позиции в числе:

• На первом месте (сотни) могут стоять только цифры 1 или 2. Таким образом, есть 2 варианта.
• На втором месте (десятки) может стоять любая из двух оставшихся цифр. Например, если на первом месте стоит 1, то на втором могут быть 0 или 2. Тоже 2 варианта.
• На третьем месте (единицы) остаётся последняя неиспользованная цифра. Всего 1 вариант.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 2 \times 1 = 4$.

Перечислим все эти числа:

• Если первая цифра 1, то остальные две (0 и 2) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 102, 120.
• Если первая цифра 2, то остальные две (0 и 1) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 201, 210.

Ответ: 102, 120, 201, 210.

22. Запишите все трёхзначные числа, в записи которых используются цифры:

a) 5, 6, 7;

б) 0, 1, 2,

если разрешается повторять одинаковые цифры в записи одного числа.

а)

Для составления трёхзначных чисел из цифр 5, 6 и 7, с условием, что цифры могут повторяться, нужно рассмотреть три разряда в числе: сотни, десятки и единицы. На каждую из этих трёх позиций можно поставить любую из трёх доступных цифр (5, 6 или 7). Таким образом, общее количество возможных чисел равно произведению вариантов для каждого разряда: $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ чисел.

Выпишем все эти числа, систематически перебирая варианты:

Числа, начинающиеся с 5: 555, 556, 557, 565, 566, 567, 575, 576, 577.

Числа, начинающиеся с 6: 655, 656, 657, 665, 666, 667, 675, 676, 677.

Числа, начинающиеся с 7: 755, 756, 757, 765, 766, 767, 775, 776, 777.

Ответ: 555, 556, 557, 565, 566, 567, 575, 576, 577, 655, 656, 657, 665, 666, 667, 675, 676, 677, 755, 756, 757, 765, 766, 767, 775, 776, 777.

б)

При составлении трёхзначных чисел из цифр 0, 1, 2, с условием, что цифры могут повторяться, необходимо учесть важное правило: трёхзначное число не может начинаться с цифры 0.

Следовательно:

– на первую позицию (сотни) можно поставить только цифру 1 или 2 (2 варианта).

– на вторую позицию (десятки) можно поставить любую из трёх цифр: 0, 1 или 2 (3 варианта).

– на третью позицию (единицы) также можно поставить любую из трёх цифр: 0, 1 или 2 (3 варианта).

Общее количество возможных чисел составляет: $2 \times 3 \times 3 = 18$ чисел.

Выпишем все эти числа:

Числа, начинающиеся с 1: 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122.

Числа, начинающиеся с 2: 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222.

Ответ: 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222.

23. a) В книге 120 страниц. Сколько цифр напечатали для нумерации страниц, начиная с третьей страницы?

б) Для нумерации страниц, начиная с третьей, использовано 169 цифр. Сколько страниц в книге?

а)

Нумерация страниц в книге начинается с 3-й и заканчивается 120-й. Чтобы подсчитать общее количество цифр, разобьем страницы на группы по количеству цифр в их номере.

1. Страницы с однозначными номерами: от 3 до 9.
Количество таких страниц: $9 - 3 + 1 = 7$ страниц.
Так как на каждый номер уходит по одной цифре, общее количество цифр для этой группы: $7 \times 1 = 7$ цифр.

2. Страницы с двузначными номерами: от 10 до 99.
Количество таких страниц: $99 - 10 + 1 = 90$ страниц.
На каждый номер уходит по две цифры, общее количество цифр для этой группы: $90 \times 2 = 180$ цифр.

3. Страницы с трехзначными номерами: от 100 до 120.
Количество таких страниц: $120 - 100 + 1 = 21$ страница.
На каждый номер уходит по три цифры, общее количество цифр для этой группы: $21 \times 3 = 63$ цифры.

4. Теперь сложим количество цифр из всех групп, чтобы найти итоговое значение.
Всего цифр: $7 + 180 + 63 = 250$ цифр.

Ответ: 250 цифр.

б)

Для нумерации страниц, начиная с третьей, использовано 169 цифр. Найдем общее количество страниц в книге.

1. Сначала определим, сколько цифр ушло на нумерацию страниц с однозначными номерами (от 3 до 9).
Количество страниц: $9 - 3 + 1 = 7$ страниц.
Количество использованных цифр: $7 \times 1 = 7$ цифр.

2. Вычтем это количество из общего, чтобы узнать, сколько цифр осталось для нумерации страниц с двузначными и более номерами.
Осталось цифр: $169 - 7 = 162$ цифры.

3. Эти оставшиеся 162 цифры были использованы для нумерации страниц, начиная с 10-й. Номера этих страниц двузначные. Каждая такая страница требует 2 цифры для нумерации.
Найдем, сколько двузначных страниц было пронумеровано: $162 / 2 = 81$ страница.

4. Итак, было пронумеровано 7 страниц с однозначными номерами и 81 страница с двузначными. Нумерация двузначных страниц начинается с 10. Последняя пронумерованная страница будет 81-й по счету в диапазоне двузначных чисел.
Номер последней страницы: $10 + (81 - 1) = 90$.

Поскольку номер последней страницы (90) является двузначным числом, наше предположение верно. Таким образом, в книге 90 страниц.

Ответ: 90 страниц.

24. Сколько раз используется каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел?

Для решения этой задачи посчитаем, сколько раз каждая из цифр от 1 до 9 встречается в разряде единиц и в разряде десятков в числах от 1 до 99. Затем сложим эти количества.

Подсчет в разряде единиц

Рассмотрим, сколько раз любая заданная цифра $d$ (где $d$ – любая цифра от 1 до 9) появляется на последнем месте в числах от 1 до 99. Это числа, оканчивающиеся на $d$.

Такими числами являются: $d, 1d, 2d, 3d, 4d, 5d, 6d, 7d, 8d, 9d$.

Например, для цифры 3 это будут числа: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Всего 10 таких чисел.

Следовательно, в разряде единиц каждая из цифр от 1 до 9 встречается ровно 10 раз.

Подсчет в разряде десятков

Теперь рассмотрим, сколько раз цифра $d$ появляется на первом месте в двузначных числах (однозначные числа не имеют разряда десятков). Это числа, у которых $d$ является цифрой десятков.

Такими числами являются: $d0, d1, d2, d3, d4, d5, d6, d7, d8, d9$.

Например, для цифры 3 это будут числа: 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39. Всего 10 таких чисел.

Следовательно, в разряде десятков каждая из цифр от 1 до 9 встречается ровно 10 раз.

Общее количество

Чтобы найти общее число использований каждой цифры от 1 до 9, сложим количество её появлений в разряде единиц и в разряде десятков.

Общее количество = (количество в разряде единиц) + (количество в разряде десятков) = $10 + 10 = 20$.

Таким образом, каждая из цифр от 1 до 9 в записи первых 99 натуральных чисел используется 20 раз.

Ответ: Каждая из цифр от 1 до 9 используется 20 раз.

25. Если в записи многозначного числа какие-либо цифры заменены буквами, то над записью числа ставят черту.

Например, запись $\overline{a5b7}$ означает, что это число содержит $a$ тысяч ($a \neq 0$), 5 сотен, $b$ десятков и 7 единиц, то есть $\overline{a5b7} = a \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + b \cdot 10 + 7$. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых числа:

а) $\overline{5b}$;

б) $\overline{ab}$;

в) $\overline{1c8}$;

г) $\overline{a9b}$;

д) $\overline{abc}$;

е) $\overline{1ab8}$;

ж) $\overline{a9b2}$;

з) $\overline{abcd}$.

а) Число $\overline{5b}$ является двузначным. Цифра 5 находится в разряде десятков, а цифра $b$ — в разряде единиц. Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно умножить каждую цифру на значение ее разряда (10 для десятков, 1 для единиц) и сложить полученные произведения.
$\overline{5b} = 5 \cdot 10 + b$.
Ответ: $5 \cdot 10 + b$.

б) Число $\overline{ab}$ является двузначным. Цифра $a$ находится в разряде десятков, а цифра $b$ — в разряде единиц.
$\overline{ab} = a \cdot 10 + b$.
Ответ: $a \cdot 10 + b$.

в) Число $\overline{1c8}$ является трехзначным. Цифра 1 находится в разряде сотен, цифра $c$ — в разряде десятков, а цифра 8 — в разряде единиц. Сумма разрядных слагаемых для этого числа:
$\overline{1c8} = 1 \cdot 100 + c \cdot 10 + 8$.
Ответ: $1 \cdot 100 + c \cdot 10 + 8$.

г) Число $\overline{a9b}$ является трехзначным. Цифра $a$ находится в разряде сотен, цифра 9 — в разряде десятков, а цифра $b$ — в разряде единиц.
$\overline{a9b} = a \cdot 100 + 9 \cdot 10 + b$.
Ответ: $a \cdot 100 + 9 \cdot 10 + b$.

д) Число $\overline{abc}$ является трехзначным. Цифра $a$ находится в разряде сотен, цифра $b$ — в разряде десятков, а цифра $c$ — в разряде единиц.
$\overline{abc} = a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$.
Ответ: $a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$.

е) Число $\overline{1ab8}$ является четырехзначным. Цифра 1 находится в разряде тысяч, цифра $a$ — в разряде сотен, цифра $b$ — в разряде десятков, а цифра 8 — в разряде единиц.
$\overline{1ab8} = 1 \cdot 1000 + a \cdot 100 + b \cdot 10 + 8$.
Ответ: $1 \cdot 1000 + a \cdot 100 + b \cdot 10 + 8$.

ж) Число $\overline{a9b2}$ является четырехзначным. Цифра $a$ находится в разряде тысяч, цифра 9 — в разряде сотен, цифра $b$ — в разряде десятков, а цифра 2 — в разряде единиц.
$\overline{a9b2} = a \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + b \cdot 10 + 2$.
Ответ: $a \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + b \cdot 10 + 2$.

з) Число $\overline{abcd}$ является четырехзначным. Цифра $a$ находится в разряде тысяч, цифра $b$ — в разряде сотен, цифра $c$ — в разряде десятков, а цифра $d$ — в разряде единиц.
$\overline{abcd} = a \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot 10 + d$.
Ответ: $a \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot 10 + d$.

26. Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете от-веты на следующие вопросы:

а) Известно, что цифры 0, 1, 2, 3, ..., которые мы использу-ем в вычислениях, называют арабскими, но придумали их не арабы. Кто придумал эти цифры?

б) Почему цифры 0, 1, 2, 3, ... называют арабскими?

а) Привычные нам цифры ($0, 1, 2, 3...$) и позиционная десятичная система счисления были изобретены в Индии, предположительно не позднее V века нашей эры. Индийские математики разработали удобную систему записи чисел, где значение цифры зависит от её положения (позиции) в числе. Ключевым нововведением стало использование символа для обозначения нуля («шунья»), что позволило легко записывать большие числа и производить сложные арифметические вычисления.
Ответ: Эти цифры были придуманы в Индии.

б) Цифры называют «арабскими», потому что европейцы познакомились с этой системой счисления через труды арабских математиков. Изначально эта система возникла в Индии. Арабский мир активно перенимал научные достижения других народов. Выдающийся учёный средневековья аль-Хорезми в IX веке подробно описал индийскую систему в своей книге «Об индийском счёте». Позже его работы были переведены на латынь, и через них Европа познакомилась с новой, очень удобной системой записи чисел. Поскольку знания пришли от арабов, европейцы и назвали цифры «арабскими», хотя сами арабы называли их «индийскими». Окончательному распространению цифр в Европе способствовал итальянский математик Фибоначчи в XIII веке.
Ответ: Цифры называют арабскими, потому что европейцы узнали о них от арабов, которые переняли и распространили эту систему, изначально созданную в Индии.