Страница 15 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

42. Запишите равенство, выражающее переместительный закон сложения. Сформулируйте этот закон.

Равенство, выражающее переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения, также известный как коммутативный закон, гласит, что сумма двух чисел не зависит от их порядка. Для любых чисел $a$ и $b$ этот закон записывается в виде следующего равенства:

$a + b = b + a$

Ответ: $a + b = b + a$.

Формулировка этого закона

Словесная формулировка переместительного закона сложения звучит так:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Это означает, что если поменять местами два числа, которые мы складываем, их сумма останется прежней.

Ответ: От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

43. Запишите равенство, выражающее сочетательный закон сложения. Сформулируйте этот закон.

Сочетательный закон сложения, также известный как закон ассоциативности, утверждает, что результат сложения трёх и более слагаемых не зависит от способа группировки этих слагаемых.

Равенство, выражающее этот закон для любых чисел $a$, $b$ и $c$, выглядит следующим образом:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Сформулировать этот закон можно так: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Ответ: Равенство, выражающее сочетательный закон сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Формулировка закона: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

44. По каким правилам складывают числа с числом 0?

Сложение чисел с числом 0 выполняется по одному из основных свойств арифметики. Это свойство определяет особую роль нуля в операции сложения. Ноль называют нейтральным элементом относительно сложения (или аддитивной единицей).

Правило звучит так:
Сумма любого числа и нуля равна самому этому числу.

Это означает, что прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. В общем виде для любого числа $a$ это правило записывается следующей формулой:
$a + 0 = a$

Так как для сложения справедлив переместительный закон (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), то также верно и:
$0 + a = a$

Это правило работает для всех видов чисел:

• Натуральные числа: $15 + 0 = 15$
• Отрицательные числа: $-8 + 0 = -8$
• Десятичные дроби: $1,25 + 0 = 1,25$
• Обыкновенные дроби: $\frac{3}{4} + 0 = \frac{3}{4}$

Ответ: При сложении любого числа с нулем в результате получается то же самое число.

45. Сложите числа:

а) $20 + 30$;

б) $33 + 67$;

в) $67 + 33$;

г) $400 + 300$;

д) $22 + 108$;

е) $95 + 6$;

ж) $170 + 130$;

з) $900 + 57$;

и) $23 + 100$.

а) Чтобы сложить 20 и 30, нужно сложить их десятки. 2 десятка плюс 3 десятка равно 5 десятков, что составляет 50.

$20 + 30 = 50$

Ответ: 50

б) Сложим числа 33 и 67. Сначала сложим единицы: $3 + 7 = 10$. Записываем 0 и запоминаем 1 десяток. Затем складываем десятки: $3 + 6 = 9$, и прибавляем запомненный десяток: $9 + 1 = 10$. Получаем 10 десятков, то есть 100.

$33 + 67 = 100$

Ответ: 100

в) Согласно переместительному свойству сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), результат будет таким же, как и в предыдущем пункте.

$67 + 33 = 33 + 67 = 100$

Ответ: 100

г) Складываем сотни: 4 сотни плюс 3 сотни равно 7 сотен, что составляет 700.

$400 + 300 = 700$

Ответ: 700

д) Сложим числа 22 и 108. Можно сложить по разрядам: единицы $2 + 8 = 10$ (0 пишем, 1 в уме), десятки $2 + 0 + 1$ (в уме) $= 3$, сотни $1$. Получается 130.

$22 + 108 = 130$

Ответ: 130

е) К 95 прибавим 6. Удобно сначала дополнить 95 до 100, взяв 5 из 6. Останется 1. Тогда $95 + 5 + 1 = 100 + 1 = 101$.

$95 + 6 = 101$

Ответ: 101

ж) Чтобы сложить 170 и 130, можно сложить десятки ($70 + 30 = 100$) и сотни ($100 + 100 = 200$), а затем сложить результаты: $100 + 200 = 300$.

$170 + 130 = 300$

Ответ: 300

з) При сложении 900 и 57 мы просто добавляем 5 десятков и 7 единиц к 9 сотням.

$900 + 57 = 957$

Ответ: 957

и) При сложении 23 и 100 мы увеличиваем количество сотен на одну.

$23 + 100 = 123$

Ответ: 123

46. Вычислите:

а) $60 + 24$;

б) $35 + 12$;

в) $57 + 13$;

г) $45 + 55$;

д) $302 + 200$;

е) $134 + 400$;

ж) $200 + 687$;

з) $132 + 450$;

и) $649 + 101$;

к) $606 + 160$;

л) $3070 + 105$;

м) $6009 + 1001$.

а) Для вычисления суммы $60 + 24$ сложим десятки с десятками и единицы с единицами. В числе 60 содержится 6 десятков и 0 единиц, а в числе 24 - 2 десятка и 4 единицы. Складываем десятки: $6 + 2 = 8$ десятков, или $80$. Складываем единицы: $0 + 4 = 4$ единицы. Суммируем полученные значения: $80 + 4 = 84$.
Ответ: 84

б) Складываем десятки: $30 + 10 = 40$. Складываем единицы: $5 + 2 = 7$. Суммируем результаты: $40 + 7 = 47$.
Ответ: 47

в) Складываем десятки: $50 + 10 = 60$. Складываем единицы: $7 + 3 = 10$. Суммируем результаты: $60 + 10 = 70$.
Ответ: 70

г) Складываем десятки: $40 + 50 = 90$. Складываем единицы: $5 + 5 = 10$. Суммируем результаты: $90 + 10 = 100$.
Ответ: 100

д) Складываем сотни: $300 + 200 = 500$. Затем добавляем оставшиеся единицы: $500 + 2 = 502$.
Ответ: 502

е) Складываем сотни: $100 + 400 = 500$. Затем добавляем оставшиеся десятки и единицы: $500 + 34 = 534$.
Ответ: 534

ж) Складываем сотни: $200 + 600 = 800$. Затем добавляем оставшиеся десятки и единицы: $800 + 87 = 887$.
Ответ: 887

з) Складываем числа поразрядно. Сотни: $100 + 400 = 500$. Десятки: $30 + 50 = 80$. Единицы: $2 + 0 = 2$. Суммируем результаты: $500 + 80 + 2 = 582$.
Ответ: 582

и) Представим $101$ как $100 + 1$. Тогда $649 + 101 = 649 + (100 + 1) = (649 + 1) + 100 = 650 + 100 = 750$.
Ответ: 750

к) Складываем числа поразрядно. Сотни: $600 + 100 = 700$. Десятки: $0 + 60 = 60$. Единицы: $6 + 0 = 6$. Суммируем результаты: $700 + 60 + 6 = 766$.
Ответ: 766

л) Складываем числа поразрядно. Тысячи: $3000$. Сотни: $0 + 100 = 100$. Десятки: $70 + 0 = 70$. Единицы: $0 + 5 = 5$. Суммируем результаты: $3000 + 100 + 70 + 5 = 3175$.
Ответ: 3175

м) Сложим тысячи: $6000 + 1000 = 7000$. Сложим единицы: $9 + 1 = 10$. Суммируем полученные результаты: $7000 + 10 = 7010$.
Ответ: 7010

47. Определите порядок выполнения действий при вычислении суммы:

а) $(725 + 48) + 809;$

б) $725 + (48 + 809).$

Для определения порядка выполнения действий в математических выражениях необходимо следовать общепринятым правилам. Основное правило гласит, что действия, заключенные в скобки, выполняются в первую очередь.

а) В выражении $(725 + 48) + 809$ порядок действий следующий:

1. Сначала выполняется действие в скобках — сложение чисел 725 и 48.
$725 + 48 = 773$

2. Затем к полученной сумме (результату первого действия) прибавляется число 809.
$773 + 809 = 1582$

Ответ: первым действием выполняется сложение в скобках $725 + 48$, вторым — сложение результата с 809. Итоговая сумма равна 1582.

б) В выражении $725 + (48 + 809)$ порядок действий также определяется скобками:

1. Сначала выполняется действие в скобках — сложение чисел 48 и 809.
$48 + 809 = 857$

2. Затем к числу 725 прибавляется полученная сумма (результат первого действия).
$725 + 857 = 1582$

Результаты в пунктах а) и б) совпадают, что является примером сочетательного свойства сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Ответ: первым действием выполняется сложение в скобках $48 + 809$, вторым — сложение 725 с полученным результатом. Итоговая сумма равна 1582.