Страница 9 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

9. Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе? Как называют эти знаки?

Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе?
Для записи натуральных чисел в десятичной системе счисления используется десять знаков. Эта система называется десятичной, потому что ее основанием является число 10. С помощью комбинации этих десяти знаков можно записать абсолютно любое число. К этим знакам относятся: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.
Ответ: 10 знаков.

Как называют эти знаки?
Знаки, используемые для записи чисел, носят название «цифры». Таким образом, знаки $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ — это арабские цифры, которые являются основой современной десятичной системы счисления.
Ответ: цифры.

10. Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего?

В десятичной системе счисления, которую мы используем для записи чисел, существует десять цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Каждое многозначное число состоит из разрядов: разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и так далее. Самый левый разряд в записи числа называется высшим (или старшим) разрядом. Например, в числе 456 высшим является разряд сотен, и в нём стоит цифра 4.

При записи многозначных чисел существует важное правило: в высшем разряде (то есть на первом месте слева) не может стоять цифра 0. Если мы напишем, например, 035, то это будет означать число 35, у которого высший разряд — десятки, а не сотни. Таким образом, в высшем разряде могут стоять только значащие цифры: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Однако во всех остальных разрядах, которые не являются высшими (разряд единиц, десятков и т.д.), может стоять любая из десяти существующих цифр, включая 0. Например, в числе 207 цифра 0 стоит в разряде десятков, а в числе 850 — в разряде единиц. Любая другая цифра от 1 до 9 также может стоять в этих разрядах.

Следовательно, в любом разряде числа, кроме высшего, могут находиться все десять цифр.

Ответ: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

11. Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа?

Высший разряд числа — это позиция самой левой значащей цифры в записи этого числа. Например, в числе 745 высший разряд — это сотни, и в нём стоит цифра 7.

В десятичной системе счисления используются десять цифр: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

В высшем разряде числа может стоять любая цифра, кроме нуля. Ноль не может быть первой цифрой в записи натурального числа, потому что в таком случае он не является значащим и не влияет на величину числа. Например, число «триста двенадцать» записывается как $312$, а не $0312$. Если бы мы написали $0312$, то это было бы то же самое число $312$, у которого высший разряд — сотни, а не тысячи.

Единственным исключением является само число ноль, которое записывается одной цифрой $0$. В этом случае эта цифра является единственной и, следовательно, стоит в высшем разряде.

Таким образом, если рассматривать все числа, включая ноль, то в высшем разряде могут стоять цифры от $1$ до $9$ (для всех чисел, кроме нуля) и цифра $0$ (только для самого числа $0$). Однако, как правило, под этим вопросом подразумевается запись натуральных чисел, для которых правило однозначно.

Следовательно, в высшем разряде числа могут стоять следующие цифры: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

Ответ: в высшем разряде числа могут стоять все цифры, кроме нуля: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$.

12. Прочитайте следующие числа:

10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000, 10 000 000.

Чтобы правильно прочитать представленные числа, необходимо определить их класс. Классы в числах определяются группами по три цифры справа налево: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и так далее. Чтение числа происходит слева направо с указанием названия класса.

• 10

  Это число состоит из 1 десятка и 0 единиц. Читается как "десять".

• 100

  Это число состоит из 1 сотни. Читается как "сто".

• 1000

  Это число состоит из 1 единицы в классе тысяч. Читается как "одна тысяча". В виде степени это можно записать как $10^3$.

• 10 000

  Это число состоит из 10 единиц в классе тысяч. Читается как "десять тысяч". В виде степени это можно записать как $10^4$.

• 100 000

  Это число состоит из 100 единиц в классе тысяч. Читается как "сто тысяч". В виде степени это можно записать как $10^5$.

• 1 000 000

  Это число состоит из 1 единицы в классе миллионов. Читается как "один миллион". В виде степени это можно записать как $10^6$.

• 10 000 000

  Это число состоит из 10 единиц в классе миллионов. Читается как "десять миллионов". В виде степени это можно записать как $10^7$.

Ответ: десять, сто, одна тысяча, десять тысяч, сто тысяч, один миллион, десять миллионов.

13. Запишите следующие числа: сто тысяч, миллион, десять тысяч, сто миллионов, миллиард, десять миллионов, сто миллиардов, десять миллиардов.

сто тысяч
Число "сто тысяч" означает 100 раз по 1000. Чтобы записать его цифрами, нужно к числу 100 дописать три нуля (количество нулей в тысяче).
$100 \times 1\,000 = 100\,000$.
Ответ: $100\,000$.

миллион
Миллион — это тысяча тысяч ($1000 \times 1000$). Он записывается как единица, за которой следуют шесть нулей.
Ответ: $1\,000\,000$.

десять тысяч
Число "десять тысяч" означает 10 раз по 1000. Чтобы записать его цифрами, нужно к числу 10 дописать три нуля.
$10 \times 1\,000 = 10\,000$.
Ответ: $10\,000$.

сто миллионов
Число "сто миллионов" означает 100 раз по миллиону ($1\,000\,000$). Для его записи нужно к числу 100 дописать шесть нулей (количество нулей в миллионе).
$100 \times 1\,000\,000 = 100\,000\,000$.
Ответ: $100\,000\,000$.

миллиард
Миллиард (также известный как биллион) — это тысяча миллионов ($1000 \times 1\,000\,000$). Он записывается как единица, за которой следуют девять нулей.
Ответ: $1\,000\,000\,000$.

десять миллионов
Число "десять миллионов" означает 10 раз по миллиону ($1\,000\,000$). Для его записи нужно к числу 10 дописать шесть нулей.
$10 \times 1\,000\,000 = 10\,000\,000$.
Ответ: $10\,000\,000$.

сто миллиардов
Число "сто миллиардов" означает 100 раз по миллиарду ($1\,000\,000\,000$). Для его записи нужно к числу 100 дописать девять нулей (количество нулей в миллиарде).
$100 \times 1\,000\,000\,000 = 100\,000\,000\,000$.
Ответ: $100\,000\,000\,000$.

десять миллиардов
Число "десять миллиардов" означает 10 раз по миллиарду ($1\,000\,000\,000$). Для его записи нужно к числу 10 дописать девять нулей.
$10 \times 1\,000\,000\,000 = 10\,000\,000\,000$.
Ответ: $10\,000\,000\,000$.

14. Запишите и прочитайте число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное;

г) семизначное.

а) двузначное

Двузначное число — это число, в записи которого используются две цифры. Например, возьмём число $57$. Первая цифра $5$ обозначает количество десятков, а вторая цифра $7$ — количество единиц.

Это число читается как «пятьдесят семь».

Ответ: $57$ — пятьдесят семь.

б) трёхзначное

Трёхзначное число — это число, состоящее из трёх цифр. Например, возьмём число $381$. Цифра $3$ обозначает количество сотен, $8$ — количество десятков, $1$ — количество единиц.

Это число читается как «триста восемьдесят один».

Ответ: $381$ — триста восемьдесят один.

в) четырёхзначное

Четырёхзначное число — это число, состоящее из четырёх цифр. Например, возьмём число $4\ 506$. Для удобства чтения большие числа разбивают на классы по три цифры справа налево. В данном числе $4$ — это единицы тысяч, $5$ — сотни, $0$ — десятки, $6$ — единицы.

Это число читается как «четыре тысячи пятьсот шесть».

Ответ: $4\ 506$ — четыре тысячи пятьсот шесть.

г) семизначное

Семизначное число — это число, состоящее из семи цифр. Например, возьмём число $2\ 719\ 345$. Это число имеет два класса: класс миллионов и класс тысяч, а также разряды сотен, десятков и единиц. $2$ — единицы миллионов, $719$ — единицы тысяч, $345$ — единицы.

Это число читается как «два миллиона семьсот девятнадцать тысяч триста сорок пять».

Ответ: $2\ 719\ 345$ — два миллиона семьсот девятнадцать тысяч триста сорок пять.

15. Запишите первое и последнее в натуральном ряду число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное.

а) двузначное;
Чтобы найти первое (наименьшее) двузначное натуральное число, нужно рассмотреть числа, следующие за однозначными. Ряд однозначных натуральных чисел заканчивается на $9$. Следующее за ним число — $10$. Оно состоит из двух цифр, следовательно, $10$ — это первое двузначное число.
Чтобы найти последнее (наибольшее) двузначное число, нужно найти число, перед которым стоит первое трёхзначное число. Первое трёхзначное число — это $100$. Число, предшествующее $100$, — это $99$. Оно состоит из двух цифр, значит, $99$ — это последнее двузначное число.
Ответ: $10$ и $99$.

б) трёхзначное;
Первое трёхзначное натуральное число следует сразу за последним двузначным числом ($99$). Таким образом, первое трёхзначное число — это $100$.
Последнее трёхзначное число — это наибольшее число, состоящее из трёх цифр. Это число $999$, так как следующее за ним число, $1000$, уже является четырёхзначным.
Ответ: $100$ и $999$.

в) четырёхзначное.
Первое четырёхзначное натуральное число следует сразу за последним трёхзначным числом ($999$). Следовательно, первое четырёхзначное число — это $1000$.
Последнее четырёхзначное число — это наибольшее число, которое можно записать с помощью четырёх цифр. Это число $9999$, так как следующее за ним число, $10000$, уже является пятизначным.
Ответ: $1000$ и $9999$.

16. Сколько натуральных чисел:

а) однозначных;

б) двузначных;

в) трёхзначных?

а) однозначных

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов: 1, 2, 3, 4 и так далее. Однозначные натуральные числа — это те, которые записываются одной цифрой. К ним относятся числа от 1 до 9.
Перечислим их: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Всего таких чисел 9.

Ответ: 9.

б) двузначных

Двузначные натуральные числа — это числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, можно из общего количества натуральных чисел до 99 вычесть количество однозначных чисел.
$99 - 9 = 90$.
Другой способ — найти количество чисел в ряду от 10 до 99. Для этого из последнего числа вычитаем первое и прибавляем единицу:
$99 - 10 + 1 = 89 + 1 = 90$.
Ещё один способ рассуждения: первая цифра двузначного числа может быть любой из девяти цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), а вторая — любой из десяти (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Следовательно, общее количество двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой цифры:
$9 \times 10 = 90$.

Ответ: 90.

в) трёхзначных

Трёхзначные натуральные числа — это числа от 100 до 999 включительно.
Для нахождения их количества можно из общего количества натуральных чисел до 999 вычесть все однозначные и двузначные числа (то есть 99 чисел).
$999 - 99 = 900$.
Также можно использовать формулу для нахождения количества чисел в ряду от 100 до 999:
$999 - 100 + 1 = 899 + 1 = 900$.
Комбинаторный способ: первая цифра может быть любой из 9 цифр (от 1 до 9), вторая — любой из 10 (от 0 до 9), третья — также любой из 10. Общее количество трёхзначных чисел:
$9 \times 10 \times 10 = 900$.

Ответ: 900.

17. В записи каждого из чисел назовите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч и т. д.

а) 123;

б) 1240;

в) 102;

г) 4397;

д) 13 487 905;

е) 2 000 009.

а)
Для числа 123:
Цифра в разряде единиц: 3.
Цифра в разряде десятков: 2.
Цифра в разряде сотен: 1.
Ответ: 3 - единицы, 2 - десятки, 1 - сотни.

б)
Для числа 1240:
Цифра в разряде единиц: 0.
Цифра в разряде десятков: 4.
Цифра в разряде сотен: 2.
Цифра в разряде тысяч: 1.
Ответ: 0 - единицы, 4 - десятки, 2 - сотни, 1 - тысячи.

в)
Для числа 102:
Цифра в разряде единиц: 2.
Цифра в разряде десятков: 0.
Цифра в разряде сотен: 1.
Ответ: 2 - единицы, 0 - десятки, 1 - сотни.

г)
Для числа 4397:
Цифра в разряде единиц: 7.
Цифра в разряде десятков: 9.
Цифра в разряде сотен: 3.
Цифра в разряде тысяч: 4.
Ответ: 7 - единицы, 9 - десятки, 3 - сотни, 4 - тысячи.

д)
Для числа 13 487 905:
Цифра в разряде единиц: 5.
Цифра в разряде десятков: 0.
Цифра в разряде сотен: 9.
Цифра в разряде тысяч: 7.
Цифра в разряде десятков тысяч: 8.
Цифра в разряде сотен тысяч: 4.
Цифра в разряде миллионов: 3.
Цифра в разряде десятков миллионов: 1.
Ответ: 5 - единицы, 0 - десятки, 9 - сотни, 7 - тысячи, 8 - десятки тысяч, 4 - сотни тысяч, 3 - миллионы, 1 - десятки миллионов.

е)
Для числа 2 000 009:
Цифра в разряде единиц: 9.
Цифра в разряде десятков: 0.
Цифра в разряде сотен: 0.
Цифра в разряде тысяч: 0.
Цифра в разряде десятков тысяч: 0.
Цифра в разряде сотен тысяч: 0.
Цифра в разряде миллионов: 2.
Ответ: 9 - единицы, 0 - десятки, 0 - сотни, 0 - тысячи, 0 - десятки тысяч, 0 - сотни тысяч, 2 - миллионы.

18. Запишите число, состоящее из:

а) 1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 5 единиц;

б) 5 десятков тысяч, 9 тысяч, 7 сотен и 4 единиц;

в) 8 сотен и 6 десятков;

г) 7 сотен тысяч и 3 десятков.

а) Чтобы записать число, состоящее из 1 тысячи, 2 сотен, 3 десятков и 5 единиц, нужно сложить значения этих разрядов. Это можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

$1 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 1000 + 200 + 30 + 5 = 1235$

Либо можно просто расставить цифры по своим разрядам: 1 в разряде тысяч, 2 в разряде сотен, 3 в разряде десятков и 5 в разряде единиц, что дает число 1235.

Ответ: 1235

б) Чтобы записать число, состоящее из 5 десятков тысяч, 9 тысяч, 7 сотен и 4 единиц, сложим значения разрядов. Обратим внимание, что разряд десятков не указан, значит, на его месте стоит 0.

$5 \cdot 10000 + 9 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 4 \cdot 1 = 50000 + 9000 + 700 + 0 + 4 = 59704$

Цифры по разрядам: 5 в разряде десятков тысяч, 9 в разряде тысяч, 7 в разряде сотен, 0 в разряде десятков и 4 в разряде единиц. Получается число 59704.

Ответ: 59704

в) Чтобы записать число, состоящее из 8 сотен и 6 десятков, сложим значения разрядов. Разряд единиц не указан, поэтому на его месте стоит 0.

$8 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + 0 \cdot 1 = 800 + 60 + 0 = 860$

Цифры по разрядам: 8 в разряде сотен, 6 в разряде десятков, 0 в разряде единиц. Получается число 860.

Ответ: 860

г) Чтобы записать число, состоящее из 7 сотен тысяч и 3 десятков, сложим значения разрядов. Разряды десятков тысяч, тысяч, сотен и единиц не указаны, значит, на их местах стоят нули.

$7 \cdot 100000 + 0 \cdot 10000 + 0 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 0 \cdot 1 = 700000 + 30 = 700030$

Цифры по разрядам: 7 в разряде сотен тысяч, 0 в разряде десятков тысяч, 0 в разряде тысяч, 0 в разряде сотен, 3 в разряде десятков и 0 в разряде единиц. Получается число 700030.

Ответ: 700030

19. Прочитайте следующие числа, запишите их в виде суммы разрядных слагаемых:

а) 48; $48 = 40 + 8$

б) 159; $159 = 100 + 50 + 9$

в) 2945; $2945 = 2000 + 900 + 40 + 5$

г) 34 196; $34196 = 30000 + 4000 + 100 + 90 + 6$

д) 102; $102 = 100 + 2$

е) 150; $150 = 100 + 50$

ж) 4067; $4067 = 4000 + 60 + 7$

з) 10 504; $10504 = 10000 + 500 + 4$

и) 6401; $6401 = 6000 + 400 + 1$

к) 5060; $5060 = 5000 + 60$

л) 12 007; $12007 = 10000 + 2000 + 7$

м) 104 090. $104090 = 100000 + 4000 + 90$

Чтобы записать число в виде суммы разрядных слагаемых, нужно разложить его на составляющие, каждая из которых представляет значение одной из его цифр в соответствующем разряде (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.). Разряды, в которых стоит цифра 0, в сумму не записываются.

а) Число 48 состоит из 4 десятков (40) и 8 единиц (8).
Ответ: $40 + 8$.

б) Число 159 состоит из 1 сотни (100), 5 десятков (50) и 9 единиц (9).
Ответ: $100 + 50 + 9$.

в) Число 2945 состоит из 2 тысяч (2000), 9 сотен (900), 4 десятков (40) и 5 единиц (5).
Ответ: $2000 + 900 + 40 + 5$.

г) Число 34 196 состоит из 3 десятков тысяч (30000), 4 тысяч (4000), 1 сотни (100), 9 десятков (90) и 6 единиц (6).
Ответ: $30000 + 4000 + 100 + 90 + 6$.

д) Число 102 состоит из 1 сотни (100) и 2 единиц (2).
Ответ: $100 + 2$.

е) Число 150 состоит из 1 сотни (100) и 5 десятков (50).
Ответ: $100 + 50$.

ж) Число 4067 состоит из 4 тысяч (4000), 6 десятков (60) и 7 единиц (7).
Ответ: $4000 + 60 + 7$.

з) Число 10 504 состоит из 1 десятка тысяч (10000), 5 сотен (500) и 4 единиц (4).
Ответ: $10000 + 500 + 4$.

и) Число 6401 состоит из 6 тысяч (6000), 4 сотен (400) и 1 единицы (1).
Ответ: $6000 + 400 + 1$.

к) Число 5060 состоит из 5 тысяч (5000) и 6 десятков (60).
Ответ: $5000 + 60$.

л) Число 12 007 состоит из 1 десятка тысяч (10000), 2 тысяч (2000) и 7 единиц (7).
Ответ: $10000 + 2000 + 7$.

м) Число 104 090 состоит из 1 сотни тысяч (100000), 4 тысяч (4000) и 9 десятков (90).
Ответ: $100000 + 4000 + 90$.

20. Запишите числа:

а) $320$

б) $130050$

в) $208024$

г) $2003000$

д) $11000012$

а) Чтобы записать число "триста двадцать", необходимо разбить его на составляющие. "Триста" соответствует числу $300$ (три сотни), а "двадцать" — числу $20$ (два десятка). Сложив эти части, получаем итоговое число: $300 + 20 = 320$.

Ответ: 320

б) Число "сто тридцать тысяч пятьдесят" состоит из двух классов: тысяч и единиц. "Сто тридцать тысяч" означает $130$ в классе тысяч, что равно $130 000$. "Пятьдесят" означает $50$ в классе единиц. Так как в классе единиц не указано количество сотен, на этом месте ставится ноль (получается $050$). Таким образом, полное число является суммой этих частей: $130 000 + 50 = 130 050$.

Ответ: 130 050

в) В числе "двести восемь тысяч двадцать четыре" выделяем класс тысяч и класс единиц. "Двести восемь тысяч" — это $208$ в классе тысяч, что равно $208 000$. "Двадцать четыре" — это $24$ в классе единиц. В разряде сотен класса единиц ничего не указано, поэтому там будет ноль ($024$). Складываем части: $208 000 + 24 = 208 024$.

Ответ: 208 024

г) Число "два миллиона три тысячи" состоит из трех классов: миллионов, тысяч и единиц. "Два миллиона" — это $2$ в классе миллионов ($2 000 000$). "Три тысячи" — это $3$ в классе тысяч. Поскольку класс тысяч должен содержать три цифры, мы записываем его как $003$ ($3 000$). Класс единиц не упоминается, поэтому он состоит из трех нулей ($000$). Соединив все классы, получаем: $2 000 000 + 3 000 + 0 = 2 003 000$.

Ответ: 2 003 000

д) В числе "одиннадцать миллионов двенадцать" также три класса. "Одиннадцать миллионов" — это $11$ в классе миллионов ($11 000 000$). Класс тысяч не упоминается, значит, он состоит из трех нулей ($000$). "Двенадцать" — это $12$ в классе единиц. В разряде сотен класса единиц ставим ноль, получая $012$. Складываем все части вместе: $11 000 000 + 0 + 12 = 11 000 012$.

Ответ: 11 000 012