Номер 21, страница 10 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

21. Запишите все трёхзначные числа без повторения одинаковых цифр, в записи которых используются цифры:

а) 5, 6, 7;

б) 0, 1, 2.

а)

Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 5, 6 и 7 без их повторения, нужно рассмотреть все варианты расположения этих цифр. Так как все цифры отличны от нуля, любая из них может стоять на первом месте.

Это задача на нахождение числа перестановок из 3 элементов. Количество таких чисел можно найти по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$.

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Значит, всего можно составить 6 различных чисел. Перечислим их, поочередно ставя каждую из цифр на первое место:

• Если первая цифра 5, то остальные две (6 и 7) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 567, 576.
• Если первая цифра 6, то остальные две (5 и 7) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 657, 675.
• Если первая цифра 7, то остальные две (5 и 6) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 756, 765.

Ответ: 567, 576, 657, 675, 756, 765.

б)

Чтобы составить все возможные трёхзначные числа из цифр 0, 1 и 2 без их повторения, нужно учесть важное правило: трёхзначное число не может начинаться с нуля.

Рассмотрим варианты для каждой позиции в числе:

• На первом месте (сотни) могут стоять только цифры 1 или 2. Таким образом, есть 2 варианта.
• На втором месте (десятки) может стоять любая из двух оставшихся цифр. Например, если на первом месте стоит 1, то на втором могут быть 0 или 2. Тоже 2 варианта.
• На третьем месте (единицы) остаётся последняя неиспользованная цифра. Всего 1 вариант.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $2 \times 2 \times 1 = 4$.

Перечислим все эти числа:

• Если первая цифра 1, то остальные две (0 и 2) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 102, 120.
• Если первая цифра 2, то остальные две (0 и 1) можно расположить двумя способами. Получаем числа: 201, 210.

Ответ: 102, 120, 201, 210.