Страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

27. Объясните, почему из $a < b$ и $b < c$ следует, что $a < c$.

Утверждение, что из $a < b$ и $b < c$ следует $a < c$, является фундаментальным свойством числовых неравенств и называется свойством транзитивности. Его можно доказать строго.

Доказательство основывается на определении знака "меньше". Неравенство $a < b$ означает, что разность $b - a$ является положительным числом, то есть $b - a > 0$. Аналогично, неравенство $b < c$ означает, что разность $c - b$ является положительным числом, то есть $c - b > 0$.

Наша цель — доказать, что $a < c$. Это будет правдой, если мы докажем, что разность $c - a$ является положительным числом. Рассмотрим эту разность. Мы можем представить её, используя известные нам величины: $c - a = (c - b) + (b - a)$.

Мы видим, что разность $c - a$ является суммой двух чисел: $(c - b)$ и $(b - a)$. Мы уже установили, что оба этих числа положительные. Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $c - a > 0$.

Поскольку разность $c - a$ положительна, это по определению означает, что $a < c$.

Это свойство также можно легко представить на числовой прямой. Если точка $a$ находится левее точки $b$, а точка $b$ — левее точки $c$, то очевидно, что точка $a$ будет находиться левее точки $c$.

Ответ: Данное утверждение следует из свойства транзитивности. Если $a < b$, то разность $b-a$ положительна. Если $b < c$, то разность $c-b$ положительна. Сумма этих положительных разностей $(b-a) + (c-b) = c-a$ также будет положительной, что доказывает неравенство $a < c$.

28. Какое число называют положительным?

Положительным числом называется любое действительное число, которое строго больше нуля. На координатной прямой все положительные числа находятся справа от точки отсчёта (нуля). Например, числа 5, 12, 0.7, $\frac{1}{3}$, $\sqrt{2}$, $\pi$ являются положительными.

При записи положительных чисел знак «плюс» (+) перед ними, как правило, опускают. Например, пишут 7 вместо +7.

Математически условие того, что число a является положительным, записывается в виде неравенства: $a > 0$.

Важно отметить, что число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом. Все действительные числа делятся на три множества: положительные числа, отрицательные числа и число ноль.

Ответ: Положительное число — это число, которое больше нуля.

29. Является ли нуль положительным числом?

Нет, нуль не является положительным числом. Он также не является и отрицательным. В математике множество всех действительных чисел принято делить на три непересекающихся подмножества: положительные числа (все числа, что строго больше нуля, $x > 0$), отрицательные числа (все числа, что строго меньше нуля, $x < 0$) и сам нуль (0).

На числовой оси нуль выступает в роли точки отсчета, которая разделяет положительные и отрицательные числа. Все, что находится справа от нуля, — положительно, а слева — отрицательно. Сам нуль является границей и не принадлежит ни к одной из этих двух групп.

Однако важно не путать понятия "положительное число" и "неотрицательное число". Нуль входит в множество неотрицательных чисел, то есть чисел, которые больше или равны нулю ($x \ge 0$). Также он входит в множество неположительных чисел ($x \le 0$).

Таким образом, нуль — это особое число, которое не имеет знака.

Ответ: Нет, нуль не является положительным числом.

30. Существует ли целое число, меньшее любого натурального числа?

Да, такое целое число существует. Давайте разберемся почему.

Множество натуральных чисел, обозначаемое как $N$, — это числа, которые мы используем для счета: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Самое маленькое натуральное число — это 1.

Множество целых чисел, обозначаемое как $Z$, включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Нам нужно найти целое число $x$, которое будет меньше любого натурального числа $n$. Это означает, что для любого $n \in N$ должно выполняться неравенство $x < n$.

Поскольку наименьшее натуральное число — это 1, нам достаточно найти целое число, которое меньше 1. Любое такое число автоматически будет меньше всех остальных натуральных чисел (2, 3, 4 и т.д.).

Рассмотрим число 0. Оно является целым. Сравним его с любым натуральным числом $n$: так как $n$ всегда больше или равно 1 ($n \ge 1$), то неравенство $0 < n$ всегда будет верным.

Также можно взять любое отрицательное целое число, например, $-1$, $-5$, $-100$. Все они меньше 1, а значит, и меньше любого натурального числа.

Таким образом, все целые числа, которые не являются натуральными (то есть 0 и все отрицательные целые числа), меньше любого натурального числа.

Ответ: Да, существует. Например, число 0 или любое отрицательное целое число.

31. Прочитайте неравенство:

а) $1 < 2$;

б) $7 < 10$;

в) $11 < 23$;

г) $12 > 4$;

д) $26 > 21$;

е) $123 < 132$.

а) В неравенстве $1 < 2$ используется знак «<», который читается как «меньше». Это означает, что число, стоящее слева от знака (1), меньше числа, стоящего справа (2). Следовательно, неравенство читается: «один меньше двух».

Ответ: один меньше двух.

б) В неравенстве $7 < 10$ используется знак «<», который читается как «меньше». Это означает, что число слева (7) меньше числа справа (10). Следовательно, неравенство читается: «семь меньше десяти».

Ответ: семь меньше десяти.

в) В неравенстве $11 < 23$ используется знак «<», который читается как «меньше». Это означает, что число слева (11) меньше числа справа (23). Следовательно, неравенство читается: «одиннадцать меньше двадцати трех».

Ответ: одиннадцать меньше двадцати трех.

г) В неравенстве $12 > 4$ используется знак «>», который читается как «больше». Это означает, что число, стоящее слева от знака (12), больше числа, стоящего справа (4). Следовательно, неравенство читается: «двенадцать больше четырех».

Ответ: двенадцать больше четырех.

д) В неравенстве $26 > 21$ используется знак «>», который читается как «больше». Это означает, что число слева (26) больше числа справа (21). Следовательно, неравенство читается: «двадцать шесть больше двадцати одного».

Ответ: двадцать шесть больше двадцати одного.

е) В неравенстве $123 < 132$ используется знак «<», который читается как «меньше». Это означает, что число слева (123) меньше числа справа (132). Следовательно, неравенство читается: «сто двадцать три меньше ста тридцати двух».

Ответ: сто двадцать три меньше ста тридцати двух.

32. Запишите неравенство:

a) $3 > 1$

б) $121 < 203$

в) $17 > 16$

г) $28 < 31$

д) $100 > 31$

е) $15 < 1500$

а)

Чтобы записать утверждение "3 больше 1" в виде математического неравенства, используется знак "больше", который обозначается символом "$>$". Неравенство будет иметь вид: сначала пишется большее число (3), затем знак "$>$", а после него — меньшее число (1).

Ответ: $3 > 1$

б)

Для записи утверждения "121 меньше 203" используется знак "меньше", который обозначается символом "$<$". Неравенство записывается следующим образом: сначала пишется меньшее число (121), затем знак "$<$", а после него — большее число (203).

Ответ: $121 < 203$

в)

Утверждение "17 больше 16" означает, что 17 является большим числом. Это записывается с помощью знака "$>$". Большее число (17) ставится слева от знака, а меньшее (16) — справа.

Ответ: $17 > 16$

г)

Утверждение "28 меньше 31" означает, что 28 является меньшим числом. Это записывается с помощью знака "$<$". Меньшее число (28) ставится слева от знака, а большее (31) — справа.

Ответ: $28 < 31$

д)

Чтобы записать, что 100 больше 31, используется знак "$>$". Неравенство будет выглядеть так: $100$ с левой стороны от знака, а $31$ — с правой.

Ответ: $100 > 31$

е)

Чтобы записать, что 15 меньше 1500, используется знак "$<$". Неравенство будет выглядеть так: $15$ с левой стороны от знака, а $1500$ — с правой.

Ответ: $15 < 1500$

33. Верно ли поставлены знаки сравнения:

а) $123 > 121$;

б) $1000 < 100$;

в) $14376 > 13999$;

г) $377551 < 37751$;

д) $105987 > 105978$;

е) $756453 < 756454?`$

а) Чтобы сравнить числа $123$ и $121$, сравним их разряды, начиная со старшего (слева направо). Цифры в разрядах сотен и десятков у них совпадают. В разряде единиц у числа $123$ стоит цифра $3$, а у числа $121$ — цифра $1$. Так как $3 > 1$, то и $123 > 121$. Знак сравнения поставлен верно.
Ответ: Верно.

б) Чтобы сравнить числа $1000$ и $100$, посмотрим на количество цифр в каждом. Число $1000$ — четырехзначное, а число $100$ — трехзначное. Любое четырехзначное число больше любого трехзначного. Следовательно, правильное сравнение: $1000 > 100$. В задании указано $1000 < 100$, что неверно.
Ответ: Неверно.

в) Сравниваем числа $14\;376$ и $13\;999$. Оба числа пятизначные. Сравниваем цифры в старшем разряде, где они различаются. В разряде тысяч у числа $14\;376$ стоит цифра $4$, а у числа $13\;999$ — цифра $3$. Так как $4 > 3$, то число $14\;376$ больше числа $13\;999$. Знак сравнения $14\;376 > 13\;999$ поставлен верно.
Ответ: Верно.

г) Сравниваем число $377\;551$ (шестизначное) и число $37\;751$ (пятизначное). Любое шестизначное число всегда больше любого пятизначного. Следовательно, $377\;551 > 37\;751$. В задании указано $377\;551 < 37\;751$, что неверно.
Ответ: Неверно.

д) Сравниваем числа $105\;987$ и $105\;978$. Оба числа шестизначные. Сравниваем их разряды слева направо. Первые четыре цифры ($1, 0, 5, 9$) совпадают. В разряде десятков у числа $105\;987$ стоит цифра $8$, а у числа $105\;978$ — цифра $7$. Так как $8 > 7$, то $105\;987 > 105\;978$. Знак сравнения поставлен верно.
Ответ: Верно.

е) Сравниваем числа $756\;453$ и $756\;454$. Оба числа шестизначные. Сравниваем их разряды слева направо. Первые пять цифр ($7, 5, 6, 4, 5$) совпадают. В разряде единиц у числа $756\;453$ стоит цифра $3$, а у числа $756\;454$ — цифра $4$. Так как $3 < 4$, то $756\;453 < 756\;454$. Знак сравнения поставлен верно.
Ответ: Верно.