Страница 6 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

1. a) Назовите 15 первых натуральных чисел.

б) Считают ли число нуль натуральным числом?

а) Натуральные числа — это числа, возникающие естественным образом при счёте предметов. Счёт начинается с единицы. Таким образом, ряд натуральных чисел представляет собой последовательность: 1, 2, 3, 4, и так далее, где каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Первые 15 натуральных чисел — это числа от 1 до 15 включительно.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

б) В математике существуют два основных подхода к определению натуральных чисел. В большинстве стран, в том числе в рамках российской школьной программы, натуральными числами считают числа, используемые при счёте (перечислении) предметов: $1, 2, 3, \dots$ . Согласно этому подходу, ноль (0) не является натуральным числом, так как он обозначает отсутствие предметов и не используется в процессе счёта. Ноль является целым числом. В некоторых разделах высшей математики (например, в теории множеств) и в работах некоторых зарубежных математических школ к множеству натуральных чисел относят и ноль, но это является специальным соглашением. В общепринятом школьном определении ноль не натуральное число.
Ответ: Нет, число нуль не считают натуральным числом.

2. Есть ли в натуральном ряду:

а) первое число;

б) последнее число?

а) первое число
Натуральный ряд — это последовательность чисел, которые мы используем при счете: $1, 2, 3, 4, \dots$ и так далее до бесконечности. По определению, этот ряд начинается с числа $1$. Число $1$ является наименьшим натуральным числом, и не существует натурального числа, которое ему предшествует. Таким образом, в натуральном ряду есть первое число.
Ответ: да, в натуральном ряду есть первое число — это $1$.

б) последнее число
Множество натуральных чисел является бесконечным. Это означает, что для любого натурального числа $n$, каким бы большим оно ни было, всегда можно найти следующее, еще большее число, прибавив к нему единицу: $n+1$. Поскольку этот процесс можно продолжать неограниченно, не существует самого большого, или "последнего", натурального числа. Ряд натуральных чисел не имеет конца.
Ответ: нет, в натуральном ряду последнего числа не существует.

3. У каждого ли числа в натуральном ряду есть:

а) последующее число;

б) предшествующее число?

а) последующее число

Натуральный ряд чисел — это последовательность $1, 2, 3, 4, ...$ и так далее до бесконечности. Это означает, что у него нет последнего числа. Для любого натурального числа $n$, мы всегда можем найти следующее за ним, или последующее, число, просто прибавив к нему единицу. Это число будет равно $n + 1$. Так как к любому, даже самому большому, натуральному числу можно прибавить 1 и получить следующее натуральное число, то у каждого числа в натуральном ряду есть последующее число.
Ответ: Да, у каждого числа в натуральном ряду есть последующее число.

б) предшествующее число

Предшествующее число для натурального числа $n$ можно найти, вычтя из него единицу: $n - 1$. Для большинства чисел это работает. Например, для числа 10 предшествующим будет $10 - 1 = 9$, для числа 2 предшествующим будет $2 - 1 = 1$. Однако натуральный ряд начинается с числа 1. Если мы попытаемся найти предшествующее для числа 1, мы получим $1 - 1 = 0$. Число 0 не входит в ряд натуральных чисел. Таким образом, у самого первого натурального числа, единицы, нет предшествующего числа в натуральном ряду. Поскольку есть одно исключение, мы не можем сказать, что у каждого числа есть предшествующее.
Ответ: Нет, не у каждого. У числа 1 нет предшествующего числа в натуральном ряду.

4. а) Назовите число, которое следует в натуральном ряду за числом: 13, 276, 3590, 999 999.

б) Назовите число, которое предшествует в натуральном ряду числу: 2, 74, 100, 3050, 438 109, 1 000 000.

а)

Чтобы найти число, которое следует в натуральном ряду за данным числом, необходимо к исходному числу прибавить единицу.

За числом 13 следует число: $13 + 1 = 14$
За числом 276 следует число: $276 + 1 = 277$
За числом 3590 следует число: $3590 + 1 = 3591$
За числом 999 999 следует число: $999 999 + 1 = 1 000 000$

Ответ: 14, 277, 3591, 1 000 000.

б)

Чтобы найти число, которое предшествует в натуральном ряду данному числу, необходимо от исходного числа отнять единицу.

Числу 2 предшествует число: $2 - 1 = 1$
Числу 74 предшествует число: $74 - 1 = 73$
Числу 100 предшествует число: $100 - 1 = 99$
Числу 3050 предшествует число: $3050 - 1 = 3049$
Числу 438 109 предшествует число: $438 109 - 1 = 438 108$
Числу 1 000 000 предшествует число: $1 000 000 - 1 = 999 999$

Ответ: 1, 73, 99, 3049, 438 108, 999 999.

5. Сколько чисел в натуральном ряду:

а) от 1 до 29;

б) от 1 до 38;

в) от 30 до 38;

г) от 100 до 125?

Чтобы найти количество натуральных чисел в промежутке от $a$ до $b$ (включая оба числа), используется общая формула: $N = b - a + 1$, где $N$ — искомое количество чисел, $b$ — конечное число, а $a$ — начальное число.

а) Для промежутка от 1 до 29, где $a=1$ и $b=29$, количество чисел составляет:

$29 - 1 + 1 = 29$.

Когда ряд натуральных чисел начинается с 1, их количество всегда равно последнему числу в ряду.

Ответ: 29.

б) Для промежутка от 1 до 38, где $a=1$ и $b=38$, количество чисел составляет:

$38 - 1 + 1 = 38$.

Ответ: 38.

в) Для промежутка от 30 до 38, где $a=30$ и $b=38$, применяем формулу:

$38 - 30 + 1 = 8 + 1 = 9$.

Ответ: 9.

г) Для промежутка от 100 до 125, где $a=100$ и $b=125$, вычисляем по формуле:

$125 - 100 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Ответ: 26.

6. Сколько чисел в натуральном ряду между числами:

а) 1 и 29;

б) 1 и 38;

в) 30 и 38;

г) 100 и 125?

Для нахождения количества натуральных чисел, расположенных между двумя заданными натуральными числами, необходимо из большего числа вычесть меньшее, а затем из полученной разности вычесть единицу. Если обозначить данные числа как $a$ и $b$, где $b > a$, то количество чисел между ними равно $b - a - 1$.

а) Найдём количество натуральных чисел между 1 и 29.

Применим указанное правило:

$29 - 1 - 1 = 27$

Таким образом, между числами 1 и 29 находится 27 натуральных чисел.

Ответ: 27

б) Найдём количество натуральных чисел между 1 и 38.

Выполним вычисления по той же формуле:

$38 - 1 - 1 = 36$

Между числами 1 и 38 находится 36 натуральных чисел.

Ответ: 36

в) Найдём количество натуральных чисел между 30 и 38.

Вычислим:

$38 - 30 - 1 = 7$

Для проверки можно перечислить эти числа: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37. Их действительно 7.

Ответ: 7

г) Найдём количество натуральных чисел между 100 и 125.

Выполним вычисления:

$125 - 100 - 1 = 24$

Между числами 100 и 125 находится 24 натуральных числа.

Ответ: 24

7. Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете ответы на следующие вопросы:

а) От какого слова происходит слово «арифметика»?

б) Что изучает арифметика?

в) В какое время и где жил Диофант — автор наиболее известного в древние времена учебника «Арифметика»?

г) В каком году вышло первое издание известного в России учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого?

д) В каких странах число нуль считают натуральным числом?

а) От какого слова происходит слово «арифметика»?
Слово «арифметика» происходит от древнегреческого слова ἀριθμητική (аритметика), которое, в свою очередь, образовано от ἀριθμός (аритмос), что означает «число». Таким образом, арифметика дословно переводится как «искусство счёта» или «наука о числах».
Ответ: Слово «арифметика» происходит от древнегреческого слова ἀριθμός, означающего «число».

б) Что изучает арифметика?
Арифметика — это раздел математики, который изучает числа, их свойства и отношения, а также арифметические операции над ними. К основным операциям относятся сложение, вычитание, умножение и деление. Арифметика является основой для других, более сложных разделов математики.
Ответ: Арифметика изучает числа, их свойства и операции над ними.

в) В какое время и где жил Диофант — автор наиболее известного в древние времена учебника «Арифметика»?
Диофант Александрийский — древнегреческий математик. Точные годы его жизни неизвестны, но историки полагают, что он жил и работал в Александрии (Египет) примерно в III веке нашей эры. Его главный труд, «Арифметика», состоял из 13 книг, из которых до нашего времени сохранилось только шесть.
Ответ: Диофант жил приблизительно в III веке нашей эры в городе Александрия (Египет).

г) В каком году вышло первое издание известного в России учебника «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого?
Первое издание учебника «Арифметика, сиречь наука числительная…» Леонтия Филипповича Магницкого, который стал первым печатным учебником по математике в России, было издано в Москве в январе 1703 года по указу Петра I.
Ответ: Первое издание вышло в 1703 году.

д) В каких странах число нуль считают натуральным числом?
Вопрос о том, является ли нуль натуральным числом, является предметом соглашения в математике, а не абсолютной истины. Существуют два основных подхода:
1. Множество натуральных чисел начинается с 1: $N = \{1, 2, 3, \dots\}$. Этот подход традиционен для российской и многих других европейских школьных программ, а также в области теории чисел.
2. Множество натуральных чисел начинается с 0: $N_0 = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$. Этот подход распространён в трудах французской математической школы (в частности, группы Бурбаки), а также в таких областях, как теория множеств, математическая логика и информатика. Международный стандарт ISO 80000-2 также включает 0 в множество натуральных чисел. Поэтому в странах, где сильна традиция школы Бурбаки (например, во Франции), а также в научной литературе по указанным дисциплинам, нуль принято считать натуральным числом.
Ответ: Нуль считают натуральным числом в странах, придерживающихся традиций французской математической школы (например, во Франции), а также это является стандартом в таких областях, как теория множеств, логика и информатика.

8. В те далёкие времена, когда счёт не был хорошо развит, слово «семь» использовалось также в значении «много», что отражено в поговорках и загадках, например: семеро одного не ждут; семь одёжек и все без застёжек. Приведите как можно больше таких примеров.

В русском языке существует множество пословиц, поговорок и фразеологизмов, где число "семь" используется в значении "много", "очень", "чрезмерно" или для обозначения полноты и завершенности. Вот некоторые из них, в дополнение к уже упомянутым в задании:

• Семь раз отмерь, один раз отрежь. — Здесь "семь раз" означает "много раз", "очень тщательно", "не торопясь". Подразумевается, что нужно всё многократно обдумать, прежде чем принять решение.
• У семи нянек дитя без глазу. — "Семь нянек" означает "слишком много" ответственных, что приводит к коллективной безответственности и отсутствию реального присмотра.
• За семью печатями. — Фразеологизм, означающий нечто надёжно спрятанное, большую тайну. "Семь" подчёркивает высшую степень надёжности и недоступности.
• На седьмом небе от счастья. — Быть очень, безмерно счастливым. "Седьмое небо" в различных традициях — символ высшей степени блаженства, наивысшей точки.
• Семь бед — один ответ. — Означает, что за множество проступков придётся отвечать один раз, или что если уже рискуешь, то можно рискнуть ещё раз. "Семь" здесь — синоним слова "много".
• Лук от семи недуг. — Народная мудрость, гласящая, что лук помогает от множества болезней.
• Семеро с ложкой, а один с сошкой. — Поговорка о ситуации, когда работников мало, а едоков — много.
• Семь пятниц на неделе. — Так говорят о человеке, который часто меняет свои решения, непостоянен. Здесь "семь" указывает на чрезмерную, невозможную частоту смены планов.
• Семь пядей во лбу. — Об очень умном, мудром человеке. "Семь" обозначает высшую меру, большой ум.
• Для милого дружка и семь вёрст не околица. — Ради близкого человека большое расстояние ("семь вёрст") не кажется препятствием.

Ответ: Примеры поговорок и фразеологизмов, где слово "семь" используется в значении "много": "Семь раз отмерь, один раз отрежь", "У семи нянек дитя без глазу", "За семью печатями", "На седьмом небе от счастья", "Семь бед — один ответ", "Лук от семи недуг", "Семеро с ложкой, а один с сошкой", "Семь пятниц на неделе", "Семь пядей во лбу", "Для милого дружка и семь вёрст не околица".