Страница 24 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

82. Что значит умножить число 5 на число 6?

Умножить число 5 на число 6 — это значит найти сумму шести слагаемых, каждое из которых равно 5. Арифметическая операция умножения является сокращенной формой записи многократного сложения одинаковых чисел.

Это можно записать в виде следующего выражения:
$5 \cdot 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5$

Выполнив последовательное сложение, мы получим результат:
$5 + 5 = 10$
$10 + 5 = 15$
$15 + 5 = 20$
$20 + 5 = 25$
$25 + 5 = 30$

Таким образом, результатом умножения 5 на 6 является число 30.

Важно отметить, что благодаря переместительному свойству умножения ($a \cdot b = b \cdot a$), результат не изменится, если мы поменяем числа местами. Умножить 5 на 6 — это то же самое, что и умножить 6 на 5, то есть найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 6:
$6 \cdot 5 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30$

В математике компоненты умножения имеют свои названия:
Число 5 — это множимое (число, которое повторяется как слагаемое).
Число 6 — это множитель (число, которое показывает, сколько раз нужно повторить множимое).
Число 30 — это произведение (результат умножения).

Ответ: Умножить число 5 на число 6 — значит найти сумму, в которой число 5 повторяется в качестве слагаемого 6 раз. Результатом этого действия является число 30.

83. Чему равно произведение:

а) единицы на любое натуральное число;

б) нуля на любое натуральное число?

а) единицы на любое натуральное число;

Произведение единицы на любое натуральное число всегда равно самому этому числу. Это одно из основных свойств умножения, где единица выступает в качестве нейтрального элемента. Если обозначить любое натуральное число буквой $n$, то это правило можно записать в виде формулы:

$1 \times n = n$

Например, $1 \times 42 = 42$ или $1 \times 198 = 198$.

Ответ: само это натуральное число.

б) нуля на любое натуральное число?

Произведение нуля на любое натуральное число всегда равно нулю. Это называется свойством умножения на нуль. Для любого натурального числа $n$ это правило записывается формулой:

$0 \times n = 0$

Это легко понять, если представить умножение как многократное сложение. Например, $0 \times 4$ — это сумма четырех нулей: $0 + 0 + 0 + 0$, что равно 0.

Примеры: $0 \times 17 = 0$, $0 \times 1000 = 0$.

Ответ: нуль.

84. Запишите равенство, выражающее переместительный закон умножения, сформулируйте этот закон.

Равенство, выражающее переместительный закон умножения

Для любых чисел a и b переместительный (коммутативный) закон умножения можно записать в виде следующего равенства:

$a \cdot b = b \cdot a$

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$.

Формулировка этого закона

Переместительный закон умножения гласит: произведение не изменится, если поменять местами его множители.

Ответ: От перемены мест множителей произведение не меняется.

85. Запишите равенство, выражающее сочетательный закон умножения, сформулируйте этот закон.

Равенство, выражающее сочетательный закон умножения

Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ сочетательный (ассоциативный) закон умножения выражается следующим равенством:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Формулировка этого закона

Сочетательный закон умножения гласит: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел. Иными словами, результат умножения не зависит от способа группировки сомножителей.

Ответ: Равенство: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Формулировка: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

86. Купили 3 коробки конфет по 400 г и 4 пачки печенья по 250 г. Вес чего можно найти следующим способом:

а) $400 + 400 + 400;$

б) $3 \cdot 400;$

в) $250 + 250 + 250 + 250;$

г) $4 \cdot 250;$

д) $3 \cdot 400 + 4 \cdot 250? $

а) Выражение $400 + 400 + 400$ представляет собой сумму веса трех коробок конфет, каждая из которых весит 400 г. Таким способом можно найти общий вес всех купленных конфет.
Ответ: вес трех коробок конфет.

б) Выражение $3 \cdot 400$ является произведением количества коробок конфет (3) на вес одной коробки (400 г). Это более короткая запись сложения из пункта а), и она также позволяет найти общий вес всех купленных конфет.
Ответ: вес трех коробок конфет.

в) Выражение $250 + 250 + 250 + 250$ представляет собой сумму веса четырех пачек печенья, каждая из которых весит 250 г. Таким способом можно найти общий вес всего купленного печенья.
Ответ: вес четырех пачек печенья.

г) Выражение $4 \cdot 250$ является произведением количества пачек печенья (4) на вес одной пачки (250 г). Это более короткая запись сложения из пункта в), и она также позволяет найти общий вес всего купленного печенья.
Ответ: вес четырех пачек печенья.

д) Выражение $3 \cdot 400 + 4 \cdot 250$ состоит из двух частей: $3 \cdot 400$ – это общий вес конфет, а $4 \cdot 250$ – это общий вес печенья. Сумма этих двух произведений позволяет найти общий вес всей покупки, то есть вес и конфет, и печенья вместе.
Ответ: вес всей покупки.

87. Замените сумму произведением:

а) $75 + 75 = 2 \cdot 75;$

б) $701 + 701;$

в) $82 + 82 + 82;$

г) $603 + 603 + 603;$

д) $45 + 45 + 45 + 45 + 45;$

е) $16 + 16 + 16 + 16 + 16;$

ж) $730 + 730 + 730 + 730;$

з) $172 + 172 + 172 + 172 + 172.$

б) В сумме $701 + 701$ представлено два одинаковых слагаемых. По определению, умножение — это сокращённая форма записи сложения одинаковых слагаемых. В данном случае слагаемое $701$ повторяется $2$ раза, поэтому сумму можно записать как произведение.
Ответ: $701 + 701 = 2 \cdot 701$.

в) В выражении $82 + 82 + 82$ число $82$ складывается само с собой 3 раза. Чтобы заменить эту сумму произведением, мы должны умножить повторяющееся слагаемое ($82$) на количество его повторений ($3$).
Ответ: $82 + 82 + 82 = 3 \cdot 82$.

г) Данная сумма $603 + 603 + 603$ представляет собой сложение трех одинаковых чисел. Такую операцию можно заменить умножением. Для этого необходимо посчитать количество слагаемых (их 3) и умножить на значение слагаемого ($603$).
Ответ: $603 + 603 + 603 = 3 \cdot 603$.

д) В сумме $45 + 45 + 45 + 45 + 45$ слагаемое $45$ повторяется 5 раз. Заменим операцию сложения на умножение, где первый множитель — это количество повторений, а второй — само слагаемое. Получаем произведение $5 \cdot 45$.
Ответ: $45 + 45 + 45 + 45 + 45 = 5 \cdot 45$.

е) Чтобы заменить сумму $16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16$ произведением, определим повторяющееся слагаемое ($16$) и посчитаем, сколько раз оно встречается в сумме (6 раз). Произведение будет равно $6 \cdot 16$.
Ответ: $16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 6 \cdot 16$.

ж) Выражение $730 + 730 + 730 + 730$ является суммой четырех одинаковых слагаемых. Это можно записать в более короткой форме — в виде произведения. Количество слагаемых ($4$) умножается на само слагаемое ($730$).
Ответ: $730 + 730 + 730 + 730 = 4 \cdot 730$.

з) В сумме $172 + 172 + 172 + 172 + 172$ слагаемое $172$ повторяется 5 раз. Преобразуем эту сумму в произведение, умножив слагаемое $172$ на число его повторений, то есть на $5$.
Ответ: $172 + 172 + 172 + 172 + 172 = 5 \cdot 172$.