Номер 134, страница 33 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

134. Восстановите примеры, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры:

a) $\begin{array}{c} 636 \\ + \ 766 \\ \hline a300 \end{array}$

б) $\begin{array}{c} a4a \\ + \ 33a \\ \hline 6084 \end{array}$

в) $\begin{array}{c} удар \\ + \ удар \\ \hline драка \end{array}$

д) $\begin{array}{c} деталь \\ + \ деталь \\ \hline изделие \end{array}$

а)

Рассмотрим данный пример на сложение в столбик:
636
+
766
-------
a300

Начнем сложение с разряда единиц: $6 + 6 = 12$. Таким образом, последняя цифра суммы должна быть 2. Однако в примере указано, что последняя цифра суммы равна 0.

Это противоречие означает, что в условии задачи содержится опечатка, и в таком виде пример не имеет решения. Если выполнить сложение, получится $636 + 766 = 1402$, что не соответствует шаблону `a300`.

Ответ: Задача в исходном виде не имеет решения из-за опечатки в условии (последняя цифра суммы $6+6=12$ должна быть 2, а не 0).

б)

Рассмотрим пример:
a4a
+
33a
-------
6084

В этом примере складываются два трехзначных числа. Буква `a` обозначает одну и ту же цифру.

Оценим максимально возможную сумму двух трехзначных чисел. Первое число `a4a`, где `a` — цифра сотен, не может быть больше, чем 949 (при $a=9$). Второе число `33a` не может быть больше, чем 339 (при $a=9$).

Максимально возможная сумма этих двух чисел: $949 + 339 = 1288$.

В условии задачи указана сумма 6084. Так как $1288 < 6084$, сумма двух трехзначных чисел ни при каких значениях `a` не может равняться 6084.

Следовательно, в условии задачи содержится опечатка, и в таком виде пример не имеет решения.

Ответ: Задача в исходном виде не имеет решения из-за опечатки в условии (сумма двух трехзначных чисел не может быть 6084).

в)

Запишем пример в виде $2 \times (удар) = драка$.

Здесь `удар` — четырехзначное число, а `драка` — пятизначное. Разные буквы обозначают разные цифры.

1. Поскольку `драка` является результатом удвоения четырехзначного числа, его первая цифра `д` может быть только 1. Это следует из того, что $2 \times 9999 = 19998$ — максимальный возможный результат. Значит, д = 1.

2. Из $2 \times (удар) = 1рака$ следует, что $2 \times у$ (с возможным переносом из разряда сотен) должно дать число, начинающееся с 1. Это значит, что $у \ge 5$.

3. Рассмотрим разряд сотен в слове `драка`, где стоит буква `а`. Сумма для этого разряда: $2 \times д + c_{10} = а + 10c_{100}$, где $c_{10}$ — перенос из разряда десятков, а $c_{100}$ — перенос в разряд тысяч. Подставив $д=1$, получаем $2 + c_{10} = а + 10c_{100}$. Так как $a$ и $c_{10}$ — это цифры (0 или 1), то $c_{100}$ может быть только 0. Отсюда $a = 2 + c_{10}$. Поскольку $c_{10}$ может быть 0 или 1, то $a=2$ или $a=3$.

4. Рассмотрим разряд тысяч: $2 \times у + c_{100} = р + 10д$. Так как $c_{100}=0$ и $д=1$, получаем $2у = р + 10$. Отсюда следует, что `р` — четная цифра.

5. Рассмотрим разряд единиц: $2 \times р = а + 10c_1$, где $c_1$ — перенос в разряд десятков.

Проверим два случая для `а`:
- Случай 1: $a=2$ (это означает, что $c_{10}=0$). Тогда из уравнения для единиц $2 \times р = 2 + 10c_1$. Отсюда $р=1$ (но $д=1$, цифры должны быть разными) или $р=6$ (при $c_1=1$). Значит, р=6. Из $2у = р+10$ получаем $2у=16$, т.е. у=8. Теперь найдем `к` из разряда десятков: $2 \times а + c_1 = к + 10c_{10}$. Подставляем известные значения: $2 \times 2 + 1 = к + 10 \times 0 \implies к=5$. Все найденные цифры различны: $д=1, а=2, к=5, р=6, у=8$.
- Случай 2: $a=3$ (это означает, что $c_{10}=1$). Тогда $2 \times р = 3 + 10c_1$. Это уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть ($2р$) всегда четная, а правая ($3+10c_1$) всегда нечетная.

Таким образом, решение единственное. Восстановим пример: $удар \rightarrow 8126$, $драка \rightarrow 16252$.
Проверка: $8126 + 8126 = 16252$. Все верно.

Ответ: $8126 + 8126 = 16252$.

г)

Запишем пример в виде $2 \times (деталь) = изделие$.

Здесь `деталь` — шестизначное число, а `изделие` — семизначное.

1. Поскольку `изделие` — семизначное число, оно не меньше 1 000 000. Значит, $2 \times (деталь) \ge 1000000$, откуда `деталь` $\ge 500000$. Следовательно, `д` $\ge 5$.

2. Первая цифра произведения `изделие`, `и`, может быть только 1, так как $2 \times (деталь) < 2 \times 1000000 = 2000000$. Итак, и = 1.

3. Запишем уравнения для каждого разряда, обозначая $c_N$ перенос из предыдущего разряда:

• (1) $2 \times ь = е + 10c_1$ (`е` - четное)
• (2) $2 \times л + c_1 = и + 10c_{10} \implies 2л+c_1=1+10c_{10}$
• (3) $2 \times а + c_{10} = л + 10c_{100}$
• (4) $2 \times т + c_{100} = е + 10c_{1k}$
• (5) $2 \times е + c_{1k} = д + 10c_{100k}$
• (6) $2 \times д + c_{100k} = з + 10и \implies 2д+c_{100k}=з+10$

4. Из (2) следует, что $2л+c_1$ должно оканчиваться на 1. Это возможно только если $c_1=1$ (т.е. $ь \ge 5$). Тогда возможные варианты: $2л+1=1 \implies л=0$ ($c_{10}=0$) или $2л+1=11 \implies л=5$ ($c_{10}=1$).

5. Случай $л=0, c_{10}=0$ невозможен. Из (3) получаем $2а=10c_{100}$, т.е. $а=5$ ($c_{100}=1$, т.к. $а \ne л$). Тогда из (4) $2т+1=е+10c_{1k}$. Левая часть нечетная, а правая должна быть четной, так как `е` — четное. Противоречие.

6. Остается единственный вариант: л=5, $c_{10}=1$. Из (3): $2а+1=5+10c_{100} \implies 2а=4+10c_{100} \implies а=2+5c_{100}$. Значит, $а=2$ ($c_{100}=0$) или $а=7$ ($c_{100}=1$).

7. Пусть $а=2$ ($c_{100}=0$). Из (4): $2т=е+10c_{1k}$. Пробуем возможные пары (е,ь), учитывая, что цифры 1,2,5 заняты: (4,7), (6,8), (8,9).
- Если $е=4$, то $2т$ оканчивается на 4 $\implies т=2$ или $т=7$. Оба заняты.
- Если $е=6$, то $2т$ оканчивается на 6 $\implies т=3$ или $т=8$. `т=3` свободно. Из (5): $c_{1k}=0$, $2 \times 6 = д+10c_{100k} \implies д=2$. Но $а=2$.
- Если $е=8$, то $2т$ оканчивается на 8 $\implies т=4$ или $т=9$. `т=4` свободно ($c_{1k}=0$). Из (5): $2 \times 8 = д+10c_{100k} \implies 16=д+10c_{100k} \implies д=6, c_{100k}=1$. `д=6` - новая цифра.
При $е=8$ из (1) имеем $2ь=18 \implies ь=9$.
Из (6) находим `з`: $2д+c_{100k}=з+10 \implies 2 \times 6+1=з+10 \implies 13=з+10 \implies з=3$.
Мы нашли все цифры: `и=1, з=3, д=6, е=8, л=5, а=2, т=4, ь=9`. Все они различны.

8. Проверка: `деталь` = 684259, `изделие` = 1368518. $684259 + 684259 = 1368518$. Решение верное. (Случай $а=7$ не дает решений).

Ответ: $684259 + 684259 = 1368518$.