Номер 137, страница 36 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

?-137. Какие законы используют при умножении столбиком?

Умножение столбиком — это пошаговый алгоритм, который является практическим применением фундаментальных законов арифметики в сочетании с позиционной системой счисления. Основные законы, которые лежат в основе этого метода, следующие:

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения

Это ключевой закон, на котором построен весь алгоритм. Он гласит, что для умножения числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое по отдельности, а затем сложить полученные произведения. В виде формулы это выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Именно это мы и делаем при умножении столбиком. Рассмотрим пример: $135 \cdot 24$.

Мы представляем второй множитель $24$ как сумму его разрядных слагаемых: $24 = 20 + 4$.

Тогда всё произведение можно записать как $135 \cdot (20 + 4)$.

По распределительному закону, это выражение равно $135 \cdot 4 + 135 \cdot 20$.

Эти два слагаемых, $135 \cdot 4 = 540$ и $135 \cdot 20 = 2700$, и есть те самые "неполные произведения", которые мы вычисляем и записываем друг под другом в столбик, а затем складываем для получения итогового результата:

135
× 24
540 (это $135 \cdot 4$)
+ 2700 (это $135 \cdot 20$)
3240

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения

Этот закон, описываемый формулой $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$, позволяет произвольно группировать множители. Он используется неявно при работе с разрядами. Например, когда мы вычисляем второе неполное произведение $135 \cdot 20$, мы можем представить $20$ как $2 \cdot 10$. По сочетательному закону, $135 \cdot (2 \cdot 10) = (135 \cdot 2) \cdot 10$. На практике это означает, что мы умножаем $135$ на цифру $2$, получаем $270$, а затем сдвигаем результат на один разряд влево (дописываем в конце ноль), что равносильно умножению на $10$.

Переместительный (коммутативный) закон умножения

Закон гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется: $a \cdot b = b \cdot a$. При умножении столбиком это свойство дает нам удобство: мы можем записать сверху число, в котором больше цифр, чтобы уменьшить количество неполных произведений и, следовательно, упростить вычисления.

Таким образом, умножение столбиком — это не просто набор правил, а наглядный способ последовательного применения базовых законов математики.

Ответ: При умножении столбиком используются распределительный закон умножения относительно сложения, а также сочетательный и переместительный законы умножения.