Страница 38 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

151. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь, чтобы умножение было с некоторым удивлением, т. е. в произведении получилось 111 111, или 222 222, или 333 333 и так до 999 999, то умножай $777 \times 143 = 111111$. А когда $(143 \times 2) \times 777 = 222222$, и т. д. Получите описанным способом произведения от 333 333 до 999 999.

В задаче описан метод получения чисел, состоящих из одинаковых цифр, путем умножения. Базовое произведение: $777 \times 143 = 111 111$.

Чтобы получить число $NNN NNN$, нужно умножить 143 на $N$, а затем результат умножить на 777. То есть, используется формула $(143 \times N) \times 777$.

Выполним вычисления для произведений от 333 333 до 999 999.

Получение 333 333

Для получения 333 333 нужно взять $N=3$. Сначала умножим 143 на 3, а затем результат на 777.

$143 \times 3 = 429$

$429 \times 777 = 333 333$

Ответ: $(143 \times 3) \times 777 = 333 333$.

Получение 444 444

Для получения 444 444 нужно взять $N=4$.

$143 \times 4 = 572$

$572 \times 777 = 444 444$

Ответ: $(143 \times 4) \times 777 = 444 444$.

Получение 555 555

Для получения 555 555 нужно взять $N=5$.

$143 \times 5 = 715$

$715 \times 777 = 555 555$

Ответ: $(143 \times 5) \times 777 = 555 555$.

Получение 666 666

Для получения 666 666 нужно взять $N=6$.

$143 \times 6 = 858$

$858 \times 777 = 666 666$

Ответ: $(143 \times 6) \times 777 = 666 666$.

Получение 777 777

Для получения 777 777 нужно взять $N=7$.

$143 \times 7 = 1001$

$1001 \times 777 = 777 777$

Ответ: $(143 \times 7) \times 777 = 777 777$.

Получение 888 888

Для получения 888 888 нужно взять $N=8$.

$143 \times 8 = 1144$

$1144 \times 777 = 888 888$

Ответ: $(143 \times 8) \times 777 = 888 888$.

Получение 999 999

Для получения 999 999 нужно взять $N=9$.

$143 \times 9 = 1287$

$1287 \times 777 = 999 999$

Ответ: $(143 \times 9) \times 777 = 999 999$.

152. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Если хочешь в произведении иметь 121 212, возьми 12, умножь на 2 и на 10, будет $12 \times 2 \times 10 = 240$; прибавь первое число, будет $240 + 12 = 252$. Этот результат умножь на 481, будет $252 \times 481 = 121212$. Получите описанным способом числа 232 323, 343 434 и 898 989.

Чтобы решить задачу, сначала проанализируем описанный алгоритм в общем виде. Пусть исходное число, которое мы берем, равно $x$.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Исходное число $x$ умножается на 2 и на 10: $x \cdot 2 \cdot 10 = 20x$.

2. К результату прибавляется исходное (первое) число: $20x + x = 21x$.

3. Полученный результат умножается на 481: $(21x) \cdot 481$.

Поскольку $21 \cdot 481 = 10101$, то весь алгоритм можно записать одной формулой, где $Y$ — это итоговое число:

$Y = 10101 \cdot x$

Следовательно, чтобы найти исходное число $x$ для получения заданного результата $Y$, нужно разделить этот результат на 10101:

$x = Y / 10101$

Теперь применим эту логику для каждого из требуемых чисел.

232 323

Найдем исходное число: $x = 232323 / 10101 = 23$.
Проверим по алгоритму: если хочешь в произведении иметь 232 323, возьми 23, умножь на 2 и на 10, будет $23 \cdot 2 \cdot 10 = 460$; прибавь первое число, будет $460 + 23 = 483$. Этот результат умножь на 481, будет $483 \cdot 481 = 232323$.
Ответ: нужно взять число 23.

343 434

Найдем исходное число: $x = 343434 / 10101 = 34$.
Проверим по алгоритму: если хочешь в произведении иметь 343 434, возьми 34, умножь на 2 и на 10, будет $34 \cdot 2 \cdot 10 = 680$; прибавь первое число, будет $680 + 34 = 714$. Этот результат умножь на 481, будет $714 \cdot 481 = 343434$.
Ответ: нужно взять число 34.

898 989

Найдем исходное число: $x = 898989 / 10101 = 89$.
Проверим по алгоритму: если хочешь в произведении иметь 898 989, возьми 89, умножь на 2 и на 10, будет $89 \cdot 2 \cdot 10 = 1780$; прибавь первое число, будет $1780 + 89 = 1869$. Этот результат умножь на 481, будет $1869 \cdot 481 = 898989$.
Ответ: нужно взять число 89.