Номер 176, страница 42 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

176. Можно ли делить на нуль?

В стандартной арифметике и алгебре делить на нуль нельзя. Эта операция считается неопределенной. Чтобы понять почему, нужно вспомнить, что такое деление.

Связь деления и умножения

Деление — это операция, обратная умножению. Когда мы делим число $a$ на число $b$, мы ищем такое число $c$, для которого будет верным равенство $b \cdot c = a$.

Например, выражение $15 / 3 = 5$ верно, потому что $3 \cdot 5 = 15$.

Теперь давайте применим это правило к делению на ноль.

Случай 1: Деление ненулевого числа на ноль

Попробуем разделить любое число, не равное нулю (например, 5), на 0. Допустим, у нас получилось некое число $c$:

$5 / 0 = c$

Используя обратную операцию, мы должны получить:

$0 \cdot c = 5$

Но мы знаем, что любое число, умноженное на ноль, всегда равно нулю. Таким образом, мы получаем противоречие: $0 = 5$. Это неверно. Следовательно, не существует такого числа $c$, которое могло бы быть результатом деления 5 на 0.

Случай 2: Деление нуля на ноль

Теперь рассмотрим случай деления нуля на ноль. Предположим, что результатом является некое число $c$:

$0 / 0 = c$

Проверяем через умножение:

$0 \cdot c = 0$

Это равенство верно для абсолютно любого числа $c$. Например, $c$ может быть равно 1, 10, -34.5 или любому другому числу. Поскольку результат не является уникальным, операция не имеет смысла. Такая ситуация в математике называется "неопределенностью".

Деление на ноль в высшей математике

В некоторых разделах высшей математики, например, в математическом анализе при изучении пределов, рассматривается поведение функций, когда их знаменатель стремится к нулю. Например, для функции $f(x) = 1/x$, когда $x$ приближается к нулю, значение функции стремится к бесконечности. Это записывается как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$. Однако важно понимать, что это не само деление на ноль, а анализ поведения функции в окрестности нуля.

Вывод: В рамках стандартной арифметики деление на ноль не определено, так как оно приводит либо к логическому противоречию (в случае деления ненулевого числа на ноль), либо к неопределенности (в случае деления нуля на ноль).

Ответ: Нет, в стандартной арифметике делить на нуль нельзя.