Страница 45, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы получилось следующее за ним число?

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, 4 и так далее. Каждое следующее натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы. Например, за числом 7 идет число 8, потому что $7 + 1 = 8$. За числом 99 идет число 100, потому что $99 + 1 = 100$. Таким образом, чтобы получить число, следующее за любым натуральным числом, к нему нужно прибавить 1.

Ответ: 1.

Сколько раз к числу 9 надо прибавить 1, чтобы получилось 15?

Чтобы определить, сколько раз нужно прибавить 1 к числу 9 для получения 15, необходимо найти разность между этими числами. Разность покажет, на сколько 15 больше, чем 9. Вычислим разность: $15 - 9 = 6$. Это означает, что к 9 нужно прибавить шесть единиц, чтобы получить 15. Проверим: $9 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15$.

Ответ: 6 раз.

Как называют числа при сложении?

В операции сложения числа, которые складываются, имеют специальное название — слагаемые. Например, в выражении $12 + 5 = 17$, числа 12 и 5 являются слагаемыми.

Ответ: Слагаемые.

Как называют число, получившееся в результате сложения?

Результат сложения двух или нескольких чисел называется суммой. Например, в выражении $12 + 5 = 17$, число 17 является суммой.

Ответ: Сумма.

Сформулируйте переместительное свойство сложения. Приведите примеры его использования.

Переместительное (или коммутативное) свойство сложения гласит, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется. В виде формулы это свойство записывается так: $a + b = b + a$.
Это свойство часто используется для упрощения устных и письменных вычислений.
Пример 1: Простая проверка. $8 + 15 = 23$. Если поменять слагаемые местами, получим $15 + 8 = 23$. Результат тот же.
Пример 2: Рационализация вычислений. При вычислении суммы $25 + 198 + 75$ удобнее сначала сложить 25 и 75. Используя переместительное свойство, мы можем поменять слагаемые местами: $25 + 75 + 198$. Тогда вычисление становится проще: $(25 + 75) + 198 = 100 + 198 = 298$.

Ответ: От перестановки мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$).

Сформулируйте сочетательное свойство сложения. Приведите примеры его использования.

Сочетательное (или ассоциативное) свойство сложения гласит, что при сложении трех и более чисел их можно группировать в любом порядке. Результат от этого не изменится. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Формула свойства: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Это свойство, как и переместительное, помогает упрощать вычисления.
Пример 1: Проверка. $(5 + 9) + 6 = 14 + 6 = 20$. Сгруппируем по-другому: $5 + (9 + 6) = 5 + 15 = 20$. Сумма не изменилась.
Пример 2: Рационализация вычислений. Требуется найти сумму $368 + (132 + 259)$. Удобнее сгруппировать слагаемые так, чтобы получить "круглое" число: $(368 + 132) + 259 = 500 + 259 = 759$.

Ответ: Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел ($(a + b) + c = a + (b + c)$).

Каким свойством обладает число 0 при сложении?

Число 0 обладает уникальным свойством при сложении: прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Ноль называют нейтральным элементом операции сложения. Это свойство можно записать в виде формулы: $a + 0 = 0 + a = a$.
Пример: $247 + 0 = 247$.

Ответ: Если к числу прибавить нуль, то число не изменится.

5.259 Числа 4, 1, $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{4}$ представьте в виде суммы их половин, четвертей, восьмых и шестнадцатых.

Чтобы представить заданные числа в виде суммы их долей (половин, четвертей, восьмых и шестнадцатых), нужно сначала найти величину одной такой доли для каждого числа, а затем записать исходное число как сумму соответствующего количества этих долей.

Число 4

Найдем доли для числа 4 и запишем его в виде соответствующих сумм:

• Сумма половин: Половина от 4 равна $4 \div 2 = 2$. Представляем 4 как сумму двух половин: $4 = 2 + 2$.
• Сумма четвертей: Четверть от 4 равна $4 \div 4 = 1$. Представляем 4 как сумму четырех четвертей: $4 = 1 + 1 + 1 + 1$.
• Сумма восьмых: Восьмая часть от 4 равна $4 \div 8 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Представляем 4 как сумму восьми таких частей: $4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$.
• Сумма шестнадцатых: Шестнадцатая часть от 4 равна $4 \div 16 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Представляем 4 как сумму шестнадцати таких частей: $4 = \underbrace{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{4}}_{16 \text{ слагаемых}}$.

Ответ:

• $4 = 2 + 2$
• $4 = 1 + 1 + 1 + 1$
• $4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$
• $4 = \underbrace{\frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{4}}_{16 \text{ слагаемых}}$

Число 1

Найдем доли для числа 1 и запишем его в виде соответствующих сумм:

• Сумма половин: Половина от 1 равна $1 \div 2 = \frac{1}{2}$. Таким образом, $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$.
• Сумма четвертей: Четверть от 1 равна $1 \div 4 = \frac{1}{4}$. Таким образом, $1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$.
• Сумма восьмых: Восьмая часть от 1 равна $1 \div 8 = \frac{1}{8}$. Таким образом, $1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$.
• Сумма шестнадцатых: Шестнадцатая часть от 1 равна $1 \div 16 = \frac{1}{16}$. Таким образом, $1 = \underbrace{\frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{16}}_{16 \text{ слагаемых}}$.

Ответ:

• $1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$
• $1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
• $1 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$
• $1 = \underbrace{\frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{16}}_{16 \text{ слагаемых}}$

Число $\frac{1}{2}$

Найдем доли для числа $\frac{1}{2}$ и запишем его в виде соответствующих сумм:

• Сумма половин: Половина от $\frac{1}{2}$ равна $\frac{1}{2} \div 2 = \frac{1}{4}$. Таким образом, $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$.
• Сумма четвертей: Четверть от $\frac{1}{2}$ равна $\frac{1}{2} \div 4 = \frac{1}{8}$. Таким образом, $\frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$.
• Сумма восьмых: Восьмая часть от $\frac{1}{2}$ равна $\frac{1}{2} \div 8 = \frac{1}{16}$. Таким образом, $\frac{1}{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$.
• Сумма шестнадцатых: Шестнадцатая часть от $\frac{1}{2}$ равна $\frac{1}{2} \div 16 = \frac{1}{32}$. Таким образом, $\frac{1}{2} = \underbrace{\frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{32}}_{16 \text{ слагаемых}}$.

Ответ:

• $\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
• $\frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$
• $\frac{1}{2} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$
• $\frac{1}{2} = \underbrace{\frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{32}}_{16 \text{ слагаемых}}$

Число $\frac{1}{4}$

Найдем доли для числа $\frac{1}{4}$ и запишем его в виде соответствующих сумм:

• Сумма половин: Половина от $\frac{1}{4}$ равна $\frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$. Таким образом, $\frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$.
• Сумма четвертей: Четверть от $\frac{1}{4}$ равна $\frac{1}{4} \div 4 = \frac{1}{16}$. Таким образом, $\frac{1}{4} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$.
• Сумма восьмых: Восьмая часть от $\frac{1}{4}$ равна $\frac{1}{4} \div 8 = \frac{1}{32}$. Таким образом, $\frac{1}{4} = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}$.
• Сумма шестнадцатых: Шестнадцатая часть от $\frac{1}{4}$ равна $\frac{1}{4} \div 16 = \frac{1}{64}$. Таким образом, $\frac{1}{4} = \underbrace{\frac{1}{64} + \dots + \frac{1}{64}}_{16 \text{ слагаемых}}$.

Ответ:

• $\frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$
• $\frac{1}{4} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$
• $\frac{1}{4} = \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32} + \frac{1}{32}$
• $\frac{1}{4} = \underbrace{\frac{1}{64} + \dots + \frac{1}{64}}_{16 \text{ слагаемых}}$

5.260 Какое число стоит в конце цепочки?

а)

Выполним вычисления по цепочке шаг за шагом:

1. К начальному числу $\frac{2}{5}$ прибавляем $\frac{1}{5}$: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}$.

2. К полученному результату $\frac{3}{5}$ прибавляем $\frac{2}{5}$: $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3+2}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

3. Из полученного результата 1 вычитаем $\frac{3}{7}$: $1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{7-3}{7} = \frac{4}{7}$.

4. К полученному результату $\frac{4}{7}$ прибавляем $\frac{1}{7}$: $\frac{4}{7} + \frac{1}{7} = \frac{4+1}{7} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

б)

Выполним вычисления по цепочке шаг за шагом:

1. К начальному числу $\frac{5}{17}$ прибавляем $\frac{7}{17}$: $\frac{5}{17} + \frac{7}{17} = \frac{5+7}{17} = \frac{12}{17}$.

2. Из полученного результата $\frac{12}{17}$ вычитаем $\frac{12}{17}$: $\frac{12}{17} - \frac{12}{17} = 0$.

3. К полученному результату 0 прибавляем $\frac{7}{9}$: $0 + \frac{7}{9} = \frac{7}{9}$.

4. Из полученного результата $\frac{7}{9}$ вычитаем $\frac{4}{9}$: $\frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7-4}{9} = \frac{3}{9}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в)

Для решения этой задачи необходимо привести все величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести все в квадратные метры (м?), используя соотношения: $1 \text{ га} = 10000 \text{ м?}$ и $1 \text{ а} = 100 \text{ м?}$.

1. Начальное значение 2 га переводим в квадратные метры: $2 \text{ га} = 2 \cdot 10000 \text{ м?} = 20000 \text{ м?}$.

2. Делим результат на 4: $20000 \text{ м?} : 4 = 5000 \text{ м?}$.

3. Вычитаем 20 а. Сначала переведем ары в квадратные метры: $20 \text{ а} = 20 \cdot 100 \text{ м?} = 2000 \text{ м?}$. Теперь выполним вычитание: $5000 \text{ м?} - 2000 \text{ м?} = 3000 \text{ м?}$.

4. Делим результат на 15: $3000 \text{ м?} : 15 = 200 \text{ м?}$.

5. Делим результат на 50 м?: $200 \text{ м?} : 50 \text{ м?} = 4$. При делении величины на величину с теми же единицами измерения результат является безразмерным числом.

Ответ: 4.

г)

Для решения этой задачи необходимо привести все величины к одной единице измерения. Удобнее всего перевести все в кубические сантиметры (см?), используя соотношение: $1 \text{ дм?} = 1000 \text{ см?}$.

1. Начальное значение 5 дм? переводим в кубические сантиметры: $5 \text{ дм?} = 5 \cdot 1000 \text{ см?} = 5000 \text{ см?}$.

2. Делим результат на 100: $5000 \text{ см?} : 100 = 50 \text{ см?}$.

3. Вычитаем 25 см?: $50 \text{ см?} - 25 \text{ см?} = 25 \text{ см?}$.

4. Умножаем результат на 5: $25 \text{ см?} \cdot 5 = 125 \text{ см?}$.

5. Умножаем результат на 8: $125 \text{ см?} \cdot 8 = 1000 \text{ см?}$.

Полученное значение можно перевести обратно в кубические дециметры: $1000 \text{ см?} = 1 \text{ дм?}$. Так как исходная величина была в дм?, ответ $1 \text{ дм?}$ является предпочтительным.

Ответ: $1000 \text{ см?}$ (или $1 \text{ дм?}$).