Страница 52, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

5.299 Выполните действия:

1) $10 351 - (12 617 : 31 + 208 \cdot 43)$

Для решения этого примера необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются действия в скобках, при этом первыми по приоритету идут умножение и деление, а затем сложение. Последним действием будет вычитание из $10 351$.

1. Выполним деление в скобках:

$12 617 : 31 = 407$

2. Выполним умножение в скобках:

$208 \cdot 43 = 8944$

3. Теперь сложим результаты, полученные внутри скобок:

$407 + 8944 = 9351$

4. Выполним последнее действие — вычитание:

$10 351 - 9351 = 1000$

Ответ: $1000$.

2) $35 \cdot 309 + 11 638 : 23 - 9321$

В этом примере скобок нет, поэтому сначала выполняем умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение и вычитание, также слева направо.

1. Выполним умножение:

$35 \cdot 309 = 10815$

2. Выполним деление:

$11 638 : 23 = 506$

3. Теперь выражение выглядит так: $10815 + 506 - 9321$. Выполним сложение:

$10815 + 506 = 11321$

4. Выполним вычитание:

$11321 - 9321 = 2000$

Ответ: $2000$.

5.300 Найдите разность:

а) Чтобы найти разность смешанного числа и целого числа, нужно вычесть целое число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменения.

$13\frac{8}{9} - 4 = (13 - 4) + \frac{8}{9} = 9 + \frac{8}{9} = 9\frac{8}{9}$.

Ответ: $9\frac{8}{9}$.

б) Чтобы найти разность двух смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, нужно отдельно вычесть их целые части и отдельно их дробные части. Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{14}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{3}{14}$), вычитание можно выполнить по частям.

$17\frac{5}{14} - 5\frac{3}{14} = (17 - 5) + (\frac{5}{14} - \frac{3}{14}) = 12 + \frac{5 - 3}{14} = 12 + \frac{2}{14} = 12\frac{2}{14}$.

Сократим полученную дробную часть: $\frac{2}{14} = \frac{2 \div 2}{14 \div 2} = \frac{1}{7}$.

Таким образом, результат равен $12\frac{1}{7}$.

Ответ: $12\frac{1}{7}$.

в) В этом примере дробная часть уменьшаемого ($\frac{5}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{7}$). Чтобы выполнить вычитание, необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого (у числа 9).

Представим уменьшаемое $9\frac{5}{7}$ в другом виде. Займем 1 у 9, представим ее в виде дроби $\frac{7}{7}$ и прибавим к дробной части:

$9\frac{5}{7} = 8 + 1 + \frac{5}{7} = 8 + \frac{7}{7} + \frac{5}{7} = 8 + \frac{7+5}{7} = 8\frac{12}{7}$.

Теперь выполним вычитание:

$8\frac{12}{7} - 3\frac{6}{7} = (8 - 3) + (\frac{12}{7} - \frac{6}{7}) = 5 + \frac{12-6}{7} = 5 + \frac{6}{7} = 5\frac{6}{7}$.

Ответ: $5\frac{6}{7}$.

г) Чтобы вычесть смешанное число из целого, нужно "занять" единицу у целого числа и представить её в виде дроби со знаменателем, равным знаменателю вычитаемого.

Представим число 100 в виде смешанного числа. "Займем" единицу у 100 и представим ее как дробь со знаменателем 14:

$100 = 99 + 1 = 99 + \frac{14}{14} = 99\frac{14}{14}$.

Теперь выполним вычитание:

$99\frac{14}{14} - 20\frac{3}{14} = (99 - 20) + (\frac{14}{14} - \frac{3}{14}) = 79 + \frac{14 - 3}{14} = 79 + \frac{11}{14} = 79\frac{11}{14}$.

Ответ: $79\frac{11}{14}$.

5.301 Найдите сумму:

а) Чтобы найти сумму целого числа и смешанной дроби, нужно сложить целые части, а дробную часть оставить без изменений.

$6 + 8\frac{7}{13} = (6 + 8) + \frac{7}{13} = 14 + \frac{7}{13} = 14\frac{7}{13}$

Ответ: $14\frac{7}{13}$.

б) Аналогично предыдущему примеру, складываем целые части, а дробную часть дописываем к результату.

$12 + 19\frac{5}{24} = (12 + 19) + \frac{5}{24} = 31 + \frac{5}{24} = 31\frac{5}{24}$

Ответ: $31\frac{5}{24}$.

в) При сложении смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, отдельно складывают целые части и отдельно дробные части.

$5\frac{7}{15} + 8\frac{4}{15} = (5+8) + (\frac{7}{15} + \frac{4}{15}) = 13 + \frac{7+4}{15} = 13 + \frac{11}{15} = 13\frac{11}{15}$

Ответ: $13\frac{11}{15}$.

г) Складываем отдельно целые части и отдельно дробные части, так как у них одинаковые знаменатели.

$13\frac{5}{101} + 7\frac{25}{101} = (13+7) + (\frac{5}{101} + \frac{25}{101}) = 20 + \frac{5+25}{101} = 20 + \frac{30}{101} = 20\frac{30}{101}$

Ответ: $20\frac{30}{101}$.

д) Складываем целые и дробные части. Сумма дробных частей равна единице, которую прибавляем к сумме целых частей.

$4\frac{3}{7} + 15\frac{4}{7} = (4+15) + (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) = 19 + \frac{3+4}{7} = 19 + \frac{7}{7} = 19 + 1 = 20$

Ответ: $20$.

е) Складываем целые и дробные части. В результате сложения дробных частей получается неправильная дробь. Из этой дроби нужно выделить целую часть и прибавить ее к сумме целых частей.

$3\frac{9}{13} + 4\frac{8}{13} = (3+4) + (\frac{9}{13} + \frac{8}{13}) = 7 + \frac{9+8}{13} = 7 + \frac{17}{13}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{17}{13}$ в смешанное число: $\frac{17}{13} = 1\frac{4}{13}$.

Теперь сложим полученные части: $7 + 1\frac{4}{13} = 8\frac{4}{13}$.

Ответ: $8\frac{4}{13}$.

5.302 Настя на приготовление уроков затратила 2512 ч, а на прогулку — на 712 ч больше. Сколько времени затратила Настя на прогулку и приготовление уроков вместе?

Для ответа на главный вопрос задачи сперва необходимо найти, сколько времени Настя потратила на прогулку.

Время на прогулку

По условию, на прогулку Настя затратила на $\frac{7}{12}$ ч больше, чем на приготовление уроков. Время на уроки составляет $2\frac{5}{12}$ ч. Чтобы найти время, потраченное на прогулку, сложим эти значения:

$2\frac{5}{12} + \frac{7}{12} = 2 + \left(\frac{5}{12} + \frac{7}{12}\right) = 2 + \frac{5+7}{12} = 2 + \frac{12}{12} = 2 + 1 = 3$ ч.

Ответ: на прогулку Настя затратила 3 часа.

Время на прогулку и приготовление уроков вместе

Теперь, зная время на каждое занятие, мы можем найти общее затраченное время. Для этого сложим время на приготовление уроков ($2\frac{5}{12}$ ч) и время на прогулку (3 ч):

$2\frac{5}{12} + 3 = 5\frac{5}{12}$ ч.

Ответ: на прогулку и приготовление уроков вместе Настя затратила $5\frac{5}{12}$ часа.

5.303 Длина комнаты, имеющей форму прямоугольника, равна 5720 м, что на 1920 м больше ширины. Сколько рулонов бордюрной ленты необходимо купить, чтобы приклеить по периметру потолка комнаты, если в одном рулоне 10 м ленты?

Для решения этой задачи нужно выполнить три основных шага: сначала найти ширину комнаты, затем вычислить ее периметр, и в конце определить, сколько рулонов бордюрной ленты потребуется.

1. Найдем ширину комнаты.
Известно, что длина комнаты равна $5 \frac{7}{20}$ м, и это на $1 \frac{9}{20}$ м больше ширины. Чтобы найти ширину, нужно из длины вычесть эту разницу.
$5 \frac{7}{20} - 1 \frac{9}{20}$
Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{7}{20}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{9}{20}$), необходимо преобразовать смешанное число $5 \frac{7}{20}$, "заняв" единицу у целой части:
$5 \frac{7}{20} = 4 + 1 + \frac{7}{20} = 4 + \frac{20}{20} + \frac{7}{20} = 4 \frac{27}{20}$
Теперь выполним вычитание:
$4 \frac{27}{20} - 1 \frac{9}{20} = (4-1) + (\frac{27-9}{20}) = 3 \frac{18}{20}$ м.
Итак, ширина комнаты составляет $3 \frac{18}{20}$ м.

2. Вычислим периметр комнаты.
Бордюрную ленту нужно приклеить по периметру потолка. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2 \times (a+b)$, где $a$ — длина, а $b$ — ширина.
$P = 2 \times (5 \frac{7}{20} + 3 \frac{18}{20})$
Сначала найдем сумму длины и ширины:
$5 \frac{7}{20} + 3 \frac{18}{20} = (5+3) + (\frac{7+18}{20}) = 8 \frac{25}{20}$ м.
Дробь $\frac{25}{20}$ является неправильной, преобразуем ее в смешанное число: $1 \frac{5}{20}$.
Значит, сумма длины и ширины равна $8 + 1 \frac{5}{20} = 9 \frac{5}{20}$ м.
Теперь умножим полученную сумму на 2, чтобы найти периметр:
$P = 2 \times 9 \frac{5}{20} = 2 \times \frac{9 \times 20 + 5}{20} = 2 \times \frac{185}{20} = \frac{370}{20} = \frac{37}{2} = 18,5$ м.
Периметр потолка комнаты равен $18,5$ м.

3. Рассчитаем необходимое количество рулонов.
Общая длина бордюрной ленты, которая нам нужна, составляет $18,5$ м. В одном рулоне содержится $10$ м ленты. Чтобы найти количество рулонов, разделим общую длину на длину ленты в одном рулоне:
$18,5 \div 10 = 1,85$ рулона.
Поскольку рулоны продаются только целиком, необходимое количество нужно округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.
$1,85 \approx 2$.
Следовательно, необходимо купить 2 рулона бордюрной ленты.

Ответ: необходимо купить 2 рулона.

5.304 Протяжённость Москвы-реки составляет около 480 км. При этом в черте города её протяжённость в 5 раз меньше, чем за пределами Москвы. На сколько километров длина реки за пределами города больше, чем в его черте?

Для решения задачи введем переменную. Пусть протяжённость Москвы-реки в черте города составляет $x$ км. Согласно условию, протяжённость реки за пределами Москвы в 5 раз больше, следовательно, она равна $5x$ км.

Общая протяжённость реки составляет 480 км, что является суммой её участков внутри города и за его пределами. Можем составить и решить уравнение:

$x + 5x = 480$

$6x = 480$

$x = 480 \div 6$

$x = 80$

Итак, протяжённость реки в черте города ($x$) равна 80 км.

Теперь найдем протяжённость реки за пределами города:

$5x = 5 \cdot 80 = 400$ км.

Вопрос задачи заключается в том, на сколько километров длина реки за пределами города больше, чем в его черте. Для этого необходимо найти разность между этими двумя значениями:

$400 - 80 = 320$ км.

Ответ: на 320 км.

5.305 В первую группу альпинистов прибыли 24 новых участника, и в двух группах стало 64 участника. Сколько участников стало в первой группе, если первоначально в ней было в 4 раза меньше участников, чем во второй группе?

Для решения этой задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем, сколько всего участников было в двух группах первоначально. Из условия известно, что после прибытия 24 новых участников в первую группу, общее число участников в обеих группах стало 64. Это означает, что до прибытия новых людей общее количество было на 24 меньше:

$64 - 24 = 40$ (участников).

2. Обозначим первоначальное количество участников в первой группе через переменную $x$. Согласно условию, в первой группе было в 4 раза меньше участников, чем во второй. Следовательно, во второй группе было $4x$ участников.

3. Теперь мы можем составить уравнение, так как мы знаем общее первоначальное количество участников в двух группах:

$x + 4x = 40$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$5x = 40$

$x = 40 \div 5$

$x = 8$

Таким образом, первоначально в первой группе было 8 участников.

4. Вопрос задачи — сколько участников стало в первой группе. Чтобы найти это значение, к первоначальному количеству участников первой группы нужно прибавить 24 новых участника:

$8 + 24 = 32$ (участника).

Проверка:
Изначально в первой группе было 8 участников, а во второй $4 \times 8 = 32$ участника.
После пополнения в первой группе стало $8 + 24 = 32$ участника. Во второй группе так и осталось 32 участника.
Общее количество в двух группах стало $32 + 32 = 64$ участника, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: в первой группе стало 32 участника.

5.306 Из 820 мотка пряжи связали шапку, из 320 — варежки, а из остальной части — шарф. Сколько метров нити ушло на шарф, если в мотке было 600 м нити?

Для решения этой задачи нужно выполнить несколько действий. Сначала мы узнаем, какая суммарная часть пряжи была потрачена на шапку и варежки. Затем определим, какая часть осталась на шарф. И в конце вычислим, сколько метров пряжи составляет эта оставшаяся часть.

1. Найдем, какая часть мотка ушла на шапку и варежки вместе.

Для этого сложим части пряжи, потраченные на каждое изделие:

$\frac{8}{20} + \frac{3}{20} = \frac{8+3}{20} = \frac{11}{20}$

Таким образом, на шапку и варежки было израсходовано $\frac{11}{20}$ всего мотка.

2. Определим, какая часть мотка осталась на шарф.

Весь моток пряжи — это целое, то есть 1 или $\frac{20}{20}$. Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого вычесть часть, которая уже потрачена:

$1 - \frac{11}{20} = \frac{20}{20} - \frac{11}{20} = \frac{20-11}{20} = \frac{9}{20}$

Следовательно, на шарф пошла $\frac{9}{20}$ часть мотка пряжи.

3. Рассчитаем, сколько метров нити ушло на шарф.

В мотке было 600 метров нити. Чтобы найти, сколько метров составляет $\frac{9}{20}$ от 600, нужно общее количество метров умножить на эту дробь:

$600 \times \frac{9}{20} = \frac{600 \times 9}{20} = 30 \times 9 = 270$ м.

Итак, на вязание шарфа ушло 270 метров нити.

Ответ: на шарф ушло 270 метров нити.

5.307 Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику, если периметр прямоугольника равен 68 см, а его ширина — 9 см.

По условию задачи, квадрат и прямоугольник равновелики, что означает, что их площади равны. Обозначим сторону квадрата как $a$, а стороны прямоугольника — как $l$ (длина) и $w$ (ширина). Таким образом, площадь квадрата $S_{кв} = a^2$, а площадь прямоугольника $S_{пр} = l \cdot w$. Из условия равновеликости следует, что $S_{кв} = S_{пр}$.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину прямоугольника, используя его периметр и ширину.
2. Вычислить площадь прямоугольника.
3. Так как площади равны, найти сторону квадрата, зная его площадь.

1. Нахождение длины прямоугольника

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. По условию, периметр $P = 68$ см, а ширина $w = 9$ см. Подставим известные значения в формулу:

$68 = 2(l + 9)$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти полупериметр (сумму длины и ширины):

$l + 9 = \frac{68}{2}$

$l + 9 = 34$

Теперь выразим длину $l$:

$l = 34 - 9 = 25$ см.

2. Вычисление площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину: $S_{пр} = l \cdot w$.

$S_{пр} = 25 \cdot 9 = 225$ см².

3. Нахождение стороны квадрата

Поскольку квадрат равновелик прямоугольнику, его площадь $S_{кв}$ также равна 225 см².

$S_{кв} = 225$ см².

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: $S_{кв} = a^2$. Чтобы найти сторону $a$, нужно извлечь квадратный корень из площади:

$a = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{225}$

$a = 15$ см.

Ответ: 15 см.

5.308 Найдите значение выражения:

а) $2111 - ((9744 : 24 + 102) \cdot 2 - 275)$

Для нахождения значения выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала действия в скобках (деление, затем сложение), затем умножение и вычитание в больших скобках, и в конце основное вычитание. Распишем решение по шагам:

1. Выполним деление в самых внутренних скобках: $9744 : 24 = 406$.
2. Теперь выполним сложение в тех же скобках: $406 + 102 = 508$.
3. Полученный результат умножим на 2: $508 \cdot 2 = 1016$.
4. Далее выполним вычитание: $1016 - 275 = 741$.
5. Выполним последнее действие: $2111 - 741 = 1370$.

Ответ: 1370

б) $2000 - ((908 - 26828 : 38) \cdot 8 + 84)$

Решим второе выражение, соблюдая установленный порядок арифметических действий. Распишем решение по шагам:

1. Первое действие — деление в скобках: $26828 : 38 = 706$.
2. Второе действие — вычитание в тех же скобках: $908 - 706 = 202$.
3. Третье действие — умножение результата на 8: $202 \cdot 8 = 1616$.
4. Четвертое действие — сложение: $1616 + 84 = 1700$.
5. Пятое, заключительное действие — вычитание: $2000 - 1700 = 300$.

Ответ: 300

1 Выполните сложение:

а) Чтобы сложить целое число и смешанное число, необходимо сложить их целые части, а дробную часть смешанного числа оставить без изменений.
$2 + 3\frac{1}{5} = (2 + 3) + \frac{1}{5} = 5 + \frac{1}{5} = 5\frac{1}{5}$
Ответ: $5\frac{1}{5}$

б) Сложение смешанного и целого числа выполняется аналогично: складываем целые части, а дробную часть дописываем к результату.
$4\frac{1}{4} + 15 = (4 + 15) + \frac{1}{4} = 19 + \frac{1}{4} = 19\frac{1}{4}$
Ответ: $19\frac{1}{4}$

в) При сложении двух смешанных чисел мы отдельно складываем их целые части и отдельно — дробные.
Сначала сложим целые части: $23 + 7 = 30$.
Затем сложим дробные части. Так как знаменатели одинаковые, складываем числители: $\frac{12}{13} + \frac{2}{13} = \frac{12+2}{13} = \frac{14}{13}$.
В результате сложения дробных частей получилась неправильная дробь $\frac{14}{13}$. Выделим из нее целую часть: $\frac{14}{13} = 1\frac{1}{13}$.
Теперь прибавим эту целую часть к результату сложения целых частей: $30 + 1\frac{1}{13} = 31\frac{1}{13}$.
Ответ: $31\frac{1}{13}$

г) Выполним сложение по тому же правилу: отдельно сложим целые части и отдельно — дробные.
Складываем целые части: $2 + 5 = 7$.
Складываем дробные части: $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{2+2}{3} = \frac{4}{3}$.
Полученная дробь $\frac{4}{3}$ является неправильной. Преобразуем ее в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Сложим полученные целые части: $7 + 1\frac{1}{3} = 8\frac{1}{3}$.
Ответ: $8\frac{1}{3}$