Страница 53, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

В равенстве 15 – 8 = 7 назовите уменьшаемое, вычитаемое, разность.

В математическом выражении, описывающем операцию вычитания, числа имеют специальные названия. В данном равенстве $15 - 8 = 7$:

• число 15 является уменьшаемым (это число, из которого вычитают);
• число 8 является вычитаемым (это число, которое вычитают);
• число 7 является разностью (это результат вычитания).

Ответ: Уменьшаемое — 15, вычитаемое — 8, разность — 7.

Какое действие называют вычитанием? Как называют числа при вычитании?

Вычитанием называют арифметическое действие, обратное сложению. С помощью вычитания находят разность двух чисел, то есть определяют, на сколько одно число больше другого, или какая часть останется от целого, если из него удалить некоторую часть.

Числа, участвующие в операции вычитания, называются компонентами вычитания:
Уменьшаемое — число, из которого вычитают.
Вычитаемое — число, которое вычитают.
Разность — результат, полученный в ходе вычитания.

Ответ: Вычитание — это действие нахождения разности двух чисел. Числа при вычитании называются уменьшаемое, вычитаемое и разность.

Как узнать, на сколько одно число больше другого?

Чтобы определить, на сколько одно число больше другого, необходимо из большего числа вычесть меньшее. Полученный результат (разность) и будет ответом на этот вопрос.

Например, чтобы узнать, на сколько число 23 больше числа 16, нужно выполнить вычитание: $23 - 16 = 7$. Таким образом, число 23 больше числа 16 на 7.

Ответ: Нужно из большего числа вычесть меньшее.

На координатной прямой покажите разность чисел 5 и 2.

Разность чисел 5 и 2 вычисляется как $5 - 2 = 3$. На координатной прямой это действие можно представить как движение от точки с координатой 5 на 2 единицы влево. Начав движение из точки 5 и сместившись на 2 единицы в отрицательном направлении (влево), мы попадём в точку с координатой 3. Эта точка и представляет разность чисел 5 и 2.

Ответ: Разность чисел 5 и 2 равна 3. На координатной прямой это соответствует перемещению из точки 5 на 2 единицы влево, в точку 3.

Как из числа вычесть сумму двух слагаемых?

Существует два способа вычесть сумму из числа. Правило вычитания суммы из числа формулируется так: $a - (b + c) = a - b - c$.

1. Сначала найти сумму слагаемых, а затем вычесть полученный результат из числа. Например: $30 - (10 + 5) = 30 - 15 = 15$.
2. Вычесть из числа каждое слагаемое поочередно. Например: $30 - (10 + 5) = 30 - 10 - 5 = 20 - 5 = 15$.

Второй способ часто бывает удобнее для устных вычислений.

Ответ: Чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вычесть каждое слагаемое по очереди.

Как из суммы двух слагаемых вычесть число? Поясните на координатной прямой.

Чтобы вычесть число из суммы двух слагаемых, можно использовать один из следующих способов, который основан на правиле $(a + b) - c$:

1. Найти сумму, а затем из нее вычесть число: $(a + b) - c$.
2. Вычесть число из одного из слагаемых, а затем к результату прибавить другое слагаемое: $(a - c) + b$ или $a + (b - c)$.

Поясним на координатной прямой на примере $(7 + 5) - 4$.
1. Сначала выполним сложение $7 + 5$. На координатной прямой это движение из точки 0 на 7 единиц вправо (в точку 7), а затем еще на 5 единиц вправо (в точку 12).
2. Затем выполним вычитание. Из точки 12 нужно вычесть 4, то есть сдвинуться на 4 единицы влево. Мы окажемся в точке 8.

Ответ: $(7 + 5) - 4 = 12 - 4 = 8$. Результат на координатной прямой — точка 8.

Чему равна разность равных чисел? Поясните на координатной прямой.

Разность двух равных чисел всегда равна нулю. Это можно записать в виде формулы: $a - a = 0$.
На координатной прямой это означает, что если мы начнем с некоторой точки и переместимся на такое же расстояние влево, мы всегда вернемся в начало отсчета (точку 0).
Например, рассмотрим $4 - 4 = 0$. Мы начинаем в точке 4. Вычитание 4 означает движение на 4 единицы влево. Переместившись на 4 единицы влево от точки 4, мы попадаем в точку 0.

Ответ: Разность равных чисел равна нулю.

Покажите на примере, как можно проверить действия сложения; вычитания.

Проверка арифметических действий важна для обеспечения точности вычислений. Сложение и вычитание — взаимообратные операции, поэтому они используются для проверки друг друга.

Проверка сложения
Сложение проверяется вычитанием. Чтобы проверить, правильно ли найдена сумма, нужно из этой суммы вычесть одно из слагаемых. В результате должно получиться второе слагаемое.
Пример: $48 + 22 = 70$.
Проверка: $70 - 22 = 48$ (верно), или $70 - 48 = 22$ (верно).

Проверка вычитания
Вычитание проверяется сложением. Чтобы проверить, правильно ли найдена разность, нужно к этой разности прибавить вычитаемое. В результате должно получиться уменьшаемое.
Пример: $95 - 30 = 65$.
Проверка: $65 + 30 = 95$ (верно).
Также вычитание можно проверить другим вычитанием: из уменьшаемого вычесть разность. В результате должно получиться вычитаемое.
Проверка: $95 - 65 = 30$ (верно).

Ответ: Сложение проверяется вычитанием ($a+b=c \Rightarrow c-a=b$), а вычитание — сложением ($a-b=c \Rightarrow c+b=a$).

2.61 Какое число предшествует числу 37? Найдите разность:

а) 66 - 1;

б) 597 — 1;

в) 10 000 - 1. Сделайте вывод.

Чтобы узнать, какое число предшествуует числу 37, нужно найти рпзность 37 - 1 = 36.

а) 66 - 1 = 65;
б) 597 - 1 = 596;
в) 10 000 - 1 = 9999.

При вычитании 1 из числа мы получаем число, предшествующее данному.

Предшествующее число — это число, которое в натуральном ряду стоит непосредственно перед данным числом. Чтобы найти число, предшествующее числу 37, нужно из 37 вычесть 1.
$37 - 1 = 36$
Ответ: Числу 37 предшествует число 36.

а) Найдем разность:
$66 - 1 = 65$
Ответ: 65.

б) Найдем разность:
$597 - 1 = 596$
Ответ: 596.

в) Найдем разность:
$10 000 - 1 = 9999$
Ответ: 9999.

Вывод:
Во всех приведенных примерах результат вычитания единицы из натурального числа равен числу, которое ему предшествует. Таким образом, можно сделать вывод: чтобы найти число, предшествующее данному натуральному числу, необходимо вычесть из него единицу.

2.62 Вычислите 87 — 18. Сколько раз надо вычесть 1 из числа 87, чтобы получить 69?

87 - 18 = 69

Из числа 87 нужно вычесть 18 раз единицу, чтобы получить 69.

Вычислите 87 - 18.

Для того чтобы найти разность двух чисел, 87 и 18, выполним операцию вычитания. Это можно сделать в столбик или последовательно.

1. Вычитаем из десятков десятки: $80 - 10 = 70$.

2. Вычитаем из единиц единицы: $7 - 8$. Так как 7 меньше 8, займем 1 десяток из 70. Получим $17 - 8 = 9$.

3. Оставшиеся десятки: $70 - 10 = 60$.

4. Складываем результат: $60 + 9 = 69$.

Таким образом, математическое выражение выглядит так:

$87 - 18 = 69$

Ответ: 69

Сколько раз надо вычесть 1 из числа 87, чтобы получить 69?

Эта задача сводится к нахождению разницы между начальным числом (87) и конечным числом (69). Каждое вычитание единицы уменьшает число на 1. Следовательно, общее количество вычитаний равно числу, на которое уменьшилось исходное значение.

Обозначим искомое количество раз через $n$. Тогда можно составить уравнение:

$87 - n \cdot 1 = 69$

Упрощаем:

$87 - n = 69$

Чтобы найти вычитаемое $n$, нужно из уменьшаемого 87 вычесть разность 69:

$n = 87 - 69$

$n = 18$

Значит, нужно 18 раз вычесть 1 из числа 87, чтобы получить 69.

Ответ: 18

2 Выполните вычитание:

а) Чтобы вычесть целое число из смешанного числа, нужно вычесть целые части, а дробную часть оставить без изменений.
$10\frac{3}{4} - 9 = (10 - 9) + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}$
Ответ: $1\frac{3}{4}$

б) Чтобы вычесть одно смешанное число из другого с одинаковыми знаменателями, нужно отдельно вычесть целые части и отдельно дробные части.
$4\frac{3}{17} - 3\frac{2}{17} = (4 - 3) + (\frac{3}{17} - \frac{2}{17}) = 1 + \frac{3 - 2}{17} = 1 + \frac{1}{17} = 1\frac{1}{17}$
Ответ: $1\frac{1}{17}$

в) Выполняем вычитание аналогично предыдущему примеру. Целые части равны, поэтому их разность равна нулю. Вычитаем только дробные части.
$35\frac{3}{67} - 35\frac{2}{67} = (35 - 35) + (\frac{3}{67} - \frac{2}{67}) = 0 + \frac{3 - 2}{67} = \frac{1}{67}$
Ответ: $\frac{1}{67}$

г) В данном случае дробная часть уменьшаемого ($\frac{23}{87}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{25}{87}$). Поэтому необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого и представить ее в виде дроби со знаменателем 87.
$56\frac{23}{87} = 55 + 1 + \frac{23}{87} = 55 + \frac{87}{87} + \frac{23}{87} = 55 + \frac{87 + 23}{87} = 55\frac{110}{87}$
Теперь можно выполнить вычитание:
$55\frac{110}{87} - 43\frac{25}{87} = (55 - 43) + (\frac{110}{87} - \frac{25}{87}) = 12 + \frac{110 - 25}{87} = 12 + \frac{85}{87} = 12\frac{85}{87}$
Ответ: $12\frac{85}{87}$

3 На координатной прямой отмечены числа $2\frac{3}{8},$$5\frac{1}{9},$$34\frac{12}{15}$ и $130\frac{11}{210}.$

Между какими соседними натуральными числами расположено каждое из этих чисел?

Чтобы определить, между какими соседними натуральными числами расположено смешанное число, необходимо рассмотреть его целую и дробную части. Любое смешанное число вида $A\frac{b}{c}$, где $A$ – это целая часть, а $\frac{b}{c}$ – правильная дробная часть (то есть числитель $b$ меньше знаменателя $c$), всегда будет больше, чем его целая часть $A$, и меньше, чем следующее за ним натуральное число $A+1$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $A < A\frac{b}{c} < A+1$.

Для числа $2\frac{3}{8}$

Целая часть данного числа – это 2. Дробная часть $\frac{3}{8}$ является правильной дробью, так как числитель 3 меньше знаменателя 8. Это означает, что $0 < \frac{3}{8} < 1$. Следовательно, число $2\frac{3}{8}$ больше 2, но меньше 3. Запишем это в виде неравенства: $2 < 2\frac{3}{8} < 3$.

Ответ: число расположено между 2 и 3.

Для числа $5\frac{1}{9}$

Целая часть этого числа – 5. Дробная часть $\frac{1}{9}$ является правильной дробью ($1 < 9$), поэтому $0 < \frac{1}{9} < 1$. Таким образом, число $5\frac{1}{9}$ находится в промежутке между 5 и 6. Неравенство: $5 < 5\frac{1}{9} < 6$.

Ответ: число расположено между 5 и 6.

Для числа $34\frac{12}{15}$

Целая часть числа равна 34. Дробная часть $\frac{12}{15}$ является правильной дробью, так как $12 < 15$, а значит $0 < \frac{12}{15} < 1$. Следовательно, число $34\frac{12}{15}$ больше 34, но меньше 35. Неравенство: $34 < 34\frac{12}{15} < 35$.

Ответ: число расположено между 34 и 35.

Для числа $130\frac{11}{210}$

Целая часть этого числа – 130. Дробная часть $\frac{11}{210}$ является правильной дробью ($11 < 210$), поэтому $0 < \frac{11}{210} < 1$. Таким образом, число $130\frac{11}{210}$ находится в промежутке между 130 и 131. Неравенство: $130 < 130\frac{11}{210} < 131$.

Ответ: число расположено между 130 и 131.

4 Найдите значения а, при которых частное 12 : а будет:

а) правильной дробью;

б) неправильной дробью;

в) натуральным числом.

$12:a$

а) Частное $12:a$ будет правильной дробью, если $12:a = \frac{12}{a}$ и $a>12$.

Это возможно при $a = 13;14;15;\dots$

б) Частное $12:a$ будет неправильной дробью, если $12:a = \frac{12}{a}$ и знаменатель $a$ будет меньше $12$ или $a = 12$. Это возможно при $a = 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12$.

в) Частное $12:a$ будет натуральным числом, если деление выполнено без остатка.

Это возможно при $a = 1;2;3;4;6;12$.

Частное $12 : a$ можно записать в виде дроби $\frac{12}{a}$. Для решения задачи будем считать, что $a$ является натуральным числом ($a \in \mathbb{N}$), так как речь идет о правильных и неправильных дробях, а также натуральных числах. Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

а) правильной дробью;

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. В нашем случае числитель равен 12. Чтобы дробь $\frac{12}{a}$ была правильной, знаменатель $a$ должен быть больше числителя 12.

Математически это условие записывается как неравенство:

$a > 12$

Поскольку $a$ — это натуральное число, оно может принимать любые целочисленные значения, начиная с 13.

Ответ: $a$ — любое натуральное число, большее 12 (например: 13, 14, 15, ...).

б) неправильной дробью;

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Для дроби $\frac{12}{a}$ это означает, что числитель 12 должен быть больше или равен знаменателю $a$.

Запишем это в виде неравенства:

$12 \ge a$

Учитывая, что $a$ — натуральное число ($a \ge 1$), возможными значениями для $a$ являются все натуральные числа от 1 до 12 включительно.

Ответ: $a$ может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

в) натуральным числом.

Частное $12 : a$ будет натуральным числом в том случае, если 12 делится на $a$ без остатка. Это означает, что $a$ должно быть натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12:

$12 \div 1 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$12 \div 3 = 4$
$12 \div 4 = 3$
$12 \div 6 = 2$
$12 \div 12 = 1$

Таким образом, натуральными делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Ответ: $a$ может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 6, 12.