Страница 60, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

5.353 Составьте три треугольных и три квадратных числа. Найдите закономерность составления и треугольных, и квадратных чисел.

Треугольные числа:

- $1 + 2 = 3$

- $1 + 2 + 3 = 6$

- $1 + 2 + 3 + 4 = 10$

- $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

- $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$

Квадратные числа:

$4 = 2^2$

$9 = 3^2$

$16 = 4^2$

$25 = 5^2$

$36 = 6^2$

Составьте три треугольных и три квадратных числа.

Треугольные числа — это числа, которые можно представить в виде равностороннего треугольника, составленного из точек. Они получаются путем последовательного сложения натуральных чисел.Примеры трех треугольных чисел:

Первое: $1$

Второе: $1 + 2 = 3$

Третье: $1 + 2 + 3 = 6$

Квадратные числа — это числа, которые можно представить в виде квадрата, составленного из точек. Они являются результатом умножения натурального числа на само себя (возведения в квадрат).Примеры трех квадратных чисел:

Первое: $1^2 = 1$

Второе: $2^2 = 4$

Третье: $3^2 = 9$

Ответ: Три треугольных числа: 1, 3, 6. Три квадратных числа: 1, 4, 9.

Найдите закономерность составления и треугольных, и квадратных чисел.

Закономерность составления треугольных чисел:

Каждое n-ое треугольное число, обозначаемое как $T_n$, является суммой первых n натуральных чисел. Чтобы найти следующее треугольное число в последовательности, нужно к предыдущему числу прибавить порядковый номер нового числа.Например, $T_1 = 1$, $T_2 = T_1 + 2 = 3$, $T_3 = T_2 + 3 = 6$, и так далее.Общая формула для нахождения n-го треугольного числа: $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Закономерность составления квадратных чисел:

Каждое n-ое квадратное число, обозначаемое как $S_n$, является квадратом натурального числа n. Чтобы получить последовательность квадратных чисел, нужно последовательно возводить в квадрат натуральные числа: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ и так далее.Общая формула для нахождения n-го квадратного числа: $S_n = n^2$.

Ответ: Закономерность для треугольных чисел — каждое n-ое число является суммой натуральных чисел от 1 до n. Закономерность для квадратных чисел — каждое n-ое число является квадратом натурального числа n.

5.354 Кирилл прочитал за три дня 60 страниц книги, хотя планировал прочитать 54 страницы. В первый день он прочитал треть запланированных страниц, во второй день — 13 всех прочитанных за три дня страниц книги. Сколько страниц прочитал Кирилл в третий день?

Для того чтобы найти, сколько страниц Кирилл прочитал в третий день, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Рассчитаем количество страниц, прочитанных в первый день.

В условии сказано, что в первый день Кирилл прочитал треть от запланированного количества страниц. Запланировано было 54 страницы. Чтобы найти треть, нужно разделить это число на 3 или умножить на $\frac{1}{3}$.

$54 \cdot \frac{1}{3} = \frac{54}{3} = 18$ страниц.

Итак, в первый день Кирилл прочитал 18 страниц.

2. Рассчитаем количество страниц, прочитанных во второй день.

Во второй день он прочитал $\frac{1}{3}$ от всех страниц, прочитанных за три дня. Всего за три дня было прочитано 60 страниц. Рассчитаем, сколько страниц было прочитано во второй день.

$60 \cdot \frac{1}{3} = \frac{60}{3} = 20$ страниц.

Во второй день Кирилл прочитал 20 страниц.

3. Рассчитаем количество страниц, прочитанных в третий день.

Мы знаем общее количество страниц, прочитанных за три дня (60), и количество страниц, прочитанных в первый (18) и второй (20) дни. Чтобы найти, сколько страниц было прочитано в третий день, нужно из общего количества вычесть сумму страниц за первые два дня.

Сумма страниц за первые два дня:

$18 + 20 = 38$ страниц.

Количество страниц за третий день:

$60 - 38 = 22$ страницы.

Ответ: в третий день Кирилл прочитал 22 страницы.

5.355 Вычислите:

1) $\frac{5}{13} + \frac{4}{13} - \frac{6}{13} = \frac{5 + 4 - 6}{13} = \frac{9 - 6}{13} = \frac{3}{13}$

2) $\frac{9}{25} - \frac{6}{25} + \frac{2}{25} = \frac{9 - 6 + 2}{25} = \frac{3 + 2}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

3) $5\frac{2}{7} - 4\frac{1}{7} + 3\frac{4}{7} = 5 + \frac{2}{7} - \left(4 + \frac{1}{7}\right) + 3 + \frac{4}{7}$

$= 5 + \frac{2}{7} - 4 - \frac{1}{7} + 3 + \frac{4}{7} = \left(5 - 4 + 3\right) + \left(\frac{2}{7} - \frac{1}{7} + \frac{4}{7}\right)$

$= 4 + \frac{2 - 1 + 4}{7} = 4 + \frac{1 + 4}{7} = 4 + \frac{5}{7} = 4\frac{5}{7}$

4) $9\frac{5}{14} + 1\frac{3}{14} - 6\frac{1}{14} = 9 + \frac{5}{14} + 1 + \frac{3}{14} - \left(6 + \frac{1}{14}\right)$

$= 9 + \frac{5}{14} + 1 + \frac{3}{14} - 6 - \frac{1}{14}$

$= \left(9 + 1 - 6\right) + \left(\frac{5}{14} + \frac{3}{14} - \frac{1}{14}\right)$

$= 4 + \frac{5 + 3 - 1}{14} = 4 + \frac{8 - 1}{14} = 4 + \frac{7}{14} = 4 + \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$

1) Так как знаменатели всех дробей одинаковы, мы можем выполнить сложение и вычитание их числителей.
$\frac{5}{13} + \frac{4}{13} - \frac{6}{13} = \frac{5 + 4 - 6}{13} = \frac{9 - 6}{13} = \frac{3}{13}$
Ответ: $\frac{3}{13}$

2) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому выполним действия с числителями.
$\frac{9}{25} - \frac{6}{25} + \frac{2}{25} = \frac{9 - 6 + 2}{25} = \frac{3 + 2}{25} = \frac{5}{25}$
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 5.
$\frac{5}{25} = \frac{5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

3) Для вычисления выражения со смешанными числами, у которых одинаковая дробная часть, удобно сгруппировать целые и дробные части.
$5\frac{2}{7} - 4\frac{1}{7} + 3\frac{4}{7} = (5 - 4 + 3) + (\frac{2}{7} - \frac{1}{7} + \frac{4}{7})$
Вычислим целую часть: $5 - 4 + 3 = 1 + 3 = 4$.
Вычислим дробную часть: $\frac{2}{7} - \frac{1}{7} + \frac{4}{7} = \frac{2 - 1 + 4}{7} = \frac{5}{7}$.
Сложим результат: $4 + \frac{5}{7} = 4\frac{5}{7}$.
Ответ: $4\frac{5}{7}$

4) Сгруппируем отдельно целые и дробные части, так как знаменатели у дробных частей одинаковы.
$9\frac{5}{14} + 1\frac{3}{14} - 6\frac{1}{14} = (9 + 1 - 6) + (\frac{5}{14} + \frac{3}{14} - \frac{1}{14})$
Вычислим целую часть: $9 + 1 - 6 = 10 - 6 = 4$.
Вычислим дробную часть: $\frac{5}{14} + \frac{3}{14} - \frac{1}{14} = \frac{5 + 3 - 1}{14} = \frac{7}{14}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7: $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.
Объединим целую и дробную части: $4 + \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$.
Ответ: $4\frac{1}{2}$

5.356 1) От лесозаготовительного пункта до деревоперерабатывающего завода лес сначала сплавляли по реке, скорость течения которой 6 км/ч, а затем буксировали по озеру. Найдите расстояние от лесозаготовительного пункта до деревоперерабатывающего завода, если сплав по реке занял 3 ч, а буксировка по озеру — 2 ч со скоростью 8 км/ч.

2) От пристани до острова на реке турист плыл 3 ч на плоту со скоростью 2 км/ч, затем он шёл до лагеря 2 ч со скоростью 4 км/ч. Найдите расстояние от пристани до лагеря.

1) Чтобы найти общее расстояние от лесозаготовительного пункта до деревоперерабатывающего завода, необходимо сложить расстояние, которое лес проплыл по реке, и расстояние, которое его буксировали по озеру. Расстояние находится по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Сначала вычислим расстояние, пройденное по реке. Когда лес сплавляют, он движется со скоростью течения реки.

Скорость течения реки: $v_{река} = 6$ км/ч.

Время сплава по реке: $t_{река} = 3$ ч.

Расстояние, пройденное по реке, составляет: $S_{река} = v_{река} \cdot t_{река} = 6 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 18$ км.

Далее вычислим расстояние, пройденное по озеру. В озере нет течения, поэтому скорость движения равна скорости буксировки.

Скорость буксировки по озеру: $v_{озеро} = 8$ км/ч.

Время буксировки по озеру: $t_{озеро} = 2$ ч.

Расстояние, пройденное по озеру, составляет: $S_{озеро} = v_{озеро} \cdot t_{озеро} = 8 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 16$ км.

Теперь найдем общее расстояние, сложив оба участка пути.

$S_{общ} = S_{река} + S_{озеро} = 18 \text{ км} + 16 \text{ км} = 34$ км.

Ответ: 34 км.

2) Чтобы найти общее расстояние от пристани до лагеря, нужно сложить расстояние, которое турист проплыл на плоту, и расстояние, которое он прошел пешком.

Сначала определим расстояние, которое турист проплыл на плоту. Скорость плота на реке равна скорости течения реки.

Скорость плота: $v_{плот} = 2$ км/ч.

Время движения на плоту: $t_{плот} = 3$ ч.

Расстояние, пройденное на плоту: $S_{плот} = v_{плот} \cdot t_{плот} = 2 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 6$ км.

Затем определим расстояние, которое турист прошел пешком от острова до лагеря.

Скорость ходьбы: $v_{пешком} = 4$ км/ч.

Время ходьбы: $t_{пешком} = 2$ ч.

Расстояние, пройденное пешком: $S_{пешком} = v_{пешком} \cdot t_{пешком} = 4 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 8$ км.

Общее расстояние от пристани до лагеря равно сумме двух этих расстояний.

$S_{общ} = S_{плот} + S_{пешком} = 6 \text{ км} + 8 \text{ км} = 14$ км.

Ответ: 14 км.

5.357 Сократите дроби:

а) Чтобы сократить дробь, нужно разделить её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

• Дробь $ \frac{6}{10} $. НОД(6, 10) = 2.
  $ \frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5} $

• Дробь $ \frac{6}{18} $. НОД(6, 18) = 6.
  $ \frac{6}{18} = \frac{6 \div 6}{18 \div 6} = \frac{1}{3} $

• Дробь $ \frac{9}{15} $. НОД(9, 15) = 3.
  $ \frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5} $

• Дробь $ \frac{9}{24} $. НОД(9, 24) = 3.
  $ \frac{9}{24} = \frac{9 \div 3}{24 \div 3} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{5}, \frac{1}{3}, \frac{3}{5}, \frac{3}{8} $.

б) Сокращаем дроби, находя НОД для числителя и знаменателя.

• Дробь $ \frac{2}{12} $. НОД(2, 12) = 2.
  $ \frac{2}{12} = \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6} $

• Дробь $ \frac{3}{15} $. НОД(3, 15) = 3.
  $ \frac{3}{15} = \frac{3 \div 3}{15 \div 3} = \frac{1}{5} $

• Дробь $ \frac{30}{6} $. Это неправильная дробь. НОД(30, 6) = 6.
  $ \frac{30}{6} = \frac{30 \div 6}{6 \div 6} = \frac{5}{1} = 5 $

• Дробь $ \frac{7}{42} $. НОД(7, 42) = 7.
  $ \frac{7}{42} = \frac{7 \div 7}{42 \div 7} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, 5, \frac{1}{6} $.

в) Сокращаем дроби, находя НОД для числителя и знаменателя.

• Дробь $ \frac{12}{60} $. НОД(12, 60) = 12.
  $ \frac{12}{60} = \frac{12 \div 12}{60 \div 12} = \frac{1}{5} $

• Дробь $ \frac{99}{22} $. Это неправильная дробь. НОД(99, 22) = 11.
  $ \frac{99}{22} = \frac{99 \div 11}{22 \div 11} = \frac{9}{2} $

• Дробь $ \frac{5}{100} $. НОД(5, 100) = 5.
  $ \frac{5}{100} = \frac{5 \div 5}{100 \div 5} = \frac{1}{20} $

• Дробь $ \frac{20}{1000} $. НОД(20, 1000) = 20.
  $ \frac{20}{1000} = \frac{20 \div 20}{1000 \div 20} = \frac{1}{50} $

Ответ: $ \frac{1}{5}, \frac{9}{2}, \frac{1}{20}, \frac{1}{50} $.

5.358 Запишите в виде несократимой дроби:

а)

Чтобы записать выражение $ \frac{7 \cdot 4}{14 \cdot 3} $ в виде несократимой дроби, необходимо сократить общие множители в числителе и знаменателе.

Представим число 14 в знаменателе как произведение $ 7 \cdot 2 $:

$ \frac{7 \cdot 4}{14 \cdot 3} = \frac{7 \cdot 4}{(7 \cdot 2) \cdot 3} $

Теперь мы можем сократить общий множитель 7 в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{7} \cdot 4}{\cancel{7} \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} $

Полученную дробь $ \frac{4}{6} $ также можно сократить, так как и числитель (4), и знаменатель (6) делятся на 2:

$ \frac{4}{6} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3} $

Дробь $ \frac{2}{3} $ является несократимой, так как числа 2 и 3 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $ \frac{2}{3} $

б)

Рассмотрим дробь $ \frac{2 \cdot 9}{9 \cdot 10} $.

В числителе и знаменателе есть общий множитель 9. Сократим дробь на 9:

$ \frac{2 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 10} = \frac{2}{10} $

Теперь сократим дробь $ \frac{2}{10} $. Общий делитель для числителя и знаменателя равен 2:

$ \frac{2}{10} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{5} $

Дробь $ \frac{1}{5} $ является несократимой.

Ответ: $ \frac{1}{5} $

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{9 \cdot 7 \cdot 13}{7 \cdot 13 \cdot 18} $.

В числителе и знаменателе есть общие множители 7 и 13. Сократим их:

$ \frac{9 \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{13}}{\cancel{7} \cdot \cancel{13} \cdot 18} = \frac{9}{18} $

Полученную дробь $ \frac{9}{18} $ можно сократить. Представим знаменатель 18 как $ 9 \cdot 2 $:

$ \frac{9}{18} = \frac{9}{9 \cdot 2} $

Сократим общий множитель 9:

$ \frac{\cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 2} = \frac{1}{2} $

Дробь $ \frac{1}{2} $ является несократимой.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

5.359 Выполните действие и сократите дробную часть полученного результата:

а) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.
$ \frac{14}{18} - \frac{5}{18} = \frac{14 - 5}{18} = \frac{9}{18} $
Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. НОД(9, 18) = 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:
$ \frac{9 \div 9}{18 \div 9} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$ \frac{5}{22} + \frac{6}{22} = \frac{5 + 6}{22} = \frac{11}{22} $
Сократим полученную дробь. НОД(11, 22) = 11. Разделим числитель и знаменатель на 11:
$ \frac{11 \div 11}{22 \div 11} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Чтобы вычесть смешанные числа, нужно отдельно вычесть их целые части и их дробные части.
$ 6\frac{7}{12} - 1\frac{3}{12} = (6 - 1) + (\frac{7}{12} - \frac{3}{12}) $
Вычитаем целые части: $ 6 - 1 = 5 $.
Вычитаем дробные части: $ \frac{7}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7 - 3}{12} = \frac{4}{12} $.
Результат: $ 5\frac{4}{12} $.
Теперь сократим дробную часть. НОД(4, 12) = 4.
$ \frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3} $
Окончательный результат: $ 5\frac{1}{3} $.
Ответ: $ 5\frac{1}{3} $

г) Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно сложить их целые части и их дробные части.
$ 7\frac{5}{27} + 3\frac{4}{27} = (7 + 3) + (\frac{5}{27} + \frac{4}{27}) $
Складываем целые части: $ 7 + 3 = 10 $.
Складываем дробные части: $ \frac{5}{27} + \frac{4}{27} = \frac{5 + 4}{27} = \frac{9}{27} $.
Результат: $ 10\frac{9}{27} $.
Теперь сократим дробную часть. НОД(9, 27) = 9.
$ \frac{9 \div 9}{27 \div 9} = \frac{1}{3} $
Окончательный результат: $ 10\frac{1}{3} $.
Ответ: $ 10\frac{1}{3} $

5.360 Представьте в виде несократимой дроби:

а) Чтобы представить дробь $ \frac{45}{100} $ в виде несократимой дроби, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя, а затем разделить их на этот НОД.
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$ 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $
$ 100 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^2 $
Наибольший общий делитель для 45 и 100 — это общие множители в наименьшей степени. В данном случае это $ 5 $.
$ НОД(45, 100) = 5 $.
Разделим числитель и знаменатель на НОД:
$ \frac{45}{100} = \frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20} $.
Дробь $ \frac{9}{20} $ является несократимой, так как НОД(9, 20) = 1.
Ответ: $ \frac{9}{20} $.

б) Чтобы представить дробь $ \frac{75}{1000} $ в виде несократимой дроби, найдем НОД для числителя и знаменателя.
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$ 75 = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 5^2 $
$ 1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 $
Наибольший общий делитель для 75 и 1000 — это общие множители в наименьшей степени. В данном случае это $ 5^2 = 25 $.
$ НОД(75, 1000) = 25 $.
Разделим числитель и знаменатель на НОД:
$ \frac{75}{1000} = \frac{75 \div 25}{1000 \div 25} = \frac{3}{40} $.
Дробь $ \frac{3}{40} $ является несократимой, так как НОД(3, 40) = 1.
Ответ: $ \frac{3}{40} $.

в) Чтобы представить дробь $ \frac{1125}{1500} $ в виде несократимой дроби, найдем НОД для числителя и знаменателя.
Можно сокращать дробь поэтапно. Заметим, что оба числа оканчиваются на 0 или 5, значит, они делятся на 5. Кроме того, оба числа делятся на 25.
$ \frac{1125 \div 25}{1500 \div 25} = \frac{45}{60} $.
Теперь сократим полученную дробь $ \frac{45}{60} $. Оба числа делятся на 15 (или последовательно на 5, а затем на 3).
$ \frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4} $.
Для проверки можно найти НОД исходных чисел через разложение на простые множители:
$ 1125 = 5 \cdot 225 = 5 \cdot 15^2 = 5 \cdot (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^3 $
$ 1500 = 15 \cdot 100 = (3 \cdot 5) \cdot 10^2 = 3 \cdot 5 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^3 $
$ НОД(1125, 1500) = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375 $.
Разделим числитель и знаменатель на НОД:
$ \frac{1125 \div 375}{1500 \div 375} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $.

5.361 В пяти больших и трёх маленьких мешочках 132 шарика, а в трёх больших и трёх маленьких мешочках 84 шарика. Сколько шариков в одном большом мешочке?

Для решения этой задачи сравним два набора мешочков, описанных в условии.

Первый набор состоит из 5 больших и 3 маленьких мешочков, в которых всего 132 шарика.

Второй набор состоит из 3 больших и 3 маленьких мешочков, в которых всего 84 шарика.

Поскольку количество маленьких мешочков в обоих наборах одинаково, разница в общем количестве шариков вызвана исключительно разницей в количестве больших мешочков.

Вычислим разницу в общем количестве шариков: $132 - 84 = 48$ шариков.

Теперь вычислим разницу в количестве больших мешочков: $5 - 3 = 2$ больших мешочка.

Следовательно, в двух больших мешочках находится 48 шариков. Чтобы определить, сколько шариков в одном большом мешочке, разделим 48 на 2: $48 : 2 = 24$ шарика.

Ответ: в одном большом мешочке 24 шарика.