Страница 65, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.155 Числа 982, 929, 950, 935, 864, 875 дополните до 1000.

982 + 18 = 1000

929 + 71 = 1000

950 + 50 = 1000

935 + 65 = 1000

864 + 136 = 1000

875 + 125 = 1000

Чтобы дополнить каждое из данных чисел до 1000, необходимо найти разность между 1000 и этим числом. Это действие также называют нахождением дополнения. Выполним вычисления для каждого числа.

982
Для нахождения дополнения вычтем 982 из 1000:
$1000 - 982 = 18$
Ответ: 18.

929
Выполним вычитание:
$1000 - 929 = 71$
Ответ: 71.

950
Выполним вычитание:
$1000 - 950 = 50$
Ответ: 50.

935
Выполним вычитание:
$1000 - 935 = 65$
Ответ: 65.

864
Выполним вычитание:
$1000 - 864 = 136$
Ответ: 136.

875
Выполним вычитание:
$1000 - 875 = 125$
Ответ: 125.

2.156 Какие натуральные числа расположены на координатной прямой между числами:

а) 61 и 66;

б) 998 и 1003?

Ответ: 62, 63, 64, 65.

Ответ: 999, 1000, 1001, 1002.

а)

Чтобы найти натуральные числа, расположенные на координатной прямой между числами 61 и 66, необходимо определить все натуральные числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству:

$61 < x < 66$

Это означает, что искомые числа должны быть строго больше 61 и строго меньше 66. Начнем перечислять натуральные числа, следующие за 61:

Первое такое число — это 62.

Второе — 63.

Третье — 64.

Четвертое — 65.

Следующее натуральное число, 66, уже не удовлетворяет условию $x < 66$, поэтому оно не входит в искомый набор. Таким образом, между числами 61 и 66 расположены числа 62, 63, 64, 65.

Ответ: 62, 63, 64, 65.

б)

Аналогично, чтобы найти натуральные числа, расположенные между 998 и 1003, мы ищем все натуральные числа $y$, которые удовлетворяют неравенству:

$998 < y < 1003$

Искомые числа должны быть больше 998 и меньше 1003. Начнем перечислять натуральные числа, которые больше 998:

Первое такое число — 999.

Второе — 1000.

Третье — 1001.

Четвертое — 1002.

Следующее число, 1003, не удовлетворяет условию $y < 1003$, поэтому оно не является решением. Таким образом, между числами 998 и 1003 расположены числа 999, 1000, 1001, 1002.

Ответ: 999, 1000, 1001, 1002.

2.157 Точки O(0), S(26) и N(13) отмечены на координатной прямой.

а) На сколько единичных отрезков отрезок ON короче отрезка OS?

б) Во сколько раз отрезок ON короче отрезка OS?

ON = 13; OS = 26.

а) OS - ON = 26 - 13 = 13 (ед. отр.)

б) OS : ON = 26 : 13 = 2 (р)

Ответ: а) на 13 единичных отрезков: б) в 2 раза.

2.158 Найдите значение выражения:

а) 3 см 4 мм • 5;

б) 4 ц 6 кг • 8;

в) 6 т 3 ц : 2;

г) 10 дм 12 мм : 2.

а) Для вычисления значения выражения $3 \text{ см } 4 \text{ мм } \cdot 5$ необходимо привести величины к одной единице измерения. Переведем сантиметры в миллиметры, зная, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
$3 \text{ см } 4 \text{ мм} = 3 \cdot 10 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 34 \text{ мм}$.
Теперь выполним умножение:
$34 \text{ мм} \cdot 5 = 170 \text{ мм}$.
Для удобства представления результата переведем миллиметры обратно в сантиметры:
$170 \text{ мм} = 17 \text{ см}$.
Ответ: 17 см.

б) Для вычисления $4 \text{ ц } 6 \text{ кг } \cdot 8$ переведем все в килограммы. В одном центнере 100 килограммов: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$4 \text{ ц } 6 \text{ кг} = 4 \cdot 100 \text{ кг} + 6 \text{ кг} = 406 \text{ кг}$.
Выполним умножение:
$406 \text{ кг} \cdot 8 = 3248 \text{ кг}$.
Представим результат в более крупных единицах. Так как $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$ и $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$:
$3248 \text{ кг} = 3000 \text{ кг} + 200 \text{ кг} + 48 \text{ кг} = 3 \text{ т } 2 \text{ ц } 48 \text{ кг}$.
Ответ: 3 т 2 ц 48 кг.

в) Для вычисления $6 \text{ т } 3 \text{ ц } : 2$ переведем все в наименьшую из представленных единиц — центнеры, а затем в килограммы, чтобы избежать дробного результата при делении. В одной тонне 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$), в одном центнере 100 килограммов ($1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$).
$6 \text{ т } 3 \text{ ц} = 6 \cdot 10 \text{ ц} + 3 \text{ ц} = 63 \text{ ц}$.
Переведем в килограммы:
$63 \text{ ц} = 63 \cdot 100 \text{ кг} = 6300 \text{ кг}$.
Теперь выполним деление:
$6300 \text{ кг} : 2 = 3150 \text{ кг}$.
Переведем результат обратно в тонны, центнеры и килограммы:
$3150 \text{ кг} = 3000 \text{ кг} + 100 \text{ кг} + 50 \text{ кг} = 3 \text{ т } 1 \text{ ц } 50 \text{ кг}$.
Ответ: 3 т 1 ц 50 кг.

г) В выражении $10 \text{ дм } 12 \text{ мм } : 2$ каждая из величин (дециметры и миллиметры) делится на 2 без остатка, поэтому можно выполнить деление для каждой единицы измерения отдельно.
$10 \text{ дм} : 2 = 5 \text{ дм}$.
$12 \text{ мм} : 2 = 6 \text{ мм}$.
Сложив результаты, получаем $5 \text{ дм } 6 \text{ мм}$.
Для проверки можно перевести все в миллиметры ($1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$):
$10 \text{ дм } 12 \text{ мм} = 10 \cdot 100 \text{ мм} + 12 \text{ мм} = 1012 \text{ мм}$.
$1012 \text{ мм} : 2 = 506 \text{ мм}$.
$506 \text{ мм} = 500 \text{ мм} + 6 \text{ мм} = 5 \text{ дм } 6 \text{ мм}$.
Результаты совпадают.
Ответ: 5 дм 6 мм.

2.159 Назовите порядок выполнения действий:

а) 1200 : 3 : 10;

б) 856 : 8 • 100;

в) 297 - 88 + 34;

г) 235 + 97 + 49.

Есть ли другой порядок действий, приводящий к тому же результату?

а) 1200 : 3 : 10 = (1200 : 3) : 10 = 40

или

1200 : 3 : 10 = (1200 : 10) : 3 = 40

б) 856 : 8 · 100 = (856 : 8) · 100 = 10700

или

856 : 8 · 100 = (856 · 100) : 8 = 85600 : 8 = 10700

в) 297 - 88 + 34 = (297 - 88) + 34 = 243

или

297 - 88 + 34 = (297 + 34) - 88 = 243

г) 235 + 97 + 49 = (235 + 97) + 49 = 381

или

235 + 97 + 49 = 235 + (97 + 49) = 381

или

235 + 97 + 49 = (235+ 49) + 97 = 381

а) $1200 : 3 : 10$

В выражении присутствуют только действия деления. Такие действия относятся к одной ступени и выполняются по порядку слева направо.

1. $1200 : 3 = 400$

2. $400 : 10 = 40$

Да, существует другой порядок действий, который приведет к тому же результату. Деление на несколько чисел можно заменить делением на их произведение. Также можно поменять местами делители, так как $a : b : c = a : c : b$.

Альтернативный порядок:

1. $1200 : 10 = 120$

2. $120 : 3 = 40$

Результат не изменился.

Ответ: стандартный порядок — сначала деление на 3, затем деление на 10. Да, есть другой порядок: сначала разделить 1200 на 10, а затем результат разделить на 3. Итоговый результат: 40.

б) $856 : 8 \cdot 100$

В выражении присутствуют действия деления и умножения. Это действия одной ступени, поэтому они выполняются по порядку слева направо.

1. $856 : 8 = 107$

2. $107 \cdot 100 = 10700$

Да, существует другой порядок действий. Можно использовать свойство $(a : b) \cdot c = (a \cdot c) : b$. То есть, можно сначала умножить число на множитель, а потом разделить на делитель.

Альтернативный порядок:

1. $856 \cdot 100 = 85600$

2. $85600 : 8 = 10700$

Результат не изменился.

Ответ: стандартный порядок — сначала деление на 8, затем умножение на 100. Да, есть другой порядок: сначала умножить 856 на 100, а затем результат разделить на 8. Итоговый результат: 10700.

в) $297 - 88 + 34$

В выражении присутствуют действия вычитания и сложения. Это действия одной ступени, и они выполняются по порядку слева направо.

1. $297 - 88 = 209$

2. $209 + 34 = 243$

Да, существует другой порядок действий. Используя переместительное свойство сложения ($a - b + c = a + c - b$), можно сначала выполнить сложение, а затем вычитание.

Альтернативный порядок:

1. $297 + 34 = 331$

2. $331 - 88 = 243$

Результат не изменился.

Ответ: стандартный порядок — сначала вычитание, затем сложение. Да, есть другой порядок: сначала сложить 297 и 34, а затем из результата вычесть 88. Итоговый результат: 243.

г) $235 + 97 + 49$

В выражении присутствуют только действия сложения. По правилам, действия выполняются слева направо.

1. $235 + 97 = 332$

2. $332 + 49 = 381$

Да, существует другой порядок действий. Благодаря сочетательному и переместительному свойствам сложения, слагаемые можно складывать в любом удобном порядке.

Альтернативный порядок:

1. $97 + 49 = 146$

2. $235 + 146 = 381$

Результат не изменился.

Ответ: стандартный порядок — сначала сложить 235 и 97, затем к результату прибавить 49. Да, есть другой порядок: можно складывать числа в любом порядке, например, сначала сложить 97 и 49, а затем к результату прибавить 235. Итоговый результат: 381.

2.160 Верно ли утверждение:

а) если уменьшаемое уменьшить на 100, то и разность уменьшится на 100;

б) если вычитаемое увеличить на 100, то и разность увеличится на 100;

в) если уменьшаемое и вычитаемое уменьшить на 100, то разность не изменится?

а - уменьшаемое;
в - вычитаемое;
с - разность;
а - в = с

а) (а - 100) - в = (а - в) - 100 = с - 100.

Ответ: верно, разность уменьшиться на 100.

б) а - (в + 100) = а - в - 100 = (а - в) - 100 = с - 100.

Ответ: неверно, разность уменьшиться на 100.

в) (а - 100) - (в - 100) = а - в, так как пусть а = 400, в = 300, тогда а - в = 400 - 300 = 100; с = 100;

(400 - 100) - (300 - 100) = 300 - 200 = 100.

Ответ: верно, разность не изменится.

а) Давайте проверим это утверждение. Обозначим уменьшаемое как $a$, вычитаемое как $b$ и разность как $c$. Исходное равенство: $c = a - b$.
Если уменьшаемое уменьшить на 100, то новое уменьшаемое будет равно $a - 100$. Вычитаемое $b$ при этом не меняется.
Найдем новую разность $c_{нов}$:
$c_{нов} = (a - 100) - b$
Раскрыв скобки, мы можем перегруппировать слагаемые:
$c_{нов} = (a - b) - 100$
Так как исходная разность $c = a - b$, то мы получаем:
$c_{нов} = c - 100$
Это означает, что новая разность действительно на 100 меньше исходной. Утверждение верно.
Ответ: да.

б) Проверим второе утверждение. Используем те же обозначения: $c = a - b$.
Если вычитаемое увеличить на 100, то новое вычитаемое будет равно $b + 100$. Уменьшаемое $a$ не меняется.
Найдем новую разность $c_{нов}$:
$c_{нов} = a - (b + 100)$
Раскроем скобки. Знак минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$c_{нов} = a - b - 100$
Перегруппируем слагаемые:
$c_{нов} = (a - b) - 100$
Подставляя $c = a - b$, получаем:
$c_{нов} = c - 100$
Это означает, что разность уменьшится на 100, а не увеличится. Утверждение неверно.
Ответ: нет.

в) Проверим последнее утверждение. Исходное равенство: $c = a - b$.
Если и уменьшаемое, и вычитаемое уменьшить на 100, то новое уменьшаемое будет $a - 100$, а новое вычитаемое — $b - 100$.
Найдем новую разность $c_{нов}$:
$c_{нов} = (a - 100) - (b - 100)$
Раскроем скобки:
$c_{нов} = a - 100 - b + 100$
Числа $-100$ и $+100$ взаимно уничтожаются:
$c_{нов} = a - b$
Так как исходная разность $c = a - b$, то мы получаем, что $c_{нов} = c$.
Это означает, что разность не изменится. Утверждение верно.
Ответ: да.

2.161 Общая масса слона со слонёнком 59 ц 61 кг, а масса слонёнка на 49 ц 89 кг меньше массы слона. Найдите массу слонёнка в килограммах.

Условие задачи можно показать с помощью схемы:

59 ц 61 кг = 5961 кг

49 ц 89 кг = 4989 кг

(5961 - 4989) : 2 = 486 кг

Ответ: 486 кг.

2.162 Из цифр 0, 4, 7, 9 составили трёхзначные числа, цифры в записи которых не повторяются. Сколько таких чисел получили?

В записи трёхзначного числа первой цифрой (сотни) может быть любая цифра, кроме 0, второй (десятки) - любая из трёх оставшихся, третьей (единицы) - любая из двух оставшихся. Построим дерево вариантов:

Получили трёхзначное числа 407, 409, 470, 479, 490, 497, ... и т.д.

Таких чисел 3 · 3 · 2 = 18.

Ответ: 18 чисел.

Для того чтобы составить трёхзначное число из цифр {0, 4, 7, 9}, в котором цифры не повторяются, необходимо последовательно определить количество возможных вариантов для каждого разряда: сотен, десятков и единиц.
1. Разряд сотен: Первой цифрой трёхзначного числа не может быть 0. Поэтому на эту позицию можно выбрать любую из цифр {4, 7, 9}. Всего 3 варианта.
2. Разряд десятков: Вторая цифра может быть любой из оставшихся. Так как одна цифра уже использована для разряда сотен, а всего у нас 4 цифры, то остаётся $4 - 1 = 3$ варианта. Например, если для сотен мы выбрали 4, то для десятков остаются {0, 7, 9}.
3. Разряд единиц: Для этой позиции остаются две цифры, так как две уже были использованы для сотен и десятков. Таким образом, остаётся $4 - 2 = 2$ варианта.
Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции, согласно комбинаторному правилу умножения:
$3 \times 3 \times 2 = 18$
Следовательно, можно составить 18 различных трёхзначных чисел.
Ответ: 18

2.163 Какие цифры закрашены в верных примерах?

2.164 Отрезок АВ разделён точками М и K на три отрезка АМ, МК и КВ. Найдите:

а) длину отрезка АВ, если АМ = 17 см, МК меньше АМ на 14 см, а АМ больше КВ на 4 см;

б) длину отрезка КВ, если АВ = 61 см, МК = 24 см, а АМ больше МК на 5 см;

в) расстояние между точками М и К, если АВ = 75 см, АК = 30 см, МВ = 51 см.

1) 17 - 14 = 3 (см) — длина MK

2) 17 - 4 = 13 (см) — длина KB

$3) 17 \stackrel{20}{+} 3 + 13 = 33 (\mathrm{см})$ — длина AB

Ответ: 33 см.

1) 24 + 5 = 29 (см) — длина AM

2) 29 + 24 = 53 (см) — длина AK

3) 61 - 53 = 8 (см) — длина KB

Ответ: 8 см.

1) 75 - 30 = 45 (см) — длина KB

2) 51 - 45 = 6 (см) — длина MК

Ответ: 6 см.

а) По условию задачи, отрезок $AB$ состоит из трех последовательных отрезков $AM$, $MK$ и $KB$. Следовательно, его длина вычисляется как сумма длин этих отрезков: $AB = AM + MK + KB$.
Найдем длины каждого отрезка по отдельности:
1. Длина отрезка $AM$ дана и равна 17 см.
2. Длина отрезка $MK$ на 14 см меньше длины $AM$. Вычислим её:
$MK = AM - 14 \text{ см} = 17 - 14 = 3$ см.
3. Длина отрезка $AM$ на 4 см больше длины $KB$. Это значит, что $KB$ на 4 см меньше $AM$. Вычислим длину $KB$:
$KB = AM - 4 \text{ см} = 17 - 4 = 13$ см.
Теперь, зная длины всех трёх частей, найдем общую длину отрезка $AB$:
$AB = AM + MK + KB = 17 + 3 + 13 = 33$ см.
Ответ: 33 см.

б) Основное соотношение для длин отрезков остается тем же: $AB = AM + MK + KB$. Из этой формулы мы можем выразить искомую длину отрезка $KB$: $KB = AB - AM - MK$.
Нам даны следующие значения:
1. Длина всего отрезка $AB = 61$ см.
2. Длина отрезка $MK = 24$ см.
3. Длина отрезка $AM$ на 5 см больше длины $MK$. Найдем $AM$:
$AM = MK + 5 \text{ см} = 24 + 5 = 29$ см.
Теперь мы можем подставить найденные и данные значения в формулу для $KB$:
$KB = 61 - 29 - 24 = 61 - 53 = 8$ см.
Ответ: 8 см.

в) Нам необходимо найти расстояние между точками $M$ и $K$, то есть длину отрезка $MK$.
Дано: $AB = 75$ см, $AK = 30$ см, $MB = 51$ см.
Точки $M$ и $K$ лежат на отрезке $AB$. Рассмотрим, как связаны данные отрезки.
Отрезок $AK$ является частью отрезка $AB$ и состоит из отрезков $AM$ и $MK$: $AK = AM + MK$.
Отрезок $MB$ также является частью $AB$ и состоит из отрезков $MK$ и $KB$: $MB = MK + KB$.
Сложим длины отрезков $AK$ и $MB$:
$AK + MB = (AM + MK) + (MK + KB)$.
Перегруппируем слагаемые: $AK + MB = (AM + MK + KB) + MK$.
Выражение в скобках $AM + MK + KB$ представляет собой полную длину отрезка $AB$. Таким образом, мы получаем формулу:
$AK + MB = AB + MK$.
Из этого равенства выразим искомую длину $MK$:
$MK = AK + MB - AB$.
Подставим числовые значения из условия задачи:
$MK = 30 + 51 - 75 = 81 - 75 = 6$ см.
Ответ: 6 см.

2.165 Вычислите:

1) 203 • 26 - (3292 + 2579) : 57;

2) 2072 : 37 + (2626 - 2419) • 27.

$1) 203 \stackrel{2}{·} 26 \stackrel{4}{-} (3292 \stackrel{1}{+} 2579) \stackrel{3}{:} 57 = 5175$

$2) 2072 \stackrel{2}{:} 37 \stackrel{4}{+} (2626 \stackrel{1}{-} 2419) \stackrel{3}{·} 27 = 5645$

2.166 1) Цена одного кубометра холодной воды равна а р., а одного кубометра горячей воды - х р. Составьте выражение для расчёта стоимости расхода 15 кубометров холодной воды и 10 кубометров горячей воды. Узнайте цену холодного и горячего водоснабжения в вашем регионе и найдите значение полученного выражения.

2) Одна минута разговора по мобильному телефону внутри региона стоит у р., а в роуминге - 6 р. Составьте выражение для расчёта стоимости 240 мин разговора внутри региона и 150 мин в роуминге. Узнайте свой тариф и найдите значение полученного выражения.

1)

(15а + 10х) р. общая стоимость при а = 36 р., х = 125 р.

15 · 36 + 10 · 125 = 1790 (р.)

10 · 125 = 1250

Ответ: (15а + 10х) р.; 1790 р.

2)

(240у + 150в) р. при у = 10 р., в = 30 р.

$240 \stackrel{2400}{·}10 + 150 \stackrel{4500}{·}30 = 6900 (\mathrm{р}.)$

240 · 10 = 2400

150 · 30 = 4500

Ответ: (240у + 150в) р.; 6900 р.

1) Для того чтобы составить выражение для расчёта стоимости, необходимо умножить объём потреблённой воды (в кубометрах) на цену за один кубометр и сложить полученные значения для холодной и горячей воды.

Стоимость 15 кубометров холодной воды, где цена одного кубометра равна $a$ р., составляет: $15 \cdot a$ р.

Стоимость 10 кубометров горячей воды, где цена одного кубометра равна $x$ р., составляет: $10 \cdot x$ р.

Следовательно, общее выражение для расчёта стоимости расхода воды имеет вид: $15a + 10x$.

Далее найдём значение этого выражения. Тарифы на коммунальные услуги различаются в зависимости от региона. В качестве примера возьмём тарифы, действующие в г. Москве. По состоянию на начало 2024 года, цена одного кубометра холодной воды ($a$) составляет 59,88 р., а цена одного кубометра горячей воды ($x$) — 243,16 р.

Подставим эти значения в полученное выражение и произведём расчёт:

$15 \cdot 59,88 + 10 \cdot 243,16 = 898,2 + 2431,6 = 3329,8$ р.

Ответ: Выражение для расчёта стоимости: $15a + 10x$. При тарифах $a = 59,88$ р. и $x = 243,16$ р. стоимость составит 3329,80 р.

2) Аналогично первой задаче, составим выражение для расчёта стоимости телефонных разговоров. Для этого умножим количество минут на стоимость одной минуты для каждого типа звонков и сложим полученные результаты.

Стоимость 240 минут разговора внутри региона, где цена одной минуты равна $y$ р., составляет: $240 \cdot y$ р.

Стоимость 150 минут разговора в роуминге, где цена одной минуты равна $b$ р., составляет: $150 \cdot b$ р.

Таким образом, общее выражение для расчёта стоимости разговоров будет: $240y + 150b$.

Тарифы на мобильную связь сильно варьируются в зависимости от оператора и конкретного тарифного плана. Часто в тариф уже включены пакеты минут. Возьмём для примера условные цены, которые могут применяться при звонках сверх пакета или на тарифах без абонентской платы: стоимость минуты разговора внутри региона ($y$) — 3 р., а стоимость минуты в роуминге по стране ($b$) — 10 р.

Теперь подставим эти условные значения в наше выражение:

$240 \cdot 3 + 150 \cdot 10 = 720 + 1500 = 2220$ р.

Ответ: Выражение для расчёта стоимости: $240y + 150b$. При условных тарифах $y = 3$ р. и $b = 10$ р. стоимость составит 2220 р.

2.167 Вычислите.

а) Для решения этого примера выполним последовательно все указанные действия:
1. Умножение: $15 \cdot 6 = 90$
2. Деление: $90 : 18 = 5$
3. Умножение: $5 \cdot 19 = 95$
4. Сложение: $95 + 6 = 101$
Ответ: 101

б) Для решения этого примера выполним последовательно все указанные действия:
1. Вычитание: $88 - 19 = 69$
2. Деление: $69 : 23 = 3$
3. Умножение: $3 \cdot 15 = 45$
4. Сложение: $45 + 55 = 100$
Ответ: 100

в) Для решения этого примера выполним последовательно все указанные действия:
1. Вычитание: $100 - 19 = 81$
2. Деление: $81 : 3 = 27$
3. Сложение: $27 + 23 = 50$
4. Умножение: $50 \cdot 4 = 200$
Ответ: 200

г) Для решения этого примера выполним последовательно все указанные действия:
1. Вычитание: $80 - 16 = 64$
2. Деление: $64 : 8 = 8$
3. Умножение: $8 \cdot 11 = 88$
4. Сложение: $88 + 22 = 110$
Ответ: 110

д) Для решения этого примера выполним последовательно все указанные действия:
1. Вычитание: $60 - 11 = 49$
2. Деление: $49 : 7 = 7$
3. Умножение: $7 \cdot 15 = 105$
4. Вычитание: $105 - 25 = 80$
Ответ: 80

2.168 Найдите половину, треть и четверть каждого из чисел: 36; 60; 84; 120; 1200.

Чтобы найти половину, треть или четверть от числа, нужно разделить это число на 2, 3 или 4 соответственно. Выполним эти действия для каждого из предложенных чисел.

36

Половина от 36: $36 \div 2 = 18$
Треть от 36: $36 \div 3 = 12$
Четверть от 36: $36 \div 4 = 9$

Ответ: для числа 36 половина равна 18, треть – 12, четверть – 9.

60

Половина от 60: $60 \div 2 = 30$
Треть от 60: $60 \div 3 = 20$
Четверть от 60: $60 \div 4 = 15$

Ответ: для числа 60 половина равна 30, треть – 20, четверть – 15.

84

Половина от 84: $84 \div 2 = 42$
Треть от 84: $84 \div 3 = 28$
Четверть от 84: $84 \div 4 = 21$

Ответ: для числа 84 половина равна 42, треть – 28, четверть – 21.

120

Половина от 120: $120 \div 2 = 60$
Треть от 120: $120 \div 3 = 40$
Четверть от 120: $120 \div 4 = 30$

Ответ: для числа 120 половина равна 60, треть – 40, четверть – 30.

1200

Половина от 1200: $1200 \div 2 = 600$
Треть от 1200: $1200 \div 3 = 400$
Четверть от 1200: $1200 \div 4 = 300$

Ответ: для числа 1200 половина равна 600, треть – 400, четверть – 300.

2.169 Составьте задачу, которая решается с помощью выражения:

а) (87 - 14) + (62 - 12);

б) z + (55 - 27);

в) 111 - (z + x).

а) В одном контейнере было 87 кг яблок, а в другом - 62 кг. Сколько килограммов яблок осталось в двух контейнерах, если из первого контейнера продали 14 кг яблок, а из второго - 12 кг?

(87 - 14) + 62 - 12)

б) z + (55 - 27)

Швейная фабрика шьёт одежду двух типов: из хлопка и шерсти. Брюк из хлопка выпущено z штук, юбок из шерсти - 55 штук, а брюк из шести на 27 штук меньше, чем юбок из шерсти. Сколько всего брюк из хлопка и шерсти выпустила швейная фабрика?

в) 111 - (z + x)

В магазин привезли 111 кг чая. За первый месяц продали z кг, а за второй - х кг чая. Сколько килограммов чая осталось?

а) (87 – 14) + (62 – 12)

Составим задачу, решение которой соответствует данному выражению.

Задача: В одной бочке было 87 литров воды, а в другой — 62 литра. Из первой бочки для полива огорода взяли 14 литров воды, а из второй — 12 литров. Сколько всего литров воды осталось в обеих бочках?

Решение:
1. Найдем количество воды, оставшейся в первой бочке: $87 - 14 = 73$ литра.
2. Найдем количество воды, оставшейся во второй бочке: $62 - 12 = 50$ литров.
3. Найдем общее количество воды в двух бочках, сложив полученные результаты: $73 + 50 = 123$ литра.
Весь процесс решения можно записать одним выражением: $(87 – 14) + (62 – 12)$.

Ответ: 123 литра.

б) z + (55 – 27)

Составим задачу, решение которой соответствует данному выражению.

Задача: У мальчика было $z$ рублей. Папа дал ему 55 рублей, из которых мальчик потратил 27 рублей на мороженое. Сколько денег осталось у мальчика?

Решение:
1. Сначала определим, сколько денег осталось у мальчика от той суммы, что дал папа: $55 - 27 = 28$ рублей.
2. Теперь прибавим эту сумму к той, что была у мальчика изначально ($z$): $z + 28$ рублей.
Решение задачи можно записать одним выражением: $z + (55 - 27)$.

Ответ: $z + 28$ рублей.

в) 111 – (z + x)

Составим задачу, решение которой соответствует данному выражению.

Задача: С туристической базы должны были выехать 111 туристов. Утром уехала одна группа из $z$ туристов, а после обеда — другая группа из $x$ туристов. Сколько туристов еще осталось на базе?

Решение:
1. Найдем общее количество туристов, которые уехали с базы. Для этого сложим количество туристов в первой и второй группах: $z + x$ туристов.
2. Чтобы найти, сколько туристов осталось на базе, нужно из общего первоначального числа туристов вычесть общее число уехавших: $111 - (z + x)$ туристов.
Данное выражение и является решением задачи.

Ответ: $111 - (z + x)$ туристов.

5.391 а) Моторная лодка против течения реки шла 48 мин со скоростью 220 м/мин, а на обратный путь она затратила 33 мин. Найдите собственную скорость моторной лодки, если она постоянна.

б) Речной трамвай от одной пристани до другой идёт по течению реки 36 мин со скоростью 420 м/мин, а на обратный путь он затрачивает 45 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость речного трамвая постоянна.

а)

1) $220·48 = 10560\text{(м)}$ - путь лодки против течения$\begin{array}{rr}& 220\\ \times & 48\\ \overline{}& \overline{}\\ & 96\\ 88& \\ \overline{}& \overline{}\\ 10560& \end{array}$

2) $10560 : 33 = 320\text{(м/мин)}$ - скорость по течению$\begin{array}{rcl}10560& |& 33\\ -99& |& 320\\ \overline{}& |& \\ 66& |& \\ -66& |& \\ \overline{}& |& \\ 0& |& \end{array}$

3) $V_{\text{по мер}} = V_{\text{собств}} + V_{\text{мер}}$$V_{\text{против мер}} = V_{\text{собств}} - V_{\text{мер}}$$V_{\text{по мер}} + V_{\text{против мер}} = V_{\text{собств}} + V_{\text{мер}} + V_{\text{собств}} - V_{\text{мер}} = 2V_{\text{собств}}$Значит, $2V_{\text{собств}} = V_{\text{по мер}} + V_{\text{против мер}}$$V_{\text{собств}} = (V_{\text{по мер}} + V_{\text{против мер}}) : 2 = (320 + 220) : 2 = 540 : 2 = 270\text{(м/мин)}$$\begin{array}{rcl}540& |& 2\\ -4& |& 270\\ \overline{}& |& \\ 14& |& \\ -14& |& \\ \overline{}& |& \\ 0& |& \end{array}$

Ответ: 270 м/мин

б)

1) $420·36 = 15120\text{(м)}$ - путь по течению$\begin{array}{rr}& 420\\ \times & 36\\ \overline{}& \overline{}\\ & 2520\\ 126& \\ \overline{}& \overline{}\\ 15120& \end{array}$

2) $15120 : 45 = 336\text{(м/мин)}$ - скорость против течения$\begin{array}{rcl}15120& |& 45\\ -135& |& 336\\ \overline{}& |& \\ 162& |& \\ -135& |& \\ \overline{}& |& \\ 270& |& \\ -270& |& \\ \overline{}& |& \\ 0& |& \end{array}$

3) $V_{\text{по мер}} = V_{\text{собств}} + V_{\text{мер}}$$V_{\text{против мер}} = V_{\text{собств}} - V_{\text{мер}}$$V_{\text{по мер}} - V_{\text{против мер}} = (V_{\text{собств}} + V_{\text{мер}}) - (V_{\text{собств}} - V_{\text{мер}})$$= V_{\text{собств}} + V_{\text{мер}} - V_{\text{собств}} + V_{\text{мер}} = 2V_{\text{мер}}$$V_{\text{мер}} = (V_{\text{по мер}} - V_{\text{против мер}}) : 2 = (420 - 336) : 2 = 84 : 2 = 42\text{(м/мин)}$$\begin{array}{rr}& 420\\ -& 336\\ \overline{}& \overline{}\\ & 84\end{array}$

Ответ: 42 м/мин

а)

Обозначим собственную скорость моторной лодки как $v_{соб}$ (в м/мин), а скорость течения реки как $v_{теч}$ (в м/мин). Скорость лодки против течения ($v_{против}$) равна $v_{соб} - v_{теч}$, а скорость по течению ($v_{по}$) равна $v_{соб} + v_{теч}$.

По условию, лодка шла против течения 48 минут со скоростью 220 м/мин. Найдем расстояние, которое она прошла:

$S = v_{против} \cdot t_{против} = 220 \text{ м/мин} \cdot 48 \text{ мин} = 10560$ м.

На обратный путь по течению лодка затратила 33 минуты, пройдя то же самое расстояние. Найдем ее скорость по течению:

$v_{по} = S / t_{по} = 10560 \text{ м} / 33 \text{ мин} = 320$ м/мин.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$v_{соб} - v_{теч} = 220$
$v_{соб} + v_{теч} = 320$

Сложив эти два уравнения, получим:

$(v_{соб} - v_{теч}) + (v_{соб} + v_{теч}) = 220 + 320$
$2 \cdot v_{соб} = 540$
$v_{соб} = 540 / 2 = 270$ м/мин.

Ответ: собственная скорость моторной лодки равна 270 м/мин.

б)

Обозначим собственную скорость трамвая как $v_{соб}$ (в м/мин), а скорость течения реки как $v_{теч}$ (в м/мин). Скорость по течению ($v_{по}$) равна $v_{соб} + v_{теч}$, а скорость против течения ($v_{против}$) равна $v_{соб} - v_{теч}$.

По условию, речной трамвай шел по течению 36 минут со скоростью 420 м/мин. Найдем расстояние между пристанями:

$S = v_{по} \cdot t_{по} = 420 \text{ м/мин} \cdot 36 \text{ мин} = 15120$ м.

На обратный путь против течения трамвай затратил 45 минут. Найдем его скорость против течения:

$v_{против} = S / t_{против} = 15120 \text{ м} / 45 \text{ мин} = 336$ м/мин.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$v_{соб} + v_{теч} = 420$
$v_{соб} - v_{теч} = 336$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти скорость течения:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 420 - 336$
$2 \cdot v_{теч} = 84$
$v_{теч} = 84 / 2 = 42$ м/мин.

Ответ: скорость течения реки равна 42 м/мин.

5.392 Найдите значение выражения:

а) ${22962}^1:534 + {9936}^2:48{<mn>3</mn>}^{}:{25}^4 + {37}^5 · {43}^6 = 2021$

1) $\begin{array}{ll}22962& |534\\ \underset{¯}{-2136}& |43\\ 1602& \\ \underset{¯}{-1602}& \\ 0& \end{array}$

2) $\begin{array}{ll}9936& |48\\ \underset{¯}{-96}& |207\\ 336& \\ \underset{¯}{-336}& \\ 0& \end{array}$

3) $\begin{array}{r} + 207\\ \underset{¯}{43}\\ 250\end{array}$

4) $250:25 = 10$

5) $10 + 37 = 47$

6) $\begin{array}{r}\times 47\\ \underset{¯}{43}\\ 141\\ \underset{¯}{ + 188}\\ 2021\end{array}$

б) ${38}^3 · 203 + {75}^6 · {514}^1-476 + {15}^2 + 23 · {22}^5 = {11400}^7$

1) $\begin{array}{r}-514\\ \underset{¯}{476}\\ 38\end{array}$

2) $\begin{array}{r} + 15\\ \underset{¯}{23}\\ 38\end{array}$

3) $\begin{array}{r}\times 203\\ \underset{¯}{38}\\ + 1624\\ \underset{¯}{609}\\ 7714\end{array}$

4) $\begin{array}{r}\times 75\\ \underset{¯}{38}\\ + 600\\ \underset{¯}{225}\\ 2850\end{array}$

5) $\begin{array}{r}\times 38\\ \underset{¯}{22}\\ + 76\\ \underset{¯}{76}\\ 836\\ \end{array}$

6) $\begin{array}{r} + 7714\\ \underset{¯}{2850}\\ 10564\end{array}$

7) $\begin{array}{r} + 10564\\ \underset{¯}{836}\\ 11400\end{array}$

Значение данного выражения

можно найти с помощью распределительного свойства умножения

относительно сложения.