Страница 71, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.198 Решите уравнение:

а) 574 + x = 702;

б) 308 - x = 154;

в) x - 276 = 197.

а) $574 + x = 702$

В этом уравнении $x$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 702 - 574$

Выполним вычитание:

$x = 128$

Сделаем проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$574 + 128 = 702$

$702 = 702$

Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $128$

б) $308 - x = 154$

В данном уравнении $x$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 308 - 154$

Выполним вычитание:

$x = 154$

Сделаем проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$308 - 154 = 154$

$154 = 154$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено верно.

Ответ: $154$

в) $x - 276 = 197$

Здесь $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x = 197 + 276$

Выполним сложение:

$x = 473$

Сделаем проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$473 - 276 = 197$

$197 = 197$

Равенство верное, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $473$

2.199 Составьте уравнение и решите его:

а) задуманное число уменьшили на 150 и получили 920;

б) число 954 уменьшили на несколько единиц и получили 647.

а) Пусть задуманное число — это $x$. По условию, это число уменьшили на 150, что математически записывается как $x - 150$. В результате получили 920. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:
$x - 150 = 920$
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$, нужно к разности (920) прибавить вычитаемое (150):
$x = 920 + 150$
$x = 1070$
Таким образом, задуманное число равно 1070.
Ответ: 1070

б) Пусть количество единиц, на которое уменьшили число 954 — это $y$. По условию, число 954 уменьшили на $y$, что можно записать как $954 - y$. В результате получили 647. Составим уравнение:
$954 - y = 647$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого (954) вычесть разность (647):
$y = 954 - 647$
$y = 307$
Следовательно, число 954 уменьшили на 307.
Ответ: 307

2.200 Запишите выражение:

а) число 147 увеличить па разность чисел m и 34;

б) сумму чисел c и 263 уменьшить па 74.

а) 147 + (m - 34);

б) (c + 263) - 74.

а) Чтобы записать выражение "число 147 увеличить на разность чисел m и 34", нужно выполнить два действия. Сначала находим "разность чисел m и 34", что в математической форме записывается как $m - 34$. Затем, "число 147 увеличить на" эту разность означает, что к 147 нужно прибавить полученное выражение. Таким образом, итоговое выражение будет $147 + (m - 34)$. Скобки показывают, что мы прибавляем именно результат разности.
Ответ: $147 + (m - 34)$

б) Чтобы записать выражение "сумму чисел c и 263 уменьшить на 74", также нужно выполнить два действия. Сначала находим "сумму чисел c и 263", что записывается как $c + 263$. Затем, "уменьшить на 74" означает, что из этой суммы нужно вычесть число 74. В результате получаем выражение $(c + 263) - 74$. Скобки необходимы, чтобы показать, что 74 вычитается из всей суммы, а не только из числа 263.
Ответ: $(c + 263) - 74$

2.201 Найдите корень уравнения:

а) x + 47 = 75;

б) 146 + y = 232;

в) 74 - z = 25;

г) m - 97 = 16;

д) 3032 - n = 894;

е) p - 6393 = 3607.

а) В уравнении $x + 47 = 75$ переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x = 75 - 47$

$x = 28$

Проверка: $28 + 47 = 75$, что верно.

Ответ: $28$

б) В уравнении $146 + y = 282$ переменная $y$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$y = 282 - 146$

$y = 136$

Проверка: $146 + 136 = 282$, что верно.

Ответ: $136$

в) В уравнении $74 - z = 25$ переменная $z$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$z = 74 - 25$

$z = 49$

Проверка: $74 - 49 = 25$, что верно.

Ответ: $49$

г) В уравнении $m - 97 = 16$ переменная $m$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$m = 16 + 97$

$m = 113$

Проверка: $113 - 97 = 16$, что верно.

Ответ: $113$

д) В уравнении $3032 - n = 894$ переменная $n$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$n = 3032 - 894$

$n = 2138$

Проверка: $3032 - 2138 = 894$, что верно.

Ответ: $2138$

е) В уравнении $p - 6393 = 3607$ переменная $p$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$p = 3607 + 6393$

$p = 10000$

Проверка: $10000 - 6393 = 3607$, что верно.

Ответ: $10000$

2.202 Решите с помощью уравнения задачу:

а) В букете было несколько цветков. После того как в него добавили ещё 36 цветков, их стало 75. Сколько цветков было в букете?

б) На полке было несколько книг. Когда переставили с этой полки 19 книг на другую, на ней осталось 15 книг. Сколько книг было на полке?

в) Занятие в кружке для юных математиков длилось 1 ч 40 мин. Из них 39 мин ребята обсуждали домашнее задание. Сколько времени осталось на решение новых задач?

г) Витя пришёл в магазин с 1322 р. После покупки тетради у него осталось 1275 р. Сколько стоила тетрадь?

д) Скорость катера увеличили на 15 км/ч, и она стала равной 55 км/ч. Чему была равна скорость катера?

е) Если Миша пройдёт ещё 3 км, то весь его путь составит 10 км. Сколько километров уже прошёл Миша?

а) Пусть х цветков было в букете.

Было – х цв.
Добавили – 36 цв.
Столо – 75 цв.

х + 36 = 75
х = 75 - 36

х = 39

Ответ: 39 цветков.

б) Пусть х книг было на полке.

Было – х кн.
Переставили – 19 кн.
Осталось – 15 кн.

х - 19 = 15
х = 15 + 19

х = 34

Ответ: 34 книги.

в) 1 ч 40 мин = 60 мин + 40 мин = 100 мин

Пусть х мин осталось на решении новых задач.
Продолжительность занятия – 100 мин.
Решение задания – 39 мин.
Решение новых задач – х мин.

39 + х = 100
х = 100 - 39

х = 61

Ответ: 61 мин = 1 ч 1 мин.

г) Пусть х р. – стоимость тетради.

Было – 1322 р.
Потратили на полку - х р.
Осталось – 1275 р.

1322 - х = 1275
х = 1322 - 1275

х = 47

Ответ: 47 р.

д) Пусть х км/ч была скорость катера.

Была – х км/ч.
Увеличили – на 15 км/ч.
Стала – 55 км/ч.

х + 15 = 55
х = 55 - 15
х = 40

Ответ: 40 км/ч.

е) Пусть х км прошёл Миши.

Прошёл – х км.
Пройдёт ещё – 3 км.
Пройдёт всего – 10 км.

х + 3 = 10
х = 10 - 3
х = 7

Ответ: 7 км

Пусть $x$ — это первоначальное количество цветков в букете. По условию, когда к ним добавили 36 цветков, их стало 75. Составим уравнение на основе этих данных:

$x + 36 = 75$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, вычтем из суммы известное слагаемое:

$x = 75 - 36$

$x = 39$

Ответ: 39 цветков.

Пусть $y$ — это первоначальное количество книг на полке. После того как с полки переставили 19 книг, на ней осталось 15. Составим уравнение:

$y - 19 = 15$

Чтобы найти уменьшаемое $y$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$y = 15 + 19$

$y = 34$

Ответ: 34 книги.

Сначала переведем общее время занятия в минуты. В 1 часе 60 минут, следовательно, 1 час 40 минут — это $60 + 40 = 100$ минут. Пусть $t$ — это время в минутах, оставшееся на решение новых задач. Составим уравнение, где общее время равно сумме времени на домашнее задание и времени на новые задачи:

$t + 39 = 100$

Решим уравнение, чтобы найти $t$:

$t = 100 - 39$

$t = 61$

61 минута — это 1 час и 1 минута.

Ответ: 61 минута (или 1 ч 1 мин).

Пусть $p$ — это стоимость тетради в рублях. У Вити было 1322 рубля, а после покупки осталось 1275 рублей. Составим уравнение:

$1322 - p = 1275$

Чтобы найти вычитаемое $p$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$p = 1322 - 1275$

$p = 47$

Ответ: 47 рублей.

Пусть $v$ — это первоначальная скорость катера в км/ч. После увеличения на 15 км/ч она стала равной 55 км/ч. Составим уравнение:

$v + 15 = 55$

Найдем первоначальную скорость $v$:

$v = 55 - 15$

$v = 40$

Ответ: 40 км/ч.

Пусть $d$ — это расстояние в километрах, которое Миша уже прошёл. Если он пройдёт ещё 3 км, то весь путь составит 10 км. Составим уравнение:

$d + 3 = 10$

Найдем уже пройденное расстояние $d$:

$d = 10 - 3$

$d = 7$

Ответ: 7 км.

2.203 Составьте уравнение по схеме (рис. 2.20) и решите его.

АВ = 47 см,
ВС = х см,
АС = 71 см,
АС = АВ + ВС.

47 + х = 71
х = 71 - 47

х = 24

ВС = 24 см

Ответ: 24 см.

На схеме (рис. 2.20) показан отрезок AC, который состоит из двух отрезков: AB и BC. Длина всего отрезка равна сумме длин его частей. Математически это выражается формулой: $AC = AB + BC$.

По условию задачи, заданному на схеме, мы имеем следующие значения:
Длина отрезка AB = 47 см.
Длина отрезка BC = $x$ см.
Длина всего отрезка AC = 71 см.

Для того чтобы составить уравнение, подставим известные значения в формулу сложения отрезков:
$47 + x = 71$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти неизвестную величину $x$. Для этого вычтем 47 из обеих частей уравнения:
$x = 71 - 47$
$x = 24$

Таким образом, длина отрезка BC составляет 24 см.

Ответ: Уравнение: $47 + x = 71$; решение: $x = 24$.

2.204 Разбираемся в решении. Решите двумя способами уравнение:

a) (z - 23) + 48 = 130;

б) (x + 89) + 41 = 196;

в) (67 + y) - 47 = 112.

а) Решение. Решим уравнение (z - 23) + 48 = 130 двумя способами.

1. Сначала найдём неизвестное слагаемое z — 23:

z - 23 = 130 - 48, z - 23 = 82,

а потом найдём неизвестное уменьшаемое z:

z = 82 + 23, z = 105.

2. Упростим выражение, стоящее в левой части уравнения, пользуясь свойствами сложения:

z - 23 + 48 = 130, z + 25 = 130,

а затем найдём неизвестное слагаемое z:

z = 130 - 25, z = 105.

а) (z - 23) + 48 = 130

1.

z - 23 = 130 - 48

z - 23 = 82
z = 82 + 23

z = 105

2.

(z + 48) - 23 = 130
z + (48 - 23) = 130
z + 25 = 130
z = 130 - 25

z = 105

Ответ: 105.

б) (х + 89) + 41 = 196

1.

Найдём неизвестные слагаемые
х + 89
х + 89 = 196 - 41

х + 89 = 155

х = 155 - 89
х = 66

2.

Используем свойства сложения
х + (89 + 41) = 196

х + 130 = 196
х = 196 - 130
х = 66

Ответ: 66.

в) (67 + у) - 47 = 112

1.

Найдём неизвестное уменьшаемое
67 + у
67 + у = 112 + 47
67 + у = 159
у = 159 - 67

у = 92

2.

Используем свойство вычитания числа из суммы
(67 - 47) + у = 112
20 + у = 112
у = 112 - 20

у = 92

Ответ: 92.

а) $(z - 23) + 48 = 130$

Способ 1.

В этом уравнении выражение в скобках $(z - 23)$ является неизвестным слагаемым, 48 — известным слагаемым, а 130 — суммой. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$z - 23 = 130 - 48$

$z - 23 = 82$

Теперь получилось простое уравнение, в котором $z$ — неизвестное уменьшаемое, 23 — вычитаемое, 82 — разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$z = 82 + 23$

$z = 105$

Способ 2.

Упростим выражение в левой части уравнения. Для этого раскроем скобки и воспользуемся свойствами сложения. От перестановки слагаемых сумма не меняется.

$z - 23 + 48 = 130$

$z + (48 - 23) = 130$

$z + 25 = 130$

Теперь $z$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, вычтем из суммы известное слагаемое.

$z = 130 - 25$

$z = 105$

Ответ: $z = 105$.

б) $(x + 89) + 41 = 196$

Способ 1.

Рассмотрим выражение в скобках $(x + 89)$ как неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы (196) вычесть известное слагаемое (41).

$x + 89 = 196 - 41$

$x + 89 = 155$

Теперь $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы (155) вычесть известное слагаемое (89).

$x = 155 - 89$

$x = 66$

Способ 2.

Упростим левую часть уравнения, используя сочетательное свойство сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$. Раскроем скобки и сложим числа.

$x + (89 + 41) = 196$

$x + 130 = 196$

Теперь $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, вычтем из суммы (196) известное слагаемое (130).

$x = 196 - 130$

$x = 66$

Ответ: $x = 66$.

в) $(67 + y) - 47 = 112$

Способ 1.

В этом уравнении выражение в скобках $(67 + y)$ является неизвестным уменьшаемым, 47 — вычитаемым, 112 — разностью. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$67 + y = 112 + 47$

$67 + y = 159$

Теперь $y$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы (159) вычесть известное слагаемое (67).

$y = 159 - 67$

$y = 92$

Способ 2.

Упростим левую часть уравнения, используя свойство вычитания числа из суммы: $(a+b)-c=(a-c)+b$. Вычтем 47 из 67.

$(67 - 47) + y = 112$

$20 + y = 112$

Теперь $y$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, вычтем из суммы (112) известное слагаемое (20).

$y = 112 - 20$

$y = 92$

Ответ: $y = 92$.

5.435 Проверьте, что числа 220 и 284 являются дружественными числами.

Два натуральных числа называются дружественными, если сумма всех собственных делителей первого числа (то есть всех делителей, меньших самого числа) равна второму числу, а сумма всех собственных делителей второго числа, в свою очередь, равна первому числу.

Чтобы проверить, являются ли числа 220 и 284 дружественными, необходимо последовательно найти сумму собственных делителей для каждого из них.

1. Найдем сумму собственных делителей числа 220.

Сначала разложим число 220 на простые множители, чтобы найти все его делители: $220 = 2 \times 110 = 2 \times 2 \times 55 = 2^2 \times 5 \times 11$.

Все делители числа 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220.

Собственные делители — это все делители, кроме самого числа 220. Их список: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.

Теперь вычислим их сумму: $1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284$.

Сумма собственных делителей числа 220 равна 284. Это соответствует второму числу из пары.

2. Найдем сумму собственных делителей числа 284.

Аналогично разложим на простые множители число 284: $284 = 2 \times 142 = 2 \times 2 \times 71 = 2^2 \times 71$.

Все делители числа 284: 1, 2, 4, 71, 142, 284.

Собственные делители числа 284: 1, 2, 4, 71, 142.

Вычислим их сумму: $1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220$.

Сумма собственных делителей числа 284 равна 220. Это соответствует первому числу из пары.

Поскольку сумма собственных делителей числа 220 равна 284, а сумма собственных делителей числа 284 равна 220, то эти числа удовлетворяют определению дружественных чисел.

Ответ: Проверка подтверждает, что числа 220 и 284 являются дружественными.

5.436 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) $\frac{3}{7} \text{и} \frac{5}{14};$

б) $\frac{3}{18} \text{и} \frac{7}{12}.$

а) Даны дроби $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{14}$.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели данных дробей — 7 и 14.

Найдем НОК для чисел 7 и 14. Поскольку 14 делится на 7 без остатка ($14 \div 7 = 2$), наименьшим общим кратным этих чисел является 14. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 14.

Теперь определим дополнительные множители для каждой дроби, разделив новый знаменатель на старый.

Для дроби $\frac{3}{7}$ дополнительный множитель равен $14 \div 7 = 2$. Умножим числитель и знаменатель этой дроби на 2:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

Дробь $\frac{5}{14}$ уже имеет знаменатель 14, поэтому она остается без изменений.

Ответ: $\frac{6}{14}$ и $\frac{5}{14}$.

б) Даны дроби $\frac{3}{18}$ и $\frac{7}{12}$.

Найдем наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей 18 и 12.

Для нахождения НОК разложим числа 18 и 12 на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОК(18, 12) находится путем взятия каждого простого множителя в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и их перемножения: $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Таким образом, наименьший общий знаменатель равен 36.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби.

Для дроби $\frac{3}{18}$ дополнительный множитель: $36 \div 18 = 2$.

$\frac{3}{18} = \frac{3 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{6}{36}$

Для дроби $\frac{7}{12}$ дополнительный множитель: $36 \div 12 = 3$.

$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{21}{36}$

Ответ: $\frac{6}{36}$ и $\frac{21}{36}$.

5.437 Сократите и приведите к общему знаменателю дроби:

а) $\frac{40}{60}, \frac{22}{99},\frac{66}{88};$

б) $\frac{21}{56},\frac{10}{96},\frac{200}{240}.$

а)

Первым шагом сократим каждую из дробей. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя каждой дроби и разделим их на него.
Для дроби $ \frac{40}{60} $, НОД(40, 60) = 20. Сокращаем: $ \frac{40 \div 20}{60 \div 20} = \frac{2}{3} $.
Для дроби $ \frac{22}{99} $, НОД(22, 99) = 11. Сокращаем: $ \frac{22 \div 11}{99 \div 11} = \frac{2}{9} $.
Для дроби $ \frac{66}{88} $, НОД(66, 88) = 22. Сокращаем: $ \frac{66 \div 22}{88 \div 22} = \frac{3}{4} $.

Теперь у нас есть дроби $ \frac{2}{3} $, $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{3}{4} $. Следующий шаг — привести их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 3, 9 и 4.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 3 = 3^1 $
$ 9 = 3^2 $
$ 4 = 2^2 $
НОК(3, 9, 4) = $ 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 $.
Наименьший общий знаменатель равен 36.

Приведем каждую дробь к знаменателю 36, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель.
Для $ \frac{2}{3} $ дополнительный множитель равен $ 36 \div 3 = 12 $. Получаем: $ \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{24}{36} $.
Для $ \frac{2}{9} $ дополнительный множитель равен $ 36 \div 9 = 4 $. Получаем: $ \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36} $.
Для $ \frac{3}{4} $ дополнительный множитель равен $ 36 \div 4 = 9 $. Получаем: $ \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36} $.
Ответ: $ \frac{24}{36}, \frac{8}{36}, \frac{27}{36} $.

б)

Сначала сократим каждую из дробей.
Для дроби $ \frac{21}{56} $, НОД(21, 56) = 7. Сокращаем: $ \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8} $.
Для дроби $ \frac{10}{96} $, НОД(10, 96) = 2. Сокращаем: $ \frac{10 \div 2}{96 \div 2} = \frac{5}{48} $.
Для дроби $ \frac{200}{240} $, НОД(200, 240) = 40. Сокращаем: $ \frac{200 \div 40}{240 \div 40} = \frac{5}{6} $.

Теперь у нас есть дроби $ \frac{3}{8} $, $ \frac{5}{48} $ и $ \frac{5}{6} $. Приведем их к общему знаменателю. Найдем НОК знаменателей: 8, 48 и 6.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 8 = 2^3 $
$ 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 $
$ 6 = 2 \cdot 3 $
НОК(8, 48, 6) = $ 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 $.
Наименьший общий знаменатель равен 48.

Приведем дроби к знаменателю 48.
Для $ \frac{3}{8} $ дополнительный множитель равен $ 48 \div 8 = 6 $. Получаем: $ \frac{3 \cdot 6}{8 \cdot 6} = \frac{18}{48} $.
Дробь $ \frac{5}{48} $ уже имеет знаменатель 48, поэтому она остается без изменений.
Для $ \frac{5}{6} $ дополнительный множитель равен $ 48 \div 6 = 8 $. Получаем: $ \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 8} = \frac{40}{48} $.
Ответ: $ \frac{18}{48}, \frac{5}{48}, \frac{40}{48} $.

5.438 Запишите:

а) числа 477, 10246, 15777 так, чтобы у них не было дробной части;

б) числа 454, 19176, 7215 так, чтобы их дробная часть была правильной дробью.

Чтобы записать данные смешанные числа так, чтобы у них не было дробной части, необходимо упростить их дробные части, которые являются неправильными дробями или дробями, равными единице. Результат вычисления дробной части нужно прибавить к целой части числа.

Для числа $4\frac{7}{7}$: Дробная часть $\frac{7}{7}$ равна 1. Следовательно, $4\frac{7}{7} = 4 + 1 = 5$.

Для числа $10\frac{24}{6}$: Дробная часть $\frac{24}{6}$ равна 4, так как $24 \div 6 = 4$. Следовательно, $10\frac{24}{6} = 10 + 4 = 14$.

Для числа $15\frac{77}{7}$: Дробная часть $\frac{77}{7}$ равна 11, так как $77 \div 7 = 11$. Следовательно, $15\frac{77}{7} = 15 + 11 = 26$.

Ответ: 5, 14, 26.

Чтобы дробная часть смешанного числа стала правильной (то есть числитель был меньше знаменателя), нужно из неправильной дробной части выделить целую часть и прибавить её к исходной целой части числа. Оставшаяся дробь будет правильной.

Для числа $4\frac{5}{4}$: Выделим целую часть из дроби $\frac{5}{4}$. Для этого делим числитель на знаменатель с остатком: $5 \div 4 = 1$ (остаток 1). Значит, $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$. Теперь прибавляем целые части: $4\frac{5}{4} = 4 + 1\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$.

Для числа $19\frac{17}{6}$: Выделим целую часть из дроби $\frac{17}{6}$. Делим $17 \div 6 = 2$ (остаток 5). Значит, $\frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$. Теперь прибавляем целые части: $19\frac{17}{6} = 19 + 2\frac{5}{6} = 21\frac{5}{6}$.

Для числа $7\frac{21}{5}$: Выделим целую часть из дроби $\frac{21}{5}$. Делим $21 \div 5 = 4$ (остаток 1). Значит, $\frac{21}{5} = 4\frac{1}{5}$. Теперь прибавляем целые части: $7\frac{21}{5} = 7 + 4\frac{1}{5} = 11\frac{1}{5}$.

Ответ: $5\frac{1}{4}$, $21\frac{5}{6}$, $11\frac{1}{5}$.

5.439 Уменьшив числа 545, 719, 9919 на три, запишите результаты в виде неправильной дроби.

$5\frac{4}{5}$
Чтобы уменьшить число $5\frac{4}{5}$ на 3, необходимо выполнить вычитание. Так как мы вычитаем целое число из смешанного, проще всего вычесть его из целой части смешанного числа, оставив дробную часть без изменений:
$5\frac{4}{5} - 3 = (5 - 3) \text{ и } \frac{4}{5} = 2\frac{4}{5}$
Теперь, согласно условию, представим полученное смешанное число $2\frac{4}{5}$ в виде неправильной дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и к результату прибавим числитель. Полученное значение будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним:
$2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}$
Ответ: $\frac{14}{5}$

$7\frac{1}{9}$
Уменьшим число $7\frac{1}{9}$ на 3. Выполним вычитание целых частей:
$7\frac{1}{9} - 3 = (7 - 3) \text{ и } \frac{1}{9} = 4\frac{1}{9}$
Далее преобразуем смешанное число $4\frac{1}{9}$ в неправильную дробь по тому же правилу:
$4\frac{1}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{36 + 1}{9} = \frac{37}{9}$
Ответ: $\frac{37}{9}$

$9\frac{9}{19}$
Уменьшим число $9\frac{9}{19}$ на 3. Вычтем 3 из целой части числа 9:
$9\frac{9}{19} - 3 = (9 - 3) \text{ и } \frac{9}{19} = 6\frac{9}{19}$
Теперь запишем результат $6\frac{9}{19}$ в виде неправильной дроби:
$6\frac{9}{19} = \frac{6 \cdot 19 + 9}{19} = \frac{114 + 9}{19} = \frac{123}{19}$
Ответ: $\frac{123}{19}$

5.440 Сколько вариантов расписания на день можно составить для класса, если всего должно быть пять уроков: русский язык, английский язык, математика, литература и физкультура?

1-й урок выбираем 5 способами

2-й урок выбираем 4 способами

3-й урок выбираем 3 способами

4-й урок выбираем 2 способами

5-й урок выбираем 1 способом

$5·4·3·2·1 = 120$ вариантов

Ответ: 120 вариантов

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью вычисления количества перестановок. У нас есть 5 различных предметов, которые нужно расположить на 5 разных позициях в расписании дня. Порядок уроков важен, поэтому мы имеем дело с перестановками.

Количество вариантов для каждой позиции в расписании будет следующим:

• На место первого урока можно поставить любой из 5 предметов, то есть у нас есть 5 вариантов.
• После того как первый урок выбран, для второго урока остается 4 предмета, то есть 4 варианта.
• Для третьего урока остается 3 предмета, то есть 3 варианта.
• Для четвертого урока — 2 предмета, то есть 2 варианта.
• Для пятого урока остается только 1 предмет, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее число возможных вариантов расписания, необходимо перемножить число вариантов для каждой позиции. Это соответствует вычислению факториала числа 5.

Общее количество перестановок $P_n$ из $n$ элементов вычисляется по формуле: $P_n = n!$

В нашем случае количество уроков $n=5$. Подставляем это значение в формулу: $P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Выполним вычисления: $5 \times 4 = 20$ $20 \times 3 = 60$ $60 \times 2 = 120$ $120 \times 1 = 120$

Следовательно, существует 120 различных способов составить расписание на день.

Ответ: 120.

5.441 1) От пристани отправился теплоход со скоростью 25 км/ч, а через 1 ч отплыл речной скутер со скоростью 40 км/ч. Через какое время скутер будет впереди теплохода на 20 км?

2) Из лагеря вышел турист со скоростью 4 км/ч, а через 1 ч отправился велосипедист со скоростью 13 км/ч. Через какое время велосипедист обгонит туриста на 14 км?

1) Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Составление уравнения

Пусть $t$ — это время (в часах), которое скутер находился в пути. Поскольку теплоход отправился на 1 час раньше, его время в пути будет $t + 1$ час.

Расстояние, которое пройдет теплоход за время $t + 1$ ч, равно:

$S_т = 25 \cdot (t + 1)$ км

Расстояние, которое пройдет скутер за время $t$ ч, равно:

$S_с = 40 \cdot t$ км

По условию, скутер должен опередить теплоход на 20 км. Это значит, что расстояние, пройденное скутером, должно быть на 20 км больше расстояния, пройденного теплоходом. Составим и решим уравнение:

$S_с = S_т + 20$

$40t = 25(t + 1) + 20$

$40t = 25t + 25 + 20$

$40t - 25t = 45$

$15t = 45$

$t = \frac{45}{15}$

$t = 3$

Таким образом, через 3 часа после своего отправления скутер будет впереди теплохода на 20 км.

Способ 2: Через скорость опережения

1. Сначала найдем, какое расстояние прошел теплоход за тот 1 час, пока скутер еще не отплыл. Это будет начальное расстояние между ними.
   $S_{нач} = 25 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 25$ км.
2. Найдем скорость, с которой скутер догоняет и перегоняет теплоход (скорость опережения). Она равна разности их скоростей.
   $v_{опер} = 40 \text{ км/ч} - 25 \text{ км/ч} = 15$ км/ч.
3. Чтобы опередить теплоход на 20 км, скутеру нужно сначала сократить начальное отставание в 25 км, а затем создать отрыв в 20 км. Общее расстояние, которое нужно "наверстать", равно:
   $S_{общ} = 25 \text{ км} + 20 \text{ км} = 45$ км.
4. Найдем время, необходимое для этого, разделив общее расстояние на скорость опережения:
   $t = \frac{S_{общ}}{v_{опер}} = \frac{45 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 3$ ч.

Ответ: через 3 часа.

2) Эту задачу также можно решить двумя аналогичными способами.

Способ 1: Составление уравнения

Пусть $t$ — это время (в часах), которое велосипедист находился в пути. Поскольку турист вышел на 1 час раньше, его время в пути будет $t + 1$ час.

Расстояние, которое пройдет турист за время $t + 1$ ч, равно:

$S_{тур} = 4 \cdot (t + 1)$ км

Расстояние, которое проедет велосипедист за время $t$ ч, равно:

$S_{вел} = 13 \cdot t$ км

По условию, велосипедист должен обогнать туриста на 14 км. Составим и решим уравнение:

$S_{вел} = S_{тур} + 14$

$13t = 4(t + 1) + 14$

$13t = 4t + 4 + 14$

$13t - 4t = 18$

$9t = 18$

$t = \frac{18}{9}$

$t = 2$

Таким образом, через 2 часа после своего отправления велосипедист обгонит туриста на 14 км.

Способ 2: Через скорость опережения

1. Найдем начальное расстояние, которое прошел турист за 1 час, пока велосипедист не выехал.
   $S_{нач} = 4 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 4$ км.
2. Найдем скорость опережения велосипедиста относительно туриста.
   $v_{опер} = 13 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 9$ км/ч.
3. Чтобы обогнать туриста на 14 км, велосипедисту нужно покрыть начальное расстояние в 4 км и создать отрыв в 14 км. Общее расстояние для "наверстывания":
   $S_{общ} = 4 \text{ км} + 14 \text{ км} = 18$ км.
4. Найдем время, необходимое для этого:
   $t = \frac{S_{общ}}{v_{опер}} = \frac{18 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 2$ ч.

Ответ: через 2 часа.

5.442 1) Для передачи посылки на теплоход, который уже отошёл от пристани на 30 км, отправился речной скутер со скоростью 35 км/ч. Скутер догнал теплоход через 2 ч. Найдите скорость теплохода.

2) Для передачи забытых вещей туристу, удалившемуся на тот момент от лагеря на 27 км, выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Велосипедист догнал туриста через 3 ч. Найдите скорость туриста.

1) Это задача на движение вдогонку. Скорость, с которой скутер догоняет теплоход, называется скоростью сближения. Она равна разности скоростей скутера и теплохода.
Пусть $x$ км/ч — искомая скорость теплохода.
Тогда скорость сближения равна $v_{сближения} = (35 - x)$ км/ч.
Скутер догнал теплоход за время $t = 2$ ч, преодолев первоначальное расстояние $S = 30$ км.
Используем формулу расстояния $S = v \cdot t$ для скорости сближения:
$(35 - x) \cdot 2 = 30$
Теперь решим это уравнение:
$35 - x = 30 / 2$
$35 - x = 15$
$x = 35 - 15$
$x = 20$
Таким образом, скорость теплохода равна 20 км/ч.
Ответ: 20 км/ч.

2) Эта задача решается аналогично первой. Это также задача на движение вдогонку.
Пусть $y$ км/ч — искомая скорость туриста.
Скорость сближения велосипедиста и туриста равна $v_{сближения} = (15 - y)$ км/ч.
Велосипедист догнал туриста за время $t = 3$ ч, а первоначальное расстояние между ними было $S = 27$ км.
Составим уравнение по формуле $S = v \cdot t$:
$(15 - y) \cdot 3 = 27$
Решим полученное уравнение:
$15 - y = 27 / 3$
$15 - y = 9$
$y = 15 - 9$
$y = 6$
Следовательно, скорость туриста составляет 6 км/ч.
Ответ: 6 км/ч.

5.443 Вычислите.

1) $(17695 + 3599 : 59 - 345 \cdot 28) : 352$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Сначала выполняются действия в скобках, при этом деление и умножение имеют приоритет над сложением и вычитанием. Затем выполняется действие за скобками.

Решение по шагам:

1. Первым действием в скобках является деление:
   $3599 : 59 = 61$
2. Вторым действием в скобках является умножение:
   $345 \cdot 28 = 9660$
3. Теперь выражение в скобках выглядит так: $17695 + 61 - 9660$. Выполним сложение:
   $17695 + 61 = 17756$
4. Затем выполним вычитание:
   $17756 - 9660 = 8096$
5. Последним шагом выполним деление полученного результата на число за скобками:
   $8096 : 352 = 23$

Таким образом, полное вычисление выглядит так: $(17695 + 61 - 9660) : 352 = 8096 : 352 = 23$.

Ответ: 23

2) $(64 \cdot 825 - 38979 + 3551 : 53) : 448$

Аналогично первому примеру, решим этот пример по действиям. Сначала выполняем операции в скобках (умножение и деление слева направо), затем вычитание и сложение (также слева направо), и в конце — деление за скобками.

Решение по шагам:

1. Выполним умножение в скобках:
   $64 \cdot 825 = 52800$
2. Выполним деление в скобках:
   $3551 : 53 = 67$
3. Теперь выражение в скобках приняло вид: $52800 - 38979 + 67$. Выполняем действия слева направо, начиная с вычитания:
   $52800 - 38979 = 13821$
4. Далее выполняем сложение:
   $13821 + 67 = 13888$
5. Наконец, делим результат, полученный в скобках, на число за ними:
   $13888 : 448 = 31$

Таким образом, полное вычисление выглядит так: $(52800 - 38979 + 67) : 448 = 13888 : 448 = 31$.

Ответ: 31

5.444 Сравните дроби:

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{3}{25} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 25 — это 25, так как 25 делится на 5 без остатка.
Приведем дробь $ \frac{1}{5} $ к знаменателю 25. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $ 25 : 5 = 5 $:
$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{5}{25} $
Теперь сравним дроби $ \frac{5}{25} $ и $ \frac{3}{25} $. Так как их знаменатели равны, сравниваем числители: $ 5 > 3 $.
Следовательно, $ \frac{5}{25} > \frac{3}{25} $, а это значит, что $ \frac{1}{5} > \frac{3}{25} $.
Ответ: $ \frac{1}{5} > \frac{3}{25} $

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{11}{12} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 — это 12.
Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель $ 12 : 4 = 3 $:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $
Теперь сравним полученную дробь $ \frac{9}{12} $ и дробь $ \frac{11}{12} $. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $ 9 < 11 $.
Следовательно, $ \frac{9}{12} < \frac{11}{12} $, а это значит, что $ \frac{3}{4} < \frac{11}{12} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} < \frac{11}{12} $

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{13}{20} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 20 — это 20.
Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 20. Дополнительный множитель равен $ 20 : 4 = 5 $:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} $
Теперь сравним дроби $ \frac{15}{20} $ и $ \frac{13}{20} $. Сравниваем числители, так как знаменатели одинаковы: $ 15 > 13 $.
Следовательно, $ \frac{15}{20} > \frac{13}{20} $, а это значит, что $ \frac{3}{4} > \frac{13}{20} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} > \frac{13}{20} $

г) Чтобы сравнить дроби $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{16}{36} $, можно либо привести первую дробь к знаменателю 36, либо сократить вторую дробь.
Способ 1: Приведение к общему знаменателю.
Наименьший общий знаменатель — 36. Приведем дробь $ \frac{4}{9} $ к знаменателю 36, умножив ее на дополнительный множитель $ 36 : 9 = 4 $:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36} $
Сравниваем дроби $ \frac{16}{36} $ и $ \frac{16}{36} $. Они равны.
Способ 2: Сокращение дроби.
Сократим дробь $ \frac{16}{36} $. Наибольший общий делитель для 16 и 36 — это 4.
$ \frac{16}{36} = \frac{16 : 4}{36 : 4} = \frac{4}{9} $
Сравниваем $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{4}{9} $. Дроби равны.
Ответ: $ \frac{4}{9} = \frac{16}{36} $

д) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{7}{12} $, приведем их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 8 и 12. НОК(8, 12) = 24.
Приведем дробь $ \frac{3}{8} $ к знаменателю 24 (дополнительный множитель $ 24 : 8 = 3 $):
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24} $
Приведем дробь $ \frac{7}{12} $ к знаменателю 24 (дополнительный множитель $ 24 : 12 = 2 $):
$ \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24} $
Теперь сравним дроби $ \frac{9}{24} $ и $ \frac{14}{24} $. Сравниваем числители: $ 9 < 14 $.
Следовательно, $ \frac{9}{24} < \frac{14}{24} $, а это значит, что $ \frac{3}{8} < \frac{7}{12} $.
Ответ: $ \frac{3}{8} < \frac{7}{12} $

е) Чтобы сравнить дроби $ \frac{7}{12} $ и $ \frac{7}{16} $, можно использовать правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Сравниваем знаменатели: $ 12 < 16 $.
Поскольку у дроби $ \frac{7}{12} $ знаменатель меньше, она больше, чем дробь $ \frac{7}{16} $.
Следовательно, $ \frac{7}{12} > \frac{7}{16} $.
Для проверки можно привести дроби к общему знаменателю. НОК(12, 16) = 48.
$ \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{28}{48} $
$ \frac{7}{16} = \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{21}{48} $
Сравнивая $ \frac{28}{48} $ и $ \frac{21}{48} $, видим, что $ 28 > 21 $, значит $ \frac{28}{48} > \frac{21}{48} $. Результат тот же.
Ответ: $ \frac{7}{12} > \frac{7}{16} $

5.445 Вычислите:

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ наименьшим общим знаменателем является 6. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй — на 2: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители: $\frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Для сложения дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{7}$ найдем их наименьший общий знаменатель. НОК(3, 7) = 21. Приведем дроби к знаменателю 21: $\frac{1}{3} + \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{7}{21} + \frac{6}{21}$. Сложим числители полученных дробей: $\frac{7+6}{21} = \frac{13}{21}$. Ответ: $\frac{13}{21}$.

в) Найдем сумму дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{3}$. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 равен 15. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} + \frac{5}{15}$. Складываем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{6+5}{15} = \frac{11}{15}$. Ответ: $\frac{11}{15}$.

г) Для сложения дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}$ найдем наименьший общий знаменатель, который равен 63. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{3}{7} + \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{27}{63} + \frac{28}{63}$. Теперь сложим числители: $\frac{27+28}{63} = \frac{55}{63}$. Ответ: $\frac{55}{63}$.

д) Чтобы вычесть $\frac{1}{6}$ из $\frac{5}{9}$, приведем их к общему знаменателю. НОК(9, 6) = 18. $\frac{5}{9} - \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{10}{18} - \frac{3}{18}$. Выполним вычитание числителей: $\frac{10-3}{18} = \frac{7}{18}$. Ответ: $\frac{7}{18}$.

е) Для вычисления разности $\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$ найдем общий знаменатель. НОК(4, 3) = 12. $\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12}$. Вычитаем числители: $\frac{9-4}{12} = \frac{5}{12}$. Ответ: $\frac{5}{12}$.

ж) Чтобы сложить $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{3}$, приведем их к общему знаменателю 6. $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$. Сложим числители: $\frac{1+2}{6} = \frac{3}{6}$. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

з) Вычислим разность $\frac{9}{5} - \frac{7}{10}$. Общий знаменатель для 5 и 10 равен 10. $\frac{9}{5} - \frac{7}{10} = \frac{9 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{7}{10} = \frac{18}{10} - \frac{7}{10}$. Выполним вычитание: $\frac{18-7}{10} = \frac{11}{10}$. Ответ: $\frac{11}{10}$.

и) Найдем разность $\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$. Общий знаменатель равен 8. $\frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}$. Вычтем числители: $\frac{4-3}{8} = \frac{1}{8}$. Ответ: $\frac{1}{8}$.

к) Вычислим разность $\frac{7}{15} - \frac{3}{10}$. Наименьший общий знаменатель для 15 и 10 равен 30. $\frac{7}{15} - \frac{3}{10} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{14}{30} - \frac{9}{30}$. Выполним вычитание: $\frac{14-9}{30} = \frac{5}{30}$. Сократим дробь на 5: $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$.

л) Сложим дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{12}$. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 равен 24. $\frac{3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{9}{24} + \frac{10}{24}$. Сложим числители: $\frac{9+10}{24} = \frac{19}{24}$. Ответ: $\frac{19}{24}$.

м) Чтобы вычесть $\frac{1}{6}$ из $\frac{5}{9}$, приведем их к общему знаменателю. НОК(9, 6) = 18. $\frac{5}{9} - \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{10}{18} - \frac{3}{18}$. Выполним вычитание числителей: $\frac{10-3}{18} = \frac{7}{18}$. Ответ: $\frac{7}{18}$.

н) Сложим дроби $\frac{5}{11}$ и $\frac{3}{5}$. Наименьший общий знаменатель для 11 и 5 равен 55. $\frac{5}{11} + \frac{3}{5} = \frac{5 \cdot 5}{11 \cdot 5} + \frac{3 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{25}{55} + \frac{33}{55}$. Сложим числители: $\frac{25+33}{55} = \frac{58}{55}$. Ответ: $\frac{58}{55}$.

о) Вычислим разность $\frac{17}{30} - \frac{3}{6}$. Общий знаменатель для 30 и 6 равен 30. $\frac{17}{30} - \frac{3}{6} = \frac{17}{30} - \frac{3 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{17}{30} - \frac{15}{30}$. Вычтем числители: $\frac{17-15}{30} = \frac{2}{30}$. Сократим дробь на 2: $\frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. Ответ: $\frac{1}{15}$.

п) Найдем разность дробей $\frac{17}{35} - \frac{4}{15}$. Найдем НОК(35, 15). $35 = 5 \cdot 7$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(35, 15) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$. Приведем дроби к знаменателю 105: $\frac{17}{35} - \frac{4}{15} = \frac{17 \cdot 3}{35 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{51}{105} - \frac{28}{105}$. Выполним вычитание: $\frac{51-28}{105} = \frac{23}{105}$. Ответ: $\frac{23}{105}$.

5.446 Маша может собрать клубнику за 6 ч, а Миша — за 7 ч. Какую часть клубники они могут собрать вместе за 1 ч?

Для решения этой задачи, представим всю работу по сбору клубники как единицу (1). Нам нужно найти, какую часть этой работы Маша и Миша выполняют вместе за 1 час.

1. Сначала найдем, какую часть клубники собирает Маша за 1 час. Если всю клубнику она собирает за 6 часов, то ее производительность (скорость работы) составляет $1/6$ часть всей клубники в час.

2. Затем найдем, какую часть клубники собирает Миша за 1 час. Если всю клубнику он собирает за 7 часов, то его производительность составляет $1/7$ часть всей клубники в час.

3. Чтобы узнать, какую часть клубники они соберут вместе за 1 час, нужно сложить их производительности. Совместная производительность равна: $1/6 + 1/7$.

Для сложения дробей с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 6 и 7 является их произведение: $6 \times 7 = 42$.

Приведем каждую дробь к знаменателю 42:
Для первой дроби ($1/6$) дополнительный множитель равен $42 / 6 = 7$. Получаем: $1/6 = (1 \times 7) / (6 \times 7) = 7/42$.
Для второй дроби ($1/7$) дополнительный множитель равен $42 / 7 = 6$. Получаем: $1/7 = (1 \times 6) / (7 \times 6) = 6/42$.

Теперь сложим полученные дроби: $7/42 + 6/42 = (7 + 6) / 42 = 13/42$.

Следовательно, за 1 час совместной работы Маша и Миша соберут $13/42$ всей клубники.

Ответ: $13/42$

5.447 Один генератор израсходует бак бензина за 18 ч непрерывной работы, а другой — за 15 ч. Какой генератор израсходует меньше бензина: первый за 5 ч или второй за 4 ч?

Чтобы определить, какой генератор израсходует меньше бензина, необходимо рассчитать, какую долю бака каждый из них потребит за указанное время, и сравнить полученные значения.

Расход первого генератора за 5 ч

Первый генератор расходует полный бак за 18 часов. Следовательно, за 1 час он расходует $\frac{1}{18}$ часть бака. Чтобы найти, какую часть бака он израсходует за 5 часов, нужно умножить его часовой расход на время работы:

$\frac{1}{18} \times 5 = \frac{5}{18}$

Таким образом, первый генератор за 5 часов израсходует $\frac{5}{18}$ бака бензина.

Расход второго генератора за 4 ч

Второй генератор расходует полный бак за 15 часов. Его часовой расход составляет $\frac{1}{15}$ часть бака. За 4 часа работы он израсходует:

$\frac{1}{15} \times 4 = \frac{4}{15}$

Таким образом, второй генератор за 4 часа израсходует $\frac{4}{15}$ бака бензина.

Сравнение расхода

Теперь сравним две дроби: $\frac{5}{18}$ (расход первого генератора) и $\frac{4}{15}$ (расход второго генератора). Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 18 и 15 является 90.

Приведем дробь $\frac{5}{18}$ к знаменателю 90, умножив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5}{18} = \frac{5 \times 5}{18 \times 5} = \frac{25}{90}$

Приведем дробь $\frac{4}{15}$ к знаменателю 90, умножив числитель и знаменатель на 6:

$\frac{4}{15} = \frac{4 \times 6}{15 \times 6} = \frac{24}{90}$

Сравниваем полученные дроби: $\frac{24}{90} < \frac{25}{90}$.

Это означает, что $\frac{4}{15} < \frac{5}{18}$.

Следовательно, второй генератор за 4 часа работы израсходует меньше бензина, чем первый за 5 часов.

Ответ: второй генератор за 4 ч израсходует меньше бензина.