Номер 5.441, страница 71, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

36. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.441, страница 71.

5.441 1) От пристани отправился теплоход со скоростью 25 км/ч, а через 1 ч отплыл речной скутер со скоростью 40 км/ч. Через какое время скутер будет впереди теплохода на 20 км?

2) Из лагеря вышел турист со скоростью 4 км/ч, а через 1 ч отправился велосипедист со скоростью 13 км/ч. Через какое время велосипедист обгонит туриста на 14 км?

1) Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Составление уравнения

Пусть $t$ — это время (в часах), которое скутер находился в пути. Поскольку теплоход отправился на 1 час раньше, его время в пути будет $t + 1$ час.

Расстояние, которое пройдет теплоход за время $t + 1$ ч, равно:

$S_т = 25 \cdot (t + 1)$ км

Расстояние, которое пройдет скутер за время $t$ ч, равно:

$S_с = 40 \cdot t$ км

По условию, скутер должен опередить теплоход на 20 км. Это значит, что расстояние, пройденное скутером, должно быть на 20 км больше расстояния, пройденного теплоходом. Составим и решим уравнение:

$S_с = S_т + 20$

$40t = 25(t + 1) + 20$

$40t = 25t + 25 + 20$

$40t - 25t = 45$

$15t = 45$

$t = \frac{45}{15}$

$t = 3$

Таким образом, через 3 часа после своего отправления скутер будет впереди теплохода на 20 км.

Способ 2: Через скорость опережения

1. Сначала найдем, какое расстояние прошел теплоход за тот 1 час, пока скутер еще не отплыл. Это будет начальное расстояние между ними.
   $S_{нач} = 25 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 25$ км.
2. Найдем скорость, с которой скутер догоняет и перегоняет теплоход (скорость опережения). Она равна разности их скоростей.
   $v_{опер} = 40 \text{ км/ч} - 25 \text{ км/ч} = 15$ км/ч.
3. Чтобы опередить теплоход на 20 км, скутеру нужно сначала сократить начальное отставание в 25 км, а затем создать отрыв в 20 км. Общее расстояние, которое нужно "наверстать", равно:
   $S_{общ} = 25 \text{ км} + 20 \text{ км} = 45$ км.
4. Найдем время, необходимое для этого, разделив общее расстояние на скорость опережения:
   $t = \frac{S_{общ}}{v_{опер}} = \frac{45 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 3$ ч.

Ответ: через 3 часа.

2) Эту задачу также можно решить двумя аналогичными способами.

Способ 1: Составление уравнения

Пусть $t$ — это время (в часах), которое велосипедист находился в пути. Поскольку турист вышел на 1 час раньше, его время в пути будет $t + 1$ час.

Расстояние, которое пройдет турист за время $t + 1$ ч, равно:

$S_{тур} = 4 \cdot (t + 1)$ км

Расстояние, которое проедет велосипедист за время $t$ ч, равно:

$S_{вел} = 13 \cdot t$ км

По условию, велосипедист должен обогнать туриста на 14 км. Составим и решим уравнение:

$S_{вел} = S_{тур} + 14$

$13t = 4(t + 1) + 14$

$13t = 4t + 4 + 14$

$13t - 4t = 18$

$9t = 18$

$t = \frac{18}{9}$

$t = 2$

Таким образом, через 2 часа после своего отправления велосипедист обгонит туриста на 14 км.

Способ 2: Через скорость опережения

1. Найдем начальное расстояние, которое прошел турист за 1 час, пока велосипедист не выехал.
   $S_{нач} = 4 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 4$ км.
2. Найдем скорость опережения велосипедиста относительно туриста.
   $v_{опер} = 13 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 9$ км/ч.
3. Чтобы обогнать туриста на 14 км, велосипедисту нужно покрыть начальное расстояние в 4 км и создать отрыв в 14 км. Общее расстояние для "наверстывания":
   $S_{общ} = 4 \text{ км} + 14 \text{ км} = 18$ км.
4. Найдем время, необходимое для этого:
   $t = \frac{S_{общ}}{v_{опер}} = \frac{18 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 2$ ч.

Ответ: через 2 часа.