Страница 77, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1. Турист может попасть из пункта Т в пункт В разными маршрутами, представленными на схеме (рис. 2.23). Выберите самый короткий маршрут.

1) ТМСВ:

94 + 232 + 294 = 620 (км)

2) ТРСВ:

141 + 241 + 294 = 676 (км)

3) ТРВ:

141 + 352 = 493 (км)

4) ТРАВ:

141 + 84 + 283 = 508 (км)

5) ТАВ:

226 + 283 = 509 (км)

6) ТАРВ:

226 + 84 + 352 = 662 (км)

Ответ: самый короткий маршрут ТРВ; 493 км.

Для определения самого короткого маршрута из пункта T в пункт B необходимо рассмотреть все возможные варианты путей, рассчитать их общую длину и выбрать маршрут с наименьшей протяженностью.

Проанализируем все возможные маршруты:

• Маршрут T > A > B:

  Длина данного маршрута равна сумме длин участков TA и AB.

  $L_1 = 226 \text{ км} + 283 \text{ км} = 509 \text{ км}$

• Маршрут T > A > P > B:

  Длина маршрута равна сумме длин участков TA, AP и PB.

  $L_2 = 226 \text{ км} + 84 \text{ км} + 352 \text{ км} = 662 \text{ км}$

• Маршрут T > P > B:

  Длина маршрута равна сумме длин участков TP и PB.

  $L_3 = 141 \text{ км} + 352 \text{ км} = 493 \text{ км}$

• Маршрут T > P > A > B:

  Длина маршрута равна сумме длин участков TP, PA и AB.

  $L_4 = 141 \text{ км} + 84 \text{ км} + 283 \text{ км} = 508 \text{ км}$

• Маршрут T > P > C > B:

  Длина маршрута равна сумме длин участков TP, PC и CB.

  $L_5 = 141 \text{ км} + 241 \text{ км} + 294 \text{ км} = 676 \text{ км}$

• Маршрут T > M > C > B:

  Длина маршрута равна сумме длин участков TM, MC и CB.

  $L_6 = 94 \text{ км} + 232 \text{ км} + 294 \text{ км} = 620 \text{ км}$

• Маршрут T > M > C > P > B:

  Длина маршрута равна сумме длин участков TM, MC, CP и PB.

  $L_7 = 94 \text{ км} + 232 \text{ км} + 241 \text{ км} + 352 \text{ км} = 919 \text{ км}$

• Маршрут T > A > P > C > B:

  Длина маршрута равна сумме длин участков TA, AP, PC и CB.

  $L_8 = 226 \text{ км} + 84 \text{ км} + 241 \text{ км} + 294 \text{ км} = 845 \text{ км}$

Сравним длины всех рассмотренных маршрутов:

• $L_1 = 509 \text{ км}$
• $L_2 = 662 \text{ км}$
• $L_3 = 493 \text{ км}$
• $L_4 = 508 \text{ км}$
• $L_5 = 676 \text{ км}$
• $L_6 = 620 \text{ км}$
• $L_7 = 919 \text{ км}$
• $L_8 = 845 \text{ км}$

Проанализировав результаты, видим, что наименьшая длина у маршрута $L_3$.

Ответ: Самый короткий маршрут: T > P > B. Его длина составляет 493 км.

2. а) В 1812 г. произошло Бородинское сражение — важнейшая битва русской армии под командованием М. И. Кутузова с французской армией в Отечественной войне с Наполеоном. В каком году праздновалось 200 лет Бородинской битвы?

б) Ледовое побоище произошло на 570 лет раньше Бородинской битвы. В этом сражении русские воины под командованием Александра Невского одержали победу над крестоносцами, которые хотели завоевать северо-западные русские земли. Когда произошло это сражение?

в) Полтавская битва — крупнейшее генеральное сражение Северной войны между русскими войсками под командованием Петра I и шведской армией Карла XII произошло на 467 лет позже Ледового побоища. В каком году это было?

г) Куликовская битва произошла на 329 лет раньше Полтавской битвы. Победа русских воинов под командованием Дмитрия Донского над войском Мамая сыграла важную роль в восстановлении единства Руси. Найдите год этой битвы.

д) Великая Отечественная война завершилась победой через 133 года после Отечественной войны с Наполеоном. В каком году это было?

е) Постройте шкалу времени с XII по XX в., приняв один век равным трём клеткам. Отметьте года названных исторических событий на этой шкале.

а)

(г) – празднование 200-летие Бородинской битвы;

б)

(г) – Ледовое побоище;

в)

(г) – Полтавская битва;

г)

(г) – Куликовская битва;

д)

(г) – победа в Великой Отечественной войне;

е)

а) Бородинское сражение произошло в 1812 году. Чтобы найти год, в котором праздновалось 200-летие этой битвы, нужно к году сражения прибавить 200 лет.

Расчет: $1812 + 200 = 2012$

Ответ: 200 лет Бородинской битвы праздновалось в 2012 году.

б) Ледовое побоище произошло на 570 лет раньше Бородинской битвы. Год Бородинской битвы — 1812. Чтобы найти год Ледового побоища, нужно из 1812 вычесть 570.

Расчет: $1812 - 570 = 1242$

Ответ: Ледовое побоище произошло в 1242 году.

в) Полтавская битва произошла на 467 лет позже Ледового побоища. Год Ледового побоища, как мы выяснили, — 1242. Чтобы найти год Полтавской битвы, нужно к 1242 прибавить 467.

Расчет: $1242 + 467 = 1709$

Ответ: Полтавская битва была в 1709 году.

г) Куликовская битва произошла на 329 лет раньше Полтавской битвы. Год Полтавской битвы — 1709. Чтобы найти год Куликовской битвы, нужно из 1709 вычесть 329.

Расчет: $1709 - 329 = 1380$

Ответ: Год Куликовской битвы — 1380.

д) Великая Отечественная война завершилась через 133 года после Отечественной войны с Наполеоном, которая началась в 1812 году. Чтобы найти год окончания Великой Отечественной войны, нужно к 1812 прибавить 133.

Расчет: $1812 + 133 = 1945$

Ответ: Великая Отечественная война завершилась победой в 1945 году.

е) Для построения шкалы времени примем, что один век (100 лет) равен трем условным клеткам. Шкала охватывает период с XII по XX век включительно, то есть 9 веков. Это займет $9 \times 3 = 27$ клеток.

Даты для нанесения на шкалу:

• Ледовое побоище: 1242 г. (XIII век)
• Куликовская битва: 1380 г. (XIV век)
• Полтавская битва: 1709 г. (XVIII век)
• Бородинское сражение: 1812 г. (XIX век)
• Окончание Великой Отечественной войны: 1945 г. (XX век)

Ответ: Шкала времени с отмеченными историческими событиями представлена выше.

3. Грузоподъёмность лифта 320 кг. Сможет ли в нём поехать семья из пяти человек, если папа весит 96 кг, мама — 73 кг, старший сын — 67 кг, дочь — 51 кг и младший брат — 37 кг?

Папа – 96 кг,

Мама – 73 кг,

Старший сын – 67 кг,

Дочь – 51 кг,

Младший брат – 37 кг.

96 + 73 + 67 + 51 + 37 = (73 + 37) + (96 + 67 + 51) = (110 + 67) + (96 + 51) = 117 + 147 = 324 (кг) – всего.

324 > 320

Ответ: не сможет.

Чтобы определить, сможет ли семья поехать в лифте, необходимо вычислить общий вес всех членов семьи и сравнить его с максимально допустимой грузоподъёмностью лифта.

1. Рассчитаем суммарный вес семьи. Для этого сложим вес каждого человека:

$96 \text{ кг (папа)} + 73 \text{ кг (мама)} + 67 \text{ кг (старший сын)} + 51 \text{ кг (дочь)} + 37 \text{ кг (младший брат)}$

Выполним вычисления: $96 + 73 + 67 + 51 + 37 = 324 \text{ кг}$

Общий вес семьи составляет 324 кг.

2. Сравним полученный вес с грузоподъёмностью лифта, которая составляет 320 кг.

$324 \text{ кг} > 320 \text{ кг}$

Общий вес семьи на $324 - 320 = 4$ кг превышает грузоподъёмность лифта.

Ответ: Нет, семья не сможет поехать в лифте все вместе, так как их общий вес (324 кг) превышает грузоподъёмность лифта (320 кг).

4. Дополнительные занятия по шахматам начинаются в полчетвёртого. Дорога занимает 25 мин. Во сколько надо выйти из дома, чтобы прийти на занятия за 10 мин до начала?

Выйти из дома – ?

Дорога – 25 мин.

Прийти до начала занятия – 10 мин.

Начало занятия – 15 ч 30 мин.

1) 15 ч 30 мин - 10 мин = 15 ч 20 мин – нужно прийти на занятие;

2) 15 ч 20 мин - 25 мин = 14 ч 80 мин - 25 мин = 14 ч 55 мин – нужно выйти из дома.

Ответ: в 14 ч 55 мин.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов, связанных с расчетом времени.

1. Определяем время начала занятий. Выражение "в полчетвёртого" означает половину четвертого часа, то есть 3 часа и 30 минут. Так как это дополнительные занятия, скорее всего, речь идет о времени после полудня, то есть 15:30.

2. Определяем время, к которому нужно прийти. По условию, необходимо прийти за 10 минут до начала. Вычтем 10 минут из времени начала занятий:

$15 \text{ ч } 30 \text{ мин } - 10 \text{ мин } = 15 \text{ ч } 20 \text{ мин }$

Следовательно, нужно быть на месте в 15:20.

3. Рассчитываем время выхода из дома. Дорога занимает 25 минут. Чтобы определить время выхода, нужно отнять время в пути от желаемого времени прибытия:

$15 \text{ ч } 20 \text{ мин } - 25 \text{ мин }$

Так как от 20 минут нельзя вычесть 25 минут, мы представим 15 часов 20 минут в другом виде, "заняв" 1 час ($60$ минут) от часов и прибавив его к минутам:

$15 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 14 \text{ ч } + 60 \text{ мин } + 20 \text{ мин } = 14 \text{ ч } 80 \text{ мин }$

Теперь выполним вычитание:

$14 \text{ ч } 80 \text{ мин } - 25 \text{ мин } = 14 \text{ ч } 55 \text{ мин }$

Таким образом, выйти из дома нужно в 14 часов 55 минут.

Ответ: надо выйти из дома в 14:55.

5. Пятиклассники отправились на экскурсию в музей. Они вышли из школы в 9:15. На посадку в автобус потратили 15 мин. На автобусе до музея ехали один час сорок пять минут. В музее пробыли два с половиной часа. Потом возвращались на автобусе на полчаса дольше, чем ехали в музей. В класс они пришли через 10 мин после возвращения и 25 мин обсуждали экскурсию.

а) Запишите время начала каждого этапа экскурсии.

б) Сколько времени заняла экскурсия?

1) 9 ч 15 мин + 15 мин = 9 ч 30 мин;

2) 9 ч 30 мин + 1 ч 45 мин = 10 ч 75 мин = 11 ч 15 мин;

3) 11 ч 15 мин + 2 ч 30 мин = 13 ч 45 мин;

4) 1 ч 45 мин + 30 мин = 1 ч 75 мин = 2 ч 15 мин – возвращались обратно;

5) 13 ч 45 мин + 2 ч 15 мин = 15 ч 60 мин = 16 ч;

6) 16 ч + 10 мин = 16 ч 10 мин;

7) 16 ч 10 мин + 25 мин = 16 ч 35 мин.

а)

б) 16 ч 35 мин - 9 ч 15 мин = 7 ч 20 мин.

Ответ: 7 ч 20 мин.

а) Для того чтобы найти время начала каждого этапа, необходимо последовательно к времени начала предыдущего этапа прибавлять его длительность.

• Выход из школы и посадка в автобус. Экскурсия начинается с выхода из школы в 9:15. Посадка в автобус начинается сразу же и длится 15 минут.
  Время начала: 9:15.

• Поездка на автобусе в музей. Этот этап начинается после завершения посадки.
  Время начала: $9 \text{ ч } 15 \text{ мин } + 15 \text{ мин } = 9 \text{ ч } 30 \text{ мин }$.
  Время начала: 9:30.

• Пребывание в музее. Этот этап начинается по прибытии в музей. Поездка до музея длилась 1 час 45 минут.
  Время начала: $9 \text{ ч } 30 \text{ мин } + 1 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 10 \text{ ч } 75 \text{ мин } = 11 \text{ ч } 15 \text{ мин }$.
  Время начала: 11:15.

• Поездка на автобусе обратно. Этот этап начинается после окончания пребывания в музее, которое длилось 2 с половиной часа (2 часа 30 минут).
  Время начала: $11 \text{ ч } 15 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 13 \text{ ч } 45 \text{ мин }$.
  Время начала: 13:45.

• Путь от автобуса до класса. Сначала найдем время прибытия автобуса к школе. Обратная дорога была на 30 минут дольше, чем дорога в музей, и ее длительность составила: $1 \text{ ч } 45 \text{ мин } + 30 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 75 \text{ мин } = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин }$.
  Время прибытия автобуса: $13 \text{ ч } 45 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 15 \text{ ч } 60 \text{ мин } = 16 \text{ ч } 00 \text{ мин }$.
  Путь до класса начался сразу после прибытия автобуса.
  Время начала: 16:00.

• Обсуждение экскурсии. В класс ученики пришли через 10 минут после прибытия автобуса, и тогда же началось обсуждение.
  Время начала: $16 \text{ ч } 00 \text{ мин } + 10 \text{ мин } = 16 \text{ ч } 10 \text{ мин }$.
  Время начала: 16:10.

Ответ: Время начала этапов: посадка в автобус — 9:15, поездка в музей — 9:30, пребывание в музее — 11:15, поездка обратно — 13:45, путь от автобуса до класса — 16:00, обсуждение — 16:10.

б) Чтобы найти, сколько всего времени заняла экскурсия, можно сложить длительности всех ее этапов или найти разницу между временем окончания последнего этапа и временем начала первого.

Способ 1: Сложение длительностей всех этапов.

1. Посадка в автобус: 15 мин.
2. Поездка в музей: 1 ч 45 мин.
3. Пребывание в музее: 2 ч 30 мин.
4. Поездка обратно: $1 \text{ ч } 45 \text{ мин } + 30 \text{ мин } = 2 \text{ ч } 15 \text{ мин }$.
5. Путь до класса: 10 мин.
6. Обсуждение: 25 мин.

Суммируем все временные интервалы:
$15 \text{ мин } + 1 \text{ ч } 45 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 30 \text{ мин } + 2 \text{ ч } 15 \text{ мин } + 10 \text{ мин } + 25 \text{ мин }$.
Сложим часы: $1 + 2 + 2 = 5 \text{ часов}$.
Сложим минуты: $15 + 45 + 30 + 15 + 10 + 25 = 140 \text{ мин }$.
Переведем минуты в часы и минуты: $140 \text{ мин } = 2 \text{ ч } 20 \text{ мин }$.
Общее время: $5 \text{ ч } + 2 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 20 \text{ мин }$.

Способ 2: Разница между временем окончания и начала.

Начало экскурсии (выход из школы): 9:15.
Окончание экскурсии — это конец обсуждения. Обсуждение началось в 16:10 и длилось 25 минут.
Время окончания: $16 \text{ ч } 10 \text{ мин } + 25 \text{ мин } = 16 \text{ ч } 35 \text{ мин }$.
Общая длительность: $16 \text{ ч } 35 \text{ мин } - 9 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 7 \text{ ч } 20 \text{ мин }$.

Ответ: Экскурсия заняла 7 часов 20 минут.

5.474 Длина классной комнаты 12 м, ширина — 10 м и высота — 4 м. Найдите массу воздуха в этой комнате, если масса 1 дм³ воздуха равна 1310 г.

Длина - 12м

Ширина - 10м

Высота - 4м

$m = \frac{13}{10}г - 1{\mathrm{дм}}^3$

$V = 12 · 10 · 4 = 480\left({м}^3\right)$ - объём классной комнаты

$1м = 10\mathrm{дм};1{м}^3 = 1000{\mathrm{дм}}^3$

$480{м}^3 = 480000{\mathrm{дм}}^3$

$480000 : \frac{13}{10} = \frac{480000 · 13}{10}$

$= 48000 · 13 = 624000\left(г\right)$ - масса воздуха

в комнате

× 48 000

      13

-------

 144 000

+     48

-------

 624 000

$624000г = 624\mathrm{кг}$

Ответ: 624 кг

Чтобы найти массу воздуха в комнате, необходимо последовательно выполнить три действия: найти объем комнаты, перевести его в единицы измерения, соответствующие данным о массе воздуха, и затем вычислить саму массу.

1. Вычисление объема классной комнаты.
Комната представляет собой прямоугольный параллелепипед, объем которого ($V$) находится по формуле произведения длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).
$V = a \cdot b \cdot c$
Подставляем известные значения размеров комнаты: $a = 12$ м, $b = 10$ м, $c = 4$ м.
$V = 12 \cdot 10 \cdot 4 = 480$ м?.

2. Перевод объема в кубические дециметры (дм?).
Масса воздуха дана из расчета на 1 дм?, поэтому нам нужно выразить объем комнаты в этих же единицах. Мы знаем, что в 1 метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$). Следовательно, 1 кубический метр равен $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ кубических дециметров.
$1 \text{ м?} = 1000 \text{ дм?}$
Теперь переведем объем комнаты: $V = 480 \text{ м?} = 480 \cdot 1000 \text{ дм?} = 480 000 \text{ дм?}$.

3. Вычисление массы воздуха в комнате.
Согласно условию, масса 1 дм? воздуха составляет $\frac{13}{10}$ г. Чтобы найти общую массу воздуха в комнате, умножим ее объем в дм? на массу 1 дм? воздуха.
Масса $= 480 000 \cdot \frac{13}{10}$
Выполним вычисление: $480 000 \cdot \frac{13}{10} = \frac{480 000 \cdot 13}{10} = 48 000 \cdot 13 = 624 000$ г.
Полученную массу можно также выразить в килограммах, разделив на 1000 (поскольку $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).
$624 000 \text{ г} = 624$ кг.

Ответ: 624 000 г (или 624 кг).

5.475 Тело человека содержит в среднем 5 дм³ крови. В 1 мм³ крови около 5 млн красных кровяных телец (эритроцитов), каждый диаметром 3400 мм. Какой длины был бы ряд эритроцитов, если бы все эритроциты уложили один за другим?

- 750 000 000 000 | 4- 4 | 187 500 000 000--- 35- 32--- 30- 28---- 20 - 20 ---- 0

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов:

1. Найти общий объем крови в кубических миллиметрах (мм?).

По условию, объем крови в теле человека составляет 5 дм?. Необходимо перевести эту величину в мм?.
Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$ и $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.
Следовательно, $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$.
Тогда для кубических единиц соотношение будет следующим:
$1 \text{ дм}^3 = (100 \text{ мм})^3 = 100 \cdot 100 \cdot 100 \text{ мм}^3 = 1 \ 000 \ 000 \text{ мм}^3 = 10^6 \text{ мм}^3$.
Общий объем крови в мм?:
$5 \text{ дм}^3 = 5 \cdot 10^6 \text{ мм}^3$.

2. Рассчитать общее количество эритроцитов в организме.

В 1 мм? крови содержится около 5 миллионов ($5 \cdot 10^6$) эритроцитов. Чтобы найти общее количество эритроцитов (N), нужно умножить общий объем крови в мм? на концентрацию эритроцитов:
$N = (5 \cdot 10^6 \text{ мм}^3) \cdot (5 \cdot 10^6 \frac{\text{эритроцитов}}{\text{мм}^3}) = 25 \cdot 10^{12}$ эритроцитов.

3. Найти общую длину ряда из всех эритроцитов.

Если все эритроциты уложить в один ряд, его общая длина (L) будет равна произведению количества эритроцитов на диаметр одного эритроцита. Диаметр одного эритроцита равен $\frac{3}{400}$ мм.
$L = N \cdot (\text{диаметр}) = (25 \cdot 10^{12}) \cdot \frac{3}{400} \text{ мм}$.
Выполним вычисление:
$L = \frac{25 \cdot 3 \cdot 10^{12}}{400} \text{ мм} = \frac{75 \cdot 10^{12}}{4 \cdot 10^2} \text{ мм} = \frac{75}{4} \cdot 10^{12-2} \text{ мм} = 18,75 \cdot 10^{10} \text{ мм}$.

4. Перевести длину в километры для наглядности.

Полученное значение очень велико, поэтому его удобнее представить в километрах. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1 \ 000 \text{ м} = 1 \ 000 \ 000 \text{ мм} = 10^6 \text{ мм}$.
$L_{км} = \frac{18,75 \cdot 10^{10} \text{ мм}}{10^6 \text{ мм/км}} = 18,75 \cdot 10^{4} \text{ км} = 187 \ 500 \text{ км}$.

Ответ: ряд эритроцитов имел бы длину $187 \ 500$ км.

5.476 Проверьте равенства:

и т. д. Используя эти равенства, докажите:

$1)\frac{1}{3} · \frac{1}{5} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2} · \left(\frac{1 · 5}{3 · 5}-\frac{1 · 3}{5 · 3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{15}-\frac{3}{15}\right)$

$= \frac{1}{2} · \frac{5-3}{15} = \frac{1}{2} · \frac{2}{15} = \frac{1 · 2}{2 · 15} = \frac{1}{15}$

$\frac{1}{3} · \frac{1}{5} = \frac{1 · 1}{3 · 5} = \frac{1}{15}$

$\frac{1}{15} = \frac{1}{15}$

$2)\frac{1}{5} · \frac{1}{7} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)$

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) = \frac{1}{2} · \left(\frac{1 · 7}{5 · 7}-\frac{1 · 5}{7 · 5}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{35}-\frac{5}{35}\right)$

$= \frac{1}{2} · \frac{7-5}{35} = \frac{1}{2} · \frac{2}{35} = \frac{1 · 2}{2 · 35} = \frac{1}{35}$

$\frac{1}{5} · \frac{1}{7} = \frac{1 · 1}{5 · 7} = \frac{1}{35}$

$\frac{1}{35} = \frac{1}{35}$

$3)\frac{1}{7} · \frac{1}{9} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right)$

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right) = \frac{1}{2} · \left(\frac{1 · 9}{7 · 9}-\frac{1 · 7}{9 · 7}\right)$

$= \frac{1}{2} · \left(\frac{9}{63}-\frac{7}{63}\right) = \frac{1}{2} · \frac{9-7}{63} = \frac{1}{2} · \frac{2}{63} = \frac{1 · 2}{2 · 63} = \frac{1}{63}$

$\frac{1}{7} · \frac{1}{9} = \frac{1 · 1}{7 · 9} = \frac{1}{63}$

$\frac{1}{63} = \frac{1}{63}$ и т.д.

$\frac{1}{3} · \frac{1}{5} + \frac{1}{5} · \frac{1}{7} + \frac{1}{7} · \frac{1}{9} + \frac{1}{9} · \frac{1}{11} + \frac{1}{11} · \frac{1}{13} + \frac{1}{13} · \frac{1}{15} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{9}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{11}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{13}-\frac{1}{15}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \frac{1}{7}-\frac{1}{9} + \frac{1}{9}-\frac{1}{11} + \frac{1}{11}-\frac{1}{13} + \frac{1}{13}-\frac{1}{15}\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{15}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1 · 5}{3 · 5}-\frac{1}{15}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{15}-\frac{1}{15}\right)$

$= \frac{1}{2} · \frac{4}{15} = \frac{1 · 4}{2 · 15} = \frac{1 · 2 · 2}{2 · 15} = \frac{2}{15}$

Проверьте равенства:
Чтобы проверить данные равенства, докажем их в общем виде. Все равенства имеют вид: $ \frac{1}{n \cdot (n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $, где $n$ — нечетное натуральное число.
Преобразуем правую часть равенства:
$ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n+2}{n(n+2)} - \frac{n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n+2-n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $
Правая часть равна левой части, следовательно, тождество верно для любого $n$. Проверим для частных случаев из задания:
1. Для $n=3$: $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) \Rightarrow \frac{1}{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} \Rightarrow \frac{1}{15} = \frac{1}{15} $. Верно.
2. Для $n=5$: $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) \Rightarrow \frac{1}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} \Rightarrow \frac{1}{35} = \frac{1}{35} $. Верно.
3. Для $n=7$: $ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) \Rightarrow \frac{1}{63} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{63} \Rightarrow \frac{1}{63} = \frac{1}{63} $. Верно.
Таким образом, все представленные равенства верны.
Ответ: Равенства верны.

Используя эти равенства, докажите:
Необходимо доказать, что $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 15} = \frac{2}{15} $.
Воспользуемся доказанным выше тождеством $ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $ для каждого слагаемого в сумме.
$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) $
$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) $
$ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) $
$ \frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) $
$ \frac{1}{11 \cdot 13} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) $
$ \frac{1}{13 \cdot 15} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) $
Теперь подставим эти выражения в исходную сумму:
$ S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) $
Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ S = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) \right] $
Раскроем внутренние скобки. Промежуточные члены взаимно уничтожатся:
$ S = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right] $
В скобках останутся только первый и последний члены:
$ S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} \right) $
Вычислим разность в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$ \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{5}{15} - \frac{1}{15} = \frac{4}{15} $
Подставим результат обратно в выражение для суммы:
$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{2 \cdot 15} = \frac{2}{15} $
Таким образом, мы доказали, что исходное равенство верно.
Ответ: $ \frac{2}{15} $.

5.477 Вычислите.

Данный пример решается последовательным выполнением указанных действий:

1. Выполним вычитание: $200 - 74 = 126$.

2. Результат разделим на 7: $126 : 7 = 18$.

3. К полученному числу прибавим 52: $18 + 52 = 70$.

4. Итоговый результат разделим на 7: $70 : 7 = 10$.

Ответ: 10

Данный пример решается последовательным выполнением указанных действий:

1. Выполним умножение: $60 \cdot 3 = 180$.

2. К результату прибавим 120: $180 + 120 = 300$.

3. Полученную сумму разделим на 75: $300 : 75 = 4$.

4. Итоговый результат умножим на 12: $4 \cdot 12 = 48$.

Ответ: 48

Данный пример решается последовательным выполнением указанных действий:

1. Выполним деление: $56 : 8 = 7$.

2. Результат умножим на 3: $7 \cdot 3 = 21$.

3. К полученному числу прибавим 56: $21 + 56 = 77$.

4. Итоговый результат разделим на 11: $77 : 11 = 7$.

Ответ: 7

Данный пример решается последовательным выполнением указанных действий:

1. Выполним деление: $720 : 8 = 90$.

2. К результату прибавим 15: $90 + 15 = 105$.

3. Полученную сумму разделим на 5: $105 : 5 = 21$.

4. Итоговый результат умножим на 3: $21 \cdot 3 = 63$.

Ответ: 63

5.478 Сумму данных дробей сложите с их разностью: а) 37 и 114; б) 19 и 112. Как быстрее и проще получить ответ?

а)

Для дробей $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{1}{14} $ найдем их сумму и разность, а затем сложим полученные результаты.

1. Найдем сумму дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю 14.

$ \frac{3}{7} + \frac{1}{14} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{1}{14} = \frac{6}{14} + \frac{1}{14} = \frac{6+1}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $

2. Найдем разность дробей.

$ \frac{3}{7} - \frac{1}{14} = \frac{6}{14} - \frac{1}{14} = \frac{6-1}{14} = \frac{5}{14} $

3. Сложим полученную сумму и разность.

$ \frac{1}{2} + \frac{5}{14} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{5}{14} = \frac{7}{14} + \frac{5}{14} = \frac{7+5}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} $

Ответ: $ \frac{6}{7} $

б)

Для дробей $ \frac{1}{9} $ и $ \frac{1}{12} $ проделаем те же действия.

1. Найдем сумму дробей. Общий знаменатель для 9 и 12 равен 36.

$ \frac{1}{9} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4+3}{36} = \frac{7}{36} $

2. Найдем разность дробей.

$ \frac{1}{9} - \frac{1}{12} = \frac{4}{36} - \frac{3}{36} = \frac{4-3}{36} = \frac{1}{36} $

3. Сложим полученную сумму и разность.

$ \frac{7}{36} + \frac{1}{36} = \frac{7+1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $

Как быстрее и проще получить ответ?

Чтобы найти ответ быстрее и проще, можно использовать алгебраическое свойство. Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Нам нужно найти сумму их суммы и их разности. Запишем это в виде выражения:

$ (a + b) + (a - b) $

Раскрыв скобки, мы получим:

$ a + b + a - b $

Как видно, $b$ и $-b$ взаимно уничтожаются. Остается:

$ a + a = 2a $

Это означает, что результат всегда будет равен удвоенному первому числу (уменьшаемому в разности).

Применим этот способ к нашим задачам:

а) Первое число — $ \frac{3}{7} $. Удваиваем его: $ 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{7} $.

б) Первое число — $ \frac{1}{9} $. Удваиваем его: $ 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $.

Этот метод позволяет получить ответ в одно действие, пропуская промежуточные вычисления суммы и разности.

5.479 Представьте дробь 34 в виде:

а) разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20;

б) суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.

а) разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20;

Чтобы представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде разности, в которой используются дроби со знаменателями 4, 16 и 20, будем искать решение в виде $\frac{a}{4} - \frac{b}{16} - \frac{c}{20} = \frac{3}{4}$. Такое выражение можно представить как разность двух чисел, например, $\frac{a}{4} - (\frac{b}{16} + \frac{c}{20})$.

Для решения этого уравнения приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4, 16 и 20 равно 80.

$\frac{20a}{80} - \frac{5b}{80} - \frac{4c}{80} = \frac{60}{80}$

Это приводит нас к уравнению в целых числах:

$20a - 5b - 4c = 60$

Нам нужно найти один из возможных наборов целых чисел $a, b, c$, удовлетворяющих этому уравнению. Попробуем подобрать простые значения. Пусть $b=4$ и $c=5$. Подставим их в уравнение:

$20a - 5(4) - 4(5) = 60$

$20a - 20 - 20 = 60$

$20a - 40 = 60$

$20a = 100$

$a = 5$

Таким образом, мы нашли одно из решений: $a=5, b=4, c=5$.Теперь запишем исходную дробь в искомом виде и выполним проверку:

$\frac{5}{4} - (\frac{4}{16} + \frac{5}{20}) = \frac{5}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

Равенство выполняется.

Ответ: $\frac{5}{4} - \frac{4}{16} - \frac{5}{20}$ (или в виде разности двух дробей $\frac{5}{4} - (\frac{4}{16} + \frac{5}{20})$).

б) суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.

Чтобы представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде суммы, в которой используются дроби со знаменателями 4, 12 и 28, будем искать решение в виде $\frac{a}{4} + \frac{b}{12} + \frac{c}{28} = \frac{3}{4}$.

Найдем общий знаменатель для 4, 12 и 28. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 84.

Приведем все дроби к знаменателю 84:

$\frac{21a}{84} + \frac{7b}{84} + \frac{3c}{84} = \frac{63}{84}$

Это приводит к уравнению в целых числах:

$21a + 7b + 3c = 63$

Заметим, что $21a$, $7b$ и $63$ делятся на 7. Следовательно, и $3c$ должно делиться на 7. Так как 3 и 7 взаимно простые, то $c$ должно быть кратно 7.Пусть $c = 7$.

$21a + 7b + 3(7) = 63$

$21a + 7b + 21 = 63$

$21a + 7b = 42$

Разделим обе части уравнения на 7:

$3a + b = 6$

Подберем простые натуральные значения. Пусть $a=1$:

$3(1) + b = 6$

$3 + b = 6$

$b = 3$

Мы нашли одно из решений в натуральных числах: $a=1, b=3, c=7$.Запишем исходную дробь в искомом виде и выполним проверку:

$\frac{1}{4} + \frac{3}{12} + \frac{7}{28} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Равенство выполняется.

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{3}{12} + \frac{7}{28}$.

5.480 Отметьте, где расположены на координатной прямой, изображённой на рисунке 5.62, точки

Для того чтобы отметить расположение заданных точек на координатной прямой, проанализируем их координаты относительно уже отмеченных точек 0, $4/5$ и $k$.

Точка A($\frac{2}{5}$)

Координата точки A равна $\frac{2}{5}$. Сравним это значение с отмеченной на прямой координатой $\frac{4}{5}$.
Поскольку $0 < \frac{2}{5} < \frac{4}{5}$, точка A находится между 0 и $\frac{4}{5}$.
Более того, $\frac{2}{5}$ - это ровно половина от $\frac{4}{5}$, значит, точка A является серединой отрезка между 0 и $\frac{4}{5}$.
Ответ: Точка A расположена между 0 и $\frac{4}{5}$, точно посередине.

Точка B($\frac{1}{5}$)

Координата точки B равна $\frac{1}{5}$. Сравним это значение с другими известными координатами:
$0 < \frac{1}{5} < \frac{2}{5}$.
Следовательно, точка B лежит между точкой 0 и точкой A. Расстояние от 0 до B ($\frac{1}{5}$) в два раза меньше расстояния от 0 до A ($\frac{2}{5}$), то есть B - середина отрезка [0, A].
Ответ: Точка B расположена между 0 и точкой A.

Точка C(1)

Координата точки C равна 1. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 5: $1 = \frac{5}{5}$.
Сравним с координатой $\frac{4}{5}$: $1 > \frac{4}{5}$.
Значит, точка C расположена правее точки $\frac{4}{5}$. Расстояние между ними составляет $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$. Это расстояние равно длине отрезка [0, B].
Ответ: Точка C расположена правее точки $\frac{4}{5}$ на расстоянии $\frac{1}{5}$.

Точка D($k + \frac{2}{5}$)

Координата точки D равна $k + \frac{2}{5}$. Это значение больше, чем $k$, на $\frac{2}{5}$.
Следовательно, точка D находится правее точки $k$. Расстояние между $k$ и D равно $\frac{2}{5}$, что соответствует длине отрезка [0, A].
Ответ: Точка D расположена правее точки $k$ на расстоянии $\frac{2}{5}$.

Точка M($k - \frac{1}{5}$)

Координата точки M равна $k - \frac{1}{5}$. Это значение меньше, чем $k$, на $\frac{1}{5}$.
Следовательно, точка M находится левее точки $k$. Расстояние между M и $k$ равно $\frac{1}{5}$, что соответствует длине отрезка [0, B].
Из рисунка видно, что $k$ находится значительно правее $\frac{4}{5}$, поэтому точка M будет расположена между $\frac{4}{5}$ и $k$.
Ответ: Точка M расположена левее точки $k$ на расстоянии $\frac{1}{5}$.

Итоговое расположение точек на координатной прямой:

5.481 Вычислите:

а) $\frac{4}{5} + \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = \frac{4 · 9}{5 · 9} + \frac{1 · 5}{9 · 5} + \frac{2 · 15}{3 · 15}$

$= \frac{36}{45} + \frac{5}{45} + \frac{30}{45} = \frac{36 + 5 + 30}{45} = \frac{71}{45} = 1\frac{26}{45}$

б) $\frac{7}{9} - \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{7 · 5}{9 · 5} - \frac{3 · 9}{5 · 9} + \frac{1 · 15}{3 · 15}$

$= \frac{35}{45} - \frac{27}{45} + \frac{15}{45} = \frac{35 - 27 + 15}{45} = \frac{23}{45}$

в) $\frac{2}{15} + \left(\frac{7}{15} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2}{15} + \left(\frac{7}{15} - \frac{1 · 3}{5 · 3}\right)$

$= \frac{2}{15} + \left(\frac{7}{15} - \frac{3}{15}\right) = \frac{2}{15} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2 · 3}{5 · 3} = \frac{2}{5}$

а) Чтобы сложить дроби $\frac{4}{5} + \frac{1}{9} + \frac{2}{3}$, необходимо привести их к общему знаменателю.
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 5, 9 и 3. НОК(5, 9, 3) = 45.
Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 45, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
Для дроби $\frac{4}{5}$ дополнительный множитель равен $45 \div 5 = 9$: $\frac{4}{5} = \frac{4 \times 9}{5 \times 9} = \frac{36}{45}$
Для дроби $\frac{1}{9}$ дополнительный множитель равен $45 \div 9 = 5$: $\frac{1}{9} = \frac{1 \times 5}{9 \times 5} = \frac{5}{45}$
Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $45 \div 3 = 15$: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 15}{3 \times 15} = \frac{30}{45}$
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{36}{45} + \frac{5}{45} + \frac{30}{45} = \frac{36 + 5 + 30}{45} = \frac{71}{45}$
Так как получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделим целую часть:
$\frac{71}{45} = 1 \frac{26}{45}$

Ответ: $1 \frac{26}{45}$

б) Для вычисления выражения $\frac{7}{9} - \frac{3}{5} + \frac{1}{3}$ также приведем все дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 9, 5 и 3, как и в предыдущем примере, равен 45.
Приведем дроби к знаменателю 45:
$\frac{7}{9} = \frac{7 \times 5}{9 \times 5} = \frac{35}{45}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 9}{5 \times 9} = \frac{27}{45}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 15}{3 \times 15} = \frac{15}{45}$
Теперь выполним действия в порядке их следования:
$\frac{35}{45} - \frac{27}{45} + \frac{15}{45} = \frac{35 - 27 + 15}{45} = \frac{8 + 15}{45} = \frac{23}{45}$

Ответ: $\frac{23}{45}$

в) В выражении $\frac{2}{15} + (\frac{7}{15} - \frac{1}{5})$ сначала выполним действие в скобках, согласно порядку действий.
1. Вычислим разность $\frac{7}{15} - \frac{1}{5}$. Общий знаменатель для 15 и 5 равен 15.
Приведем дробь $\frac{1}{5}$ к знаменателю 15 (дополнительный множитель 3):
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{3}{15}$
Теперь вычитаем:
$\frac{7}{15} - \frac{3}{15} = \frac{7 - 3}{15} = \frac{4}{15}$
2. Теперь выполним сложение, подставив результат вычисления в скобках в исходное выражение:
$\frac{2}{15} + \frac{4}{15} = \frac{2 + 4}{15} = \frac{6}{15}$
3. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3:
$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

5.482 Найдите значение выражения:

a) $4 + \left(\frac{7}{8} + \frac{3}{16}\right) = 4 + \left(\frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{3}{16}\right) = 4 + \left(\frac{14}{16} + \frac{3}{16}\right)$

$= 4 + \frac{17}{16} = 4 + 1\frac{1}{16} = 4 + 1 + \frac{1}{16} = 5 + \frac{1}{16} = 5\frac{1}{16}$

б) $\left(\frac{2}{3} + \frac{7}{8}\right) - \left(\frac{11}{24} - \frac{5}{12}\right) = \left(\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3}\right) -$

$\left(\frac{11}{24} - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2}\right) = \left(\frac{16}{24} + \frac{21}{24}\right) - \left(\frac{11}{24} - \frac{10}{24}\right)$

$= \frac{37}{24} - \frac{1}{24} = \frac{36}{24} = \frac{12 \cdot 3}{12 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

в) $\frac{13}{12} - \frac{12}{13} - \frac{25}{156} =$

$= \frac{13 \cdot 13}{12 \cdot 13} - \frac{12 \cdot 12}{13 \cdot 12} - \frac{25}{156} =$

$= \frac{169}{156} - \frac{144}{156} - \frac{25}{156} = \frac{169 - 144 - 25}{156} = 0$

а) Чтобы найти значение выражения $4 + (\frac{7}{8} + \frac{3}{16})$, сначала выполним сложение в скобках.
1. Приведем дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{16}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 16 - это 16.
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{14}{16}$
2. Сложим дроби в скобках:
$\frac{14}{16} + \frac{3}{16} = \frac{14+3}{16} = \frac{17}{16}$
3. Теперь прибавим полученный результат к 4. Для этого представим неправильную дробь $\frac{17}{16}$ в виде смешанного числа: $1\frac{1}{16}$.
$4 + 1\frac{1}{16} = 5\frac{1}{16}$
Ответ: $5\frac{1}{16}$.

б) Чтобы найти значение выражения $(\frac{2}{3} + \frac{7}{8}) - (\frac{11}{24} - \frac{5}{12})$, выполним действия в каждой из скобок по отдельности, а затем вычтем второй результат из первого.
1. Вычислим значение в первой скобке. Общий знаменатель для 3 и 8 - это 24.
$\frac{2}{3} + \frac{7}{8} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{16}{24} + \frac{21}{24} = \frac{16+21}{24} = \frac{37}{24}$
2. Вычислим значение во второй скобке. Общий знаменатель для 24 и 12 - это 24.
$\frac{11}{24} - \frac{5}{12} = \frac{11}{24} - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{11}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11-10}{24} = \frac{1}{24}$
3. Вычтем результаты:
$\frac{37}{24} - \frac{1}{24} = \frac{37-1}{24} = \frac{36}{24}$
4. Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 24 - это 12.
$\frac{36 \div 12}{24 \div 12} = \frac{3}{2}$
Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $1\frac{1}{2}$.
Ответ: $1\frac{1}{2}$.

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{13}{12} - \frac{12}{13} - \frac{25}{156}$, приведем все дроби к общему знаменателю.
1. Найдем наименьший общий знаменатель для 12, 13 и 156. Проверим, является ли 156 произведением 12 и 13: $12 \cdot 13 = 156$. Да, является. Значит, наименьший общий знаменатель - 156.
2. Приведем дроби к знаменателю 156:
$\frac{13}{12} = \frac{13 \cdot 13}{12 \cdot 13} = \frac{169}{156}$
$\frac{12}{13} = \frac{12 \cdot 12}{13 \cdot 12} = \frac{144}{156}$
3. Подставим полученные дроби в исходное выражение и выполним вычитание:
$\frac{169}{156} - \frac{144}{156} - \frac{25}{156} = \frac{169 - 144 - 25}{156}$
Сначала вычтем $169 - 144 = 25$.
Затем $25 - 25 = 0$.
Получаем: $\frac{0}{156} = 0$.
Ответ: $0$.

5.483 В пекарне было 23 т муки. Сколько тонн муки стало в пекарне после того, как на выпечку хлеба израсходовали 12 т, а затем привезли 56 т муки?

Чтобы найти, сколько тонн муки стало в пекарне, нужно из начального количества муки ($ \frac{2}{3} $ т) вычесть количество израсходованной муки ($ \frac{1}{2} $ т) и затем прибавить количество привезенной муки ($ \frac{5}{6} $ т).

Составим и решим одно математическое выражение:

$ \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} $

Для выполнения действий с дробями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 2 и 6 равен 6.

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $

Теперь подставим дроби с общим знаменателем в исходное выражение и вычислим результат:

$ \frac{4}{6} - \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4 - 3 + 5}{6} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1 $ т.

Ответ: в пекарне стала 1 тонна муки.