Номер 5.476, страница 77, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

37. Умножение дробей. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.476, страница 77.

5.476 Проверьте равенства:

и т. д. Используя эти равенства, докажите:

Проверьте равенства:
Чтобы проверить данные равенства, докажем их в общем виде. Все равенства имеют вид: $ \frac{1}{n \cdot (n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $, где $n$ — нечетное натуральное число.
Преобразуем правую часть равенства:
$ \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n+2}{n(n+2)} - \frac{n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{n+2-n}{n(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n(n+2)} $
Правая часть равна левой части, следовательно, тождество верно для любого $n$. Проверим для частных случаев из задания:
1. Для $n=3$: $ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) \Rightarrow \frac{1}{15} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{15} \Rightarrow \frac{1}{15} = \frac{1}{15} $. Верно.
2. Для $n=5$: $ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) \Rightarrow \frac{1}{35} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{35} \Rightarrow \frac{1}{35} = \frac{1}{35} $. Верно.
3. Для $n=7$: $ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) \Rightarrow \frac{1}{63} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{63} \Rightarrow \frac{1}{63} = \frac{1}{63} $. Верно.
Таким образом, все представленные равенства верны.
Ответ: Равенства верны.

Используя эти равенства, докажите:
Необходимо доказать, что $ \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \frac{1}{13 \cdot 15} = \frac{2}{15} $.
Воспользуемся доказанным выше тождеством $ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) $ для каждого слагаемого в сумме.
$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) $
$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) $
$ \frac{1}{7 \cdot 9} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) $
$ \frac{1}{9 \cdot 11} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) $
$ \frac{1}{11 \cdot 13} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) $
$ \frac{1}{13 \cdot 15} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) $
Теперь подставим эти выражения в исходную сумму:
$ S = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) $
Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки:
$ S = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{13} - \frac{1}{15}\right) \right] $
Раскроем внутренние скобки. Промежуточные члены взаимно уничтожатся:
$ S = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} \right] $
В скобках останутся только первый и последний члены:
$ S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{15} \right) $
Вычислим разность в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 15:
$ \frac{1}{3} - \frac{1}{15} = \frac{5}{15} - \frac{1}{15} = \frac{4}{15} $
Подставим результат обратно в выражение для суммы:
$ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{2 \cdot 15} = \frac{2}{15} $
Таким образом, мы доказали, что исходное равенство верно.
Ответ: $ \frac{2}{15} $.