Номер 5.479, страница 77, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

37. Умножение дробей. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.479, страница 77.

5.479 Представьте дробь 34 в виде:

а) разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20;

б) суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.

а) разности двух дробей со знаменателями 4, 16 и 20;

Чтобы представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде разности, в которой используются дроби со знаменателями 4, 16 и 20, будем искать решение в виде $\frac{a}{4} - \frac{b}{16} - \frac{c}{20} = \frac{3}{4}$. Такое выражение можно представить как разность двух чисел, например, $\frac{a}{4} - (\frac{b}{16} + \frac{c}{20})$.

Для решения этого уравнения приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 4, 16 и 20 равно 80.

$\frac{20a}{80} - \frac{5b}{80} - \frac{4c}{80} = \frac{60}{80}$

Это приводит нас к уравнению в целых числах:

$20a - 5b - 4c = 60$

Нам нужно найти один из возможных наборов целых чисел $a, b, c$, удовлетворяющих этому уравнению. Попробуем подобрать простые значения. Пусть $b=4$ и $c=5$. Подставим их в уравнение:

$20a - 5(4) - 4(5) = 60$

$20a - 20 - 20 = 60$

$20a - 40 = 60$

$20a = 100$

$a = 5$

Таким образом, мы нашли одно из решений: $a=5, b=4, c=5$.Теперь запишем исходную дробь в искомом виде и выполним проверку:

$\frac{5}{4} - (\frac{4}{16} + \frac{5}{20}) = \frac{5}{4} - (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

Равенство выполняется.

Ответ: $\frac{5}{4} - \frac{4}{16} - \frac{5}{20}$ (или в виде разности двух дробей $\frac{5}{4} - (\frac{4}{16} + \frac{5}{20})$).

б) суммы двух дробей со знаменателями 4, 12 и 28.

Чтобы представить дробь $\frac{3}{4}$ в виде суммы, в которой используются дроби со знаменателями 4, 12 и 28, будем искать решение в виде $\frac{a}{4} + \frac{b}{12} + \frac{c}{28} = \frac{3}{4}$.

Найдем общий знаменатель для 4, 12 и 28. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел равно 84.

Приведем все дроби к знаменателю 84:

$\frac{21a}{84} + \frac{7b}{84} + \frac{3c}{84} = \frac{63}{84}$

Это приводит к уравнению в целых числах:

$21a + 7b + 3c = 63$

Заметим, что $21a$, $7b$ и $63$ делятся на 7. Следовательно, и $3c$ должно делиться на 7. Так как 3 и 7 взаимно простые, то $c$ должно быть кратно 7.Пусть $c = 7$.

$21a + 7b + 3(7) = 63$

$21a + 7b + 21 = 63$

$21a + 7b = 42$

Разделим обе части уравнения на 7:

$3a + b = 6$

Подберем простые натуральные значения. Пусть $a=1$:

$3(1) + b = 6$

$3 + b = 6$

$b = 3$

Мы нашли одно из решений в натуральных числах: $a=1, b=3, c=7$.Запишем исходную дробь в искомом виде и выполним проверку:

$\frac{1}{4} + \frac{3}{12} + \frac{7}{28} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Равенство выполняется.

Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{3}{12} + \frac{7}{28}$.