Номер 5.478, страница 77, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

37. Умножение дробей. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.478, страница 77.

5.478 Сумму данных дробей сложите с их разностью: а) 37 и 114; б) 19 и 112. Как быстрее и проще получить ответ?

а)

Для дробей $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{1}{14} $ найдем их сумму и разность, а затем сложим полученные результаты.

1. Найдем сумму дробей. Для этого приведем их к общему знаменателю 14.

$ \frac{3}{7} + \frac{1}{14} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{1}{14} = \frac{6}{14} + \frac{1}{14} = \frac{6+1}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $

2. Найдем разность дробей.

$ \frac{3}{7} - \frac{1}{14} = \frac{6}{14} - \frac{1}{14} = \frac{6-1}{14} = \frac{5}{14} $

3. Сложим полученную сумму и разность.

$ \frac{1}{2} + \frac{5}{14} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{5}{14} = \frac{7}{14} + \frac{5}{14} = \frac{7+5}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7} $

Ответ: $ \frac{6}{7} $

б)

Для дробей $ \frac{1}{9} $ и $ \frac{1}{12} $ проделаем те же действия.

1. Найдем сумму дробей. Общий знаменатель для 9 и 12 равен 36.

$ \frac{1}{9} + \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{4}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4+3}{36} = \frac{7}{36} $

2. Найдем разность дробей.

$ \frac{1}{9} - \frac{1}{12} = \frac{4}{36} - \frac{3}{36} = \frac{4-3}{36} = \frac{1}{36} $

3. Сложим полученную сумму и разность.

$ \frac{7}{36} + \frac{1}{36} = \frac{7+1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $

Как быстрее и проще получить ответ?

Чтобы найти ответ быстрее и проще, можно использовать алгебраическое свойство. Пусть у нас есть два числа, $a$ и $b$. Нам нужно найти сумму их суммы и их разности. Запишем это в виде выражения:

$ (a + b) + (a - b) $

Раскрыв скобки, мы получим:

$ a + b + a - b $

Как видно, $b$ и $-b$ взаимно уничтожаются. Остается:

$ a + a = 2a $

Это означает, что результат всегда будет равен удвоенному первому числу (уменьшаемому в разности).

Применим этот способ к нашим задачам:

а) Первое число — $ \frac{3}{7} $. Удваиваем его: $ 2 \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{7} $.

б) Первое число — $ \frac{1}{9} $. Удваиваем его: $ 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9} $.

Этот метод позволяет получить ответ в одно действие, пропуская промежуточные вычисления суммы и разности.