Страница 73, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.211 Найдите корни уравнения или убедитесь, что среди натуральных чисел их нет:

а) x + 37 = 71;

б) x - 37 = 71;

в) 37 - x = 71;

г) 71 + x = 37.

а) В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$x + 37 = 71$

$x = 71 - 37$

$x = 34$

Полученное значение $x=34$ является натуральным числом.

Проверка: $34 + 37 = 71$. Равенство верное.

Ответ: $34$.

б) В данном уравнении $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

$x - 37 = 71$

$x = 71 + 37$

$x = 108$

Полученное значение $x=108$ является натуральным числом.

Проверка: $108 - 37 = 71$. Равенство верное.

Ответ: $108$.

в) В данном уравнении $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$87 - x = 71$

$x = 87 - 71$

$x = 16$

Полученное значение $x=16$ является натуральным числом.

Проверка: $87 - 16 = 71$. Равенство верное.

Ответ: $16$.

г) В данном уравнении $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

$71 + x = 37$

$x = 37 - 71$

$x = -34$

Полученное значение $x=-34$ не является натуральным числом, так как натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$).

Ответ: среди натуральных чисел корней нет.

2.212 Решите уравнение:

а) (x - 47) + 63 = 100;

б) 120 - (x + 96) = 24;

в) 48 + (56 - x) = 48;

г) (90 - x) - 32 = 58.

а) $(x - 47) + 63 = 100$
В данном уравнении выражение в скобках $(x - 47)$ выступает в роли неизвестного слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы (100) вычесть известное слагаемое (63).
$x - 47 = 100 - 63$
$x - 47 = 37$
Теперь переменная $x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (37) прибавить вычитаемое (47).
$x = 37 + 47$
$x = 84$
Проверка: $(84 - 47) + 63 = 37 + 63 = 100$.
Ответ: 84

б) $120 - (x + 96) = 24$
В этом уравнении выражение в скобках $(x + 96)$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого (120) вычесть разность (24).
$x + 96 = 120 - 24$
$x + 96 = 96$
Теперь переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (96) вычесть известное слагаемое (96).
$x = 96 - 96$
$x = 0$
Проверка: $120 - (0 + 96) = 120 - 96 = 24$.
Ответ: 0

в) $48 + (56 - x) = 48$
Здесь выражение в скобках $(56 - x)$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы (48) вычесть известное слагаемое (48).
$56 - x = 48 - 48$
$56 - x = 0$
Теперь переменная $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, необходимо из уменьшаемого (56) вычесть разность (0).
$x = 56 - 0$
$x = 56$
Проверка: $48 + (56 - 56) = 48 + 0 = 48$.
Ответ: 56

г) $(90 - x) - 32 = 58$
В данном уравнении выражение в скобках $(90 - x)$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности (58) прибавить вычитаемое (32).
$90 - x = 58 + 32$
$90 - x = 90$
Теперь переменная $x$ является неизвестным вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого (90) вычесть разность (90).
$x = 90 - 90$
$x = 0$
Проверка: $(90 - 0) - 32 = 90 - 32 = 58$.
Ответ: 0

2.213 Вычислите.

а)

Данный пример решается последовательным выполнением указанных действий:
1. Сначала выполним сложение: $50 + 40 = 90$.
2. Затем разделим полученный результат на 30: $90 : 30 = 3$.
3. Далее умножим результат на 50: $3 \cdot 50 = 150$.
4. В последнем действии вычтем 100: $150 - 100 = 50$.

Ответ: 50

б)

Выполним действия по порядку:
1. Складываем числа: $30 + 70 = 100$.
2. Делим результат на 10: $100 : 10 = 10$.
3. Умножаем полученное число на 15: $10 \cdot 15 = 150$.
4. Вычитаем 150: $150 - 150 = 0$.

Ответ: 0

в)

Решим пример по шагам:
1. Выполняем вычитание: $100 - 70 = 30$.
2. Умножаем результат на 3: $30 \cdot 3 = 90$.
3. Вычитаем 18 из полученного числа: $90 - 18 = 72$.
4. Делим результат на 36: $72 : 36 = 2$.

Ответ: 2

г)

Произведем вычисления в указанной последовательности:
1. Находим разность: $100 - 80 = 20$.
2. Делим результат на 4: $20 : 4 = 5$.
3. Умножаем полученное число на 14: $5 \cdot 14 = 70$.
4. Вычитаем 67: $70 - 67 = 3$.

Ответ: 3

д)

Выполним действия по порядку:
1. Вычитаем из 67 число 23: $67 - 23 = 44$.
2. Делим результат на 11: $44 : 11 = 4$.
3. Умножаем полученное число на 25: $4 \cdot 25 = 100$.
4. Вычитаем 19 из результата: $100 - 19 = 81$.

Ответ: 81

2.214 Восстановите цепочку вычислений.

а)

Для того чтобы восстановить пропущенные числа в цепочке вычислений, будем двигаться от конца к началу, выполняя операции, обратные указанным.

1. Последний результат — 100. Он получен сложением числа 49. Чтобы найти предыдущее число, выполним вычитание: $100 - 49 = 51$. Это число находится в кружке перед последним действием.

2. Число 51 получено умножением на 17. Чтобы найти число до этого действия, выполним деление: $51 : 17 = 3$.

3. Число 3 получено делением на 15. Чтобы найти число до этого, выполним умножение: $3 \cdot 15 = 45$.

4. Число 45 получено вычитанием 45. Чтобы найти число до этого, выполним сложение: $45 + 45 = 90$.

5. Число 90 получено умножением на 3 исходного числа из зелёного квадрата. Чтобы найти исходное число, выполним деление: $90 : 3 = 30$.

Проверим последовательность вычислений: $30 \cdot 3 = 90$; $90 - 45 = 45$; $45 : 15 = 3$; $3 \cdot 17 = 51$; $51 + 49 = 100$. Все сходится.

Ответ: Исходное число в квадрате — 30. Числа в кружках по порядку вычислений: 90, 45, 3, 51.

б)

Аналогично первому пункту, будем восстанавливать цепочку, идя в обратном направлении от известного результата.

1. Конечный результат — 25. Он получен делением на 2. Найдём предыдущее число, выполнив умножение: $25 \cdot 2 = 50$.

2. Число 50 получено сложением с 22. Найдём число до этого действия, выполнив вычитание: $50 - 22 = 28$.

3. Число 28 получено делением на 3. Найдём число до этого, выполнив умножение: $28 \cdot 3 = 84$.

4. Число 84 (в верхнем левом кружке) получено сложением с 8. Найдём число, из которого оно получено (в нижнем левом кружке), выполнив вычитание: $84 - 8 = 76$.

5. Число 76 получено умножением на 4 исходного числа из зелёного квадрата. Найдём это исходное число, выполнив деление: $76 : 4 = 19$.

Проверим последовательность вычислений: $19 \cdot 4 = 76$; $76 + 8 = 84$; $84 : 3 = 28$; $28 + 22 = 50$; $50 : 2 = 25$. Все сходится.

Ответ: Исходное число в квадрате — 19. Числа в кружках по порядку вычислений: 76, 84, 28, 50.

2.215 На координатной прямой отмечены точки M(22), B(7), K(31), D(27), N(20), O(0). Какие из этих точек лежат:

а) правее точки N и на сколько единичных отрезков;

б) левее точки M и на сколько единичных отрезков;

в) между точками В и К?

а) правее точки N лежат точки:

M на 2 ед. отрезка (22 - 20 = 2);

D на 7 ед. отрезков (27 - 20 = 7);

K на 11 ед. отрезкаов (31 - 20 = 11).

б) левее точки М лежат точки:

N на 2 ед. отрезка (22 - 20 = 2);

B на 15 ед. отрезков (22 - 7 = 15);

O на 22 ед. отрезков (22 - 0 = 2).

в) между точками В и K лежат точки: N(20), M(22), D(27).

Для решения этой задачи мы будем сравнивать координаты данных точек и вычислять расстояние между ними на координатной прямой. Расстояние между двумя точками с координатами $a$ и $b$ равно $|a - b|$. Точка с большей координатой лежит правее, а с меньшей — левее.

Данные точки: $M(22)$, $B(7)$, $K(31)$, $D(27)$, $N(20)$, $O(0)$.

а) правее точки N и на сколько единичных отрезков;

Координата точки $N$ равна 20. Точка лежит правее $N$, если ее координата больше 20. Найдем такие точки и расстояние до них.

Точка $M(22)$: координата $22 > 20$, значит, точка $M$ лежит правее точки $N$. Расстояние равно $22 - 20 = 2$ единичных отрезка.

Точка $K(31)$: координата $31 > 20$, значит, точка $K$ лежит правее точки $N$. Расстояние равно $31 - 20 = 11$ единичных отрезков.

Точка $D(27)$: координата $27 > 20$, значит, точка $D$ лежит правее точки $N$. Расстояние равно $27 - 20 = 7$ единичных отрезков.

Координаты точек $B(7)$ и $O(0)$ меньше 20, поэтому они лежат левее точки $N$.

Ответ: Правее точки $N$ лежат точки $M(22)$ на 2 единичных отрезка, $K(31)$ на 11 единичных отрезков и $D(27)$ на 7 единичных отрезков.

б) левее точки M и на сколько единичных отрезков;

Координата точки $M$ равна 22. Точка лежит левее $M$, если ее координата меньше 22. Найдем такие точки и расстояние до них.

Точка $B(7)$: координата $7 < 22$, значит, точка $B$ лежит левее точки $M$. Расстояние равно $22 - 7 = 15$ единичных отрезков.

Точка $N(20)$: координата $20 < 22$, значит, точка $N$ лежит левее точки $M$. Расстояние равно $22 - 20 = 2$ единичных отрезка.

Точка $O(0)$: координата $0 < 22$, значит, точка $O$ лежит левее точки $M$. Расстояние равно $22 - 0 = 22$ единичных отрезка.

Координаты точек $K(31)$ и $D(27)$ больше 22, поэтому они лежат правее точки $M$.

Ответ: Левее точки $M$ лежат точки $B(7)$ на 15 единичных отрезков, $N(20)$ на 2 единичных отрезка и $O(0)$ на 22 единичных отрезка.

в) между точками B и K?

Координата точки $B$ равна 7, а точки $K$ равна 31. Точка лежит между $B$ и $K$, если ее координата $x$ удовлетворяет неравенству $7 < x < 31$. Проверим оставшиеся точки:

Точка $M(22)$: $7 < 22 < 31$, следовательно, точка $M$ лежит между $B$ и $K$.

Точка $D(27)$: $7 < 27 < 31$, следовательно, точка $D$ лежит между $B$ и $K$.

Точка $N(20)$: $7 < 20 < 31$, следовательно, точка $N$ лежит между $B$ и $K$.

Точка $O(0)$: координата $0$ не удовлетворяет неравенству, так как $0 < 7$.

Ответ: Между точками $B$ и $K$ лежат точки $M(22)$, $D(27)$ и $N(20)$.

2.216 Что меньше и во сколько раз:

а) три часа или сорок пять минут;

б) двадцать килограммов или четыре центнера;

в) восемь метров или сорок сантиметров?

а) Чтобы сравнить три часа и сорок пять минут, необходимо привести обе величины к одной единице измерения, например, к минутам.
Мы знаем, что в одном часе содержится 60 минут.
Найдем, сколько минут в трех часах:
$3 \text{ часа} = 3 \times 60 \text{ минут} = 180 \text{ минут}$.
Теперь сравним полученное значение с сорока пятью минутами:
$45 \text{ минут} < 180 \text{ минут}$.
Следовательно, сорок пять минут меньше, чем три часа.
Чтобы узнать, во сколько раз меньше, разделим большую величину на меньшую:
$180 \div 45 = 4$.
Ответ: сорок пять минут меньше, чем три часа, в 4 раза.

б) Чтобы сравнить двадцать килограммов и четыре центнера, необходимо привести обе величины к одной единице измерения, например, к килограммам.
Мы знаем, что в одном центнере содержится 100 килограммов.
Найдем, сколько килограммов в четырех центнерах:
$4 \text{ центнера} = 4 \times 100 \text{ кг} = 400 \text{ кг}$.
Теперь сравним полученное значение с двадцатью килограммами:
$20 \text{ кг} < 400 \text{ кг}$.
Следовательно, двадцать килограммов меньше, чем четыре центнера.
Чтобы узнать, во сколько раз меньше, разделим большую величину на меньшую:
$400 \div 20 = 20$.
Ответ: двадцать килограммов меньше, чем четыре центнера, в 20 раз.

в) Чтобы сравнить восемь метров и сорок сантиметров, необходимо привести обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.
Мы знаем, что в одном метре содержится 100 сантиметров.
Найдем, сколько сантиметров в восьми метрах:
$8 \text{ метров} = 8 \times 100 \text{ см} = 800 \text{ см}$.
Теперь сравним полученное значение с сорока сантиметрами:
$40 \text{ см} < 800 \text{ см}$.
Следовательно, сорок сантиметров меньше, чем восемь метров.
Чтобы узнать, во сколько раз меньше, разделим большую величину на меньшую:
$800 \div 40 = 20$.
Ответ: сорок сантиметров меньше, чем восемь метров, в 20 раз.

2.217 В бензобаке автомобиля было 36 л бензина. Во время поездки по городу израсходовали половину всего бензина, а во время поездки по трассе - ещё треть оставшегося бензина. Сколько литров бензина осталось в баке?

Было – 36 л.

Израсходовали:

– по городу – половину всего бензина;
– по трассе – треть оставшегося бензина.

Осталось – ?

1) 36 : 2 = 18 (л.) – израсходовали по городу;

2) 36 - 18 = 18 (л.) – осталось;

3) 18 : 3 = 6 (л) – израсходовали по трассе;

4) 18 - 6 = 12 (л.) – осталось.

Ответ: 12 л.

Задача решается в несколько шагов.

1. Расчет бензина, израсходованного в городе.
Изначально в бензобаке было 36 литров бензина. Во время поездки по городу израсходовали половину от этого количества.
$36 \times \frac{1}{2} = 18$ литров.

2. Расчет оставшегося бензина после поездки по городу.
Чтобы найти остаток, нужно из начального количества вычесть израсходованное.
$36 - 18 = 18$ литров.

3. Расчет бензина, израсходованного на трассе.
Во время поездки по трассе израсходовали треть от оставшегося бензина, то есть от 18 литров.
$18 \times \frac{1}{3} = 6$ литров.

4. Расчет итогового количества бензина в баке.
Чтобы найти, сколько бензина осталось в итоге, нужно из количества после поездки по городу вычесть то, что было израсходовано на трассе.
$18 - 6 = 12$ литров.

Ответ: в баке осталось 12 литров бензина.

2.218 Установите закономерность и назовите пропущенное число.

а) 50 = 2 · (15 + 10), т.е.

Среднее число в первой строчке равно удвоенной сумме двух крайних чисел.

2 · (13 + 12) = 2 · 25 = 50

б) 20 = (27 + 13) : 2, т.е.

Среднее число в первой строчке равно половине суммы двух крайних чисел.

(16 + 24) : 2 = 40 : 2 = 90

a)

Чтобы найти пропущенное число, установим закономерность, связывающую числа в верхнем и нижнем рядах для каждого столбца. Обозначим число в верхнем ряду как $T$, а соответствующее ему число в нижнем ряду как $B$. Закономерность основана на сумме цифр этих чисел. Обозначим сумму цифр числа $n$ как $S(n)$.

Рассмотрим первый столбец: $T_1 = 15$ и $B_1 = 13$.
Сумма цифр верхнего числа: $S(15) = 1 + 5 = 6$.
Сумма цифр нижнего числа: $S(13) = 1 + 3 = 4$.
Связь между ними: $S(B_1) = S(T_1) - 2$.

Рассмотрим третий столбец: $T_3 = 10$ и $B_3 = 12$.
Сумма цифр верхнего числа: $S(10) = 1 + 0 = 1$.
Сумма цифр нижнего числа: $S(12) = 1 + 2 = 3$.
Связь между ними: $S(B_3) = S(T_3) + 2$.

Мы видим, что для получения суммы цифр нижнего числа к сумме цифр верхнего числа прибавляется поправка, которая меняется в зависимости от столбца. Для первого столбца поправка равна -2, для третьего — +2. Логично предположить, что для среднего (второго) столбца поправка равна 0, так как числа -2, 0, +2 образуют арифметическую прогрессию.

Таким образом, для второго столбца должно выполняться равенство $S(B_2) = S(T_2) + 0$, или $S(B_2) = S(T_2)$.
Верхнее число во втором столбце $T_2 = 50$. Сумма его цифр: $S(50) = 5 + 0 = 5$.
Следовательно, сумма цифр пропущенного числа $B_2$ также должна быть равна 5. Среди возможных вариантов (5, 14, 23, 32, 41, 50...) наиболее логичным, учитывая число в верхнем ряду, является 50.

Ответ: 50

б)

Проверим, выполняется ли установленная закономерность для этого набора чисел.

Рассмотрим первый столбец: $T_1 = 27$ и $B_1 = 16$.
Сумма цифр верхнего числа: $S(27) = 2 + 7 = 9$.
Сумма цифр нижнего числа: $S(16) = 1 + 6 = 7$.
Связь: $S(B_1) = S(T_1) - 2$. Закономерность подтверждается.

Рассмотрим третий столбец: $T_3 = 13$ и $B_3 = 24$.
Сумма цифр верхнего числа: $S(13) = 1 + 3 = 4$.
Сумма цифр нижнего числа: $S(24) = 2 + 4 = 6$.
Связь: $S(B_3) = S(T_3) + 2$. Закономерность также подтверждается.

Так как закономерность верна, применяем ее для второго столбца: $S(B_2) = S(T_2)$.
Верхнее число во втором столбце $T_2 = 20$. Сумма его цифр: $S(20) = 2 + 0 = 2$.
Значит, сумма цифр пропущенного числа $B_2$ должна быть равна 2. Аналогично предыдущему пункту, наиболее подходящим вариантом является число 20.

Ответ: 20

2.219 Можно ли сравнить числа:

а) 12?? и 11??;

б) ?2?? и 7??;

в) ????? и ????;

г) ?8? и 1???

а) В записи чисел одинаковое количество цифр. Сравнили цифры наивысшего разряда (единицы тысяч). Они одинаковые (1 = 1). Сравниваем цифры следующего разряда (сотни). У числа слева эта цифра больше (2 > 1). Значит, и число записанное слева, больше.

12?? > 11??

Ответ: сравнить можно.

б) Тат как четырёхзначное число, записанные слева, содержит больше цифр, чем трёхзначное число, то четырёхзначное число больше трёхзначного.

?2?? > 7??

Ответ: сравнить можно.

в) Слева записано пятизначное число, справа – четырёхзначное. Любое пятизначное число больше любого четырёхзначного, так как содержит больше цифр.

????? > ????

г) ?8? и 1?? – сравнить нельзя. Количество цифр у чисел одинаковое. Число может быть как больше, так и меньше числа справа. Это зависит от цифры наивысшего разряда (сотен).

Ответ: сравнить нельзя.

а) 12?? и 11??
Да, эти числа можно сравнить. Оба числа являются четырехзначными. Для их сравнения необходимо рассматривать разряды слева направо.
1. Разряд тысяч у обоих чисел одинаков и равен 1.
2. Разряд сотен у первого числа равен 2, а у второго — 1.
Поскольку $2 > 1$, первое число всегда будет больше второго, независимо от того, какие цифры стоят на месте знаков вопроса в разрядах десятков и единиц. Например, наименьшее возможное значение для первого числа — 1200, а наибольшее для второго — 1199. Так как $1200 > 1199$, можно с уверенностью утверждать, что число 12?? всегда больше числа 11??.
Ответ: да, можно сравнить. Число 12?? всегда больше числа 11??.

б) ?2?? и 7??
Да, эти числа можно сравнить. В данном случае мы сравниваем числа с разным количеством разрядов (цифр).
Первое число, ?2??, является четырехзначным (первый знак вопроса обозначает цифру от 1 до 9, остальные — от 0 до 9).
Второе число, 7??, является трехзначным.
Любое четырехзначное число всегда больше любого трехзначного. Наименьшее четырехзначное число — 1000, а наибольшее трехзначное — 999. Так как $1000 > 999$, то и в нашем случае первое число всегда будет больше второго.
Ответ: да, можно сравнить. Число ?2?? всегда больше числа 7??.

в) ????? и ????
Да, эти числа можно сравнить. Здесь, как и в предыдущем пункте, сравниваются числа с разным количеством разрядов.
Первое число, ?????, является пятизначным.
Второе число, ????, является четырехзначным.
Любое пятизначное число всегда больше любого четырехзначного. Наименьшее пятизначное число — 10000, а наибольшее четырехзначное — 9999. Поскольку $10000 > 9999$, первое число всегда будет больше второго.
Ответ: да, можно сравнить. Число ????? всегда больше числа ????.

г) ?8? и 1???
Да, эти числа можно сравнить. Снова сравниваем числа с разным количеством разрядов.
Первое число, ?8?, является трехзначным.
Второе число, 1???, является четырехзначным.
Любое трехзначное число всегда меньше любого четырехзначного. Наибольшее возможное значение для числа ?8? — это 989. Наименьшее возможное значение для числа 1??? — это 1000. Поскольку $989 < 1000$, первое число всегда меньше второго.
Ответ: да, можно сравнить. Число ?8? всегда меньше числа 1???.

2.220 Разбираемся в решении. От Лысой горы, с которой Иван-царевич выпустил стрелу, до царства Кощея ведут три тропы, а от Кощеева царства до болота, в котором Царевна-лягушка поймала стрелу, выпущенную Иваном-царевичем, ведут четыре еле приметные стёжки-дорожки. Сколькими способами Иван-царевич может добраться до Царевны-лягушки, пройдя через царство Кощея?

Решение. Если от Лысой горы добираться до Кощеева царства по первой тропе, то продолжить путь можно четырьмя способами. Так же рассуждая, получим ещё два способа продолжить путь, начав со второй тропы или с третьей, а продолжив далее путь по одной из четырёх стёжек-дорожек. Значит, у Ивана-царевича всего 3 - 4 = 12 способов добраться до Царевны-лягушки.

3 · 4 = 12

Ответ: 12 способами.

B2.220

Для решения этой задачи необходимо применить основное правило комбинаторики — правило умножения. Весь маршрут Ивана-царевича можно разделить на два последовательных этапа.

Этап 1: Путь от Лысой горы до царства Кощея.
Согласно условию, на этом этапе существует 3 различных тропы. Таким образом, количество способов совершить первый этап путешествия равно $N_1 = 3$.

Этап 2: Путь от царства Кощея до болота, где находится Царевна-лягушка.
На этом этапе существует 4 различных стёжки-дорожки. Количество способов совершить второй этап путешествия равно $N_2 = 4$.

Поскольку выбор пути на втором этапе не зависит от того, какой путь был выбран на первом, общее количество способов пройти весь маршрут равно произведению количества способов на каждом из этапов.
Общее число способов $N$ вычисляется по формуле:
$N = N_1 \cdot N_2$

Подставляя значения, получаем:
$N = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12 способами.

Задача Карла Гаусса

В тексте рассказывается история о том, как юный Карл Гаусс быстро решил задачу по нахождению суммы всех целых чисел от 1 до 100. Он не складывал числа последовательно, а применил более эффективный метод.

Гаусс заметил, что если сгруппировать числа в пары, взяв первое и последнее, второе и предпоследнее, и так далее, то сумма каждой такой пары будет одинаковой:
$1 + 100 = 101$
$2 + 99 = 101$
$3 + 98 = 101$
...
$50 + 51 = 101$

Всего в последовательности от 1 до 100 находится 100 чисел. Их можно разбить ровно на $100 / 2 = 50$ таких пар.

Чтобы найти общую сумму, достаточно умножить сумму одной пары (101) на количество пар (50). Это и есть то вычисление, которое, согласно легенде, Гаусс мгновенно произвёл:
$S = 101 \cdot 50 = 5050$

Этот подход является наглядной иллюстрацией формулы суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
где $a_1$ — первый член прогрессии, $a_n$ — последний, а $n$ — их количество.

Ответ: Гаусс вычислил сумму чисел от 1 до 100, разбив их на 50 пар, сумма каждой из которых равна 101, и получил результат $101 \cdot 50 = 5050$.

1 Сравните дроби:

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{9}$ и $\frac{4}{27}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 9 и 27 это 27, так как 27 делится на 9. Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $27 : 9 = 3$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{9}$ на 3:

$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{15}{27}$

Теперь сравним полученные дроби $\frac{15}{27}$ и $\frac{4}{27}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Так как $15 > 4$, то и $\frac{15}{27} > \frac{4}{27}$.

Следовательно, $\frac{5}{9} > \frac{4}{27}$.

Ответ: $\frac{5}{9} > \frac{4}{27}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{24}$ и $\frac{5}{8}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 8 это 24. Дополнительный множитель для второй дроби: $24 : 8 = 3$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{8}$ на 3:

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

Сравним дроби $\frac{7}{24}$ и $\frac{15}{24}$. Так как знаменатели равны, сравниваем числители. Поскольку $7 < 15$, то $\frac{7}{24} < \frac{15}{24}$.

Следовательно, $\frac{7}{24} < \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{24} < \frac{5}{8}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{60}$ и $\frac{13}{30}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 60 и 30 это 60. Дополнительный множитель для второй дроби: $60 : 30 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{13}{30}$ на 2:

$\frac{13}{30} = \frac{13 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{26}{60}$

Сравним дроби $\frac{1}{60}$ и $\frac{26}{60}$. Так как $1 < 26$, то $\frac{1}{60} < \frac{26}{60}$.

Следовательно, $\frac{1}{60} < \frac{13}{30}$.

Ответ: $\frac{1}{60} < \frac{13}{30}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{15}{24}$ и $\frac{14}{36}$, приведем их к наименьшему общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 24 и 36.

Разложим знаменатели на простые множители:

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

НОК(24, 36) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Приведем дроби к знаменателю 72.

Дополнительный множитель для первой дроби: $72 : 24 = 3$.

$\frac{15}{24} = \frac{15 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{45}{72}$

Дополнительный множитель для второй дроби: $72 : 36 = 2$.

$\frac{14}{36} = \frac{14 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{28}{72}$

Теперь сравним дроби $\frac{45}{72}$ и $\frac{28}{72}$. Так как $45 > 28$, то $\frac{45}{72} > \frac{28}{72}$.

Следовательно, $\frac{15}{24} > \frac{14}{36}$.

Ответ: $\frac{15}{24} > \frac{14}{36}$.

2 Какая из дробей 12, 26, 510, 1012 наибольшая; наименьшая? Есть ли среди них равные?

Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{5}{10}$ и $\frac{10}{12}$, мы можем выполнить два действия: сначала упростить (сократить) дроби, а затем привести их к общему знаменателю для удобного сравнения.

1. Упрощение дробей:

Дробь $\frac{1}{2}$ уже является несократимой.

Сократим дробь $\frac{2}{6}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2: $\frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3}$.

Сократим дробь $\frac{5}{10}$, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$.

Сократим дробь $\frac{10}{12}$, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$.

Таким образом, мы получили следующий набор дробей: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{6}$.

2. Приведение к общему знаменателю:

Теперь нам нужно сравнить дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{6}$. Для этого найдем их наименьший общий знаменатель. Для чисел 2, 3 и 6 наименьшим общим кратным (НОК) является 6.

Приведем каждую уникальную дробь к знаменателю 6:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$

Дробь $\frac{5}{6}$ уже имеет знаменатель 6.

3. Сравнение дробей:

Теперь мы можем сравнить исходные дроби, представив их в виде дробей со знаменателем 6:

$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{6} = \frac{2}{6}$

$\frac{5}{10} = \frac{3}{6}$

$\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Сравнивая числители 3, 2, 3, 5, мы можем расположить дроби в порядке возрастания: $\frac{2}{6} < \frac{3}{6} < \frac{5}{6}$.

наибольшая

Наибольшее значение соответствует дроби с наибольшим числителем, то есть $\frac{5}{6}$. Эта дробь была получена из исходной дроби $\frac{10}{12}$.

Ответ: наибольшая дробь - $\frac{10}{12}$.

наименьшая

Наименьшее значение соответствует дроби с наименьшим числителем, то есть $\frac{2}{6}$. Эта дробь и была в исходном наборе.

Ответ: наименьшая дробь - $\frac{2}{6}$.

равные

Из нашего сравнения видно, что дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{10}$ после приведения к общему знаменателю стали одинаковыми ($\frac{3}{6}$). Следовательно, они равны.

Ответ: да, есть равные дроби: $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$.

3 Запишите дроби 1125, 1034, 18 в порядке возрастания.

N3

$25 = 5 · 5$

$34 = 2 · 17$

$8 = 2 · 4$

$5 · 5 · 34 · 4 = 3400$ - наименьший общий знаменатель

$3400 : 25 = 136$ - дополнительный множитель первой дроби

- 3400 | 25 25 | 136 --- - 90 75 --- 150 - 150 --- 0

$3400 : 34 = 100$ - дополнительный множитель второй дроби

$3400 : 8 = 425$ - дополнительный множитель третьей дроби

- 3400 | 8 32 | 425 --- - 20 16 --- - 40 40 --- 0

$\frac{11}{25} = \frac{11 · 136}{25 · 136} = \frac{1496}{3400}$

 x 136 x 136 11 25 ----- ----- 136 680 + 136 + 272 ----- ----- 1496 3400

$\frac{10}{34} = \frac{10 · 100}{34 · 100} = \frac{1000}{3400}$

$\frac{1}{8} = \frac{1 · 425}{8 · 425} = \frac{425}{3400}$

Так как $\frac{425}{3400}<\frac{1000}{3400}<\frac{1496}{3400}$, то

$\frac{1}{8}<\frac{10}{34}<\frac{11}{25}$

Ответ: $\frac{1}{8},\frac{10}{34},\frac{11}{25}$

Чтобы записать дроби в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Удобнее всего для этого преобразовать каждую обыкновенную дробь в десятичную.

1. Преобразуем дробь $\frac{11}{25}$ в десятичную. Для этого умножим числитель и знаменатель на 4, чтобы получить в знаменателе 100:
$\frac{11}{25} = \frac{11 \times 4}{25 \times 4} = \frac{44}{100} = 0.44$

2. Преобразуем дробь $\frac{10}{34}$ в десятичную. Сначала можно сократить дробь на 2, а затем выполнить деление в столбик:
$\frac{10}{34} = \frac{5}{17}$
$5 \div 17 \approx 0.294...$

3. Преобразуем дробь $\frac{1}{8}$ в десятичную. Умножим числитель и знаменатель на 125, чтобы получить в знаменателе 1000:
$\frac{1}{8} = \frac{1 \times 125}{8 \times 125} = \frac{125}{1000} = 0.125$

Теперь, когда у нас есть десятичные представления всех дробей ($0.44$; $0.294...$; $0.125$), мы можем их сравнить и расположить в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):
$0.125 < 0.294... < 0.44$

Это означает, что исходные дроби в порядке возрастания располагаются следующим образом: $\frac{1}{8}$, $\frac{10}{34}$, $\frac{11}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$, $\frac{10}{34}$, $\frac{11}{25}$.

4 Больше или меньше половины литровой банки будет заполнено, если в неё налить:

а) Для решения задачи необходимо сравнить указанное количество литров с половиной литра, то есть с $\frac{1}{2}$ л. Сравним дробь $\frac{5}{6}$ с $\frac{1}{2}$. Дробь будет больше $\frac{1}{2}$, если её числитель больше половины знаменателя. Половина знаменателя 6 равна $6 \div 2 = 3$. Поскольку числитель 5 больше 3, то $\frac{5}{6} > \frac{1}{2}$. Это означает, что будет заполнено больше половины банки.
Ответ: больше.

б) Сравниваем дробь $\frac{4}{9}$ с $\frac{1}{2}$. Половина знаменателя 9 равна $9 \div 2 = 4,5$. Числитель 4 меньше, чем 4,5. Следовательно, $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$. Это означает, что будет заполнено меньше половины банки.
Ответ: меньше.

в) Сравниваем дробь $\frac{11}{21}$ с $\frac{1}{2}$. Половина знаменателя 21 равна $21 \div 2 = 10,5$. Числитель 11 больше, чем 10,5. Следовательно, $\frac{11}{21} > \frac{1}{2}$. Это означает, что будет заполнено больше половины банки.
Ответ: больше.

г) Сравниваем дробь $\frac{36}{70}$ с $\frac{1}{2}$. Половина знаменателя 70 равна $70 \div 2 = 35$. Числитель 36 больше, чем 35. Следовательно, $\frac{36}{70} > \frac{1}{2}$. Это означает, что будет заполнено больше половины банки.
Ответ: больше.

1 Вычислите:

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{5}$ наименьшим общим знаменателем (НОК) будет произведение их знаменателей, так как 4 и 5 — взаимно простые числа.

НОК(4, 5) = $4 \cdot 5 = 20$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 20. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на 5, а второй — на 4:

$\frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} + \frac{16}{20}$

Сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{15 + 16}{20} = \frac{31}{20}$

Полученная дробь — неправильная (числитель больше знаменателя). Выделим из нее целую часть:

$\frac{31}{20} = 1\frac{11}{20}$

Ответ: $1\frac{11}{20}$

б) Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{7}$. Знаменатели 3 и 7 — простые числа, поэтому НОК(3, 7) = $3 \cdot 7 = 21$.

Приведем дроби к знаменателю 21:

$\frac{2}{3} + \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{14}{21} + \frac{3}{21}$

Сложим дроби:

$\frac{14 + 3}{21} = \frac{17}{21}$

Ответ: $\frac{17}{21}$

в) Согласно свойству сложения, прибавление нуля к любому числу не изменяет это число.

$\frac{2}{13} + 0 = \frac{2}{13}$

Ответ: $\frac{2}{13}$

г) Для сложения дробей $\frac{5}{9}$ и $\frac{2}{11}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели 9 и 11 — взаимно простые, поэтому НОК(9, 11) = $9 \cdot 11 = 99$.

Приведем дроби к знаменателю 99:

$\frac{5}{9} + \frac{2}{11} = \frac{5 \cdot 11}{9 \cdot 11} + \frac{2 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{55}{99} + \frac{18}{99}$

Складываем дроби:

$\frac{55 + 18}{99} = \frac{73}{99}$

Ответ: $\frac{73}{99}$

д) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{4}$, найдем общий знаменатель. Так как 12 делится на 4 без остатка, то НОК(12, 4) = 12.

Приведем вторую дробь к знаменателю 12, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{5}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12} + \frac{9}{12}$

Сложим дроби:

$\frac{5 + 9}{12} = \frac{14}{12}$

Сократим полученную неправильную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{14 \div 2}{12 \div 2} = \frac{7}{6}$

Выделим целую часть:

$\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

Ответ: $1\frac{1}{6}$

е) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{8}$, найдем их наименьший общий знаменатель. НОК(6, 8) = 24.

Приведем дроби к знаменателю 24. Дополнительный множитель для первой дроби $24 \div 6 = 4$, для второй — $24 \div 8 = 3$.

$\frac{5}{6} + \frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} + \frac{21}{24}$

Сложим дроби:

$\frac{20 + 21}{24} = \frac{41}{24}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{41}{24} = 1\frac{17}{24}$

Ответ: $1\frac{17}{24}$

2 Найдите сумму:

N2

a) $\frac{1}{5} + \frac{2}{11} + \frac{4}{5} + \frac{7}{11} = \left(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}\right) + \left(\frac{2}{11} + \frac{7}{11}\right) =$

$= \frac{5}{5} + \frac{9}{11} = 1 + \frac{9}{11} = 1\frac{9}{11}$

б) $\frac{2}{3} + \frac{3}{18} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} = \frac{2}{3} + \frac{3 · 1}{3 · 6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} =$

$= \frac{2}{3} + \frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18} = \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}\right) + \left(\frac{2}{3} + \frac{7}{18}\right) =$

$= \frac{6}{6} + \left(\frac{2 · 6}{3 · 6} + \frac{7}{18}\right) = 1 + \left(\frac{12}{18} + \frac{7}{18}\right) =$

$= 1 + \frac{19}{18} = 1 + 1\frac{1}{18} = 1 + 1 + \frac{1}{18} = 2 + \frac{1}{18} = 2\frac{1}{18}$

а) Для нахождения суммы $\frac{1}{5} + \frac{2}{11} + \frac{4}{5} + \frac{7}{11}$ воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения, чтобы сгруппировать слагаемые с одинаковыми знаменателями.

Сгруппируем дроби со знаменателем 5 и дроби со знаменателем 11:

$(\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) + (\frac{2}{11} + \frac{7}{11})$

Теперь выполним сложение в каждой из скобок:

1. Складываем дроби со знаменателем 5:
$\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{1+4}{5} = \frac{5}{5} = 1$

2. Складываем дроби со знаменателем 11:
$\frac{2}{11} + \frac{7}{11} = \frac{2+7}{11} = \frac{9}{11}$

На последнем шаге сложим полученные результаты:

$1 + \frac{9}{11} = 1\frac{9}{11}$

Ответ: $1\frac{9}{11}$

б) Для нахождения суммы $\frac{2}{3} + \frac{3}{18} + \frac{5}{6} + \frac{7}{18}$ необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Знаменатели у нас 3, 18, 6. Наименьший общий знаменатель для этих дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 6 и 18, которое равно 18.

Приведем дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$ к знаменателю 18. Для этого найдем дополнительные множители:

1. Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель: $18 \div 3 = 6$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{12}{18}$

2. Для дроби $\frac{5}{6}$ дополнительный множитель: $18 \div 6 = 3$.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \times 3}{6 \times 3} = \frac{15}{18}$

Теперь заменим дроби в исходном выражении на полученные и выполним сложение:

$\frac{12}{18} + \frac{3}{18} + \frac{15}{18} + \frac{7}{18} = \frac{12+3+15+7}{18} = \frac{37}{18}$

Дробь $\frac{37}{18}$ является неправильной. Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель:

$37 \div 18 = 2$ (остаток 1)

Таким образом, получаем смешанное число:

$\frac{37}{18} = 2\frac{1}{18}$

Ответ: $2\frac{1}{18}$

3 Домашнее задание по математике Петя делал 13 ч, задание по истории — 14 ч, а задание по русскому языку — 512 ч

а) Сколько времени ушло у Пети на выполнение всех домашних заданий?

б) На сколько больше времени ушло у Пети на выполнение задания по русскому языку, чем задания по истории?

в) Сколько времени ушло у Пети на выполнение заданий по истории и математике вместе?

а) Чтобы найти, сколько всего времени ушло у Пети на выполнение всех домашних заданий, нужно сложить время, потраченное на каждый предмет.

Время на математику: $\frac{1}{3}$ ч.

Время на историю: $\frac{1}{4}$ ч.

Время на русский язык: $\frac{5}{12}$ ч.

Суммируем время: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12}$.

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 4 и 12 равен 12.

Приводим дроби к знаменателю 12:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

Теперь складываем дроби:

$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{4 + 3 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1$ час.

Ответ: на выполнение всех домашних заданий у Пети ушел 1 час.

б) Чтобы определить, на сколько больше времени ушло на выполнение задания по русскому языку, чем по истории, необходимо из времени, потраченного на русский язык, вычесть время, потраченное на историю.

$\frac{5}{12} - \frac{1}{4}$

Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 12:

$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

Выполняем вычитание:

$\frac{5}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5 - 3}{12} = \frac{2}{12}$

Сокращаем полученную дробь:

$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ часа.

Ответ: на выполнение задания по русскому языку ушло на $\frac{1}{6}$ часа больше, чем на задание по истории.

в) Чтобы найти, сколько времени ушло на выполнение заданий по истории и математике вместе, нужно сложить время, потраченное на каждый из этих предметов.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$

$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$

Складываем дроби:

$\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}$ часа.

Ответ: на выполнение заданий по истории и математике вместе ушло $\frac{7}{12}$ часа.

1 Найдите разность:

а) $\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{16}{20} - \frac{15}{20} = \frac{1}{20}$

б) $\frac{3}{10} - \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 7} - \frac{2 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{21}{70} - \frac{20}{70} = \frac{1}{70}$

в) $\frac{2}{3} - \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{14}{21} - \frac{3}{21} = \frac{11}{21}$

г) $\frac{5}{9} - \frac{1}{3} = \frac{5}{9} - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{2}{9}$

д) $\frac{5}{6} - \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{5}{12} = \frac{10}{12} - \frac{5}{12} = \frac{5}{12}$

е) $\frac{2}{13} - 0 = \frac{2}{13}$

а) Чтобы найти разность дробей $ \frac{4}{5} $ и $ \frac{3}{4} $, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 4 равен их произведению, то есть $ 5 \cdot 4 = 20 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{4}{5} $ дополнительный множитель $ 20 \div 5 = 4 $.
Для $ \frac{3}{4} $ дополнительный множитель $ 20 \div 4 = 5 $.
Теперь приведем дроби к знаменателю 20 и выполним вычитание:
$ \frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{16}{20} - \frac{15}{20} = \frac{16 - 15}{20} = \frac{1}{20} $.
Ответ: $ \frac{1}{20} $

б) Чтобы найти разность дробей $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{2}{7} $, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 10 и 7 равен их произведению, то есть $ 10 \cdot 7 = 70 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{3}{10} $ дополнительный множитель $ 70 \div 10 = 7 $.
Для $ \frac{2}{7} $ дополнительный множитель $ 70 \div 7 = 10 $.
Теперь приведем дроби к знаменателю 70 и выполним вычитание:
$ \frac{3}{10} - \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 7} - \frac{2 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{21}{70} - \frac{20}{70} = \frac{21 - 20}{70} = \frac{1}{70} $.
Ответ: $ \frac{1}{70} $

в) Чтобы найти разность дробей $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{1}{7} $, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 7 равен их произведению, то есть $ 3 \cdot 7 = 21 $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для $ \frac{2}{3} $ дополнительный множитель $ 21 \div 3 = 7 $.
Для $ \frac{1}{7} $ дополнительный множитель $ 21 \div 7 = 3 $.
Теперь приведем дроби к знаменателю 21 и выполним вычитание:
$ \frac{2}{3} - \frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{14}{21} - \frac{3}{21} = \frac{14 - 3}{21} = \frac{11}{21} $.
Ответ: $ \frac{11}{21} $

г) Чтобы найти разность дробей $ \frac{5}{9} $ и $ \frac{1}{3} $, нужно привести их к общему знаменателю. Так как 9 делится на 3, наименьший общий знаменатель равен 9.
Дробь $ \frac{5}{9} $ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $ \frac{1}{3} $ найдем дополнительный множитель: $ 9 \div 3 = 3 $.
Приведем вторую дробь к знаменателю 9 и выполним вычитание:
$ \frac{5}{9} - \frac{1}{3} = \frac{5}{9} - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5 - 3}{9} = \frac{2}{9} $.
Ответ: $ \frac{2}{9} $

д) Чтобы найти разность дробей $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{12} $, нужно привести их к общему знаменателю. Так как 12 делится на 6, наименьший общий знаменатель равен 12.
Дробь $ \frac{5}{12} $ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $ \frac{5}{6} $ найдем дополнительный множитель: $ 12 \div 6 = 2 $.
Приведем первую дробь к знаменателю 12 и выполним вычитание:
$ \frac{5}{6} - \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{5}{12} = \frac{10}{12} - \frac{5}{12} = \frac{10 - 5}{12} = \frac{5}{12} $.
Ответ: $ \frac{5}{12} $

е) Чтобы найти разность $ \frac{2}{13} - 0 $, воспользуемся свойством вычитания: если из числа вычесть ноль, то число не изменится.
$ \frac{2}{13} - 0 = \frac{2}{13} $.
Ответ: $ \frac{2}{13} $

2 Найдите значение выражения:

а) $\frac{3}{14} + (\frac{2}{7} + \frac{1}{2})$
Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 14.
$\frac{2}{7} + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} + \frac{7}{14} = \frac{4+7}{14} = \frac{11}{14}$.
Теперь подставим результат обратно в исходное выражение и выполним сложение:
$\frac{3}{14} + \frac{11}{14} = \frac{3+11}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
Ответ: $1$.

б) $\frac{11}{56} + (\frac{6}{7} - \frac{3}{8})$
Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 56.
$\frac{6}{7} - \frac{3}{8} = \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{48}{56} - \frac{21}{56} = \frac{48-21}{56} = \frac{27}{56}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{11}{56} + \frac{27}{56} = \frac{11+27}{56} = \frac{38}{56}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{38}{56} = \frac{38 \div 2}{56 \div 2} = \frac{19}{28}$.
Ответ: $\frac{19}{28}$.

в) $(\frac{5}{8} + \frac{1}{6}) - \frac{7}{24}$
Сначала выполним сложение в скобках. Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 это 24.
$\frac{5}{8} + \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{15}{24} + \frac{4}{24} = \frac{15+4}{24} = \frac{19}{24}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{19}{24} - \frac{7}{24} = \frac{19-7}{24} = \frac{12}{24}$.
Сократим полученную дробь:
$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $\frac{15}{36} - (\frac{1}{3} - \frac{1}{12})$
Сначала выполним действие в скобках. Общий знаменатель для 3 и 12 равен 12.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4-1}{12} = \frac{3}{12}$.
Теперь выполним вычитание из первой дроби. Приведем дроби к общему знаменателю 36.
$\frac{15}{36} - \frac{3}{12} = \frac{15}{36} - \frac{3 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{15}{36} - \frac{9}{36} = \frac{15 - 9}{36} = \frac{6}{36}$.
Сократим итоговый результат:
$\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

3* Проверьте, верно ли равенство:

Объясните, почему так получилось.

а) Проверим верность равенства $\frac{3}{5} - \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 8}$.

Для этого необходимо вычислить значение левой и правой частей равенства и сравнить их.

1. Вычислим значение левой части. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 5 и 8 равен их произведению $5 \cdot 8 = 40$.

$\frac{3}{5} - \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{24}{40} - \frac{15}{40} = \frac{24 - 15}{40} = \frac{9}{40}$.

2. Вычислим значение правой части.

$\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 8} = \frac{9}{40}$.

3. Сравним полученные результаты.

$\frac{9}{40} = \frac{9}{40}$.

Так как левая и правая части равны, данное равенство является верным.

Объяснение:

Равенство оказалось верным из-за специфических чисел, использованных в примере. Давайте рассмотрим общий случай вычитания дробей с одинаковыми числителями: $\frac{n}{a} - \frac{n}{b}$.

Приводя к общему знаменателю, получаем: $\frac{n \cdot b}{a \cdot b} - \frac{n \cdot a}{b \cdot a} = \frac{nb - na}{ab}$.

Вынося общий множитель $n$ в числителе за скобки, получаем: $\frac{n(b-a)}{ab}$.

В нашем случае $n=3$, $a=5$, $b=8$. Подставив эти значения в выведенную формулу, получим:

$\frac{3(8-5)}{5 \cdot 8} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 8}$.

Это выражение в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Так получилось, потому что разность знаменателей $(8-5)$ оказалась равна числителю (3). Это является частным случаем, а не общим правилом.

Ответ: равенство верно.

б) Проверим верность равенства $\frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7}$.

1. Вычислим значение левой части. Общий знаменатель для дробей со знаменателями 3 и 7 равен их произведению $3 \cdot 7 = 21$.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{14}{21} - \frac{6}{21} = \frac{14 - 6}{21} = \frac{8}{21}$.

2. Вычислим значение правой части.

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21}$.

3. Сравним полученные результаты.

$\frac{8}{21} \neq \frac{4}{21}$.

Так как левая и правая части не равны, данное равенство является неверным.

Объяснение:

Воспользуемся формулой, выведенной в пункте а): $\frac{n}{a} - \frac{n}{b} = \frac{n(b-a)}{ab}$.

В данном примере $n=2$, $a=3$, $b=7$. Правильный результат вычитания должен быть:

$\frac{2(7-3)}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 7} = \frac{8}{21}$.

В предложенном равенстве в правой части в числителе стоит произведение $2 \cdot 2$, в то время как для верного равенства там должно было быть произведение $2 \cdot 4$, так как разность знаменателей $7-3=4$. Предложенная формула неверно предполагает, что числитель нужно умножать на сам себя, а не на разность знаменателей.

Ответ: равенство неверно.