Страница 76, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

6 Решите с помощью уравнения задачу:

а) В автобусе было несколько пассажиров. После того как в пего вошли ещё 12 пассажиров, их стало 27. Сколько пассажиров было в автобусе?

б) Мама пошла в магазин за продуктами и взяла с собой 5000 р. После оплаты покупки у неё осталось 137 р. Сколько денег мама потратила на продукты?

а) Пусть х пассажиров было в автобусе.

Было – х пассажиров.

Вышли – 12 пассажиров.

Стало – 27 пассажиров.

х + 12 = 27
х = 27 - 12
х = 15

Ответ: 15 пассажиров.

б) Пусть х р. мама потратила на продукты.

Было – 5000 р.

Потратили – х р.

Осталось – 137 р.

5000 - х = 137
х = 5000 - 137

х = 4863

Ответ: 4863 р.

а) Обозначим за $x$ первоначальное количество пассажиров в автобусе. По условию задачи, к этому количеству добавилось еще 12 пассажиров, и в итоге их стало 27. Составим уравнение на основе этих данных:

$x + 12 = 27$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 27 - 12$

$x = 15$

Таким образом, в автобусе изначально было 15 пассажиров.

Ответ: 15 пассажиров.

б) Обозначим за $y$ количество денег, которое мама потратила на продукты. У мамы было 5000 рублей. После того как она потратила сумму $y$, у нее осталось 137 рублей. Составим уравнение:

$5000 - y = 137$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$y = 5000 - 137$

$y = 4863$

Следовательно, мама потратила на продукты 4863 рубля.

Ответ: 4863 рубля.

5.463 Найдите произведение:

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{25} = \frac{4 \cdot 7}{7 \cdot 25}$

В числителе и знаменателе есть общий множитель 7, на который можно сократить дробь:

$\frac{4 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 25} = \frac{4}{25}$

Ответ: $\frac{4}{25}$

б) Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8}$

Перед тем как выполнить умножение, сократим дробь. Число 9 можно представить как $3 \cdot 3$, а число 8 как $2 \cdot 4$.

$\frac{2 \cdot (3 \cdot 3)}{3 \cdot (2 \cdot 4)} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 3}{\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

в) Перемножим числители и знаменатели дробей. В данном случае мы умножаем две взаимно обратные дроби.

$\frac{4}{11} \cdot \frac{11}{4} = \frac{4 \cdot 11}{11 \cdot 4}$

Сократим общие множители 4 и 11 в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{4} \cdot \cancel{11}}{\cancel{11} \cdot \cancel{4}} = \frac{1}{1} = 1$

Произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1.

Ответ: $1$

г) Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{21}{8} \cdot \frac{13}{14} = \frac{21 \cdot 13}{8 \cdot 14}$

Сократим дробь на общий множитель. Число 21 можно представить как $3 \cdot 7$, а число 14 как $2 \cdot 7$.

$\frac{(3 \cdot 7) \cdot 13}{8 \cdot (2 \cdot 7)} = \frac{3 \cdot \cancel{7} \cdot 13}{8 \cdot 2 \cdot \cancel{7}} = \frac{3 \cdot 13}{8 \cdot 2} = \frac{39}{16}$

Полученная дробь является неправильной. Можно оставить ее в таком виде или перевести в смешанное число: $39 \div 16 = 2$ (остаток $7$), то есть $2\frac{7}{16}$.

Ответ: $\frac{39}{16}$

д) Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{2}{11} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{11 \cdot 4}$

Сократим дробь на общий множитель 2:

$\frac{\cancel{2} \cdot 3}{11 \cdot (\cancel{2} \cdot 2)} = \frac{3}{11 \cdot 2} = \frac{3}{22}$

Ответ: $\frac{3}{22}$

е) Перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{100} = \frac{10 \cdot 7}{3 \cdot 100}$

Сократим дробь на общий множитель 10:

$\frac{\cancel{10} \cdot 7}{3 \cdot (\cancel{10} \cdot 10)} = \frac{7}{3 \cdot 10} = \frac{7}{30}$

Ответ: $\frac{7}{30}$

5.464 Выполните действие:

а) Для того чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это можно записать с помощью формулы: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Применим это правило к нашему выражению:

$(\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

Ответ: $\frac{16}{25}$

б) Для возведения дроби в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь (то есть поменять местами числитель и знаменатель) и возвести ее в положительную степень с тем же показателем. Формула выглядит так: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Применим это правило:

$(\frac{11}{15})^{-2} = (\frac{15}{11})^2 = \frac{15^2}{11^2} = \frac{225}{121}$

Ответ: $\frac{225}{121}$

в) Используем правило возведения дроби в степень, как и в пункте а). Возводим числитель и знаменатель дроби в третью степень.

$(\frac{7}{6})^3 = \frac{7^3}{6^3} = \frac{7 \times 7 \times 7}{6 \times 6 \times 6} = \frac{343}{216}$

Ответ: $\frac{343}{216}$

г) Возводим числитель и знаменатель дроби в третью степень.

$(\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{3 \times 3 \times 3}{7 \times 7 \times 7} = \frac{27}{343}$

Ответ: $\frac{27}{343}$

д) Возводим числитель и знаменатель дроби в третью степень.

$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1 \times 1 \times 1}{4 \times 4 \times 4} = \frac{1}{64}$

Ответ: $\frac{1}{64}$

5.465 Чему равна площадь квадрата со стороной 710 см?

${\left(\frac{7}{10}\right)}^2 = \frac{7}{10} · \frac{7}{10} = \frac{7 · 7}{10 · 10} = \frac{49}{100}\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

Ответ: $\frac{49}{100}{\mathrm{cm}}^2$

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — это длина его стороны.

По условию задачи, длина стороны квадрата составляет $a = \frac{7}{10}$ см.

Чтобы найти площадь, необходимо возвести длину стороны в квадрат: $S = \left(\frac{7}{10}\right)^2$

Для возведения дроби в степень, необходимо возвести в эту степень ее числитель и знаменатель по отдельности: $S = \frac{7^2}{10^2} = \frac{49}{100}$

Площадь измеряется в квадратных единицах, поэтому результат равен $\frac{49}{100}$ см$^2$. Это значение можно также представить в виде десятичной дроби, что составляет $0,49$ см$^2$.

Ответ: $\frac{49}{100}$ см$^2$.

5.466 Вычислите произведение, в котором второй множитель — правильная дробь:

Сравните полученное произведение с первым множителем. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь — увеличивается или уменьшается?

a) $4 · \frac{3}{5} = \frac{4 · 3}{5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}<4$

б) $\frac{2}{3} · \frac{5}{8} = \frac{2 · 5}{3 · 8} = \frac{2 · 5}{3 · 2 · 4} = \frac{5}{3 · 4} = \frac{5}{12}$

12 - наименьший общий знаменатель

12 : 3 = 4 - дополнительный множитель первой дроби

$\frac{2}{3} = \frac{2 · 4}{3 · 4} = \frac{8}{12}$

Так как $\frac{5}{12}<\frac{8}{12}$, то $\frac{5}{12}<\frac{2}{3}$

в) $\frac{11}{4} · \frac{4}{11} = \frac{11 · 4}{4 · 11} = \frac{1}{1} = 1$

$\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$, $\frac{4}{11}<1$

г) $\frac{21}{8} · \frac{13}{14} = \frac{21 · 13}{8 · 14} = \frac{3 · 7 · 13}{8 · 2 · 7} = \frac{3 · 13}{8 · 2} = \frac{39}{16} = 2\frac{7}{16}$

16 - наименьший общий знаменатель

16 : 8 = 2 - дополнительный множитель первой дроби

$\frac{21}{8} = \frac{21 · 2}{8 · 2} = \frac{42}{16}$

Так как $\frac{39}{16}<\frac{42}{16}$, то $\frac{39}{16}<\frac{21}{8}$

$\frac{39}{16} = 2\frac{7}{16}$, $\frac{21}{8} = 2\frac{5}{8}$

$2\frac{7}{16}<2\frac{5}{8}$

д) $\frac{2}{11} · \frac{3}{4} = \frac{2 · 3}{11 · 4} = \frac{2 · 3}{11 · 2 · 2} = \frac{3}{11 · 2} = \frac{3}{22}$

22 - наименьший общий знаменатель

22 : 11 = 2 - дополнительный множитель первой дроби

$\frac{2}{11} = \frac{2 · 2}{11 · 2} = \frac{4}{22}$

Так как $\frac{3}{22}<\frac{4}{22}$, то $\frac{3}{22}<\frac{2}{11}$

е) $\frac{10}{3} · \frac{7}{100} = \frac{10 · 7}{3 · 100} = \frac{10 · 7}{3 · 10 · 10} = \frac{7}{3 · 10} = \frac{7}{30}<\frac{10}{3}$

Так как любая правильная дробь меньше любой неправильной.

При умножении числа на правильную дробь оно уменьшается.

а) Выполним умножение целого числа на дробь. Для этого представим целое число в виде дроби со знаменателем 1 и перемножим числители и знаменатели: $4 \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{12}{5}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$. Сравним полученное произведение с первым множителем. Первый множитель равен 4. Поскольку $2\frac{2}{5} < 4$, произведение меньше первого множителя.

Ответ: $2\frac{2}{5}$.

б) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Сократим дробь перед вычислением: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 8} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot 5}{3 \cdot \cancel{8}^4} = \frac{5}{12}$. Сравним полученное произведение $\frac{5}{12}$ с первым множителем $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$. Так как $\frac{5}{12} < \frac{8}{12}$, то $\frac{5}{12} < \frac{2}{3}$. Произведение меньше первого множителя.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

в) Перемножим дроби, предварительно выполнив сокращение. Данные дроби являются взаимно обратными, их произведение равно 1. $\frac{11}{4} \cdot \frac{4}{11} = \frac{\cancel{11}^1}{\cancel{4}^1} \cdot \frac{\cancel{4}^1}{\cancel{11}^1} = 1$. Сравним полученное произведение 1 с первым множителем $\frac{11}{4}$. $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$. Так как $1 < 2\frac{3}{4}$, то $1 < \frac{11}{4}$. Произведение меньше первого множителя.

Ответ: $1$.

г) Перемножим дроби, предварительно выполнив сокращение. Общий делитель для 21 и 14 это 7. $\frac{21}{8} \cdot \frac{13}{14} = \frac{\cancel{21}^3 \cdot 13}{8 \cdot \cancel{14}^2} = \frac{3 \cdot 13}{8 \cdot 2} = \frac{39}{16}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{39}{16} = 2\frac{7}{16}$. Сравним полученное произведение $\frac{39}{16}$ с первым множителем $\frac{21}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю 16: $\frac{21}{8} = \frac{21 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{42}{16}$. Так как $\frac{39}{16} < \frac{42}{16}$, то $2\frac{7}{16} < \frac{21}{8}$. Произведение меньше первого множителя.

Ответ: $2\frac{7}{16}$.

д) Перемножим дроби, предварительно выполнив сокращение: $\frac{2}{11} \cdot \frac{3}{4} = \frac{\cancel{2}^1 \cdot 3}{11 \cdot \cancel{4}^2} = \frac{3}{22}$. Сравним полученное произведение $\frac{3}{22}$ с первым множителем $\frac{2}{11}$. Приведем дроби к общему знаменателю 22: $\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 2}{11 \cdot 2} = \frac{4}{22}$. Так как $\frac{3}{22} < \frac{4}{22}$, то $\frac{3}{22} < \frac{2}{11}$. Произведение меньше первого множителя.

Ответ: $\frac{3}{22}$.

е) Перемножим дроби, предварительно выполнив сокращение. Общий делитель для 10 и 100 это 10. $\frac{10}{3} \cdot \frac{7}{100} = \frac{\cancel{10}^1 \cdot 7}{3 \cdot \cancel{100}^{10}} = \frac{7}{30}$. Сравним полученное произведение $\frac{7}{30}$ с первым множителем $\frac{10}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $\frac{10}{3} = \frac{10 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{100}{30}$. Так как $\frac{7}{30} < \frac{100}{30}$, то $\frac{7}{30} < \frac{10}{3}$. Произведение меньше первого множителя.

Ответ: $\frac{7}{30}$.

Во всех приведенных примерах полученное произведение меньше первого множителя.

Сделаем вывод. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, следовательно, любая правильная дробь меньше 1. При умножении любого положительного числа на число, которое меньше 1, результат всегда будет меньше исходного числа.

Ответ: При умножении числа на правильную дробь число уменьшается.

5.467 Вычислите произведение, в котором второй множитель — неправильная дробь:

Сравните полученное произведение с первым множителем. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

а)

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.

$ \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5} $

Теперь сравним полученное произведение $ \frac{4}{5} $ с первым множителем $ \frac{3}{5} $. Поскольку знаменатели у дробей одинаковые (равны 5), мы сравниваем их числители. Так как $ 4 > 3 $, то и $ \frac{4}{5} > \frac{3}{5} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.

б)

Выполним умножение, предварительно сократив множители 2 и 8 на 2.

$ \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20} $

Сравним произведение $ \frac{9}{20} $ с первым множителем $ \frac{2}{5} $. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 20. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{2}{5} $ равен 4. $ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20} $. Сравниваем дроби $ \frac{9}{20} $ и $ \frac{8}{20} $. Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{20} > \frac{8}{20} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{9}{20} $.

в)

Представим целое число 11 в виде неправильной дроби $ \frac{11}{1} $ и выполним умножение.

$ \frac{4}{11} \cdot 11 = \frac{4}{11} \cdot \frac{11}{1} = \frac{4 \cdot 11}{11 \cdot 1} = \frac{4}{1} = 4 $

Сравним результат $ 4 $ с первым множителем $ \frac{4}{11} $. Любое положительное целое число больше правильной дроби. $ 4 > \frac{4}{11} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ 4 $.

г)

Выполним умножение, сократив 16 и 8 на 8.

$ \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{5} = \frac{1 \cdot 16}{8 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5} $

Сравним произведение $ \frac{2}{5} $ с первым множителем $ \frac{1}{8} $. Приведем дроби к общему знаменателю 40. $ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40} $ $ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{5}{40} $ Так как $ 16 > 5 $, то $ \frac{16}{40} > \frac{5}{40} $, а значит $ \frac{2}{5} > \frac{1}{8} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

д)

Представим число 5 в виде дроби $ \frac{5}{1} $ и выполним умножение, сократив 20 и 5 на 5.

$ \frac{11}{20} \cdot 5 = \frac{11}{20} \cdot \frac{5}{1} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 1} = \frac{11 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{11}{4} $

Сравним результат $ \frac{11}{4} $ с первым множителем $ \frac{11}{20} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 4 < 20 $, то $ \frac{11}{4} > \frac{11}{20} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{11}{4} $.

е)

При умножении любого числа на 1 получается то же самое число.

$ 1 \cdot \frac{13}{7} = \frac{13}{7} $

Сравним произведение $ \frac{13}{7} $ с первым множителем $ 1 $. Неправильная дробь $ \frac{13}{7} $ больше 1, так как ее числитель 13 больше знаменателя 7. Значит, $ \frac{13}{7} > 1 $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{13}{7} $.

Сравнение и вывод:

Во всех решенных примерах мы умножали число (дробь или целое) на неправильную дробь. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому ее значение всегда больше или равно 1.

Во всех наших примерах ( $ \frac{4}{3}, \frac{9}{8}, 11, \frac{16}{5}, 5, \frac{13}{7} $ ) второй множитель был строго больше 1. В результате каждого умножения полученное произведение было больше первого множителя.

Отсюда можно сделать вывод:

При умножении положительного числа на неправильную дробь число увеличивается (если неправильная дробь больше 1) или не изменяется (если неправильная дробь равна 1, например, $ \frac{7}{7} $).

5.468 На какое число надо умножить число 5, чтобы произведение было:

а) равно 5;

б) больше 5;

в) меньше 5?

а) равно 5;
Чтобы произведение было равно самому числу 5, его нужно умножить на единицу. Обозначим искомое число как $x$ и составим уравнение:
$5 \cdot x = 5$
Для нахождения $x$ разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{5}{5}$
$x = 1$
Ответ: на 1.

б) больше 5;
Чтобы произведение было больше 5, нужно умножить 5 на число, которое больше единицы. Составим неравенство, где $x$ — искомое число:
$5 \cdot x > 5$
Разделим обе части неравенства на 5. Поскольку 5 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{5 \cdot x}{5} > \frac{5}{5}$
$x > 1$
Следовательно, 5 нужно умножить на любое число, большее 1.
Ответ: на любое число больше 1.

в) меньше 5?
Чтобы произведение было меньше 5, нужно умножить 5 на число, которое меньше единицы. Составим соответствующее неравенство с неизвестным $x$:
$5 \cdot x < 5$
Разделим обе части неравенства на 5. Знак неравенства сохранится:
$\frac{5 \cdot x}{5} < \frac{5}{5}$
$x < 1$
Следовательно, 5 нужно умножить на любое число, меньшее 1 (например, на положительную дробь, ноль или любое отрицательное число).
Ответ: на любое число меньше 1.

5.469 Самолёт пролетел 720 км за 1 ч. Какое расстояние он пролетит за 14 ч, 13 ч, 34 ч, 56 ч, 79 ч, 1112 ч?

- 720 | 4 4 | 180 ---- 32 32 --- 0

- 720 | 3 6 | 240 ---- 12 12 --- 0

Для решения задачи необходимо найти скорость самолёта, а затем, используя эту скорость, рассчитать расстояние для каждого указанного промежутка времени. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время.

По условию, самолёт пролетел 720 км за 1 час. Следовательно, его скорость $v = 720$ км/ч.

$\frac{1}{4}$ ч
Рассчитаем расстояние, которое самолёт пролетит за $\frac{1}{4}$ часа, умножив его скорость на время:
$S = 720 \cdot \frac{1}{4} = \frac{720}{4} = 180$ км.
Ответ: 180 км.

$\frac{1}{3}$ ч
Рассчитаем расстояние, которое самолёт пролетит за $\frac{1}{3}$ часа:
$S = 720 \cdot \frac{1}{3} = \frac{720}{3} = 240$ км.
Ответ: 240 км.

$\frac{3}{4}$ ч
Рассчитаем расстояние, которое самолёт пролетит за $\frac{3}{4}$ часа:
$S = 720 \cdot \frac{3}{4} = \frac{720 \cdot 3}{4} = 180 \cdot 3 = 540$ км.
Ответ: 540 км.

$\frac{5}{6}$ ч
Рассчитаем расстояние, которое самолёт пролетит за $\frac{5}{6}$ часа:
$S = 720 \cdot \frac{5}{6} = \frac{720 \cdot 5}{6} = 120 \cdot 5 = 600$ км.
Ответ: 600 км.

$\frac{7}{9}$ ч
Рассчитаем расстояние, которое самолёт пролетит за $\frac{7}{9}$ часа:
$S = 720 \cdot \frac{7}{9} = \frac{720 \cdot 7}{9} = 80 \cdot 7 = 560$ км.
Ответ: 560 км.

$\frac{11}{12}$ ч
Рассчитаем расстояние, которое самолёт пролетит за $\frac{11}{12}$ часа:
$S = 720 \cdot \frac{11}{12} = \frac{720 \cdot 11}{12} = 60 \cdot 11 = 660$ км.
Ответ: 660 км.

5.470 Найдите значение выражения:

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{3}$, перемножим числители и знаменатели дробей, а затем сократим общие множители:
$\frac{6}{7} \cdot \frac{7}{12} \cdot \frac{5}{3} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 5}{7 \cdot 12 \cdot 3}$
Сокращаем на 7:
$\frac{6 \cdot 5}{12 \cdot 3}$
Сокращаем 6 в числителе и 12 в знаменателе (на 6, в знаменателе останется 2):
$\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{39}{40}$, перемножим числители и знаменатели и сократим:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{10}{13} \cdot \frac{39}{40} = \frac{3 \cdot 10 \cdot 39}{4 \cdot 13 \cdot 40}$
Заметим, что $39 = 3 \cdot 13$ и $40 = 4 \cdot 10$. Сократим на 13 и на 10:
$\frac{3 \cdot 10 \cdot (3 \cdot 13)}{4 \cdot 13 \cdot (4 \cdot 10)} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \frac{9}{16}$
Ответ: $\frac{9}{16}$.

в) Чтобы найти значение выражения $11 \cdot \frac{5}{33} \cdot \frac{3}{10}$, представим целое число 11 как дробь $\frac{11}{1}$:
$\frac{11}{1} \cdot \frac{5}{33} \cdot \frac{3}{10} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 3}{1 \cdot 33 \cdot 10}$
Заметим, что $33 = 3 \cdot 11$. Сократим на 11 и на 3. Также сократим 5 и 10 (на 5, в знаменателе останется 2):
$\frac{11 \cdot 5 \cdot 3}{3 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot 12$, представим 12 как $\frac{12}{1}$:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{12}{1} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 12}{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 1}$
Сократим общие множители 4 и 5:
$\frac{3 \cdot 12}{6}$
Теперь разделим 12 на 6:
$3 \cdot 2 = 6$
Ответ: $6$.

д) Найдем значение выражения $(\frac{2}{3})^2 + \frac{13}{21} \cdot \frac{7}{26} - \frac{5}{18}$, соблюдая порядок действий.
1. Возведение в степень: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
2. Умножение: $\frac{13}{21} \cdot \frac{7}{26} = \frac{13 \cdot 7}{21 \cdot 26}$. Сократим: $21 = 3 \cdot 7$ и $26 = 2 \cdot 13$. Получаем $\frac{13 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 13} = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$.
3. Выражение принимает вид: $\frac{4}{9} + \frac{1}{6} - \frac{5}{18}$.
4. Приводим дроби к общему знаменателю 18:
$\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} - \frac{5}{18} = \frac{8}{18} + \frac{3}{18} - \frac{5}{18}$
5. Выполняем сложение и вычитание:
$\frac{8+3-5}{18} = \frac{11-5}{18} = \frac{6}{18}$.
6. Сокращаем результат: $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

е) Найдем значение выражения $(\frac{3}{7} - \frac{1}{7})^2 \cdot \frac{49}{16} + (\frac{1}{2})^3$, соблюдая порядок действий.
1. Действие в скобках: $\frac{3}{7} - \frac{1}{7} = \frac{3-1}{7} = \frac{2}{7}$.
2. Возведение в степень: $(\frac{2}{7})^2 = \frac{4}{49}$ и $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
3. Выражение принимает вид: $\frac{4}{49} \cdot \frac{49}{16} + \frac{1}{8}$.
4. Умножение: $\frac{4}{49} \cdot \frac{49}{16} = \frac{4 \cdot 49}{49 \cdot 16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
5. Сложение: $\frac{1}{4} + \frac{1}{8}$. Приводим к общему знаменателю 8: $\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8}$.
6. Вычисляем сумму: $\frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

5.471 Выполните действия:

а) Сначала выполним действие в скобках. Так как у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:
$ \left(\frac{4}{9} + \frac{2}{9}\right) \cdot \frac{9}{13} = \left(\frac{4+2}{9}\right) \cdot \frac{9}{13} = \frac{6}{9} \cdot \frac{9}{13} $
Сократим дробь $ \frac{6}{9} $ на 3:
$ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $
Теперь выполним умножение, сократив 3 и 9:
$ \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{13} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 13} = \frac{2 \cdot 3}{13} = \frac{6}{13} $
Ответ: $ \frac{6}{13} $

б) Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 8:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} $
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{9}{8} - \frac{3}{4} = \frac{9}{8} - \frac{6}{8} = \frac{9-6}{8} = \frac{3}{8} $
Умножим результат на первую дробь:
$ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
Ответ: $ \frac{1}{4} $

в) Выполним действие в скобках:
$ \frac{9}{11} - \frac{4}{11} = \frac{9-4}{11} = \frac{5}{11} $
Умножим полученный результат на вторую дробь:
$ \frac{5}{11} \cdot \frac{11}{5} = \frac{5 \cdot 11}{11 \cdot 5} = 1 $
Ответ: 1

г) Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение.
Первое произведение:
$ 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $
Второе произведение:
$ \frac{7}{12} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 7} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $
Теперь выполним сложение:
$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1+1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

д) Выполним действия по порядку: возведение в степень, умножение, сложение и вычитание.
1. Возведение в степень: $ (\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $.
2. Умножение: $ \frac{13}{21} \cdot \frac{7}{26} = \frac{13 \cdot 7}{21 \cdot 26} $. Сократим 13 и 26 на 13, а 7 и 21 на 7. Получим $ \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6} $.
3. Исходное выражение принимает вид: $ \frac{4}{9} + \frac{1}{6} - \frac{5}{18} $.
Приведем дроби к общему знаменателю 18:
$ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{8}{18} $
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{3}{18} $
Выполним сложение и вычитание:
$ \frac{8}{18} + \frac{3}{18} - \frac{5}{18} = \frac{8+3-5}{18} = \frac{11-5}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $
Ответ: $ \frac{1}{3} $

е) Выполним действия по порядку: действия в скобках, возведение в степень, умножение, сложение.
1. Действие в скобках: $ \frac{3}{7} - \frac{1}{7} = \frac{2}{7} $.
2. Возведение в степень: $ (\frac{2}{7})^2 = \frac{4}{49} $ и $ (\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} $.
3. Выражение принимает вид: $ \frac{4}{49} \cdot \frac{49}{16} + \frac{1}{8} $.
4. Умножение: $ \frac{4}{49} \cdot \frac{49}{16} = \frac{4 \cdot 49}{49 \cdot 16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
5. Сложение: $ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} $. Приведем к общему знаменателю 8:
$ \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8} $
Ответ: $ \frac{3}{8} $

5.472 По формуле пути s = vt найдите значение s, если:

а) Для нахождения пути s используем формулу s = vt. Подставим в неё заданные значения времени t и скорости v:
$t = \frac{1}{4}$ ч, $v = 59$ км/ч.
Единицы измерения (часы и км/ч) согласованы, поэтому результат будет в километрах.
$s = 59 \cdot \frac{1}{4} = \frac{59}{4}$ км.
Преобразуем неправильную дробь в десятичную, разделив 59 на 4:
$s = 14,75$ км.
Ответ: 14,75 км.

б) Аналогично, используем формулу s = vt. Подставим в неё заданные значения:
$t = \frac{5}{6}$ мин, $v = \frac{72}{100}$ м/мин.
Единицы измерения (минуты и м/мин) согласованы, поэтому результат будет в метрах.
$s = \frac{72}{100} \cdot \frac{5}{6}$ м.
При умножении дробей можно выполнить сокращение до вычисления произведения. Сократим 72 и 6 ($72 \div 6 = 12$), а также 5 и 100 ($100 \div 5 = 20$):
$s = \frac{12}{20}$ м.
Полученную дробь можно снова сократить, разделив числитель и знаменатель на 4:
$s = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}$ м.
Представим результат в виде десятичной дроби:
$s = 0,6$ м.
Ответ: 0,6 м.

5.473 Используя формулу объёма прямоугольного параллелепипеда V = abc, найдите те значение V при а = 34 дм, b = 45 дм, c = 56 дм.

Для того чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда $V$, необходимо подставить данные значения его измерений $a$, $b$ и $c$ в формулу $V = abc$.

Дано:

$a = \frac{3}{4}$ дм

$b = \frac{4}{5}$ дм

$c = \frac{5}{6}$ дм

Подставляем эти значения в формулу:

$V = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}$

Для умножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели:

$V = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 5 \cdot 6}$

Прежде чем выполнять умножение, можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сократим множители 4 и 5:

$V = \frac{3 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{5}}{\cancel{4} \cdot \cancel{5} \cdot 6} = \frac{3}{6}$

Теперь сократим полученную дробь $\frac{3}{6}$. Наибольший общий делитель для числителя 3 и знаменателя 6 равен 3.

$V = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$

Так как измерения были даны в дециметрах (дм), то объём измеряется в кубических дециметрах (дм³).

Ответ: $V = \frac{1}{2}$ дм³.