Номер 5.467, страница 76, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

37. Умножение дробей. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.467, страница 76.

5.467 Вычислите произведение, в котором второй множитель — неправильная дробь:

Сравните полученное произведение с первым множителем. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

а)

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.

$ \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5} $

Теперь сравним полученное произведение $ \frac{4}{5} $ с первым множителем $ \frac{3}{5} $. Поскольку знаменатели у дробей одинаковые (равны 5), мы сравниваем их числители. Так как $ 4 > 3 $, то и $ \frac{4}{5} > \frac{3}{5} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{4}{5} $.

б)

Выполним умножение, предварительно сократив множители 2 и 8 на 2.

$ \frac{2}{5} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20} $

Сравним произведение $ \frac{9}{20} $ с первым множителем $ \frac{2}{5} $. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 20. Дополнительный множитель для дроби $ \frac{2}{5} $ равен 4. $ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20} $. Сравниваем дроби $ \frac{9}{20} $ и $ \frac{8}{20} $. Так как $ 9 > 8 $, то $ \frac{9}{20} > \frac{8}{20} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{9}{20} $.

в)

Представим целое число 11 в виде неправильной дроби $ \frac{11}{1} $ и выполним умножение.

$ \frac{4}{11} \cdot 11 = \frac{4}{11} \cdot \frac{11}{1} = \frac{4 \cdot 11}{11 \cdot 1} = \frac{4}{1} = 4 $

Сравним результат $ 4 $ с первым множителем $ \frac{4}{11} $. Любое положительное целое число больше правильной дроби. $ 4 > \frac{4}{11} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ 4 $.

г)

Выполним умножение, сократив 16 и 8 на 8.

$ \frac{1}{8} \cdot \frac{16}{5} = \frac{1 \cdot 16}{8 \cdot 5} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5} $

Сравним произведение $ \frac{2}{5} $ с первым множителем $ \frac{1}{8} $. Приведем дроби к общему знаменателю 40. $ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{16}{40} $ $ \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{5}{40} $ Так как $ 16 > 5 $, то $ \frac{16}{40} > \frac{5}{40} $, а значит $ \frac{2}{5} > \frac{1}{8} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

д)

Представим число 5 в виде дроби $ \frac{5}{1} $ и выполним умножение, сократив 20 и 5 на 5.

$ \frac{11}{20} \cdot 5 = \frac{11}{20} \cdot \frac{5}{1} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 1} = \frac{11 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{11}{4} $

Сравним результат $ \frac{11}{4} $ с первым множителем $ \frac{11}{20} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 4 < 20 $, то $ \frac{11}{4} > \frac{11}{20} $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{11}{4} $.

е)

При умножении любого числа на 1 получается то же самое число.

$ 1 \cdot \frac{13}{7} = \frac{13}{7} $

Сравним произведение $ \frac{13}{7} $ с первым множителем $ 1 $. Неправильная дробь $ \frac{13}{7} $ больше 1, так как ее числитель 13 больше знаменателя 7. Значит, $ \frac{13}{7} > 1 $. Произведение больше первого множителя.

Ответ: $ \frac{13}{7} $.

---

Сравнение и вывод:

Во всех решенных примерах мы умножали число (дробь или целое) на неправильную дробь. Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому ее значение всегда больше или равно 1.

Во всех наших примерах ( $ \frac{4}{3}, \frac{9}{8}, 11, \frac{16}{5}, 5, \frac{13}{7} $ ) второй множитель был строго больше 1. В результате каждого умножения полученное произведение было больше первого множителя.

Отсюда можно сделать вывод:

При умножении положительного числа на неправильную дробь число увеличивается (если неправильная дробь больше 1) или не изменяется (если неправильная дробь равна 1, например, $ \frac{7}{7} $).