Страница 56, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.87 В лыжных соревнованиях Таня, Оля, Ира, Катя, Лена и Женя заняли места со второго по седьмое. Катя на 4 с отстала от победительницы и на 2 с — от Иры, но обогнала Женю на 3 с. Оля на 4 с отстала от Жени, но обогнала Таню на 1 с, Лена отстала от Тани на 2 с. Какие места заняли девочки и на сколько позже победительницы финишировали?

На стрелке указано время отставания одного участника от другого. На схеме видно, что первой после победительницы финишировала Ира с отставанием от неё на 2с, за ней – Катя с отставанием от победительницы на 2с + 2с = 4с. Женя финишировала с отставанием 4с + 3с = 7с. Затем Оля, которая финишировала с отставанием 7с + 4с = 11с, Таня – с отставание 11с + 1с = 12с. И затем Лена, которая отстала от победительницы на 12с + 2с = 14с.

Ответ представим в виде таблицы:

Для решения этой задачи необходимо определить время, на которое каждая из девочек отстала от победительницы, а затем на основе этих данных распределить места со второго по седьмое.

Давайте последовательно вычислим время отставания для каждой участницы, приняв время победительницы за точку отсчета (0 секунд). Будем обозначать время отставания буквой $d$ с индексом, соответствующим имени девочки.

• По условию, Катя на 4 с отстала от победительницы. Таким образом, ее время отставания: $d_{Катя} = 4$ с.
• Ира финишировала на 2 с раньше Кати, так как Катя от нее отстала на 2 с. Значит, время отставания Иры от победительницы: $d_{Ира} = d_{Катя} - 2\text{ с} = 4\text{ с} - 2\text{ с} = 2$ с.
• Женя финишировала на 3 с позже Кати, так как Катя ее обогнала на 3 с. Время отставания Жени: $d_{Женя} = d_{Катя} + 3\text{ с} = 4\text{ с} + 3\text{ с} = 7$ с.
• Оля отстала от Жени на 4 с, то есть финишировала позже. Время отставания Оли: $d_{Оля} = d_{Женя} + 4\text{ с} = 7\text{ с} + 4\text{ с} = 11$ с.
• Таня финишировала на 1 с позже Оли, так как Оля ее обогнала на 1 с. Время отставания Тани: $d_{Таня} = d_{Оля} + 1\text{ с} = 11\text{ с} + 1\text{ с} = 12$ с.
• Лена отстала от Тани на 2 с, то есть финишировала еще позже. Время отставания Лены: $d_{Лена} = d_{Таня} + 2\text{ с} = 12\text{ с} + 2\text{ с} = 14$ с.

Теперь, зная время отставания каждой девочки, мы можем определить занятые ими места. В гонках чем меньше время, тем выше место. Распределим девочек по возрастанию их времени отставания от победительницы.

Какие места заняли девочки и на сколько позже победительницы финишировали?

Исходя из вычисленных времен отставания, места распределяются следующим образом:

2. Ира — финишировала на 2 с позже победительницы.
3. Катя — финишировала на 4 с позже победительницы.
4. Женя — финишировала на 7 с позже победительницы.
5. Оля — финишировала на 11 с позже победительницы.
6. Таня — финишировала на 12 с позже победительницы.
7. Лена — финишировала на 14 с позже победительницы.

Ответ: Ира заняла 2-е место (отставание 2 с), Катя — 3-е место (отставание 4 с), Женя — 4-е место (отставание 7 с), Оля — 5-е место (отставание 11 с), Таня — 6-е место (отставание 12 с), Лена — 7-е место (отставание 14 с).

2.88 Сложите:

а) семь и восемь;

б) три десятка и пять;

в) пять сотен и восемь;

г) две тысячи и семь сотен;

д) три тысячи семь десятков и три сотни;

е) один миллион и семнадцать.

а) 7 + 8 = 15

б) 3 · 10 + 5 = 30 + 5 = 35

в) 5 · 100 + 8 = 500 + 8 = 508

г) 2 · 1000 + 7 · 100 = 2000 + 700 = 2700

д) 3 · 1000 + 7 · 10 + 3 · 100 = 3000 + 70 + 300 = 3370

е) 1 · 1000000 + 17 = 1000000 + 17 = 1000017

а) Чтобы сложить семь и восемь, нужно представить их в виде чисел и выполнить сложение. Семь — это 7, восемь — это 8.
$7 + 8 = 15$
Ответ: 15

б) Три десятка — это число, в котором три единицы в разряде десятков, то есть $3 \times 10 = 30$. Пять — это 5. Складываем полученные числа.
$30 + 5 = 35$
Ответ: 35

в) Пять сотен — это число, в котором пять единиц в разряде сотен, то есть $5 \times 100 = 500$. Восемь — это 8. Складываем эти числа.
$500 + 8 = 508$
Ответ: 508

г) Две тысячи — это $2 \times 1000 = 2000$. Семь сотен — это $7 \times 100 = 700$. Выполняем сложение.
$2000 + 700 = 2700$
Ответ: 2700

д) В этом задании необходимо сложить три компонента: три тысячи, семь десятков и три сотни.
Три тысячи — это $3 \times 1000 = 3000$.
Семь десятков — это $7 \times 10 = 70$.
Три сотни — это $3 \times 100 = 300$.
Складываем все три числа:
$3000 + 300 + 70 = 3370$
Ответ: 3370

е) Один миллион записывается как 1 000 000. Семнадцать — это число 17. Складываем эти два числа.
$1000000 + 17 = 1000017$
Ответ: 1 000 017

2.89 Вычтите:

а) из восьми сотен четыре сотни;

б) из пяти тысяч три сотни.

а) 8 · 100 - 4 · 100 = 800 - 400 = 400;

б) 5 · 1000 - 3 · 100 = 5000 - 300 = (4000 + 1000) - 300 = 4000 + (1000 - 300) = 4000 + 700 = 4700.

а) Для того чтобы вычесть четыре сотни из восьми сотен, необходимо сначала перевести словесное описание чисел в их числовые значения. "Восемь сотен" соответствует числу $8 \times 100 = 800$. "Четыре сотни" соответствует числу $4 \times 100 = 400$.

Теперь выполним операцию вычитания:

$800 - 400 = 400$

Альтернативный способ решения — выполнить вычитание, используя "сотни" как единицы измерения:

$8 \text{ сотен} - 4 \text{ сотни} = (8 - 4) \text{ сотен} = 4 \text{ сотни}$.

Результат, четыре сотни, в числовом виде равен 400.

Ответ: 400

б) Для того чтобы вычесть три сотни из пяти тысяч, переведем словесное описание в числа. "Пять тысяч" — это число $5000$. "Три сотни" — это число $3 \times 100 = 300$.

Выполним вычитание:

$5000 - 300 = 4700$

Также можно представить число "пять тысяч" в сотнях. Поскольку в одной тысяче десять сотен, в пяти тысячах будет $5 \times 10 = 50$ сотен. Тогда задача сводится к вычитанию сотен:

$50 \text{ сотен} - 3 \text{ сотни} = (50 - 3) \text{ сотен} = 47 \text{ сотен}$.

Результат, сорок семь сотен, в числовом виде равен $47 \times 100 = 4700$.

Ответ: 4700

2.90 Умножьте:

а) пять десятков на четыре десятка;

б) три тысячи на четыре десятка.

а) (5 · 10) · (4 · 10) = 50 · 40 = 2000;

б) (3 · 1000) · (4 · 10) = 3000 · 40 = 120000.

а) Чтобы умножить пять десятков на четыре десятка, необходимо сначала представить эти значения в виде чисел.
Пять десятков – это число $5 \times 10 = 50$.
Четыре десятка – это число $4 \times 10 = 40$.
Теперь выполним умножение полученных чисел:
$50 \times 40 = (5 \times 10) \times (4 \times 10) = (5 \times 4) \times (10 \times 10) = 20 \times 100 = 2000$.
Результат умножения – две тысячи.

Ответ: 2000.

б) Чтобы умножить три тысячи на четыре десятка, также представим эти значения в виде чисел.
Три тысячи – это число $3 \times 1000 = 3000$.
Четыре десятка – это число $4 \times 10 = 40$.
Теперь выполним умножение этих чисел:
$3000 \times 40 = (3 \times 1000) \times (4 \times 10) = (3 \times 4) \times (1000 \times 10) = 12 \times 10000 = 120000$.
Результат умножения – сто двадцать тысяч.

Ответ: 120000.

2.91 Установите соответствие между числами 3682, 47 642, 3481, 32 751 и значением каждой из сумм:

а) 2585 + 896;

б) 46 746 + 896;

в) 31 855 + 896;

г) 2786 + 896.

а)

б)

в)

г)

Заметим, что в каждой сумме к первому слагаемому прибавляют одно и то же число 896. Поэтому, записав первое слагаемое в суммах в порядке возрастания, им будут соответствовать числа, записанные так же в порядке возрастания.

а) 2585 + 896 ⇢ 3481
б) 2786 + 896 ⇢ 3682
в) 31855 + 896 ⇢ 32751
г) 46746 + 896 ⇢ 47 642

2.92 Составьте условие задачи, решением которой служит выражение:

а) 24 + 13 - 2;

б) 72 - 6 - 12 + 7.

а) 24 + 13 - 2

В автобусе ехало 24 пассажира. На остановке в автобус зашли 13 человек и вышили 2 человека. Сколько пассажиров стало в автобусе?

б) 72 - 6 - 12 + 7

В двух ящиках 72 кг чая. Если из одного ящика выложили 6 кг чая, а из другого - 12 кг чая и в первый ящик добавили 7 кг чая. Сколько килограммов чая будет в двух ящиках?

а)

Условие задачи: На парковке было 24 автомобиля. В течение часа приехало еще 13 автомобилей, а 2 автомобиля уехали. Сколько автомобилей стало на парковке?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить действия, описанные в условии.

1. Изначально на парковке было 24 автомобиля.

2. После того как приехали еще 13 автомобилей, их общее количество стало: $24 + 13 = 37$ автомобилей.

3. Затем 2 автомобиля уехали, значит, количество машин на парковке уменьшилось: $37 - 2 = 35$ автомобилей.

Все эти действия можно записать одним выражением, которое и будет являться решением задачи: $24 + 13 - 2$.

Вычислим значение этого выражения: $24 + 13 - 2 = 37 - 2 = 35$.

Ответ: 35 автомобилей.

б)

Условие задачи: В школьной столовой было 72 пирожка. На первой перемене продали 6 пирожков, а на второй — 12 пирожков. После этого испекли и принесли еще 7 пирожков. Сколько пирожков стало в столовой?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить действия, описанные в условии.

1. Изначально в столовой было 72 пирожка.

2. После продажи 6 пирожков на первой перемене их осталось: $72 - 6 = 66$ пирожков.

3. После продажи еще 12 пирожков на второй перемене их количество снова уменьшилось: $66 - 12 = 54$ пирожка.

4. Затем принесли еще 7 пирожков, и их общее количество стало: $54 + 7 = 61$ пирожок.

Все эти действия можно записать одним выражением: $72 - 6 - 12 + 7$.

Вычислим значение этого выражения: $72 - 6 - 12 + 7 = 66 - 12 + 7 = 54 + 7 = 61$.

Ответ: 61 пирожок.

5.320 Числа с и 2 отмечены на координатной прямой (рис. 5.55). Кратно ли число с двум? Отметьте на прямой ещё два общих кратных чисел с и 2.

$0$$2$$C$$2c$$3c$

Число $c$ кратно $2$. С помощью циркуля можно определить, что число $C$ в $1$ раза больше числа $2$.

Два общих кратных чисел $c$ и $2$ – это числа, которые делятся на $c$ и на $2$ без остатка. Измерив циркулем расстояние от $0$ до $c$, отметим точку $2c$. Для этого поставим ножку циркуля в точку с координатой $C$ и отложим данное расстояние вправо. Далее, поставим ножку циркуля в точку с координатой $2c$ и ещё раз отложим вправо данное расстояние. Получили числа $2c$ и $3c$ – кратные $2$ и $c$.

Кратно ли число c двум?

Для ответа на этот вопрос сначала определим, какому числу соответствует точка c на координатной прямой. На рисунке (рис. 5.55) мы видим, что отрезок от 0 до 2 имеет определённую длину. Отрезок от 2 до c имеет такую же длину. Это означает, что точка c находится от точки 2 на таком же расстоянии, на котором точка 2 находится от 0.

Вычислим координату точки c, прибавив к 2 длину отрезка [0, 2]:

$c = 2 + (2 - 0) = 4$

Итак, число c равно 4.

Теперь проверим, кратно ли число $c=4$ двум. Число называется кратным другому числу, если оно делится на него нацело (без остатка).

Выполним деление:

$4 : 2 = 2$

Поскольку 4 делится на 2 без остатка, то число c кратно двум.

Ответ: Да, число c кратно двум.

Отметьте на прямой ещё два общих кратных чисел c и 2.

Нам необходимо найти общие кратные чисел $c=4$ и 2. Общее кратное — это число, которое является кратным и для 4, и для 2.

Заметим, что любое число, которое делится на 4, также делится и на 2. Следовательно, общие кратные чисел 4 и 2 — это все числа, кратные 4.

Выпишем несколько первых чисел, кратных 4 (начиная с наименьшего общего кратного): 4, 8, 12, 16, ...

Число $c=4$ является первым таким общим кратным. Следующие два общих кратных — это 8 и 12. Отметим их на координатной прямой, продолжая заданный масштаб, где каждому значению 2 соответствует одинаковое расстояние.

Ответ: На прямой дополнительно отмечены числа 8 и 12, которые являются следующими двумя общими кратными для чисел c и 2.

5.321 Координаты каких точек — общие кратные чисел а и b (рис. 5.56)?

Координаты точек N и R - общие кратные чисел а и b, так как

N($2b$) и N($3a$)

R($4b$) и R($6a$)

Для решения задачи сначала определим координаты точек, изображенных на числовой оси, и установим соотношение между числами $a$ и $b$.

На числовой оси отмечен отрезок от $0$ до точки с координатой $a$. Также от $0$ до точки $M$ отложен отрезок длиной $b$, следовательно, координата точки $M$ равна $b$. Из рисунка видно, что точка с координатой $a$ является серединой отрезка $0M$. Это означает, что длина отрезка $0M$ в два раза больше длины отрезка $0a$. Таким образом, мы можем заключить, что $b = 2a$.

Теперь определим координаты остальных точек. Красные дуги на рисунке показывают, как можно построить точку $N$. Один из путей — это отложить от точки с координатой $a$ отрезок длиной $b$. Другой путь — отложить от точки $M$ (с координатой $b$) отрезок длиной $a$. В обоих случаях координата точки $N$ будет равна $a + b$. Подставив ранее найденное соотношение $b = 2a$, получим координату точки $N$: $a + 2a = 3a$.

Деления на числовой оси нанесены с шагом, равным $a$. Исходя из этого, определим координаты всех указанных точек:
Координата точки M: $b = 2a$.
Координата точки N: $a + b = 3a$.
Координата точки K: следует за $N(3a)$ на одно деление, то есть $3a + a = 4a$.
Координата точки R: следует за $K(4a)$ на два деления, то есть $4a + 2a = 6a$.

Общее кратное чисел $a$ и $b$ — это число, которое делится без остатка как на $a$, так и на $b$. Поскольку мы установили, что $b=2a$, то искомое число должно быть кратно $a$ и $2a$. Любое число, кратное $2a$, автоматически кратно и $a$. Следовательно, нам нужно найти точки, координаты которых кратны $2a$.

Проверим координаты каждой точки на кратность числу $2a$:

Точка M: координата $2a$. Число $2a$ делится на $2a$ ($2a \div 2a = 1$). Следовательно, координата точки $M$ является общим кратным чисел $a$ и $b$.

Точка N: координата $3a$. Число $3a$ не делится нацело на $2a$ ($3a \div 2a = 1.5$). Следовательно, координата точки $N$ не является общим кратным.

Точка K: координата $4a$. Число $4a$ делится на $2a$ ($4a \div 2a = 2$). Следовательно, координата точки $K$ является общим кратным чисел $a$ и $b$.

Точка R: координата $6a$. Число $6a$ делится на $2a$ ($6a \div 2a = 3$). Следовательно, координата точки $R$ является общим кратным чисел $a$ и $b$.

Таким образом, точки, координаты которых являются общими кратными чисел $a$ и $b$ — это $M$, $K$ и $R$.
Ответ: $M, K, R$.

5.322 Для эстафеты, состоящей из четырёх этапов, надо отобрать участников из числа обладателей золотого значка ГТО.

а) Сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников, если в классе 12 учащихся имеют золотой значок ГТО?

б) Сколькими способами члены этой команды могут распределить этапы лыжной эстафеты?

а) Из 12 учащихся составить команду из 4 лыжников можно следующим образом: первого лыжника можно выбрать 12 способами; второго лыжника - оставшимися 11 способами; третьего лыжника - оставшимися 10 способами, и четвёртого лыжника - оставшимися 9 способами. Таким образом, команду из четырёх лыжников, если в классе 12 учащихся имеют золотой значок ГТО, можно

$12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 132 \cdot 90 = 11880\left(\text{сп}\right)$

$\begin{array}{r}\times 12\\ 11\\ 12\\ + 12\\ 132\end{array}$

$\begin{array}{r}132\\ 90\\ 11880\end{array}$

Ответ: 11 880 способами.

б) На первый этап можно выбрать лыжника 4 способами, на второй этап – оставшимися 3 способами, на третий этап - 2 способами и на четвёртый этап - 1 способом. Таким образом, члены команды могут распределить этапы лыжной эстафеты$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$способами.

Ответ: 24 способами.

а) Для того чтобы найти, сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников из 12 учащихся, необходимо вычислить число сочетаний из 12 по 4. В данном случае порядок выбора лыжников в команду не имеет значения, важен лишь итоговый состав команды. Поэтому мы используем формулу для числа сочетаний без повторений.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ — общее число элементов, из которых производится выбор, а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать.

В нашем случае $n = 12$ (общее число учащихся с золотым значком ГТО), а $k = 4$ (число лыжников в команде). Подставим эти значения в формулу:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь и выполним вычисления:

$C_{12}^4 = (11 \times 5 \times 9) = 495$

Таким образом, существует 495 способов составить команду из четырёх лыжников.

Ответ: 495.

б) Теперь необходимо определить, сколькими способами уже отобранные четыре члена команды могут распределить между собой четыре этапа лыжной эстафеты. В этой задаче важен порядок, так как имеет значение, какой лыжник какой этап будет проходить (например, 1-й этап для лыжника А и 2-й для лыжника Б — это не то же самое, что 1-й для Б и 2-й для А).

Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 4 элементов. Формула для числа перестановок из $n$ элементов:

$P_n = n!$

В данном случае в команде 4 лыжника и 4 этапа, поэтому $n=4$.

Вычисляем количество способов распределения этапов:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Следовательно, существует 24 способа распределить этапы эстафеты между членами команды.

Ответ: 24.

5.323 Составьте задачу по выражению:

а) 112 + 512;

б) 512 - 112.

а)

Условие задачи:
В первый день бригада рабочих заасфальтировала $\frac{1}{12}$ дороги, а во второй день — $\frac{5}{12}$ дороги. Какую часть дороги заасфальтировала бригада за два дня?

Решение:
Чтобы найти, какую часть дороги бригада заасфальтировала за два дня, нужно сложить части, выполненные в первый и во второй день. Так как знаменатели у дробей одинаковые, складываем их числители, а знаменатель оставляем прежним.

$\frac{1}{12} + \frac{5}{12} = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12}$

Полученную дробь $\frac{6}{12}$ можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя и знаменателя — это 6. Разделим числитель и знаменатель на 6.

$\frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$

Таким образом, за два дня бригада заасфальтировала половину дороги.

Ответ: $\frac{1}{2}$ часть дороги.

б)

Условие задачи:
С первого поля собрали $\frac{5}{12}$ всего урожая пшеницы, а со второго — $\frac{1}{12}$ всего урожая. На сколько часть урожая, собранного с первого поля, больше части урожая, собранного со второго?

Решение:
Чтобы найти, на сколько одна часть больше другой, нужно из большей части вычесть меньшую. Знаменатели у дробей одинаковые, поэтому вычитаем числители, а знаменатель оставляем тем же.

$\frac{5}{12} - \frac{1}{12} = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12}$

Сократим полученную дробь $\frac{4}{12}$. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4.

$\frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$

Следовательно, с первого поля собрали на $\frac{1}{3}$ часть урожая больше, чем со второго.

Ответ: на $\frac{1}{3}$ часть.

5.324 1) Туристы совершили сплав на байдарках. Первые 39 км они двигались со скоростью 13 км/ч и сделали остановку на 4 ч, а потом плыли со скоростью 15 км/ч. Сколько времени продолжался сплав, если туристы проплыли 84 км?

2) Группа спортсменов по ориентированию на местности первые 3 ч шла со скоростью 5 км/ч и сделала остановку на 2 ч, а остальное время шла по гористой местности со скоростью 2 км/ч. Сколько времени группа затратила на весь переход длиной 21 км?

1)

1) $39 : 13 = 3\left(ч\right)$ - плыли туриста до остановки

2) $84 - 39 = 45\left(\mathrm{км}\right)$ - преодолел туриста после остановки

3) $45 : 15 = 3\left(ч\right)$ - плыли туриста после остановки

4) $3 + 4 + 3 = 10\left(ч\right)$ - продолжался сплав

Ответ: 10ч

2)

1) $5 · 3 = 15\left(\mathrm{км}\right)$ - прошли до остановки

2) $21 - 15 = 6\left(\mathrm{км}\right)$ - прошли после остановки

3) $6 : 2 = 3\left(ч\right)$ - шли после остановки

4) $3 + 2 + 3 = 8\left(ч\right)$ - затратили на весь переход

Ответ: 8ч

1) Для решения задачи необходимо найти общее время, которое туристы затратили на весь сплав. Это время складывается из времени движения на первом участке, времени остановки и времени движения на втором участке.

1. Найдем время, затраченное на первый участок пути. Туристы проплыли 39 км со скоростью 13 км/ч. Время вычисляется по формуле $t = S / v$.
$t_1 = 39 \text{ км} / 13 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

2. Найдем расстояние, которое туристам осталось проплыть. Общее расстояние — 84 км, а первый участок — 39 км.
$S_2 = 84 \text{ км} - 39 \text{ км} = 45 \text{ км}$

3. Найдем время, затраченное на второй участок пути. Туристы проплыли оставшиеся 45 км со скоростью 15 км/ч.
$t_2 = 45 \text{ км} / 15 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

4. Найдем общее время сплава, сложив время движения на двух участках и время остановки, которое составляет 4 ч.
$T_{общ} = t_1 + t_{остановки} + t_2 = 3 \text{ ч} + 4 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 10 \text{ ч}$

Ответ: 10 часов.

2) Чтобы найти общее время, затраченное на весь переход, нужно сложить время движения на первом участке, время остановки и время движения на втором участке.

1. Найдем расстояние, которое группа прошла за первые 3 часа. Скорость на этом участке была 5 км/ч. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.
$S_1 = 5 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 15 \text{ км}$

2. Найдем оставшееся расстояние. Общая длина перехода — 21 км.
$S_2 = 21 \text{ км} - 15 \text{ км} = 6 \text{ км}$

3. Найдем время, затраченное на второй участок пути. Группа прошла оставшиеся 6 км по гористой местности со скоростью 2 км/ч.
$t_2 = 6 \text{ км} / 2 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

4. Найдем общее время перехода, сложив время движения на первом участке (3 ч), время остановки (2 ч) и время движения на втором участке.
$T_{общ} = t_1 + t_{остановки} + t_2 = 3 \text{ ч} + 2 \text{ ч} + 3 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

Ответ: 8 часов.

5.325 Найдите значение выражения:

а) 776 • 16 + 324 • 16;

б) 384 • 15 - 124 • 15;

в) 28 350 : 225 • 45 - 1673;

г) (4976 + 1524) • 4 - 3568.

а) $776 \cdot 16 + 324 \cdot 16$

Для решения этого выражения удобно использовать распределительное свойство умножения относительно сложения ($a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$). Вынесем общий множитель 16 за скобки:

1. Сложим числа в скобках: $776 + 324 = 1100$.

2. Умножим полученную сумму на 16: $1100 \cdot 16 = 17600$.

Ответ: 17600

б) $384 \cdot 15 - 124 \cdot 15$

Аналогично предыдущему пункту, используем распределительное свойство умножения относительно вычитания ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$). Вынесем общий множитель 15 за скобки:

1. Вычтем числа в скобках: $384 - 124 = 260$.

2. Умножим полученную разность на 15: $260 \cdot 15 = 3900$.

Ответ: 3900

в) $28350 : 225 \cdot 45 - 1673$

Выполним действия в соответствии с их порядком: сначала деление и умножение слева направо, затем вычитание.

1. Выполним деление: $28350 : 225 = 126$.

2. Выполним умножение: $126 \cdot 45 = 5670$.

3. Выполним вычитание: $5670 - 1673 = 3997$.

Ответ: 3997

г) $(4976 + 1524) \cdot 4 - 3568$

Выполним действия по порядку: сначала действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Выполним сложение в скобках: $4976 + 1524 = 6500$.

2. Выполним умножение: $6500 \cdot 4 = 26000$.

3. Выполним вычитание: $26000 - 3568 = 22432$.

Ответ: 22432

5.326 Запишите в виде равенства тремя различными способами:

а) 5 на m больше, чем n;

б) 5 на a меньше, чем b;

в) x в 5 раз больше, чем y,

г) z в 5 раз меньше, чем c.

а) Условие «5 на m больше, чем n» означает, что если от 5 отнять n, получится m. Это можно записать в виде основного равенства: $5 - n = m$.
Чтобы получить второе равенство, выразим из основного равенства уменьшаемое 5. Для этого перенесем вычитаемое n в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный: $5 = n + m$.
Чтобы получить третье равенство, из основного равенства выразим вычитаемое n. Для этого n перенесем вправо, а m — влево с противоположными знаками: $n = 5 - m$.
Ответ: $5 - n = m$; $5 = n + m$; $n = 5 - m$.

б) Условие «5 на a меньше, чем b» означает, что если от b отнять 5, получится a. Запишем это в виде основного равенства: $b - 5 = a$.
Чтобы получить второе равенство, выразим из основного равенства уменьшаемое b. Для этого перенесем вычитаемое 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $b = 5 + a$.
Чтобы получить третье равенство, из основного равенства выразим 5. Для этого 5 перенесем вправо, а a — влево с противоположными знаками: $5 = b - a$.
Ответ: $b - 5 = a$; $b = 5 + a$; $5 = b - a$.

в) Условие «x в 5 раз больше, чем y» означает, что x равен y, умноженному на 5. Запишем это в виде основного равенства: $x = 5y$.
Чтобы получить второе равенство, выразим из основного равенства y. Для этого разделим обе части уравнения на 5: $y = \frac{x}{5}$.
Чтобы получить третье равенство, выразим частное от деления x на y. Для этого разделим обе части основного равенства на y (при условии, что $y \neq 0$): $\frac{x}{y} = 5$.
Ответ: $x = 5y$; $y = \frac{x}{5}$; $\frac{x}{y} = 5$.

г) Условие «z в 5 раз меньше, чем c» означает, что z равен c, разделенному на 5. Запишем это в виде основного равенства: $z = \frac{c}{5}$.
Чтобы получить второе равенство, выразим из основного равенства c. Для этого умножим обе части уравнения на 5: $c = 5z$.
Чтобы получить третье равенство, выразим частное от деления c на z. Для этого разделим обе части второго равенства на z (при условии, что $z \neq 0$): $\frac{c}{z} = 5$.
Ответ: $z = \frac{c}{5}$; $c = 5z$; $\frac{c}{z} = 5$.

5.327 Умножьте на о числитель и знаменатель дробей 45, 78, 1315, 3740. Запишите соответствующие равенства.

$\frac{4}{5} = \frac{4·6}{5·6} = \frac{24}{30}.$

$\frac{7}{8} = \frac{7·6}{8·6} = \frac{42}{48}.$

$\frac{13}{15} = \frac{13·6}{15·6} = \frac{78}{90}.$

$\frac{37}{40} = \frac{37·6}{40·6} = \frac{222}{240}$$\begin{array}{rr}& 37\\ \times & 6\\ \text{–––––}\\ & 222\end{array}$

$\frac{4}{5}$

Умножим числитель и знаменатель дроби на 6.
Новый числитель: $4 \cdot 6 = 24$.
Новый знаменатель: $5 \cdot 6 = 30$.
Запишем соответствующее равенство: $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$.

Ответ: $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$.

$\frac{7}{8}$

Умножим числитель и знаменатель дроби на 6.
Новый числитель: $7 \cdot 6 = 42$.
Новый знаменатель: $8 \cdot 6 = 48$.
Запишем соответствующее равенство: $\frac{7}{8} = \frac{42}{48}$.

Ответ: $\frac{7}{8} = \frac{42}{48}$.

$\frac{13}{15}$

Умножим числитель и знаменатель дроби на 6.
Новый числитель: $13 \cdot 6 = 78$.
Новый знаменатель: $15 \cdot 6 = 90$.
Запишем соответствующее равенство: $\frac{13}{15} = \frac{78}{90}$.

Ответ: $\frac{13}{15} = \frac{78}{90}$.

$\frac{37}{40}$

Умножим числитель и знаменатель дроби на 6.
Новый числитель: $37 \cdot 6 = 222$.
Новый знаменатель: $40 \cdot 6 = 240$.
Запишем соответствующее равенство: $\frac{37}{40} = \frac{222}{240}$.

Ответ: $\frac{37}{40} = \frac{222}{240}$.

5.328 Приняв за единичный отрезок 24 клетки тетради, начертите координатную прямую. Отметьте на этой прямой точки с координатами 18, 112, 34, 712, 812, 1824. Какие из координат соответствуют одной и той же точке? Запишите равенства.

Приняв за единичный отрезок 24 клетки тетради, начертите координатную прямую. Отметьте на этой прямой точки с координатами $\frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{3}{4}, \frac{7}{12}, \frac{8}{12}, \frac{18}{24}$.

Чтобы найти положение каждой точки на координатной прямой, необходимо ее координату умножить на длину единичного отрезка, которая по условию составляет 24 клетки.

• Для точки с координатой $\frac{1}{8}$:
  $24 \cdot \frac{1}{8} = \frac{24}{8} = 3$ клетки от начала координат.
• Для точки с координатой $\frac{1}{12}$:
  $24 \cdot \frac{1}{12} = \frac{24}{12} = 2$ клетки от начала координат.
• Для точки с координатой $\frac{3}{4}$:
  $24 \cdot \frac{3}{4} = \frac{24 \cdot 3}{4} = 6 \cdot 3 = 18$ клеток от начала координат.
• Для точки с координатой $\frac{7}{12}$:
  $24 \cdot \frac{7}{12} = \frac{24 \cdot 7}{12} = 2 \cdot 7 = 14$ клеток от начала координат.
• Для точки с координатой $\frac{8}{12}$:
  $24 \cdot \frac{8}{12} = \frac{24 \cdot 8}{12} = 2 \cdot 8 = 16$ клеток от начала координат.
• Для точки с координатой $\frac{18}{24}$:
  $24 \cdot \frac{18}{24} = 18$ клеток от начала координат.

Теперь начертим координатную прямую и отметим на ней точки в соответствии с рассчитанными положениями. За начало отсчета примем точку 0. Единичный отрезок (от 0 до 1) будет иметь длину 24 клетки.

Ответ: координатная прямая с отмеченными точками представлена выше.

Какие из координат соответствуют одной и той же точке? Запишите равенства.

Из расчетов и рисунка видно, что координаты $\frac{3}{4}$ и $\frac{18}{24}$ соответствуют одной и той же точке, так как обе они находятся на расстоянии 18 клеток от начала координат.

Это означает, что данные дроби равны. Чтобы это доказать, можно сократить дробь $\frac{18}{24}$, разделив ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6.

$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$

Таким образом, мы подтверждаем, что координаты $\frac{3}{4}$ и $\frac{18}{24}$ равны и соответствуют одной точке на координатной прямой.

Ответ: одной и той же точке соответствуют координаты $\frac{3}{4}$ и $\frac{18}{24}$. Равенство: $\frac{3}{4} = \frac{18}{24}$.

5.329 Найдите, сколько четырнадцатых долей содержится в 12, 17, 27, 72.

Чтобы найти, сколько четырнадцатых долей (то есть долей, равных $ \frac{1}{14} $) содержится в числе, нужно это число разделить на $ \frac{1}{14} $. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь. Значит, каждую из данных дробей нужно умножить на 14. Другой, более наглядный способ, — это привести каждую дробь к знаменателю 14. Полученный числитель и будет ответом.

$ \frac{1}{2} $

Чтобы найти, сколько четырнадцатых долей в $ \frac{1}{2} $, приведем эту дробь к знаменателю 14. Для этого умножим числитель и знаменатель на 7:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14} $

Таким образом, в $ \frac{1}{2} $ содержится семь четырнадцатых долей.

Ответ: 7.

$ \frac{1}{7} $

Чтобы найти, сколько четырнадцатых долей в $ \frac{1}{7} $, приведем эту дробь к знаменателю 14. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{2}{14} $

Таким образом, в $ \frac{1}{7} $ содержится две четырнадцатых доли.

Ответ: 2.

$ \frac{2}{7} $

Чтобы найти, сколько четырнадцатых долей в $ \frac{2}{7} $, приведем эту дробь к знаменателю 14. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{4}{14} $

Таким образом, в $ \frac{2}{7} $ содержится четыре четырнадцатых доли.

Ответ: 4.

$ \frac{7}{2} $

Чтобы найти, сколько четырнадцатых долей в $ \frac{7}{2} $, приведем эту дробь к знаменателю 14. Для этого умножим числитель и знаменатель на 7:

$ \frac{7}{2} = \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{49}{14} $

Таким образом, в $ \frac{7}{2} $ содержится сорок девять четырнадцатых долей.

Ответ: 49.

5.330 Решите уравнение:

а) 245 • (m - 33) = 4410;

б) 864k - 470k = 5910;

в) (3x + 12) : 72 = 21;

г) 420 : (y - 15) = 84.

а) $245 · (m - 33) = 4410$

$m - 33 = 4410 : 245$

$m - 33 = 18$

$m = 18 + 33$

$m = 51$

Ответ: 51

б) $864k - 470k = 5910$

$(864 - 470) · k = 5910$

$394 · k = 5910$

$k = 5910 : 394$

$k = 15$

Ответ: 15

в) $(3x + 12) : 72 = 21$

$3x + 12 = 21 · 72$

$3x + 12 = 1512$

$3x = 1512 - 12$

$3x = 1500$

$x = 1500 : 3$

$x = 500$

Ответ: 500

г) $420 : (y - 15) = 84$

$y - 15 = 420 : 84$

$y - 15 = 5$

$y = 5 + 15$

$y = 20$

Ответ: 20

а) $245 \cdot (m - 33) = 4410$
В данном уравнении выражение $(m - 33)$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($4410$) разделить на известный множитель ($245$).
$m - 33 = 4410 : 245$
$m - 33 = 18$
Теперь $m$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности ($18$) прибавить вычитаемое ($33$).
$m = 18 + 33$
$m = 51$
Ответ: $51$.

б) $864k - 470k = 5910$
Сначала упростим левую часть уравнения, применив распределительное свойство умножения (вынесем общий множитель $k$ за скобки).
$(864 - 470)k = 5910$
$394k = 5910$
В этом уравнении $k$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($5910$) разделить на известный множитель ($394$).
$k = 5910 : 394$
$k = 15$
Ответ: $15$.

в) $(3x + 12) : 72 = 21$
В данном уравнении выражение $(3x + 12)$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, нужно частное ($21$) умножить на делитель ($72$).
$3x + 12 = 21 \cdot 72$
$3x + 12 = 1512$
Теперь $3x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы его найти, нужно из суммы ($1512$) вычесть известное слагаемое ($12$).
$3x = 1512 - 12$
$3x = 1500$
Далее, $x$ является неизвестным множителем. Чтобы его найти, нужно произведение ($1500$) разделить на известный множитель ($3$).
$x = 1500 : 3$
$x = 500$
Ответ: $500$.

г) $420 : (y - 15) = 84$
В данном уравнении выражение $(y - 15)$ является неизвестным делителем. Чтобы его найти, нужно делимое ($420$) разделить на частное ($84$).
$y - 15 = 420 : 84$
$y - 15 = 5$
Теперь $y$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности ($5$) прибавить вычитаемое ($15$).
$y = 5 + 15$
$y = 20$
Ответ: $20$.