Номер 5.322, страница 56, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

33. Основное свойство дроби. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.322, страница 56.

5.322 Для эстафеты, состоящей из четырёх этапов, надо отобрать участников из числа обладателей золотого значка ГТО.

а) Сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников, если в классе 12 учащихся имеют золотой значок ГТО?

б) Сколькими способами члены этой команды могут распределить этапы лыжной эстафеты?

а) Для того чтобы найти, сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников из 12 учащихся, необходимо вычислить число сочетаний из 12 по 4. В данном случае порядок выбора лыжников в команду не имеет значения, важен лишь итоговый состав команды. Поэтому мы используем формулу для числа сочетаний без повторений.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Где $n$ — общее число элементов, из которых производится выбор, а $k$ — количество элементов, которые нужно выбрать.

В нашем случае $n = 12$ (общее число учащихся с золотым значком ГТО), а $k = 4$ (число лыжников в команде). Подставим эти значения в формулу:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Сократим дробь и выполним вычисления:

$C_{12}^4 = (11 \times 5 \times 9) = 495$

Таким образом, существует 495 способов составить команду из четырёх лыжников.

Ответ: 495.

б) Теперь необходимо определить, сколькими способами уже отобранные четыре члена команды могут распределить между собой четыре этапа лыжной эстафеты. В этой задаче важен порядок, так как имеет значение, какой лыжник какой этап будет проходить (например, 1-й этап для лыжника А и 2-й для лыжника Б — это не то же самое, что 1-й для Б и 2-й для А).

Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 4 элементов. Формула для числа перестановок из $n$ элементов:

$P_n = n!$

В данном случае в команде 4 лыжника и 4 этапа, поэтому $n=4$.

Вычисляем количество способов распределения этапов:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Следовательно, существует 24 способа распределить этапы эстафеты между членами команды.

Ответ: 24.