Страница 106, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй её сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина.

а) Точки: $M$, $N$, $K$.

б) Точки: $M$, $N$, $K$.

в) Точки: $M$, $N$, $K$.

Для построения сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N и K, будем использовать метод следов или метод вспомогательных плоскостей. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а вершины основания (против часовой стрелки) как $A, B, C, D$.

В данном случае точки расположены следующим образом: точка $M$ лежит на ребре $SA$, точка $K$ — на ребре $SC$, точка $N$ — на ребре $SD$.

1. Точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SCD)$. Соединяем их отрезком. Отрезок $NK$ — сторона искомого сечения.
2. Точки $N$ и $M$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAD)$. Соединяем их отрезком. Отрезок $NM$ — сторона искомого сечения.
3. Теперь необходимо найти четвертую вершину сечения, которая должна лежать на ребре $SB$. Для этого воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость диагонального сечения $(SBD)$.
4. Найдем прямую пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью $(SBD)$. Одна точка, принадлежащая обеим плоскостям, — это точка $N$ (так как $N \in SD$, а $SD \subset (SBD)$).
5. Чтобы найти вторую точку, найдем точку пересечения прямой $MK$ (лежащей в секущей плоскости) с плоскостью $(SBD)$. Прямая $MK$ лежит в плоскости диагонального сечения $(SAC)$. Плоскости $(SAC)$ и $(SBD)$ пересекаются по высоте пирамиды $SO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$). Найдем точку пересечения $P$ прямых $MK$ и $SO$: $P = MK \cap SO$.
6. Прямая $NP$ является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(SBD)$.
7. Эта прямая $NP$ пересекает ребро $SB$ (которое также лежит в плоскости $(SBD)$) в некоторой точке $L$. Точка $L$ — четвертая вершина сечения.
8. Соединяем последовательно вершины сечения: $M$, $L$, $K$ и $N$. Отрезки $ML$ (в грани $(SAB)$) и $LK$ (в грани $(SBC)$) — остальные стороны сечения.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MLKN$.

В данном случае точки расположены следующим образом: точка $M$ лежит на ребре $SA$, точка $K$ — на ребре $SD$, а точка $N$ лежит на диагонали основания $BD$.

1. Точки $K$ и $N$ лежат в плоскости диагонального сечения $(SBD)$. Проведем через них прямую. Эта прямая пересечет ребро $SB$ в точке $L$. Точка $L$ является вершиной искомого сечения.
2. Точки $M$ и $L$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAB)$. Соединяем их. Отрезок $ML$ — сторона сечения.
3. Точки $M$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAD)$. Соединяем их. Отрезок $MK$ — сторона сечения.
4. Для нахождения остальных вершин сечения построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Точка $N$ уже лежит на этом следе.
5. Найдем вторую точку следа. Для этого в плоскости грани $(SAB)$ продлим прямую $ML$ до пересечения с продолжением стороны основания $AB$. Обозначим точку их пересечения как $P$. Точка $P$ лежит как в секущей плоскости, так и в плоскости основания, а значит, принадлежит следу.
6. Прямая $PN$ — это след секущей плоскости на плоскости основания.
7. Найдем точки пересечения следа $PN$ со сторонами основания. Прямая $PN$ пересекает сторону $BC$ в точке $Q$ и сторону $CD$ в точке $R$. Точки $Q$ и $R$ — вершины сечения.
8. Соединяем последовательно все найденные вершины: $M, L, Q, R, K$. Отрезки $LQ$ (в грани $(SBC)$), $QR$ (в основании $(ABCD)$) и $RK$ (в грани $(SCD)$) замыкают многоугольник сечения.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MLQRK$.

В данном случае точки расположены следующим образом: точка $K$ лежит на ребре $SD$, точка $N$ — на диагонали основания $AC$, а точка $M$ — внутри боковой грани $(SBC)$.

1. Построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Точка $N$ уже лежит на этом следе, так как $N \in (ABCD)$.
2. Найдем вторую точку следа — точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания. Для этого используем вспомогательную плоскость. Проведем прямую через вершину $S$ и точку $M$ до пересечения с ребром основания $BC$ в точке $M'$.
3. Рассмотрим вспомогательную плоскость $(SM'D)$. Она содержит прямую $SD$ (а значит, и точку $K$) и прямую $SM'$ (а значит, и точку $M$). Следовательно, вся прямая $MK$ лежит в этой плоскости.
4. Плоскость $(SM'D)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $M'D$.
5. Точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания должна лежать на прямой $M'D$. Найдем точку $P$ как пересечение прямых $MK$ и $M'D$: $P = MK \cap M'D$.
6. Прямая $PN$ — это след секущей плоскости на плоскости основания.
7. Теперь найдем вершины сечения на ребрах пирамиды. Продлим стороны основания до пересечения со следом $PN$.
   • Пусть $T_1 = PN \cap CD$. Прямая $T_1K$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SCD)$. Она пересекает ребро $SC$ в точке $L$. $L$ — вершина сечения. Отрезок $KL$ — сторона сечения.
   • Пусть $T_2 = PN \cap BC$. Прямая $T_2M$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SBC)$. Она пересекает ребро $SB$ в точке $L_B$. Точка $L$ также должна лежать на этой прямой. $L_B$ — вершина сечения. Отрезок $LL_B$ — сторона сечения.
   • Пусть $T_3 = PN \cap AB$. Прямая $T_3L_B$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SAB)$. Она пересекает ребро $SA$ в точке $L_A$. $L_A$ — вершина сечения. Отрезок $L_BL_A$ — сторона сечения.
8. Последние две вершины, $L_A$ на $SA$ и $K$ на $SD$, лежат в плоскости грани $(SAD)$. Соединяем их отрезком $L_AK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $L_A L_B L K$.

454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина.

а) M, N, K

б) M, N, K

в) M, N, K

455 Сложи фигуры из кубиков. Перенеси рисунки в тетрадь и дорисуй их проекции.

Фигура

Вид спереди

Вид слева

Вид сверху

a) ?

б) ?

в) ?

г) ?

?

?

а)

Фигура представляет собой Г-образный объект. Он состоит из вертикального столбика высотой в два кубика и одного кубика, примыкающего к нижнему кубику столбика справа. Проекция "Вид спереди" — это то, как фигура выглядит, если смотреть на неё спереди. Мы увидим столбик из двух квадратов слева и один квадрат справа от нижнего квадрата, образуя Г-образную форму.

Ответ:

б)

Фигура представляет собой Т-образную конструкцию: основание из трёх кубиков в ряд, и ещё один кубик, установленный на центральный кубик основания. Проекция "Вид слева" — это то, как фигура выглядит с левой стороны. При взгляде слева все три ряда кубиков проецируются на одну плоскость. Самой высокой частью является центральный столбик из двух кубиков, его высота определяет контур проекции — прямоугольник высотой в два квадрата. Левый и правый кубики основания имеют высоту в один квадрат. Их верхние грани при взгляде слева оказываются скрытыми за центральным столбиком. Скрытые рёбра принято обозначать пунктирной линией. Верхняя грань левого кубика находится на уровне стыка двух кубиков центрального столбика, поэтому на этой высоте мы проводим горизонтальную пунктирную линию.

Ответ:

в)

Данная фигура состоит из основания в виде двух кубиков, стоящих рядом, и ещё одного кубика, расположенного сверху на левом кубике основания. Проекция "Вид сверху" — это то, как фигура выглядит, если смотреть на неё строго сверху. При взгляде сверху мы увидим верхнюю грань верхнего левого кубика и верхнюю грань правого кубика основания. Верхний левый кубик закроет собой нижний левый. Таким образом, проекция будет состоять из двух квадратов, расположенных рядом по горизонтали.

Ответ:

г)

Эта фигура имеет П-образную форму и состоит из пяти кубиков, расположенных на одной плоскости. Задний ряд состоит из трёх кубиков, а от крайних кубиков этого ряда вперёд отходят ещё по одному кубику.

• Вид спереди: При взгляде спереди мы видим передние грани двух передних кубиков, а в промежутке между ними — переднюю грань центрального кубика заднего ряда. Поскольку все кубики находятся на одном уровне, проекция будет выглядеть как три квадрата, расположенные в один ряд по горизонтали.
• Вид слева: При взгляде слева мы видим боковые грани кубиков левого "зубца" (переднего и заднего). Правый "зубец" будет полностью скрыт за левым. Проекция будет выглядеть как два квадрата, расположенные рядом по горизонтали.
• Вид сверху: При взгляде сверху мы увидим верхние грани всех пяти кубиков в их расположении на плоскости, то есть саму П-образную фигуру.

Ответ:

Вид спереди:

Вид слева:

Вид сверху:

455 Сложи фигуры из кубиков. Перенеси рисунки в тетрадь и дорисуй их проекции.