Страница 102, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

442 В первый день после болезни спортсмен мог выполнить $40 \%$ своей обычной нормы тренировок. Через какое минимальное количество дней после болезни он сможет вернуться к полноценным нагрузкам, если врачи не рекомендовали ему за один день увеличивать нагрузки более чем на $3 \%$ от его обычной нормы?

Обозначим обычную норму тренировок спортсмена за 100%.

В первый день после болезни спортсмен выполнил 40% от своей обычной нормы.

Чтобы вернуться к полноценным нагрузкам, ему необходимо достичь 100% своей нормы. Следовательно, ему нужно увеличить нагрузку на:

$100\% - 40\% = 60\%$

По рекомендации врачей, спортсмен может увеличивать нагрузку не более чем на 3% от обычной нормы за один день. Чтобы вернуться к полноценным нагрузкам за минимальное количество дней, ему следует каждый день увеличивать нагрузку на максимально допустимую величину, то есть на 3%.

Теперь найдем, сколько дней потребуется, чтобы увеличить нагрузку на 60%, если каждый день добавлять по 3%:

$60\% \div 3\% = 20$ (дней)

Таким образом, потребуется 20 дней, чтобы постепенно увеличить нагрузку с 40% до 100%. Эти 20 дней являются днями увеличения нагрузки, которые следуют за первым днем тренировок.

Общее количество дней с начала тренировок после болезни до возвращения к полной норме будет состоять из первого дня (когда нагрузка была 40%) и 20 последующих дней увеличения нагрузки.

$1 \text{ (первый день)} + 20 \text{ (дней увеличения)} = 21 \text{ (день)}$

Следовательно, на 21-й день после начала тренировок спортсмен сможет вернуться к полноценным нагрузкам.

Ответ: 21 день.

442 В первый день после болезни спортсмен мог выполнить $40\%$ своей обычной нормы тренировок. Через какое минимальное количество дней после болезни он сможет вернуться к полноценным нагрузкам, если врачи не рекомендовали ему за один день увеличивать нагрузки более чем на $3\%$ от его обычной нормы?

443 Стоимость еженедельного журнала в день выпуска составляет $S_0$ р. Каждый следующий день в течение недели его стоимость уменьшается на $p$ % от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость $S_k$ журнала через $k$ дней?

1) Составь формулу для решения задачи.

2) Реши задачу при $S_0 = 200$; $p = 2,5$; $k = 3$; 5; 6.

3) Заполни таблицу.

1) Составь формулу для решения задачи.

Пусть $S_0$ — первоначальная стоимость журнала, $p$ — процент, на который стоимость уменьшается каждый день, а $k$ — количество дней.

Ежедневное уменьшение стоимости в денежном выражении составляет $p\%$ от первоначальной стоимости $S_0$. Это можно вычислить как:

Сумма скидки за 1 день = $S_0 \cdot \frac{p}{100}$.

Так как стоимость уменьшается на эту величину каждый день, то за $k$ дней общее уменьшение стоимости составит:

Общее уменьшение за $k$ дней = $k \cdot S_0 \cdot \frac{p}{100}$.

Чтобы найти итоговую стоимость $S_k$ через $k$ дней, нужно из первоначальной стоимости вычесть общее уменьшение:

$S_k = S_0 - k \cdot S_0 \cdot \frac{p}{100}$.

Для удобства можно вынести $S_0$ за скобки:

$S_k = S_0 \left(1 - \frac{kp}{100}\right)$.

Ответ: $S_k = S_0 \left(1 - \frac{kp}{100}\right)$.

2) Реши задачу при S₀ = 200; p = 2,5; k = 3; 5; 6.

Используем выведенную формулу $S_k = S_0 \left(1 - \frac{kp}{100}\right)$ с заданными значениями.

• При $k = 3$:
  $S_3 = 200 \left(1 - \frac{3 \cdot 2.5}{100}\right) = 200 \left(1 - \frac{7.5}{100}\right) = 200 \cdot (1 - 0.075) = 200 \cdot 0.925 = 185$ р.
• При $k = 5$:
  $S_5 = 200 \left(1 - \frac{5 \cdot 2.5}{100}\right) = 200 \left(1 - \frac{12.5}{100}\right) = 200 \cdot (1 - 0.125) = 200 \cdot 0.875 = 175$ р.
• При $k = 6$:
  $S_6 = 200 \left(1 - \frac{6 \cdot 2.5}{100}\right) = 200 \left(1 - \frac{15}{100}\right) = 200 \cdot (1 - 0.15) = 200 \cdot 0.85 = 170$ р.

Ответ: при $k=3$ стоимость 185 р., при $k=5$ — 175 р., при $k=6$ — 170 р.

3) Заполни таблицу.

Для заполнения таблицы будем использовать основную формулу и выражать из нее неизвестные величины.

• Строка 1: Найти $k$.
  Дано: $S_0 = 250$, $S_k = 220$, $p = 4$.
  $220 = 250 \left(1 - \frac{k \cdot 4}{100}\right)$
  $\frac{220}{250} = 1 - \frac{4k}{100}$
  $0.88 = 1 - 0.04k$
  $0.04k = 1 - 0.88$
  $0.04k = 0.12$
  $k = \frac{0.12}{0.04} = 3$.
• Строка 2: Найти $p$.
  Дано: $S_0 = 250$, $S_k = 220$, $k = 6$.
  $220 = 250 \left(1 - \frac{6 \cdot p}{100}\right)$
  $\frac{220}{250} = 1 - \frac{6p}{100}$
  $0.88 = 1 - 0.06p$
  $0.06p = 1 - 0.88$
  $0.06p = 0.12$
  $p = \frac{0.12}{0.06} = 2$.
• Строка 3: Найти $S_0$.
  Дано: $S_k = 80$, $p = 5$, $k = 4$.
  $80 = S_0 \left(1 - \frac{4 \cdot 5}{100}\right)$
  $80 = S_0 \left(1 - \frac{20}{100}\right)$
  $80 = S_0 (1 - 0.2)$
  $80 = S_0 \cdot 0.8$
  $S_0 = \frac{80}{0.8} = 100$.
• Строка 4: Найти $S_k$.
  Дано: $S_0 = 300$, $p = 6$, $k = 5$.
  $S_k = 300 \left(1 - \frac{5 \cdot 6}{100}\right)$
  $S_k = 300 \left(1 - \frac{30}{100}\right)$
  $S_k = 300 (1 - 0.3)$
  $S_k = 300 \cdot 0.7 = 210$.

Заполненная таблица:

Ответ: Пропущенные значения в таблице по порядку: 3, 2, 100, 210.

443 Стоимость еженедельного журнала в день выпуска составляет $S_0$ рублей. Каждый следующий день в течение недели его стоимость уменьшается на $p\%$ от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость $S_k$ журнала через $k$ дней?

1) Составь формулу для решения задачи.

2) Реши задачу при $S_0 = 200; p = 2.5; k = 3; 5; 6$.

3) Заполни таблицу:

П 444

Игра «Отгадай слова»

Обозначим следующие буквы цифрами:

Д А Н К О Л В Е Т Р

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Требуется отгадать, какие слова кроются под номерами.

1) 019 5784 6401 3510 54031 273819 9137831

2) 401 9731 3709 8453 87249 815128 3728169

3) 3948 24931 64315 673849 1289138 0786491 61584921

Выигрывает тот, кто сделает это быстрее.

Для решения этой задачи необходимо сопоставить каждой цифре в числовых последовательностях соответствующую букву из приведенной таблицы. Таблица соответствия выглядит следующим образом:

• $0 \rightarrow Д$
• $1 \rightarrow А$
• $2 \rightarrow Н$
• $3 \rightarrow К$
• $4 \rightarrow О$
• $5 \rightarrow Л$
• $6 \rightarrow В$
• $7 \rightarrow Е$
• $8 \rightarrow Т$
• $9 \rightarrow Р$

1) Расшифровываем последовательности из первого пункта:

• $019 \rightarrow ДАР$
• $5784 \rightarrow ЛЕТО$
• $6401 \rightarrow ВОДА$
• $3510 \rightarrow КЛАД$
• $54031 \rightarrow ЛОДКА$
• $273819 \rightarrow НЕКТАР$
• $9137831 \rightarrow РАКЕТКА$

Ответ: ДАР, ЛЕТО, ВОДА, КЛАД, ЛОДКА, НЕКТАР, РАКЕТКА.

2) Расшифровываем последовательности из второго пункта:

• $401 \rightarrow ОДА$
• $9731 \rightarrow РЕКА$
• $3709 \rightarrow КЕДР$
• $8453 \rightarrow ТОЛК$
• $87249 \rightarrow ТЕНОР$
• $815128 \rightarrow ТАЛАНТ$
• $3728169 \rightarrow КЕНТАВР$

Ответ: ОДА, РЕКА, КЕДР, ТОЛК, ТЕНОР, ТАЛАНТ, КЕНТАВР.

3) Расшифровываем последовательности из третьего пункта:

• $3948 \rightarrow КРОТ$
• $24931 \rightarrow НОРКА$
• $64315 \rightarrow ВОКАЛ$
• $673849 \rightarrow ВЕКТОР$
• $1289138 \rightarrow АНТРАКТ$
• $0786491 \rightarrow ДЕТВОРА$
• $61584921 \rightarrow ВАЛТОРНА$

Ответ: КРОТ, НОРКА, ВОКАЛ, ВЕКТОР, АНТРАКТ, ДЕТВОРА, ВАЛТОРНА.

Π 444 Игра "Отгадай слова".

Обозначим следующие буквы цифрами:

Д А Н К О Л И Б Е Т Р

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Требуется отгадать, какие слова кроются под номерами:

1) 019 5784 6401 3510 54031 273819 9137831

2) 401 9731 3709 8453 87249 815128 3728169

3) 3948 24931 64315 673849 1289138 0786491 61584921

Выигрывает тот, кто сделает это быстрее.

445 Вычисли, найди закономерность в ряду чисел, образованных ответами примеров, и продолжи ряд на два числа:

1) $1,5 \cdot \frac{1}{3}$;

2) $2 \frac{7}{30} - 0,9$;

3) $0,25 \cdot 18,4$;

4) $125,4 : 60$;

$0,14 : 0,25$;

$1 \frac{1}{15} + 1 \frac{1}{3}$;

$10,3 : 2$;

$11,396 : 2 \frac{4}{5}$;

$56,7 \cdot 0,01$.

$6 : 1,75$.

$\frac{1}{8} \cdot 45,6$.

$48,622 : 6 \frac{1}{25}$.

Для решения задачи сначала вычислим значения всех выражений, а затем проанализируем последовательность полученных ответов.

Вычисления

1) $1,5 \cdot \frac{1}{3}$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Выполним умножение: $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5

2) $2\frac{7}{30} - 0,9$

Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби: $2\frac{7}{30} = \frac{67}{30}$, $0,9 = \frac{9}{10}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 30 и выполним вычитание: $\frac{67}{30} - \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{67}{30} - \frac{27}{30} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

3) $0,25 \cdot 18,4$

Умножение на 0,25 эквивалентно делению на 4: $18,4 : 4 = 4,6$.

Ответ: 4,6

4) $125,4 : 60$

Выполним деление: $125,4 : 60 = 12,54 : 6 = 2,09$.

Ответ: 2,09

$0,14 : 0,25$

Деление на 0,25 эквивалентно умножению на 4: $0,14 \cdot 4 = 0,56$.

Ответ: 0,56

$1\frac{1}{15} + 1\frac{1}{3}$

Приведем дробные части к общему знаменателю 15: $1\frac{1}{3} = 1\frac{5}{15}$.

Сложим смешанные числа: $1\frac{1}{15} + 1\frac{5}{15} = 2\frac{6}{15} = 2\frac{2}{5} = 2,4$.

Ответ: 2,4

$10,3 : 2$

Выполним деление: $10,3 : 2 = 5,15$.

Ответ: 5,15

$11,396 : 2\frac{4}{5}$

Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $2\frac{4}{5} = 2,8$.

Выполним деление: $11,396 : 2,8 = 113,96 : 28 = 4,07$.

Ответ: 4,07

$56,7 \cdot 0,01$

Умножение на 0,01 сдвигает десятичную запятую на два знака влево: $56,7 \cdot 0,01 = 0,567$.

Ответ: 0,567

$6 : 1,75$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $1,75 = 1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

Выполним деление: $6 : \frac{7}{4} = 6 \cdot \frac{4}{7} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $\frac{24}{7}$

$\frac{1}{8} \cdot 45,6$

Умножение на $\frac{1}{8}$ эквивалентно делению на 8: $45,6 : 8 = 5,7$.

Ответ: 5,7

$48,622 : 6\frac{1}{25}$

Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $6\frac{1}{25} = 6,04$.

Выполним деление: $48,622 : 6,04 = 4862,2 : 604 = 8,05$.

Ответ: 8,05

Поиск закономерности и продолжение ряда

Полученные ответы образуют ряд чисел. Закономерность прослеживается в числах, расположенных в каждом столбце.

Первый столбец: 0,5; 0,56; 0,567. Каждый следующий член получается добавлением новой цифры в конец, которая на единицу больше предыдущей последней цифры. Следующий член: 0,5678.

Второй столбец: $\frac{4}{3}$; 2,4; $\frac{24}{7}$. Представим все члены в виде обыкновенных дробей: $\frac{4}{3}$; $\frac{12}{5}$; $\frac{24}{7}$. Знаменатели (3, 5, 7) образуют арифметическую прогрессию с шагом 2, следующий будет 9. Числители (4, 12, 24) образуют последовательность, где разность между членами увеличивается на 4 ($12-4=8$; $24-12=12$; следующая разность будет $12+4=16$). Следующий числитель: $24+16=40$. Следующий член: $\frac{40}{9}$.

Третий столбец: 4,6; 5,15; 5,7. Это арифметическая прогрессия с разностью $0,55$ ($5,15-4,6=0,55$; $5,7-5,15=0,55$).

Четвертый столбец: 2,09; 4,07; 8,05. Разность между членами: $4,07-2,09=1,98$; $8,05-4,07=3,98$. Разности близки к $2\cdot(1-0,01)$ и $4\cdot(1-0,01)$.

Чтобы продолжить общий ряд на два числа, нужно найти следующие члены для последовательностей из первого и второго столбцов.

1. Следующее число для первого столбца: 0,5678.

2. Следующее число для второго столбца: $\frac{40}{9}$.

Ответ: Ряд можно продолжить числами 0,5678 и $\frac{40}{9}$.

445 Вычисли, найди закономерность в ряду чисел, образованных ответами примеров, и продолжи ряд на два числа:

1) $1.5 \cdot \frac{1}{3};$

$0.14 : 0.25;$

$56.7 \cdot 0.01;$

2) $2\frac{7}{30} - 0.9;$

$1\frac{1}{15} + 1\frac{1}{3};$

$6 : 1.75;$

3) $0.25 \cdot 18.4;$

$10.3 : 2;$

$\frac{1}{8} \cdot 45.6;$

4) $125.4 : 60;$

$11.396 : 2\frac{4}{5};$

$48.622 : 6\frac{1}{25}.$

446 а) Сколько процентов от числа $a$ составляют: $0,14a$; $0,06a$; $0,45a$; $0,003a$; $1,05a$; $2,8a$?

б) На сколько процентов каждое из чисел: $0,02b$; $0,12b$; $0,34b$; $0,25b$; $0,56b$; $0,89b$ меньше, чем $b$?

в) На сколько процентов каждое из чисел: $1,2c$; $1,48c$; $1,5c$; $2c$; $3,85c$; $4,6c$ больше, чем $c$?

а) Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе и умножить результат на 100%. В данном случае, чтобы найти процент от числа $a$, мы делим каждое из данных выражений на $a$ и умножаем на 100%.

Для $0,14a$:
$\frac{0,14a}{a} \cdot 100\% = 0,14 \cdot 100\% = 14\%$.
Ответ: 14%.

Для $0,06a$:
$\frac{0,06a}{a} \cdot 100\% = 0,06 \cdot 100\% = 6\%$.
Ответ: 6%.

Для $0,45a$:
$\frac{0,45a}{a} \cdot 100\% = 0,45 \cdot 100\% = 45\%$.
Ответ: 45%.

Для $0,003a$:
$\frac{0,003a}{a} \cdot 100\% = 0,003 \cdot 100\% = 0,3\%$.
Ответ: 0,3%.

Для $1,05a$:
$\frac{1,05a}{a} \cdot 100\% = 1,05 \cdot 100\% = 105\%$.
Ответ: 105%.

Для $2,8a$:
$\frac{2,8a}{a} \cdot 100\% = 2,8 \cdot 100\% = 280\%$.
Ответ: 280%.

б) Чтобы найти, на сколько процентов одно число меньше другого (базового), нужно из 100% вычесть процент, который составляет меньшее число от базового. Базовым числом является $b$. Формула: $(1 - \frac{\text{меньшее число}}{\text{базовое число}}) \cdot 100\%$.

Для $0,02b$:
Число меньше на $100\% - (\frac{0,02b}{b} \cdot 100\%) = 100\% - 2\% = 98\%$.
Ответ: на 98%.

Для $0,12b$:
Число меньше на $100\% - (\frac{0,12b}{b} \cdot 100\%) = 100\% - 12\% = 88\%$.
Ответ: на 88%.

Для $0,34b$:
Число меньше на $100\% - (\frac{0,34b}{b} \cdot 100\%) = 100\% - 34\% = 66\%$.
Ответ: на 66%.

Для $0,25b$:
Число меньше на $100\% - (\frac{0,25b}{b} \cdot 100\%) = 100\% - 25\% = 75\%$.
Ответ: на 75%.

Для $0,56b$:
Число меньше на $100\% - (\frac{0,56b}{b} \cdot 100\%) = 100\% - 56\% = 44\%$.
Ответ: на 44%.

Для $0,89b$:
Число меньше на $100\% - (\frac{0,89b}{b} \cdot 100\%) = 100\% - 89\% = 11\%$.
Ответ: на 11%.

в) Чтобы найти, на сколько процентов одно число больше другого (базового), нужно из процента, который составляет большее число от базового, вычесть 100%. Базовым числом является $c$. Формула: $(\frac{\text{большее число}}{\text{базовое число}} - 1) \cdot 100\%$.

Для $1,2c$:
Число больше на $(\frac{1,2c}{c} \cdot 100\%) - 100\% = 120\% - 100\% = 20\%$.
Ответ: на 20%.

Для $1,48c$:
Число больше на $(\frac{1,48c}{c} \cdot 100\%) - 100\% = 148\% - 100\% = 48\%$.
Ответ: на 48%.

Для $1,5c$:
Число больше на $(\frac{1,5c}{c} \cdot 100\%) - 100\% = 150\% - 100\% = 50\%$.
Ответ: на 50%.

Для $2c$:
Число больше на $(\frac{2c}{c} \cdot 100\%) - 100\% = 200\% - 100\% = 100\%$.
Ответ: на 100%.

Для $3,85c$:
Число больше на $(\frac{3,85c}{c} \cdot 100\%) - 100\% = 385\% - 100\% = 285\%$.
Ответ: на 285%.

Для $4,6c$:
Число больше на $(\frac{4,6c}{c} \cdot 100\%) - 100\% = 460\% - 100\% = 360\%$.
Ответ: на 360%.

446 а) Сколько процентов от числа $a$ составляют: $0.14a$; $0.06a$; $0.45a$; $0.003a$; $1.05a$; $2.8a$?

б) На сколько процентов каждое из чисел: $0.02b$; $0.12b$; $0.34b$; $0.25b$; $0.56b$; $0.89b$ меньше, чем $b$?

в) На сколько процентов каждое из чисел: $1.2c$; $1.48c$; $1.5c$; $2c$; $3.85c$; $4.6c$ больше, чем $c$?

457 В прямоугольнике $ABCD$ точки $M$ и $N$ делят сторону $AB$ в отношении 2 : 1 : 3, считая от вершины $A$.

Известно, что $AB = 24$ см, $AD = 15$ см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки $MD$ и $NC$ делят прямоугольник $ABCD$?

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD на три фигуры: треугольник AMD, трапецию MNCD и треугольник NBC. Найдем площади каждой из этих фигур, чтобы определить их отношение.

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки MD и NC делят прямоугольник ABCD?

Сначала найдем длины отрезков AM, MN и NB. По условию, точки M и N делят сторону AB в отношении $2 : 1 : 3$. Это означает, что вся сторона AB разделена на $2 + 1 + 3 = 6$ равных частей. Длина стороны AB равна 24 см. Следовательно, длина одной части составляет $24 / 6 = 4$ см. Теперь можем найти длины отрезков: $AM = 2 \cdot 4 = 8$ см. $MN = 1 \cdot 4 = 4$ см. $NB = 3 \cdot 4 = 12$ см. Для проверки сложим их длины: $8 + 4 + 12 = 24$ см, что соответствует длине AB.

Далее вычислим площади получившихся фигур. Высотой для всех трех фигур является сторона AD (или BC), длина которой равна 15 см.

Площадь прямоугольного треугольника AMD ($S_{AMD}$) вычисляется по формуле: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$ см².

Фигура MNCD является трапецией, так как MN параллельна DC (поскольку AB || DC). Основания трапеции — MN и DC, а высота — AD. Длина DC равна длине AB, то есть 24 см. Площадь трапеции ($S_{MNCD}$): $S_{MNCD} = \frac{MN + DC}{2} \cdot AD = \frac{4 + 24}{2} \cdot 15 = \frac{28}{2} \cdot 15 = 14 \cdot 15 = 210$ см².

Площадь прямоугольного треугольника NBC ($S_{NBC}$) вычисляется по формуле: $S_{NBC} = \frac{1}{2} \cdot NB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 6 \cdot 15 = 90$ см².

Теперь найдем отношение этих площадей: $S_{AMD} : S_{MNCD} : S_{NBC}$. $60 : 210 : 90$. Чтобы упростить это отношение, разделим все его члены на их наибольший общий делитель. Сначала разделим на 10: $6 : 21 : 9$. Затем разделим на 3: $2 : 7 : 3$.

Ответ: Отношение площадей фигур равно $2 : 7 : 3$.

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Чтобы определить лишние данные, решим задачу в общем виде. Пусть длина стороны AB равна $L$, а длина AD равна $H$. Из условия, что AB делится в отношении $2:1:3$, получаем: $AM = \frac{2}{6} L = \frac{1}{3} L$; $MN = \frac{1}{6} L$; $NB = \frac{3}{6} L = \frac{1}{2} L$.

Выразим площади фигур через $L$ и $H$: $S_{AMD} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} L) \cdot H = \frac{1}{6} LH$. $S_{MNCD} = \frac{MN + DC}{2} \cdot AD = \frac{\frac{1}{6} L + L}{2} \cdot H = \frac{\frac{7}{6} L}{2} \cdot H = \frac{7}{12} LH$. $S_{NBC} = \frac{1}{2} \cdot NB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} L) \cdot H = \frac{1}{4} LH$.

Найдем отношение этих площадей: $S_{AMD} : S_{MNCD} : S_{NBC} = \frac{1}{6} LH : \frac{7}{12} LH : \frac{1}{4} LH$. Мы можем сократить общий множитель $LH$: $\frac{1}{6} : \frac{7}{12} : \frac{1}{4}$. Приведя дроби к общему знаменателю 12, получим: $\frac{2}{12} : \frac{7}{12} : \frac{3}{12}$, что эквивалентно отношению $2 : 7 : 3$.

Этот результат совпадает с тем, что мы получили, используя конкретные размеры. Это доказывает, что отношение площадей зависит только от пропорции, в которой разделена сторона AB, а не от конкретных длин сторон прямоугольника. Следовательно, данные о длинах сторон $AB = 24$ см и $AD = 15$ см являются избыточными для нахождения отношения.

Ответ: Лишние данные — $AB = 24$ см и $AD = 15$ см.

457 В прямоугольнике $ABCD$ точки $M$ и $N$ делят сторону $AB$ в отношении $2 : 1 : 3$, считая от вершины $A$. Известно, что $AB = 24$ см, $AD = 15$ см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезки $MD$ и $NC$ делят прямоугольник $ABCD$? Найди лишние данные в условии этой задачи.

458 Найди неизвестный член пропорции:

а) $\frac{a}{15} = \frac{6}{25}$;

б) $\frac{8}{50} = \frac{1,6}{b}$;

в) $\frac{4,8}{7} = \frac{c}{35}$;

г) $\frac{1,2}{d} = \frac{0,04}{0,1}$.

а) Дана пропорция $\frac{a}{15} = \frac{6}{25}$. Чтобы найти неизвестный член пропорции, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов. Запишем это в виде уравнения: $a \cdot 25 = 15 \cdot 6$. Выполним умножение в правой части: $15 \cdot 6 = 90$. Получаем уравнение $25a = 90$. Теперь найдем $a$, разделив обе части на 25: $a = \frac{90}{25}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $a = \frac{18}{5}$. Переведем неправильную дробь в десятичную: $a = 3,6$.Ответ: $3,6$.

б) Дана пропорция $\frac{8}{50} = \frac{1,6}{b}$. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних: $8 \cdot b = 50 \cdot 1,6$. Выполним умножение в правой части: $50 \cdot 1,6 = 80$. Получаем уравнение $8b = 80$. Чтобы найти $b$, разделим 80 на 8: $b = \frac{80}{8} = 10$.Ответ: $10$.

в) Дана пропорция $\frac{4,8}{7} = \frac{c}{35}$. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних: $4,8 \cdot 35 = 7 \cdot c$. Вычислим произведение в левой части: $4,8 \cdot 35 = 168$. Получаем уравнение $7c = 168$. Чтобы найти $c$, разделим 168 на 7: $c = \frac{168}{7} = 24$.Ответ: $24$.

г) Дана пропорция $\frac{1,2}{d} = \frac{0,04}{0,1}$. Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних: $1,2 \cdot 0,1 = d \cdot 0,04$. Вычислим произведение в левой части: $1,2 \cdot 0,1 = 0,12$. Получаем уравнение $0,04d = 0,12$. Чтобы найти $d$, разделим 0,12 на 0,04: $d = \frac{0,12}{0,04}$. Чтобы избавиться от десятичных дробей в делителе, умножим числитель и знаменатель на 100: $d = \frac{0,12 \cdot 100}{0,04 \cdot 100} = \frac{12}{4} = 3$.Ответ: $3$.

458 Найди неизвестный член пропорции:

a) $ \frac{a}{15} = \frac{6}{25} $;

б) $ \frac{8}{50} = \frac{1,6}{b} $;

в) $ \frac{4,8}{7} = \frac{c}{35} $;

г) $ \frac{1,2}{d} = \frac{0,04}{0,1} $.

459 Реши уравнения:

а) $ \frac{3x}{x+8} = \frac{5}{7} $;

б) $ \frac{y-4}{2y} = \frac{3}{8} $;

в) $ \frac{26}{3z} = \frac{7}{z-2} $;

г) $ \frac{3m+4}{0,8} = \frac{2m}{0,5} $.

а) Данное уравнение является пропорцией: $\frac{3x}{x+8} = \frac{5}{7}$. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+8 \neq 0$, следовательно, $x \neq -8$.
Теперь решим уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$7 \cdot (3x) = 5 \cdot (x+8)$
$21x = 5x + 40$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:
$21x - 5x = 40$
$16x = 40$
$x = \frac{40}{16}$
Сократим дробь на 8:
$x = \frac{5}{2} = 2.5$
Полученное значение $x=2.5$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $2.5$.

б) Дано уравнение: $\frac{y-4}{2y} = \frac{3}{8}$. ОДЗ: $2y \neq 0$, следовательно, $y \neq 0$.
Применим основное свойство пропорции:
$8 \cdot (y-4) = 3 \cdot (2y)$
$8y - 32 = 6y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$8y - 6y = 32$
$2y = 32$
$y = \frac{32}{2}$
$y = 16$
Полученное значение $y=16$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $16$.

в) Дано уравнение: $\frac{26}{3z} = \frac{7}{z-2}$. ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $3z \neq 0$ и $z-2 \neq 0$. Отсюда следует, что $z \neq 0$ и $z \neq 2$.
Применим основное свойство пропорции:
$26 \cdot (z-2) = 7 \cdot (3z)$
$26z - 52 = 21z$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а числа — в правую:
$26z - 21z = 52$
$5z = 52$
$z = \frac{52}{5}$
$z = 10.4$
Полученное значение $z=10.4$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $10.4$.

г) Дано уравнение: $\frac{3m+4}{0.8} = \frac{2m}{0.5}$. Знаменатели являются константами, не равными нулю, поэтому уравнение определено для любых значений $m$.
Применим основное свойство пропорции:
$0.5 \cdot (3m+4) = 0.8 \cdot (2m)$
$1.5m + 2 = 1.6m$
Перенесем слагаемые с переменной $m$ в правую часть:
$2 = 1.6m - 1.5m$
$2 = 0.1m$
Найдем $m$:
$m = \frac{2}{0.1}$
$m = 20$
Ответ: $20$.

459 Реши уравнения:

а) $\frac{3x}{x+8} = \frac{5}{7}$;

б) $\frac{y-4}{2y} = \frac{3}{8}$;

в) $\frac{26}{3z} = \frac{7}{z-2}$;

г) $\frac{3m+4}{0,8} = \frac{2m}{0,5}$.

460 1) Знаменатель дроби на 20 % больше её числителя. Если числитель дроби увеличить на 4, а знаменатель увеличить в 3 раза, то дробь обратится в $\frac{1}{2}$. Чему равен знаменатель дроби?

2) Отношение трёх чисел равно 2,4 : 0,8 : 0,64, а четвёртое число составляет 25 % третьего. Чему равно среднее арифметическое этих чисел, если сумма первых двух равна 8?

1)

Пусть числитель дроби равен $x$. По условию, знаменатель на 20% больше числителя. Это означает, что знаменатель равен $x + 0,2x = 1,2x$.
Исходная дробь имеет вид $\frac{x}{1,2x}$.
Если числитель дроби увеличить на 4, он станет равен $x+4$.
Если знаменатель увеличить в 3 раза, он станет равен $1,2x \cdot 3 = 3,6x$.
Новая дробь будет равна $\frac{x+4}{3,6x}$. По условию, эта новая дробь обращается в $\frac{1}{2}$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{x+4}{3,6x} = \frac{1}{2}$
Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot (x+4) = 1 \cdot 3,6x$
$2x + 8 = 3,6x$
$8 = 3,6x - 2x$
$8 = 1,6x$
$x = \frac{8}{1,6} = \frac{80}{16} = 5$
Мы нашли числитель исходной дроби, он равен 5.
Теперь найдем знаменатель исходной дроби, который равен $1,2x$:
$1,2 \cdot 5 = 6$.

Ответ: 6.

2)

Пусть первые три числа равны $a_1, a_2$ и $a_3$. Их отношение равно $2,4 : 0,8 : 0,64$.
Это означает, что числа можно представить в виде $a_1 = 2,4k$, $a_2 = 0,8k$ и $a_3 = 0,64k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
По условию, сумма первых двух чисел равна 8:
$a_1 + a_2 = 8$
$2,4k + 0,8k = 8$
$3,2k = 8$
$k = \frac{8}{3,2} = \frac{80}{32} = 2,5$
Теперь, зная коэффициент $k$, найдем первые три числа:
$a_1 = 2,4 \cdot 2,5 = 6$
$a_2 = 0,8 \cdot 2,5 = 2$
$a_3 = 0,64 \cdot 2,5 = 1,6$
Пусть четвертое число равно $a_4$. По условию, оно составляет 25% от третьего числа. 25% это 0,25 или $\frac{1}{4}$.
$a_4 = 0,25 \cdot a_3 = 0,25 \cdot 1,6 = 0,4$.
Итак, мы имеем четыре числа: 6; 2; 1,6; 0,4.
Найдем их среднее арифметическое. Для этого нужно сложить все числа и разделить сумму на их количество (4).
Среднее арифметическое = $\frac{6 + 2 + 1,6 + 0,4}{4} = \frac{8 + 2}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$.

Ответ: 2,5.

460 1) Знаменатель дроби на 20% больше ее числителя. Если числитель дроби увеличить на 4, а знаменатель увеличить в 3 раза, то дробь обратится в $\frac{1}{2}$. Чему равен знаменатель дроби?

2) Отношение трех чисел равно $2,4 : 0,8 : 0,64$, а четвертое число составляет 25% третьего. Чему равно среднее арифметическое этих чисел, если сумма первых двух равна 8?

461 Сумма четырёх чисел равна 200. Первое число составляет 24 % всей суммы и $ \frac{2}{3} $ второго числа, а третье и четвёртое относятся как $ \frac{3}{29} : \frac{1}{29} $. Найди эти числа. Какую часть четвёртое число составляет от среднего арифметического первых трёх чисел? Вырази эту часть в процентах.

Обозначим четыре числа как $n_1, n_2, n_3$ и $n_4$. По условию задачи их общая сумма равна 200. $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 200$

Найди эти числа.

1. Первое число ($n_1$) составляет 24% от всей суммы. Найдём его: $n_1 = 200 \cdot \frac{24}{100} = 2 \cdot 24 = 48$

2. Первое число ($n_1$) составляет $\frac{2}{3}$ второго числа ($n_2$). Найдём второе число: $48 = \frac{2}{3} \cdot n_2$ $n_2 = 48 \div \frac{2}{3} = 48 \cdot \frac{3}{2} = 24 \cdot 3 = 72$

3. Теперь найдём сумму третьего ($n_3$) и четвёртого ($n_4$) чисел: $n_3 + n_4 = 200 - (n_1 + n_2) = 200 - (48 + 72) = 200 - 120 = 80$

4. Третье и четвёртое числа относятся как $\frac{3}{29} : \frac{1}{29}$. Упростим это отношение, умножив обе части на 29: $\frac{3}{29} \cdot 29 : \frac{1}{29} \cdot 29 \implies 3 : 1$ Это означает, что на $n_3$ приходится 3 части, а на $n_4$ — 1 часть. Всего частей: $3 + 1 = 4$. Сумма этих двух чисел равна 80. Найдём значение одной части: $80 \div 4 = 20$ Теперь можем найти сами числа: Третье число: $n_3 = 3 \cdot 20 = 60$ Четвёртое число: $n_4 = 1 \cdot 20 = 20$

Ответ: Искомые числа: 48, 72, 60 и 20.

Какую часть четвёртое число составляет от среднего арифметического первых трёх чисел? Вырази эту часть в процентах.

1. Сначала найдём среднее арифметическое первых трёх чисел (48, 72, 60): $\frac{48 + 72 + 60}{3} = \frac{180}{3} = 60$

2. Теперь определим, какую часть четвёртое число (20) составляет от найденного среднего арифметического (60): $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$

3. Выразим полученную часть в процентах: $\frac{1}{3} \cdot 100\% = \frac{100}{3}\% = 33\frac{1}{3}\%$

Ответ: Четвёртое число составляет $\frac{1}{3}$ от среднего арифметического первых трёх чисел, что равно $33\frac{1}{3}\%$.

461 Сумма четырех чисел равна 200. Первое число составляет 24% всей суммы и $ \frac{2}{3} $ второго числа, а третье и четвертое относятся как $ \frac{3}{29} : \frac{1}{29} $. Найди эти числа. Какую часть четвертое число составляет от среднего арифметического первых трех чисел? Вырази эту часть в процентах.

462 Найди процентное отношение чисел А и В:

A $4,928 : 0,16 - 0,16 \cdot (52,1 \cdot 1\frac{7}{16} + 47,9 \cdot 1\frac{7}{16});$

B $\frac{2,4 \cdot 3\frac{1}{9} \cdot 0,34 \cdot 2\frac{1}{2} \cdot 1,5}{0,16 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2,8 \cdot 2\frac{5}{6} \cdot 0,45}.$

Для нахождения процентного отношения чисел А и В, сначала необходимо вычислить значения каждого из этих чисел.

A

Вычислим значение выражения А, выполняя действия в правильном порядке:

$A = 4,928 : 0,16 - 0,16 \cdot (52,1 \cdot 1\frac{7}{16} + 47,9 \cdot 1\frac{7}{16})$

1. Сначала упростим выражение в скобках. Используем распределительный закон, вынеся общий множитель $1\frac{7}{16}$ за скобки:

$(52,1 + 47,9) \cdot 1\frac{7}{16} = 100 \cdot \frac{16 \cdot 1 + 7}{16} = 100 \cdot \frac{23}{16} = \frac{2300}{16} = \frac{575}{4} = 143,75$

2. Далее выполним умножение:

$0,16 \cdot 143,75 = \frac{16}{100} \cdot \frac{575}{4} = \frac{4 \cdot 575}{100} = \frac{2300}{100} = 23$

3. Выполним деление в левой части выражения:

$4,928 : 0,16 = 492,8 : 16 = 30,8$

4. Наконец, выполним вычитание, чтобы найти значение А:

$A = 30,8 - 23 = 7,8$

Ответ: $A = 7,8$.

B

Вычислим значение выражения B:

$B = \frac{2,4 \cdot 3\frac{1}{9} \cdot 0,34 \cdot 2\frac{1}{2} \cdot 1,5}{0,16 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2,8 \cdot 2\frac{5}{6} \cdot 0,45}$

Эту дробь можно представить как произведение частных соответствующих множителей числителя и знаменателя:

$B = \frac{2,4}{0,16} \cdot \frac{3\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} \cdot \frac{0,34}{2\frac{5}{6}} \cdot \frac{2\frac{1}{2}}{2,8} \cdot \frac{1,5}{0,45}$

Вычислим значение каждого отношения отдельно:

1. $\frac{2,4}{0,16} = \frac{240}{16} = 15$

2. $\frac{3\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{28}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{28}{9} \cdot 3 = \frac{28}{3}$

3. $\frac{0,34}{2\frac{5}{6}} = \frac{\frac{34}{100}}{\frac{17}{6}} = \frac{34}{100} \cdot \frac{6}{17} = \frac{2 \cdot 17}{100} \cdot \frac{6}{17} = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$

4. $\frac{2\frac{1}{2}}{2,8} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{28}{10}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{10}{28} = \frac{50}{56} = \frac{25}{28}$

5. $\frac{1,5}{0,45} = \frac{150}{45} = \frac{10}{3}$

Теперь перемножим полученные результаты:

$B = 15 \cdot \frac{28}{3} \cdot \frac{3}{25} \cdot \frac{25}{28} \cdot \frac{10}{3}$

Проведем сокращения: $28$ сокращается с $28$, $3$ с $3$, $25$ с $25$.

$B = 15 \cdot \frac{10}{3} = \frac{15 \cdot 10}{3} = 5 \cdot 10 = 50$

Ответ: $B = 50$.

Теперь, зная значения А и В, найдем их процентное отношение. Для этого нужно определить, сколько процентов составляет число А от числа В, по формуле: $\frac{A}{B} \cdot 100\%$

Подставим найденные значения $A = 7,8$ и $B = 50$ в формулу:

$\frac{7,8}{50} \cdot 100\% = 7,8 \cdot (\frac{100}{50})\% = 7,8 \cdot 2\% = 15,6\%$

Ответ: процентное отношение чисел А и В составляет $15,6\%$.

462 Найди процентное отношение чисел A и B:

A $4,928 : 0,16 - 0,16 \cdot (52,1 \cdot 1\frac{7}{16} + 47,9 \cdot 1\frac{7}{16});$

B $\frac{2,4 \cdot 3\frac{1}{9} \cdot 0,34 \cdot 2\frac{1}{2} \cdot 1,5}{0,16 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2,8 \cdot 2\frac{5}{6} \cdot 0,45}.$

D 463

Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел, найди сумму.

a) $ (-36) + (-9) $

б) $ (-5,8) + 0 $

в) $ (-8) + (+11) $

г) $ (-21) + (+16) $

$ (-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{6}) $

$ (+\frac{1}{2}) + (-0,5) $

$ (+4,2) + (-\frac{3}{5}) $

$ (+\frac{5}{9}) + (-2\frac{1}{3}) $

$ (-0,7) + (-0,5) $

$ 0 + (-4,3) $

$ (-3) + (+1,6) $

$ (-5,2) + (+4,7) $

а)

$(-36) + (-9) = -(36 + 9) = -45$
Ответ: $-45$

$(-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{6}) = -(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}) = -(\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}) = -(\frac{4}{6} + \frac{1}{6}) = -\frac{5}{6}$
Ответ: $-\frac{5}{6}$

$(-0,7) + (-0,5) = -(0,7 + 0,5) = -1,2$
Ответ: $-1,2$

б)

$(-5,8) + 0 = -5,8$
Ответ: $-5,8$

$(+\frac{1}{2}) + (-0,5) = 0,5 + (-0,5) = 0$
Ответ: $0$

$0 + (-4,3) = -4,3$
Ответ: $-4,3$

в)

$(-8) + (+11) = 11 - 8 = 3$
Ответ: $3$

$(+4,2) + (-\frac{3}{5}) = 4,2 - 0,6 = 3,6$
Ответ: $3,6$

$(-3) + (+1,6) = -(3 - 1,6) = -1,4$
Ответ: $-1,4$

г)

$(-21) + (+16) = -(21 - 16) = -5$
Ответ: $-5$

$(+\frac{5}{9}) + (-2\frac{1}{3}) = \frac{5}{9} - \frac{7}{3} = \frac{5}{9} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9} - \frac{21}{9} = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9}$
Ответ: $-1\frac{7}{9}$

$(-5,2) + (+4,7) = -(5,2 - 4,7) = -0,5$
Ответ: $-0,5$

463 Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел, найди сумму:

а) $ (-36) + (-9) $б) $ (-5,8) + 0 $в) $ (-8) + (+11) $г) $ (-21) + (+16) $

$ (-\frac{2}{3}) + (-\frac{1}{6}) $$ (+\frac{1}{2}) + (-0,5) $$ (+4,2) + (-\frac{3}{5}) $$ (+\frac{5}{9}) + (-2\frac{1}{3}) $

$ (-0,7) + (-0,5) $$ 0 + (-4,3) $$ (-3) + (+1,6) $$ (-5,2) + (+4,7) $

443 Находясь в пункте $A$ на дороге, Таня увидела своего младшего брата, который появился на дороге в пункте $B$. Вместо того чтобы пойти навстречу сестре, он направился в противоположную сторону, а Таня побежала за ним. Сколько минут продолжалась «погоня», если расстояние от $A$ до $B$ Таня преодолела за 3 мин, а скорость брата на 60 % меньше, чем у неё?

Для решения этой задачи введем переменные и установим взаимосвязи между ними.

Пусть $v_Т$ — скорость Тани, а $v_Б$ — скорость её младшего брата.

Пусть $S_{AB}$ — расстояние между пунктами А и В.

1. Найдем соотношение скоростей.

По условию задачи, скорость брата на 60% меньше, чем у Тани. Это означает, что скорость брата составляет $100\% - 60\% = 40\%$ от скорости Тани. Выразим это математически:

$v_Б = v_Т - 0.6 \cdot v_Т = 0.4 \cdot v_Т$

2. Выразим расстояние $S_{AB}$ через скорость Тани.

Известно, что Таня преодолевает расстояние от А до В за 3 минуты. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, получаем:

$S_{AB} = v_Т \cdot 3 \text{ мин}$

3. Решим задачу на погоню.

В момент начала погони Таня находится в пункте А, а брат — в пункте В. Брат убегает от Тани в противоположную от нее сторону. Таким образом, это задача на движение вдогонку, где первоначальное расстояние между ними равно $S_{AB}$.

Скорость, с которой Таня догоняет брата, называется скоростью сближения ($v_{сближения}$) и равна разности их скоростей, так как они движутся в одном направлении:

$v_{сближения} = v_Т - v_Б$

Подставим в эту формулу соотношение скоростей из первого пункта:

$v_{сближения} = v_Т - 0.4 \cdot v_Т = 0.6 \cdot v_Т$

Время, за которое Таня догонит брата ($t_{погони}$), равно первоначальному расстоянию, деленному на скорость сближения:

$t_{погони} = \frac{S_{AB}}{v_{сближения}}$

Теперь подставим в эту формулу выражения для $S_{AB}$ и $v_{сближения}$:

$t_{погони} = \frac{v_Т \cdot 3}{0.6 \cdot v_Т}$

Переменная $v_Т$ (скорость Тани) сокращается, и мы можем вычислить время:

$t_{погони} = \frac{3}{0.6} = 5$ минут.

Ответ: 5 минут.

443 Находясь в пункте $A$ на дороге, Таня увидела своего младшего брата, который появился на дороге в пункте $B$. Вместо того, чтобы пойти на- встречу сестре, он направился в противополож- ную сторону, а Таня побежала за ним. Сколько минут продолжалась «погоня», если расстояние от $A$ до $B$ Таня преодолела за 3 мин, а скорость брата на 60% меньше, чем у нее?

444 Плот и яхта плывут по реке навстречу друг другу. В 15 ч 30 мин расстояние между ними было 90 км, а в 16 ч 10 мин оно сократилось до 70 км. Чему равна собственная скорость яхты?

Для решения этой задачи необходимо найти скорость сближения плота и яхты. Скорость сближения — это скорость, с которой уменьшается расстояние между движущимися объектами.

Сначала определим, за какой промежуток времени расстояние между плотом и яхтой сократилось.Время движения: с 15 ч 30 мин до 16 ч 10 мин.$t = 16 \text{ ч } 10 \text{ мин} - 15 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 40 \text{ мин}$Переведем время в часы для удобства расчетов:$t = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$

Теперь найдем, на какое расстояние они сблизились за это время.Изначальное расстояние: $S_1 = 90$ км.Конечное расстояние: $S_2 = 70$ км.Пройденное расстояние: $S = S_1 - S_2 = 90 - 70 = 20 \text{ км}$.

Зная расстояние и время, можем вычислить скорость сближения ($V_{сбл}$):$V_{сбл} = \frac{S}{t} = \frac{20 \text{ км}}{\frac{2}{3} \text{ ч}} = 20 \cdot \frac{3}{2} = 30 \text{ км/ч}$.

Теперь разберемся, из чего складывается скорость сближения. Плот движется со скоростью течения реки ($V_{теч}$). Яхта движется ему навстречу, значит, она идет против течения. Ее скорость относительно берега равна разности ее собственной скорости ($V_{собств}$) и скорости течения: $V_{яхты} = V_{собств} - V_{теч}$.Скорость их сближения равна сумме их скоростей:$V_{сбл} = V_{плота} + V_{яхты} = V_{теч} + (V_{собств} - V_{теч}) = V_{собств}$.

Таким образом, скорость сближения плота и яхты в данном случае равна собственной скорости яхты.Следовательно, собственная скорость яхты составляет 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

444 Плот и яхта плывут по реке навстречу друг другу. В 15 ч 30 мин расстояние между ними было 90 км, а в 16 ч 10 мин оно сократилось до 70 км. Чему равна собственная скорость яхты?

445 Найди квадрат разности чисел A и B:

A

$(37,8 : 7,5 - 2,6 \cdot 1,4) \cdot \left(-1\frac{5}{7}\right) + 7 : \left(-2\frac{1}{3}\right);$

B

$\left(7\frac{4}{9} - 8\right) \cdot 3,6 - 1,6 \cdot \left(\frac{1}{8} - \frac{3}{4}\right) + 1\frac{2}{5} : (-0,35).$

Для того чтобы найти квадрат разности чисел А и В, сначала необходимо вычислить значения А и В.

А

Вычислим значение выражения A, соблюдая порядок действий:

$A = (37,8 : 7,5 - 2,6 \cdot 1,4) \cdot (-1\frac{5}{7}) + 7 : (-2\frac{1}{3})$

1. Сначала выполняем действия в скобках (деление и умножение, затем вычитание):
   $37,8 : 7,5 = 378 : 75 = 5,04$
   $2,6 \cdot 1,4 = 3,64$
   $5,04 - 3,64 = 1,4$
2. Теперь выполняем оставшиеся умножение и деление:
   $1,4 \cdot (-1\frac{5}{7}) = \frac{14}{10} \cdot (-\frac{12}{7}) = \frac{2 \cdot 7}{10} \cdot (-\frac{12}{7}) = \frac{2}{10} \cdot (-12) = -\frac{24}{10} = -2,4$
   $7 : (-2\frac{1}{3}) = 7 : (-\frac{7}{3}) = 7 \cdot (-\frac{3}{7}) = -3$
3. И, наконец, сложение:
   $-2,4 + (-3) = -5,4$

Ответ: $A = -5,4$

B

Вычислим значение выражения B, соблюдая порядок действий:

$B = (7\frac{4}{9} - 8) \cdot 3,6 - 1,6 \cdot (\frac{1}{8} - \frac{3}{4}) + 1\frac{2}{5} : (-0,35)$

1. Выполняем действия в скобках:
   $7\frac{4}{9} - 8 = 7\frac{4}{9} - 7\frac{9}{9} = -\frac{5}{9}$
   $\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8} - \frac{6}{8} = -\frac{5}{8}$
2. Далее выполняем умножение и деление по порядку:
   $(-\frac{5}{9}) \cdot 3,6 = -\frac{5}{9} \cdot \frac{36}{10} = -\frac{5 \cdot 36}{9 \cdot 10} = -\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2} = -2$
   $-1,6 \cdot (-\frac{5}{8}) = -\frac{16}{10} \cdot (-\frac{5}{8}) = \frac{16 \cdot 5}{10 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 1$
   $1\frac{2}{5} : (-0,35) = \frac{7}{5} : (-\frac{35}{100}) = \frac{7}{5} : (-\frac{7}{20}) = \frac{7}{5} \cdot (-\frac{20}{7}) = -\frac{20}{5} = -4$
3. Выполняем оставшиеся сложение и вычитание:
   $-2 + 1 + (-4) = -1 - 4 = -5$

Ответ: $B = -5$

Теперь, когда мы нашли значения A и B, мы можем найти квадрат их разности, то есть $(A - B)^2$.

$A - B = -5,4 - (-5) = -5,4 + 5 = -0,4$

$(A - B)^2 = (-0,4)^2 = 0,16$

Ответ: $0,16$

445 Найди квадрат разности чисел А и В:

A $(37,8 : 7,5 - 2,6 \cdot 1,4) \cdot (-1\frac{5}{7}) + 7 : (-2\frac{1}{3});$

B $(7\frac{4}{9} - 8) \cdot 3,6 - 1,6 \cdot (\frac{1}{8} - \frac{3}{4}) + 1\frac{2}{5} : (-0,35).$

446 Выполни действия и зачеркни числа в квадрате по образцу (каждое число принадлежит только одному ответу):

а) $0,078 + 15,382;$

б) $4,245 + 5,86;$

в) $7,1 - 6,937;$

г) $15,20316 - 9,7026;$

д) $5,872 \cdot 0,45;$

е) $23,6 \cdot 3,05;$

ж) $15,9258 : 0,762;$

з) $18,78 : 37,5.$

а) $0,078 + 15,382$

Чтобы сложить десятичные дроби, нужно записать их друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой. Затем выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и в результате поставить запятую под запятыми в слагаемых.

 _0,078+ 15,382 -------- 15,460 

Ответ: $15,46$

б) $4,245 + 5,86$

Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $5,86$. Выполним сложение в столбик.

 _4,245+ 5,860 -------- 10,105 

Ответ: $10,105$

в) $7,1 - 6,937$

Чтобы вычесть десятичные дроби, уравняем количество знаков после запятой, записав $7,1$ как $7,100$. Выполним вычитание в столбик.

 _7,100- 6,937 -------- 0,163 

Ответ: $0,163$

г) $15,20316 - 9,7026$

Уравняем количество знаков после запятой, добавив ноль к числу $9,7026$. Выполним вычитание в столбик.

 _15,20316- 9,70260 ----------- 5,50056 

Ответ: $5,50056$

д) $5,872 \cdot 0,45$

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

 × 5,872 (3 знака) 0,45 (2 знака) ------- _ 29360+ 23488 ------- 2,64240 (3+2=5 знаков) 

Ответ: $2,6424$

е) $23,6 \cdot 3,05$

Выполним умножение столбиком. В первом множителе один знак после запятой, во втором — два. В результате нужно отделить $1+2=3$ знака.

 × 23,6 3,05 ------ _ 1180+ 708 ------ 71,980 

Ответ: $71,98$

ж) $15,9258 : 0,762$

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

$15,9258 : 0,762 = 15925,8 : 762$

 15925,8 | 762- 1524 |----- ----- | 20,9 685 6858 - 6858 ---- 0 

Ответ: $20,9$

з) $18,78 : 37,5$

Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо: $187,8 : 375$. Выполним деление столбиком.

 187,8 | 375- 0 |------ ---- | 0,5008 1878- 1875 ---- 30 300 3000 - 3000 ---- 0 

Ответ: $0,5008$

446 Выполни действия и зачеркни числа в квадрате по образцу (каждое число принадлежит только одному ответу):

а) $0,078 + 15,382$;

б) $4,245 + 5,86$;

в) $7,1 - 6,937$;

г) $15,20316 - 9,7026$;

д) $5,872 \cdot 0,45$;

е) $23,6 \cdot 3,05$;

ж) $15,9258 : 0,762$;

з) $18,78 : 37,5$.

7 1 0,1 6 4

1,9 0,0 2,2

1 8 1 5 0,4

5,4 6 3 5 0

5,6 5 6 2 0

5 0 0 9 0,8

C 447*

В произвольном треугольнике $ABC$ построй точку $A_1$ – середину стороны $BC$, точку $B_1$ – середину стороны $AC$, и точку $C_1$ – середину стороны $AB$. Построй окружности, описанные около треугольников $ABC_1$, $A_1BC_1$ и $A_1B_1C$. Что ты замечаешь?

Задача состоит из двух частей: построение и наблюдение с доказательством.

В произвольном треугольнике ABC построй точку A₁ – середину стороны BC, точку B₁ – середину стороны AC, и точку C₁ – середину стороны AB. Построй окружности, описанные около треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C.

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.
2. Для каждой стороны треугольника найдем ее середину. С помощью циркуля и линейки разделим каждый отрезок ($AB, BC, AC$) пополам. Обозначим середины сторон: $A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — середина $AC$, и $C_1$ — середина $AB$.
3. Построим окружность, описанную около треугольника $AB_1C_1$. Для этого найдем точку пересечения серединных перпендикуляров к двум его сторонам (например, к $AB_1$ и $AC_1$). Эта точка будет центром окружности. Проведем окружность через вершины $A, B_1, C_1$.
4. Аналогично построим окружность, описанную около треугольника $A_1BC_1$. Центр этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $A_1B$ и $BC_1$.
5. Аналогично построим окружность, описанную около треугольника $A_1B_1C$. Центр этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $A_1C$ и $B_1C$.

Ответ: В результате построения мы получим три треугольника ($AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$) и три описанные около них окружности.

Что ты замечаешь?

При выполнении построений можно заметить, что все три окружности пересекаются в одной общей точке. Докажем это утверждение.

Пусть $\omega_1$ — окружность, описанная около $\Delta AB_1C_1$.

Пусть $\omega_2$ — окружность, описанная около $\Delta A_1BC_1$.

Пусть $\omega_3$ — окружность, описанная около $\Delta A_1B_1C$.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ по построению уже имеют одну общую точку $C_1$. Пусть $P$ — вторая точка их пересечения (если окружности касаются, то $P$ совпадает с $C_1$).

Поскольку точки $A, C_1, P, B_1$ лежат на одной окружности $\omega_1$, они образуют вписанный четырехугольник. Свойство вписанного четырехугольника гласит, что углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол, опирающийся на дугу $C_1B_1$ с вершины $A$, равен $\angle C_1AB_1 = \angle A$. Угол, опирающийся на ту же дугу с вершины $P$, равен $\angle C_1PB_1$. Следовательно, $\angle C_1PB_1 = \angle A$.

Аналогично, поскольку точки $B, C_1, P, A_1$ лежат на окружности $\omega_2$, они образуют вписанный четырехугольник. Угол, опирающийся на дугу $C_1A_1$ с вершины $B$, равен $\angle C_1BA_1 = \angle B$. Угол, опирающийся на ту же дугу с вершины $P$, равен $\angle C_1PA_1$. Следовательно, $\angle C_1PA_1 = \angle B$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $A_1CB_1P$. Чтобы доказать, что он вписанный (то есть точка $P$ лежит на окружности $\omega_3$), нужно показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Проверим сумму углов $\angle C$ и $\angle A_1PB_1$.

Угол $\angle A_1PB_1$ можно найти как сумму углов $\angle C_1PA_1$ и $\angle C_1PB_1$ (предполагая, что луч $PC_1$ проходит между лучами $PA_1$ и $PB_1$):

$\angle A_1PB_1 = \angle C_1PB_1 + \angle C_1PA_1 = \angle A + \angle B$.

Теперь найдем сумму противоположных углов четырехугольника $A_1CB_1P$:

$\angle C + \angle A_1PB_1 = \angle C + (\angle A + \angle B)$.

Так как сумма углов в исходном треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, то и полученная нами сумма равна $180^\circ$.

Условие, при котором четырехугольник можно вписать в окружность, выполнено. Это означает, что точки $A_1, C, B_1, P$ лежат на одной окружности. Эта окружность по определению и есть $\omega_3$, описанная около $\Delta A_1B_1C$.

Таким образом, точка $P$, являющаяся точкой пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, также принадлежит и окружности $\omega_3$. Следовательно, все три окружности пересекаются в одной точке.

Ответ: Все три построенные окружности пересекаются в одной общей точке. Эта точка известна в геометрии как точка Микеля.

C 447 В произвольном треугольнике $ABC$ построй точку $A_1$ – середину стороны $BC$, точку $B_1$ – середину стороны $AC$, и точку $C_1$ – середину стороны $AB$. Построй окружности, описанные около треугольников $AB_1C_1$, $A_1BC_1$ и $A_1B_1C$. Что ты замечаешь?

448 a) В произвольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Построй окружность, описанную около треугольника $A_1B_1C_1$, и найди точки её пересечения со сторонами треугольника $ABC$. Определи свойство тех точек пересечения, которые не являются основаниями высот.

б) Найди отношения отрезков, на которые построенная окружность делит отрезки $AH$, $BH$ и $CH$, где $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Что ты замечаешь?

а) Построенная окружность, описанная около треугольника A₁B₁C₁ (треугольника, образованного основаниями высот), является известной в геометрии окружностью девяти точек. Эта окружность проходит через девять примечательных точек треугольника ABC:

• три основания высот (A₁, B₁, C₁);
• три середины сторон треугольника ABC (пусть это будут точки M_a, M_b, M_c);
• три середины отрезков, соединяющих ортоцентр H с вершинами треугольника ABC.

Следовательно, эта окружность пересекает стороны треугольника ABC не только в основаниях высот A₁, B₁, C₁, но и в серединах сторон M_a, M_b, M_c. Таким образом, точками пересечения окружности со стороной BC являются A₁ и M_a, со стороной AC — B₁ и M_b, со стороной AB — C₁ и M_c.

Свойство тех точек пересечения, которые не являются основаниями высот, заключается в том, что они являются серединами сторон исходного треугольника ABC.
Ответ: Точки пересечения, которые не являются основаниями высот, являются серединами сторон треугольника ABC.

б) Как было упомянуто в пункте а), окружность девяти точек проходит через середины отрезков, соединяющих ортоцентр H с вершинами треугольника A, B и C.

Пусть E_a — точка пересечения окружности с отрезком AH. По свойству окружности девяти точек, E_a является серединой отрезка AH. Следовательно, эта точка делит отрезок AH на два равных отрезка: AE_a = E_aH. Отношение этих отрезков равно $AE_a : E_aH = 1:1$.

Аналогично, окружность пересекает отрезок BH в его середине E_b, поэтому отношение отрезков равно $BE_b : E_bH = 1:1$.

И так же для отрезка CH: окружность пересекает его в середине E_c, и отношение отрезков равно $CE_c : E_cH = 1:1$.

Что можно заметить? Построенная окружность делит каждый из отрезков AH, BH и CH пополам, то есть в одном и том же отношении 1:1.
Ответ: Построенная окружность делит каждый из отрезков AH, BH и CH в отношении 1:1.

448 a) В произвольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Построй окружность, описанную около треугольника $A_1B_1C_1$, и найди точки ее пересечения со сторонами треугольника $ABC$. Определи свойство тех точек пересечения, которые не являются основаниями высот.

б) Найди отношения отрезков, на которые построенная окружность делит отрезки $AH$, $BH$ и $CH$, где $H$ $-$ ортоцентр треугольника $ABC$. Что ты замечаешь?

449* В произвольном треугольнике $ABC$ построй центр описанной окружности – точку $O$, центр тяжести – точку $M$ и ортоцентр – точку $H$. Рассмотри взаимное расположение точек $O$, $M$ и $H$ и найди отношение отрезков $OM : MH$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Построение центра описанной окружности (O), центра тяжести (M) и ортоцентра (H)

Для построения этих трёх замечательных точек в произвольном треугольнике $ABC$ необходимо выполнить следующие действия:

• Точка O (центр описанной окружности) находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для построения достаточно найти середины двух сторон, провести к ним перпендикуляры и найти точку их пересечения.
• Точка M (центр тяжести) находится в точке пересечения медиан треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Для построения достаточно провести две медианы и найти их точку пересечения.
• Точка H (ортоцентр) находится в точке пересечения высот треугольника. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Для построения достаточно провести две высоты и найти их точку пересечения.

Рассмотри взаимное расположение точек O, M и H и найди отношение отрезков OM : MH

Если выполнить построение для произвольного неравностороннего треугольника, можно заметить, что точки O, M и H всегда лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера.

Докажем этот факт и найдем отношение $OM:MH$. Для этого воспользуемся методом гомотетии (центрального подобия).
Рассмотрим гомотетию с центром в точке M (центре тяжести) и коэффициентом $k = -1/2$.
По свойству медиан, точка M делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, для медианы $AA_1$ (где $A_1$ — середина $BC$) справедливо векторное равенство $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2}\vec{MA}$. Следовательно, эта гомотетия переводит вершины $A$, $B$, $C$ в середины противоположных им сторон $A_1$, $B_1$, $C_1$.
Выясним, во что эта гомотетия переводит ортоцентр H. Ортоцентр H — это точка пересечения высот. Высота, проведенная из вершины $A$ ($h_A$), перпендикулярна стороне $BC$. При гомотетии прямая $h_A$ перейдет в параллельную ей прямую, проходящую через образ точки $A$, то есть через точку $A_1$. Прямая, проходящая через середину стороны $BC$ (точку $A_1$) и перпендикулярная $BC$, является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.
Аналогично, образами двух других высот будут два других серединных перпендикуляра.
Таким образом, точка пересечения высот (ортоцентр H) переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности O).

По определению гомотетии, из того, что H переходит в O, следует векторное равенство: $\vec{MO} = k \cdot \vec{MH}$, то есть $\vec{MO} = -\frac{1}{2}\vec{MH}$.
Из этого равенства следует:

1. Векторы $\vec{MO}$ и $\vec{MH}$ коллинеарны, а значит, точки O, M, H лежат на одной прямой.
2. Коэффициент $k = -1/2$ отрицателен, значит, точка M лежит между точками O и H.
3. Длины векторов связаны соотношением $|\vec{MO}| = |-\frac{1}{2}| \cdot |\vec{MH}|$, то есть $OM = \frac{1}{2}MH$.

Из последнего пункта следует, что искомое отношение $OM : MH = 1 : 2$.
Ответ: Точки O, M и H лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причем точка M расположена между O и H. Отношение длин отрезков $OM : MH = 1:2$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Замечание: Взаимное расположение центра описанной окружности, центра тяжести и ортоцентра подчиняется строгому закону: они всегда лежат на одной прямой, и расстояния между ними находятся в постоянном отношении.
Гипотеза: В любом треугольнике (кроме равностороннего) центр описанной окружности $O$, центр тяжести $M$ и ортоцентр $H$ лежат на одной прямой. При этом центр тяжести $M$ всегда лежит между точками $O$ и $H$ и делит отрезок $OH$ в отношении $1:2$, то есть $OM : MH = 1:2$.
Эта гипотеза является доказанной теоремой, известной как теорема о прямой Эйлера. В случае равностороннего треугольника все три точки O, M, H совпадают.
Ответ: Гипотеза заключается в том, что в любом неравностороннем треугольнике центр описанной окружности, центр тяжести и ортоцентр лежат на одной прямой. Центр тяжести находится между двумя другими точками и делит расстояние между ними в отношении 1:2.

449 В произвольном треугольнике $ABC$ построй центр описанной окружности – точку $O$, центр тяжести – точку $M$, и ортоцентр – точку $H$.

Рассмотри взаимное расположение точек $O$, $M$ и $H$ и найди отношение отрезков $OM : MH$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.