Страница 99, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

440 Вычисли:

а) $-8 + 5;$

б) $4 - 6;$

в) $-2 - 9;$

г) $-3 + 7;$

д) $-1,9 + 2;$

е) $6,4 - 8;$

ж) $-0,5 - 0,7;$

з) $-1,3 + 0,6;$

и) $-\frac{3}{20} + 0,15;$

к) $0 - 4,8;$

л) $-1,8 + 1\frac{4}{5};$

м) $-5,2 + 0;$

н) $2,45 - 3,7;$

о) $-6,42 - 0,358;$

п) $-1\frac{3}{4} + 2,71;$

р) $-0,64 - 9,36.$

а) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. В данном случае $|-8| > |5|$, поэтому результат будет отрицательным.

$ -8 + 5 = -(|-8| - |5|) = -(8 - 5) = -3 $

Ответ: -3

б) Вычитание можно заменить сложением с противоположным числом. Вычитаем из меньшего числа большее, поэтому результат будет отрицательным.

$ 4 - 6 = 4 + (-6) = -(6 - 4) = -2 $

Ответ: -2

в) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак минус.

$ -2 - 9 = -(2 + 9) = -11 $

Ответ: -11

г) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. В данном случае $|7| > |-3|$, поэтому результат будет положительным.

$ -3 + 7 = 7 - 3 = 4 $

Ответ: 4

д) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. В данном случае $|2| > |-1,9|$, поэтому результат будет положительным.

$ -1,9 + 2 = 2 - 1,9 = 0,1 $

Ответ: 0,1

е) Вычитаем из меньшего числа большее. Результат будет отрицательным. Его модуль равен разности модулей чисел.

$ 6,4 - 8 = -(8 - 6,4) = -1,6 $

Ответ: -1,6

ж) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак минус.

$ -0,5 - 0,7 = -(0,5 + 0,7) = -1,2 $

Ответ: -1,2

з) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. В данном случае $|-1,3| > |0,6|$, поэтому результат будет отрицательным.

$ -1,3 + 0,6 = -(1,3 - 0,6) = -0,7 $

Ответ: -0,7

и) Для выполнения сложения преобразуем обыкновенную дробь в десятичную.

$ -\frac{3}{20} = -\frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = -\frac{15}{100} = -0,15 $

$ -0,15 + 0,15 = 0 $

Ответ: 0

к) Вычитание числа из нуля дает противоположное этому числу значение.

$ 0 - 4,8 = -4,8 $

Ответ: -4,8

л) Для выполнения сложения преобразуем смешанную дробь в десятичную.

$ 1\frac{4}{5} = 1 + \frac{4}{5} = 1 + \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 1 + \frac{8}{10} = 1 + 0,8 = 1,8 $

$ -1,8 + 1,8 = 0 $

Ответ: 0

м) Сложение числа с нулем не изменяет это число.

$ -5,2 + 0 = -5,2 $

Ответ: -5,2

н) Вычитаем из меньшего числа большее. Результат будет отрицательным. Его модуль равен разности модулей чисел.

$ 2,45 - 3,7 = -(3,7 - 2,45) = -1,25 $

Ответ: -1,25

о) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак минус.

$ -6,42 - 0,358 = -(6,42 + 0,358) = -(6,420 + 0,358) = -6,778 $

Ответ: -6,778

п) Для выполнения сложения преобразуем смешанную дробь в десятичную.

$ -1\frac{3}{4} = -(1 + \frac{3}{4}) = -(1 + 0,75) = -1,75 $

$ -1,75 + 2,71 = 2,71 - 1,75 = 0,96 $

Ответ: 0,96

р) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед результатом знак минус.

$ -0,64 - 9,36 = -(0,64 + 9,36) = -10 $

Ответ: -10

440 Вычисли:

а) $-8 + 5$;

б) $4 - 6$;

в) $-2 - 9$;

г) $-3 + 7$;

д) $-1,9 + 2$;

е) $6,4 - 8$;

ж) $-0,5 - 0,7$;

з) $-1,3 + 0,6$;

и) $-\frac{3}{20} + 0,15$;

к) $0 - 4,8$;

л) $-1,8 + 1\frac{4}{5}$;

м) $-5,2 + 0$;

н) $2,45 - 3,7$;

о) $-6,42 - 0,358$;

п) $-1\frac{3}{4} + 2,71$;

р) $-0,64 - 9,36$.

441 Переведи с русского языка на математический.

1) Сумма противоположных чисел равна нулю.

$a + (-a) = 0$

2) Модули противоположных чисел равны.

$|a| = |-a|$

3) Сумма любого числа с нулём равна самому числу.

$a + 0 = a$

4) При перестановке слагаемых значение суммы не меняется.

$a + b = b + a$

5) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

$(a + b) + c = a + (b + c)$

1) Утверждение "Сумма противоположных чисел равна нулю" можно перевести на математический язык, используя буквенные обозначения. Пусть $a$ — это произвольное число. Тогда число, противоположное ему, будет $-a$. Сумма этих чисел записывается как $a + (-a)$. Равенство нулю означает, что результатом этого сложения будет 0.

Ответ: $a + (-a) = 0$

2) Модуль числа — это его абсолютная величина, обозначается двумя вертикальными чертами. Пусть $a$ — это произвольное число, а $-a$ — противоположное ему число. Тогда модуль числа $a$ записывается как $|a|$, а модуль числа $-a$ — как $|-a|$. Утверждение, что они равны, записывается с помощью знака равенства.

Ответ: $|a| = |-a|$

3) Возьмем любое число и обозначим его буквой $a$. Сумма этого числа с нулём записывается как $a + 0$. Утверждение гласит, что эта сумма равна самому числу, то есть $a$.

Ответ: $a + 0 = a$

4) Это утверждение описывает переместительное свойство сложения. Пусть у нас есть два слагаемых, которые мы обозначим как $a$ и $b$. Их сумма — это $a + b$. Если мы поменяем их местами (переставим), то получим сумму $b + a$. Утверждение, что значение суммы при этом не меняется, означает, что эти две суммы равны.

Ответ: $a + b = b + a$

5) Это утверждение описывает сочетательное свойство сложения. Возьмем три числа: $a$, $b$ и $c$. Фраза "к сумме двух чисел прибавить третье число" математически записывается как $(a + b) + c$. Фраза "к первому числу прибавить сумму второго и третьего" записывается как $a + (b + c)$. Свойство утверждает, что результаты этих двух действий будут одинаковыми.

Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$

441 Переведи с русского языка на математический:

1) Сумма противоположных чисел равна нулю.
$a + (-a) = 0$

2) Модули противоположных чисел равны.
$|a| = |-a|$

3) Сумма любого числа с нулем равна самому числу.
$a + 0 = a$

4) При перестановке слагаемых значение суммы не меняется.
$a + b = b + a$

5) Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
$(a + b) + c = a + (b + c)$

442 Сложив сначала противоположные числа, найди значения выражений:

a) $158 - 392 + 75 - 158 - 75;$

б) $-4 \frac{11}{56} + 1 \frac{7}{40} - 2 \frac{5}{18} + 4 \frac{11}{56} - 1 \frac{7}{40};$

в) $-2.49 + 3.5 + 2.49 - 1.67 - 3.5;$

г) $0.6 - 1 \frac{7}{8} - \frac{3}{5} + 2.25 + 1.875 - 2 \frac{1}{4}.$

а) В выражении $158 - 392 + 75 - 158 - 75$ найдем пары противоположных чисел. Это $158$ и $-158$, а также $75$ и $-75$. Сумма противоположных чисел равна нулю.
Сгруппируем слагаемые: $(158 - 158) + (75 - 75) - 392$.
Выполним сложение: $0 + 0 - 392 = -392$.
Ответ: $-392$.

б) В выражении $-4\frac{11}{56} + 1\frac{7}{40} - 2\frac{5}{18} + 4\frac{11}{56} - 1\frac{7}{40}$ противоположными числами являются $-4\frac{11}{56}$ и $4\frac{11}{56}$, а также $1\frac{7}{40}$ и $-1\frac{7}{40}$.
Сгруппируем их и сложим: $(-4\frac{11}{56} + 4\frac{11}{56}) + (1\frac{7}{40} - 1\frac{7}{40}) - 2\frac{5}{18}$.
Сумма каждой пары равна нулю: $0 + 0 - 2\frac{5}{18} = -2\frac{5}{18}$.
Ответ: $-2\frac{5}{18}$.

в) В выражении $-2,49 + 3,5 + 2,49 - 1,67 - 3,5$ есть две пары противоположных чисел: $-2,49$ и $2,49$, а также $3,5$ и $-3,5$.
Перегруппируем слагаемые для удобства вычислений: $(-2,49 + 2,49) + (3,5 - 3,5) - 1,67$.
Вычислим сумму: $0 + 0 - 1,67 = -1,67$.
Ответ: $-1,67$.

г) В выражении $0,6 - 1\frac{7}{8} - \frac{3}{5} + 2,25 + 1,875 - 2\frac{1}{4}$ сначала преобразуем все дроби в десятичный вид, чтобы легче найти противоположные числа.
$\frac{3}{5} = 0,6$
$1\frac{7}{8} = 1 + 7 \div 8 = 1 + 0,875 = 1,875$
$2\frac{1}{4} = 2 + 1 \div 4 = 2 + 0,25 = 2,25$
Теперь подставим полученные значения в выражение: $0,6 - 1,875 - 0,6 + 2,25 + 1,875 - 2,25$.
Сгруппируем противоположные числа: $(0,6 - 0,6) + (-1,875 + 1,875) + (2,25 - 2,25)$.
Сумма каждой пары равна нулю: $0 + 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

442 Сложив сначала противоположные числа, найди значения выражений:

а) $158 - 392 + 75 - 158 - 75$;

б) $-4\frac{11}{56} + 1\frac{7}{40} - 2\frac{5}{18} + 4\frac{11}{56} - 1\frac{7}{40}$;

в) $-2,49 + 3,5 + 2,49 - 1,67 - 3,5$;

г) $0,6 - 1\frac{7}{8} - \frac{3}{5} + 2,25 + 1,875 - 2\frac{1}{4}$.

443 Найди значения выражений, сложив отдельно положительные и отрицательные числа:

а) $18 - 72 - 9 + 39 - 54 + 17 - 39;$

б) $-46 + 283 - 745 + 179 - 594 + 745 + 82;$

в) $0,17 - 6 + 1,3 + 2,8 - 0,17 - 0,9 + 7,4;$

г) $-6,4 + 12 - 2,5 - 6,4 + 2,5 + 8,9 - 5,8;$

д) $-0,1 - 14 + 3,05 + 4,2 - 0,85 - 0,05 + 0,85;$

е) $-98,9 + 4,38 - 3,27 + 32,7 + 60,215 - 1,15 + 3,27.$

а) $18 - 72 - 9 + 39 - 54 + 17 - 39$

Чтобы найти значение выражения, сгруппируем и сложим отдельно положительные и отрицательные числа.

Сумма положительных чисел: $18 + 39 + 17 = 74$.

Сумма отрицательных чисел: $(-72) + (-9) + (-54) + (-39) = -(72 + 9 + 54 + 39) = -174$.

Теперь сложим полученные суммы: $74 + (-174) = 74 - 174 = -100$.

Ответ: $-100$.

б) $-46 + 283 - 745 + 179 - 594 + 745 + 82$

Сгруппируем и сложим отдельно положительные и отрицательные числа.

Сумма положительных чисел: $283 + 179 + 745 + 82 = 1289$.

Сумма отрицательных чисел: $(-46) + (-745) + (-594) = -(46 + 745 + 594) = -1385$.

Теперь сложим полученные суммы: $1289 + (-1385) = 1289 - 1385 = -96$.

Ответ: $-96$.

в) $0,17 - 6 + 1,3 + 2,8 - 0,17 - 0,9 + 7,4$

Сгруппируем и сложим отдельно положительные и отрицательные числа.

Сумма положительных чисел: $0,17 + 1,3 + 2,8 + 7,4 = 11,67$.

Сумма отрицательных чисел: $(-6) + (-0,17) + (-0,9) = -(6 + 0,17 + 0,9) = -7,07$.

Теперь сложим полученные суммы: $11,67 + (-7,07) = 11,67 - 7,07 = 4,6$.

Ответ: $4,6$.

г) $-6,4 + 12 - 2,5 - 6,4 + 2,5 + 8,9 - 5,8$

Сгруппируем и сложим отдельно положительные и отрицательные числа.

Сумма положительных чисел: $12 + 2,5 + 8,9 = 23,4$.

Сумма отрицательных чисел: $(-6,4) + (-2,5) + (-6,4) + (-5,8) = -(6,4 + 2,5 + 6,4 + 5,8) = -21,1$.

Теперь сложим полученные суммы: $23,4 + (-21,1) = 23,4 - 21,1 = 2,3$.

Ответ: $2,3$.

д) $-0,1 - 14 + 3,05 + 4,2 - 0,85 - 0,05 + 0,85$

Сгруппируем и сложим отдельно положительные и отрицательные числа.

Сумма положительных чисел: $3,05 + 4,2 + 0,85 = 8,1$.

Сумма отрицательных чисел: $(-0,1) + (-14) + (-0,85) + (-0,05) = -(0,1 + 14 + 0,85 + 0,05) = -15$.

Теперь сложим полученные суммы: $8,1 + (-15) = 8,1 - 15 = -6,9$.

Ответ: $-6,9$.

е) $-98,9 + 4,38 - 3,27 + 32,7 + 60,215 - 1,15 + 3,27$

Сгруппируем и сложим отдельно положительные и отрицательные числа.

Сумма положительных чисел: $4,38 + 32,7 + 60,215 + 3,27 = 100,565$.

Сумма отрицательных чисел: $(-98,9) + (-3,27) + (-1,15) = -(98,9 + 3,27 + 1,15) = -103,32$.

Теперь сложим полученные суммы: $100,565 + (-103,32) = 100,565 - 103,32 = -2,755$.

Ответ: $-2,755$.

443 Найди значения выражений, сложив отдельно положительные и отрицательные числа:

а) $18 - 72 - 9 + 39 - 54 + 17 - 39;$

б) $-46 + 283 - 745 + 179 - 594 + 745 + 82;$

в) $0,17 - 6 + 1,3 + 2,8 - 0,17 - 0,9 + 7,4;$

г) $-6,4 + 12 - 2,5 - 6,4 + 2,5 + 8,9 - 5,8;$

д) $-0,1 - 14 + 3,05 + 4,2 - 0,85 - 0,05 + 0,85;$

е) $-98,9 + 4,38 - 3,27 + 32,7 + 60,215 - 1,15 + 3,27.$

444 Выбрав удобный порядок вычислений, найди значения выражений:

а) $3\frac{2}{9} - 5.2 - 1\frac{5}{9} + 0.2;$

б) $-7.2 - 2\frac{5}{6} - 0.3 + 1\frac{1}{3};$

в) $-1\frac{3}{16} + 4\frac{17}{25} - \frac{5}{16} - 1\frac{2}{25} - 0.5;$

г) $3\frac{5}{12} - 1.4 - 5\frac{2}{3} - 2.6 + 2\frac{1}{4}.$

а) $3\frac{2}{9} - 5,2 - 1\frac{5}{9} + 0,2$

Для удобства вычислений сгруппируем слагаемые: смешанные числа с одинаковым знаменателем и десятичные дроби.

$(3\frac{2}{9} - 1\frac{5}{9}) + (-5,2 + 0,2)$

1. Вычислим разность смешанных чисел: $3\frac{2}{9} - 1\frac{5}{9} = \frac{29}{9} - \frac{14}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

2. Вычислим сумму десятичных дробей: $-5,2 + 0,2 = -5$.

3. Сложим полученные результаты: $1\frac{2}{3} + (-5) = 1\frac{2}{3} - 5 = \frac{5}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$.

Ответ: $-3\frac{1}{3}$

б) $-7,2 - 2\frac{5}{6} - 0,3 + 1\frac{1}{3}$

Сгруппируем десятичные дроби и смешанные числа.

$(-7,2 - 0,3) + (-2\frac{5}{6} + 1\frac{1}{3})$

1. Вычислим сумму десятичных дробей: $-7,2 - 0,3 = -7,5$.

2. Вычислим сумму смешанных чисел, приведя их к общему знаменателю 6: $-2\frac{5}{6} + 1\frac{1}{3} = -2\frac{5}{6} + 1\frac{2}{6} = -(2\frac{5}{6} - 1\frac{2}{6}) = -1\frac{3}{6} = -1\frac{1}{2}$.

3. Сложим полученные результаты, представив смешанное число в виде десятичной дроби: $-7,5 + (-1\frac{1}{2}) = -7,5 - 1,5 = -9$.

Ответ: -9

в) $-1\frac{3}{16} + 4\frac{17}{25} - \frac{5}{16} - 1\frac{2}{25} - 0,5$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями.

$(-1\frac{3}{16} - \frac{5}{16}) + (4\frac{17}{25} - 1\frac{2}{25}) - 0,5$

1. Вычислим сумму чисел со знаменателем 16: $-1\frac{3}{16} - \frac{5}{16} = -(1\frac{3}{16} + \frac{5}{16}) = -1\frac{8}{16} = -1\frac{1}{2}$.

2. Вычислим разность чисел со знаменателем 25: $4\frac{17}{25} - 1\frac{2}{25} = (4-1) + (\frac{17}{25} - \frac{2}{25}) = 3\frac{15}{25} = 3\frac{3}{5}$.

3. Объединим результаты и преобразуем все числа в десятичные дроби для удобства: $-1\frac{1}{2} + 3\frac{3}{5} - 0,5 = -1,5 + 3,6 - 0,5$.

4. Выполним вычисления: $(-1,5 - 0,5) + 3,6 = -2 + 3,6 = 1,6$.

Ответ: 1,6

г) $3\frac{5}{12} - 1,4 - 5\frac{2}{3} - 2,6 + 2\frac{1}{4}$

Сгруппируем десятичные дроби и смешанные числа.

$(3\frac{5}{12} - 5\frac{2}{3} + 2\frac{1}{4}) + (-1,4 - 2,6)$

1. Вычислим сумму десятичных дробей: $-1,4 - 2,6 = -4$.

2. Вычислим сумму смешанных чисел, приведя их к общему знаменателю 12: $3\frac{5}{12} - 5\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 2\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 3\frac{5}{12} - 5\frac{8}{12} + 2\frac{3}{12}$.

3. Сгруппируем положительные дроби: $(3\frac{5}{12} + 2\frac{3}{12}) - 5\frac{8}{12} = 5\frac{8}{12} - 5\frac{8}{12} = 0$.

4. Сложим полученные результаты: $0 + (-4) = -4$.

Ответ: -4

444 Выбрав удобный порядок вычислений, найди значения выражений:

а) $3\frac{2}{9} - 5,2 - 1\frac{5}{9} + 0,2;$

б) $-7,2 - 2\frac{5}{6} - 0,3 + 1\frac{1}{3};$

в) $-1\frac{3}{16} + 4\frac{17}{25} - \frac{5}{16} - 1\frac{2}{25} - 0,5;$

г) $3\frac{5}{12} - 1,4 - 5\frac{2}{3} - 2,6 + 2\frac{1}{4}.$

445 Вычисли наиболее удобным способом:

а) $(-2,25 + 4\frac{2}{3}) + (7,6 - 1\frac{8}{9} - 1\frac{3}{4}) - 7,6;$

б) $(-\frac{4}{15} + 1,18 - \frac{5}{7}) + 1\frac{3}{14} + (-1,68 + 2\frac{4}{15}).$

Исходное выражение: $(-2,25 + 4\frac{2}{3}) + (7,6 - 1\frac{8}{9} - 1\frac{3}{4}) - 7,6$.

Для наиболее удобного вычисления раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, используя сочетательный и переместительный законы сложения. Это позволит нам объединить числа, которые легко складываются или вычитаются.

$-2,25 + 4\frac{2}{3} + 7,6 - 1\frac{8}{9} - 1\frac{3}{4} - 7,6 = (-2,25 - 1\frac{3}{4}) + (4\frac{2}{3} - 1\frac{8}{9}) + (7,6 - 7,6)$

Теперь вычислим значение каждой группы слагаемых по отдельности.

1) Сначала выполним вычитание десятичных дробей, которые являются противоположными числами в контексте данного выражения: $7,6 - 7,6 = 0$.

2) Далее, сгруппируем $-2,25$ и $-1\frac{3}{4}$. Для удобства представим $-2,25$ в виде смешанной дроби: $-2,25 = -2\frac{25}{100} = -2\frac{1}{4}$. Тогда $-2\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4} = -(2\frac{1}{4} + 1\frac{3}{4}) = -( (2+1) + (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) ) = -(3 + \frac{4}{4}) = -(3+1) = -4$.

3) Теперь вычислим разность оставшихся смешанных чисел: $4\frac{2}{3} - 1\frac{8}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 9: $4\frac{2}{3} = 4\frac{6}{9}$. Получаем $4\frac{6}{9} - 1\frac{8}{9}$. Так как $\frac{6}{9} < \frac{8}{9}$, займем единицу из целой части: $4\frac{6}{9} = 3\frac{15}{9}$. Теперь вычитание возможно: $3\frac{15}{9} - 1\frac{8}{9} = (3-1) + (\frac{15-8}{9}) = 2\frac{7}{9}$.

4) Наконец, сложим все полученные результаты: $0 + (-4) + 2\frac{7}{9} = -4 + 2\frac{7}{9} = -(4 - 2\frac{7}{9}) = -(3\frac{9}{9} - 2\frac{7}{9}) = -1\frac{2}{9}$.

Ответ: $-1\frac{2}{9}$.

Исходное выражение: $(-\frac{4}{15} + 1,18 - \frac{5}{7}) + 1\frac{3}{14} + (-1,68 + 2\frac{4}{15})$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для упрощения вычислений. Объединим дроби с одинаковыми знаменателями, десятичные дроби и дроби с кратными знаменателями.

$-\frac{4}{15} + 1,18 - \frac{5}{7} + 1\frac{3}{14} - 1,68 + 2\frac{4}{15} = (-\frac{4}{15} + 2\frac{4}{15}) + (1,18 - 1,68) + (-\frac{5}{7} + 1\frac{3}{14})$

Вычислим значение в каждой из трех групп.

1) Складываем дроби со знаменателем 15: $-\frac{4}{15} + 2\frac{4}{15} = 2 + (-\frac{4}{15} + \frac{4}{15}) = 2+0 = 2$.

2) Вычитаем десятичные дроби: $1,18 - 1,68 = -0,5$.

3) Складываем дроби с разными знаменателями: $-\frac{5}{7} + 1\frac{3}{14}$. Общий знаменатель равен 14. Приведем дробь $-\frac{5}{7}$ к знаменателю 14: $-\frac{5}{7} = -\frac{10}{14}$. Получаем $1\frac{3}{14} - \frac{10}{14}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычитания: $1\frac{3}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{17}{14}$. Тогда $\frac{17}{14} - \frac{10}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.

4) Теперь сложим результаты всех трех групп: $2 + (-0,5) + \frac{1}{2}$. Переведем $\frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $\frac{1}{2} = 0,5$. Получаем $2 - 0,5 + 0,5 = 2$.

Ответ: $2$.

445 Вычисли наиболее удобным способом:

a) $(-2.25 + 4\frac{2}{3}) + (7.6 - 1\frac{8}{9} - 1\frac{3}{4}) - 7.6;$

б) $(-\frac{4}{15} + 1.18 - \frac{5}{7}) + 1\frac{3}{14} + (-1.68 + 2\frac{4}{15}).$

420 Сравни дроби:

а) $3,6$ и $3,600$;

б) $0,4$ и $0,09$;

в) $0,207$ и $0,21$;

г) $5,03$ и $4,98$;

д) $1,76$ и $1,756$;

е) $0,0938$ и $0,1$.

а) Чтобы сравнить дроби 3,6 и 3,600, мы можем уравнять количество знаков после запятой. Значение десятичной дроби не изменится, если справа в её дробной части приписать нули. Припишем к числу 3,6 два нуля и получим 3,600. Теперь сравниваем 3,600 и 3,600. Эти числа равны.
Ответ: $3,6 = 3,600$.

б) Чтобы сравнить дроби 0,4 и 0,09, начнём сравнение с целых частей. Они равны 0. Затем сравниваем цифры в разряде десятых. У числа 0,4 в разряде десятых стоит 4, а у числа 0,09 — 0. Поскольку $4 > 0$, то и первая дробь больше второй.
Ответ: $0,4 > 0,09$.

в) Сравниваем дроби 0,207 и 0,21. Целые части равны 0. Цифры в разряде десятых также равны (2). Сравниваем цифры в разряде сотых: у 0,207 это 0, а у 0,21 это 1. Поскольку $0 < 1$, то первая дробь меньше второй. Можно также уравнять количество знаков, представив 0,21 как 0,210. Сравнивая 207 и 210, видим, что $207 < 210$, следовательно, $0,207 < 0,21$.
Ответ: $0,207 < 0,21$.

г) Сравниваем дроби 5,03 и 4,98. Начинаем с целых частей. Целая часть первой дроби равна 5, а второй — 4. Поскольку $5 > 4$, то первая дробь больше второй. Сравнение дробных частей не требуется.
Ответ: $5,03 > 4,98$.

д) Сравниваем дроби 1,76 и 1,756. Целые части равны 1. Цифры в разряде десятых также равны (7). Сравниваем цифры в разряде сотых: у 1,76 это 6, а у 1,756 это 5. Поскольку $6 > 5$, то первая дробь больше второй.
Ответ: $1,76 > 1,756$.

е) Сравниваем дроби 0,0938 и 0,1. Целые части равны 0. Сравниваем цифры в разряде десятых. У числа 0,0938 в разряде десятых стоит 0, а у числа 0,1 — 1. Поскольку $0 < 1$, то первая дробь меньше второй.
Ответ: $0,0938 < 0,1$.

$\Pi$ 420 Сравни дроби:

а) $3,6$ и $3,600$;

б) $0,4$ и $0,09$;

в) $0,207$ и $0,21$;

г) $5,03$ и $4,98$;

д) $1,76$ и $1,756$;

е) $0,0938$ и $0,1$.

421 Прочитай число: $0,2803951476$. Зачеркни пять цифр так, чтобы получилось:

а) возможно большее число;

б) возможно меньшее число.

Дано число 0,2803951476. В его дробной части 10 цифр. Необходимо вычеркнуть 5 цифр, чтобы в результате осталось число с $10 - 5 = 5$ цифрами после запятой.

а) возможно большее число

Чтобы получить наибольшее возможное число, нужно, чтобы его старшие разряды (расположенные левее) были заняты наибольшими возможными цифрами. Мы будем формировать искомое число по одной цифре слева направо, каждый раз выбирая наилучший вариант.

Шаг 1: Выбор первой цифры. Первую цифру итогового числа нужно выбрать так, чтобы после нее в исходном числе оставалось не менее 4 цифр (для формирования оставшейся части числа). Следовательно, выбирать можно из первых $10 - 5 + 1 = 6$ цифр дробной части: 2, 8, 0, 3, 9, 5. Наибольшая из них — это 9. Чтобы 9 стала первой цифрой после запятой, необходимо вычеркнуть все цифры перед ней: 2, 8, 0, 3. На это мы потратили 4 из 5 разрешенных вычеркиваний.

После этого шага имеем: 0,2803951476. Результат начинается с 0,9. У нас осталось 1 вычеркивание.

Шаг 2: Выбор оставшихся четырех цифр. Оставшиеся цифры нужно выбрать из последовательности, идущей после девятки: 5, 1, 4, 7, 6. Эта последовательность состоит из 5 цифр, а нам нужно оставить 4, то есть вычеркнуть одну. Чтобы получить наибольшее число, нужно вычеркнуть такую цифру, чтобы оставшаяся комбинация была максимальной. Сравнивая варианты, мы видим, что, вычеркнув 1, мы получим последовательность 5476. Любой другой вариант даст меньший результат (например, вычеркнув 5, получим 1476). Значит, вычеркиваем цифру 1.

Таким образом, мы вычеркнули 5 цифр: 2, 8, 0, 3, 1. Исходное число: 0,2803951476. Оставшиеся цифры в том же порядке и образуют искомое наибольшее число.

Ответ: 0,95476

б) возможно меньшее число

Чтобы получить наименьшее возможное число, нужно, чтобы его старшие разряды были заняты наименьшими возможными цифрами. Алгоритм аналогичен предыдущему, но на каждом шаге мы выбираем наименьшую возможную цифру.

Шаг 1: Выбор первой цифры. Выбираем первую цифру из тех же первых 6 цифр (2, 8, 0, 3, 9, 5). Наименьшая из них — 0. Чтобы она стала первой, вычеркиваем стоящие перед ней цифры: 2, 8. На это ушло 2 вычеркивания, осталось 3.

После этого шага имеем: 0,2803951476. Результат начинается с 0,0. У нас осталось 3 вычеркивания.

Шаг 2: Выбор второй цифры. После выбранного нуля осталась последовательность 3, 9, 5, 1, 4, 7, 6 (всего 7 цифр), из которой нам нужно выбрать 4. Вторую цифру результата мы можем выбрать из первых $7 - 4 + 1 = 4$ цифр этой последовательности: 3, 9, 5, 1. Наименьшая из них — 1. Чтобы 1 стала второй цифрой, вычеркиваем все цифры, стоящие в исходном числе между 0 и 1: 3, 9, 5. На это ушло оставшиеся 3 вычеркивания.

После этого шага имеем: 0,2803951476. Результат начинается с 0,01. Все 5 вычеркиваний использованы.

Шаг 3: Выбор оставшихся трех цифр. Так как лимит вычеркиваний исчерпан, мы должны взять оставшиеся 3 цифры без изменений. Это цифры 4, 7, 6.

Таким образом, мы вычеркнули 5 цифр: 2, 8, 3, 9, 5. Оставшиеся цифры в том же порядке образуют искомое наименьшее число.

Ответ: 0,01476

421 Прочитай число: 0,2803951476. Зачеркни пять цифр так, чтобы получилось:

а) возможно большее число;

б) возможно меньшее число.

422 Расположи числа в порядке возрастания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй имя великого учёного-геометра античности.

0,51; 0,05; 0,1; 0,508; 0,058; 0,008; 0,8; 0,5; 0,015.

И О Л Н Л А Й О П

Для того чтобы расшифровать имя, необходимо расположить данные числа в порядке возрастания, а затем сопоставить каждому числу соответствующую ему букву.

Расположение чисел в порядке возрастания

Даны числа: $0,51$; $0,05$; $0,1$; $0,508$; $0,058$; $0,008$; $0,8$; $0,5$; $0,015$.

Для удобства сравнения десятичных дробей приведём их к одинаковому количеству знаков после запятой (к трём знакам), добавив нули справа, где это необходимо:

$0,51 \rightarrow 0,510$
$0,05 \rightarrow 0,050$
$0,1 \rightarrow 0,100$
$0,508 \rightarrow 0,508$
$0,058 \rightarrow 0,058$
$0,008 \rightarrow 0,008$
$0,8 \rightarrow 0,800$
$0,5 \rightarrow 0,500$
$0,015 \rightarrow 0,015$

Теперь легко расположить эти числа в порядке возрастания, сравнивая их тысячные доли:

$0,008 < 0,015 < 0,050 < 0,058 < 0,100 < 0,500 < 0,508 < 0,510 < 0,800$

Таким образом, исходные числа в порядке возрастания выглядят так:

$0,008$; $0,015$; $0,05$; $0,058$; $0,1$; $0,5$; $0,508$; $0,51$; $0,8$.

Расшифровка имени

Теперь сопоставим каждому числу в полученном ряду соответствующую ему букву из условия задачи:

$0,008 \rightarrow А$
$0,015 \rightarrow П$
$0,05 \rightarrow О$
$0,058 \rightarrow Л$
$0,1 \rightarrow Л$
$0,5 \rightarrow О$
$0,508 \rightarrow Н$
$0,51 \rightarrow И$
$0,8 \rightarrow Й$

Соединив буквы в указанном порядке, получаем имя великого учёного-геометра античности.

Ответ: Аполлоний.

422 Расположи числа в порядке возрастания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй имя великого ученого-геометра античности:

$0,51$; $0,05$; $0,1$; $0,508$; $0,058$; $0,008$; $0,8$; $0,5$; $0,015$.

И О Л Н Л А Й О П

423 Выполни действия:

а) $-0.286 - 18.4$;

б) $17.9 - 20.205$;

в) $-5.98 + 48.004$;

г) $-3.08 - 4.192$;

д) $-2.002 \cdot 2.9$;

е) $-4.06 \cdot (-20.5)$;

ж) $-0.7752 : (-1.9)$;

з) $218.08 : (-7.25)$.

424 Закончи предложение:

а)

Чтобы вычесть из отрицательного числа другое число, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

$ -0,286 - 18,4 = -(0,286 + 18,4) $

Сложим числа $0,286$ и $18,4$. Удобнее это сделать в столбик, выравнивая по запятой: $0,286 + 18,400 = 18,686$.

Таким образом, $ -(0,286 + 18,4) = -18,686 $.

Ответ: -18,686

б)

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего модуля вычесть меньший и перед результатом поставить знак минус.

$ 17,9 - 20,205 = -(20,205 - 17,9) $

Выполним вычитание: $20,205 - 17,900 = 2,305$.

Следовательно, $ -(20,205 - 17,9) = -2,305 $.

Ответ: -2,305

в)

При сложении чисел с разными знаками нужно из большего модуля вычесть меньший, а в результате поставить знак числа с большим модулем.

$ -5,98 + 48,004 = 48,004 - 5,98 $

Выполним вычитание: $48,004 - 5,980 = 42,024$.

Так как модуль положительного числа $48,004$ больше модуля отрицательного числа $-5,98$, результат будет положительным.

Ответ: 42,024

г)

Это сложение двух отрицательных чисел. Складываем их модули и ставим перед суммой знак минус.

$ -3,08 - 4,192 = -(3,08 + 4,192) $

Сложим модули: $3,080 + 4,192 = 7,272$.

Таким образом, $ -(3,08 + 4,192) = -7,272 $.

Ответ: -7,272

д)

Произведение отрицательного и положительного чисел есть число отрицательное. Чтобы найти его модуль, нужно перемножить модули сомножителей.

$ -2,002 \cdot 2,9 = -(2,002 \cdot 2,9) $

Умножим $2,002$ на $2,9$. Умножаем $2002$ на $29$, получаем $58058$. В первом множителе 3 знака после запятой, во втором - 1. В произведении отделяем $3+1=4$ знака после запятой. Получаем $5,8058$.

Следовательно, результат равен $-5,8058$.

Ответ: -5,8058

е)

Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы найти результат, нужно перемножить их модули.

$ -4,06 \cdot (-20,5) = 4,06 \cdot 20,5 $

Умножим $4,06$ на $20,5$. Умножаем $406$ на $205$, получаем $83230$. В первом множителе 2 знака после запятой, во втором - 1. В произведении отделяем $2+1=3$ знака после запятой. Получаем $83,230$, что равно $83,23$.

Ответ: 83,23

ж)

Частное от деления двух отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы найти результат, нужно разделить их модули.

$ -0,7752 : (-1,9) = 0,7752 : 1,9 $

Для удобства деления, избавимся от дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 10:

$ 0,7752 : 1,9 = (0,7752 \cdot 10) : (1,9 \cdot 10) = 7,752 : 19 $

Выполним деление столбиком. Делим 7 на 19. Так как $7 < 19$, в частном пишем 0 и ставим запятую. Делим 77 на 19. Берем по 4 ($4 \cdot 19 = 76$). Остаток $1$. Сносим 5, получаем 15. Так как $15 < 19$, в частном пишем 0. Сносим 2, получаем 152. Делим 152 на 19. Берем по 8 ($8 \cdot 19 = 152$). Остаток 0. Результат деления равен $0,408$.

Ответ: 0,408

з)

Частное от деления положительного числа на отрицательное есть число отрицательное. Чтобы найти его модуль, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

$ 218,08 : (-7,25) = -(218,08 : 7,25) $

Для удобства деления, избавимся от дроби в делителе, умножив делимое и делитель на 100:

$ 218,08 : 7,25 = (218,08 \cdot 100) : (7,25 \cdot 100) = 21808 : 725 $

Выполним деление столбиком. Делим 2180 на 725. Берем по 3 ($3 \cdot 725 = 2175$). Остаток $5$. Сносим 8, получаем 58. Так как $58 < 725$, в частном пишем 0. Целая часть закончилась, ставим запятую. Сносим 0, получаем 580. Так как $580 < 725$, в частном пишем 0. Сносим еще один 0, получаем 5800. Делим 5800 на 725. Берем по 8 ($8 \cdot 725 = 5800$). Остаток 0. Результат деления равен $30,08$.

Не забываем про знак минус: $ -(218,08 : 7,25) = -30,08 $.

Ответ: -30,08

423 Выполни действия:

а) $-0,286 - 18,4$;

б) $17,9 - 20,205$;

в) $-5,98 + 48,004$;

г) $-3,08 - 4,192$;

д) $-2,002 \cdot 2,9$;

е) $-4,06 \cdot (-20,5)$;

ж) $-0,7752 : (-1,9)$;

з) $218,08 : (-7,25)$.

424 Закончи предложение:

«Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только том случае, когда её знаменатель не имеет простых делителей, кроме ...»

Чтобы обыкновенную несократимую дробь $\frac{a}{b}$ можно было записать в виде конечной десятичной дроби, необходимо, чтобы её можно было привести к знаменателю, равному степени числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). Это означает, что знаменатель $b$ должен быть делителем некоторой степени числа 10.

Рассмотрим разложение числа 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Соответственно, любая степень числа 10 будет иметь вид $10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$. Из этого следует, что единственными простыми делителями любой степени числа 10 являются числа 2 и 5.

Поскольку знаменатель $b$ несократимой дроби должен быть делителем числа $10^n$, то и в его разложении на простые множители не может быть никаких других простых чисел, кроме 2 и 5. Если бы в разложении знаменателя $b$ был другой простой множитель (например, 3, 7 или 11), то дробь $\frac{a}{b}$ нельзя было бы привести к знаменателю вида $10^n$ и, следовательно, её нельзя было бы представить в виде конечной десятичной дроби.

Таким образом, предложение должно быть закончено следующим образом: «Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только том случае, когда её знаменатель не имеет простых делителей, кроме 2 и 5».

Ответ: 2 и 5.

424 Закончи предложение:

«Несократимую дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби в том и только том случае, когда ее знаменатель не имеет простых делителей, кроме ...»

425 Найди дроби, которые можно перевести в десятичные, и выполни перевод:

a) $ \frac{17}{2^2 \cdot 5}; \frac{9}{2 \cdot 5 \cdot 3^2}; \frac{5}{2 \cdot 3 \cdot 2^2}; \frac{12}{2^3 \cdot 3}; \frac{10}{7 \cdot 5^2}; \frac{24}{3 \cdot 2^4 \cdot 5^2}; $

б) $ \frac{1}{4}; \frac{3}{5}; \frac{5}{6}; \frac{9}{60}; \frac{7}{25}; \frac{3}{8}. $

Основное правило: обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь тогда и только тогда, когда в разложении ее знаменателя на простые множители (после сокращения дроби) нет других простых чисел, кроме 2 и 5.

а)

Дробь $\frac{17}{2^2 \cdot 5}$. Знаменатель состоит только из простых множителей 2 и 5, дробь несократима. Следовательно, её можно перевести в десятичную.
$\frac{17}{2^2 \cdot 5} = \frac{17}{4 \cdot 5} = \frac{17}{20}$. Домножим числитель и знаменатель на 5, чтобы в знаменателе получить степень 10:
$\frac{17 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{85}{100} = 0.85$.

Дробь $\frac{9}{2 \cdot 5 \cdot 3^3}$. Сначала сократим дробь. Числитель $9 = 3^2$.
$\frac{9}{2 \cdot 5 \cdot 3^3} = \frac{3^2}{2 \cdot 5 \cdot 3^3} = \frac{1}{2 \cdot 5 \cdot 3}$.
В знаменателе после сокращения присутствует простой множитель 3. Значит, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Дробь $\frac{5}{3 \cdot 2^2}$. Дробь несократима. В знаменателе присутствует простой множитель 3. Значит, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Дробь $\frac{12}{2^3 \cdot 3}$. Сначала сократим дробь. Числитель $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
$\frac{12}{2^3 \cdot 3} = \frac{2^2 \cdot 3}{2^3 \cdot 3} = \frac{2^2}{2^3} = \frac{1}{2}$.
Знаменатель состоит только из простого множителя 2. Следовательно, дробь можно перевести в десятичную.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} = 0.5$.

Дробь $\frac{10}{7 \cdot 5^2}$. Сначала сократим дробь. Числитель $10 = 2 \cdot 5$.
$\frac{10}{7 \cdot 5^2} = \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5^2} = \frac{2}{7 \cdot 5}$.
В знаменателе после сокращения присутствует простой множитель 7. Значит, эту дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Дробь $\frac{24}{3 \cdot 2^4 \cdot 5^2}$. Сначала сократим дробь. Числитель $24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3$.
$\frac{24}{3 \cdot 2^4 \cdot 5^2} = \frac{3 \cdot 2^3}{3 \cdot 2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^3}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{1}{2 \cdot 5^2}$.
Знаменатель состоит только из простых множителей 2 и 5. Следовательно, дробь можно перевести в десятичную.
$\frac{1}{2 \cdot 5^2} = \frac{1}{2 \cdot 25} = \frac{1}{50} = \frac{1 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{2}{100} = 0.02$.

Ответ: $\frac{17}{2^2 \cdot 5} = 0.85$; $\frac{12}{2^3 \cdot 3} = 0.5$; $\frac{24}{3 \cdot 2^4 \cdot 5^2} = 0.02$.

б)

Дробь $\frac{1}{4}$. Знаменатель $4 = 2^2$. Содержит только множитель 2.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0.25$.

Дробь $\frac{3}{5}$. Знаменатель 5. Содержит только множитель 5.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0.6$.

Дробь $\frac{5}{6}$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. Содержит простой множитель 3. Нельзя перевести в конечную десятичную.

Дробь $\frac{9}{60}$. Сократим дробь: $\frac{9}{60} = \frac{3}{20}$. Знаменатель $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. Содержит только множители 2 и 5.
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100} = 0.15$.

Дробь $\frac{7}{25}$. Знаменатель $25 = 5^2$. Содержит только множитель 5.
$\frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100} = 0.28$.

Дробь $\frac{3}{8}$. Знаменатель $8 = 2^3$. Содержит только множитель 2.
$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{375}{1000} = 0.375$.

Ответ: $\frac{1}{4} = 0.25$; $\frac{3}{5} = 0.6$; $\frac{9}{60} = 0.15$; $\frac{7}{25} = 0.28$; $\frac{3}{8} = 0.375$.

425. Найди дроби, которые можно перевести в десятичные, и выполни перевод:

а) $17/(2^2 \cdot 5)$; $9/(2 \cdot 5^3)$; $5/(3 \cdot 2^2)$; $12/(2^3 \cdot 3)$; $10/(7 \cdot 5^2)$; $24/(3 \cdot 2^4 \cdot 5^2)$.

б) $1/4$; $3/5$; $5/6$; $9/60$; $7/25$; $3/8$.

426 Реши примеры по столбцам и предложи правило, по которому можно было бы записать следующее число в ряду ответов.

а) $4,2 \cdot \frac{1}{3}$

$6 - 3\frac{1}{2}$

$9,6 : 2\frac{2}{3}$

б) $1 : 1,2$

$3\frac{9}{35} - 2,4$

$1\frac{1}{6} \cdot 0,75$

в) $1\frac{1}{9} - 3$

$-\frac{1}{2} : \frac{5}{28}$

$1,3 \cdot \left(-2\frac{8}{11}\right)$

а)

1) $4,2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{42}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{21}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{5} = 1,4$

2) $6 - 3\frac{1}{2} = 6 - 3,5 = 2,5$

3) $9,6 : 2\frac{2}{3} = \frac{96}{10} : \frac{8}{3} = \frac{48}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{6 \cdot 3}{5} = \frac{18}{5} = 3,6$

Получился ряд ответов: 1,4; 2,5; 3,6.

Правило: Ряд ответов представляет собой арифметическую прогрессию, каждый следующий член которой на 1,1 больше предыдущего ($2,5 - 1,4 = 1,1$; $3,6 - 2,5 = 1,1$).

Следующее число в ряду: $3,6 + 1,1 = 4,7$.

Ответ: результаты: 1,4; 2,5; 3,6. Следующее число в ряду: 4,7.

б)

1) $1 : 1,2 = 1 : \frac{12}{10} = 1 : \frac{6}{5} = 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{6}$

2) $3\frac{9}{35} - 2,4 = 3\frac{9}{35} - 2\frac{4}{10} = 3\frac{9}{35} - 2\frac{2}{5} = 3\frac{9}{35} - 2\frac{14}{35} = \frac{114}{35} - \frac{84}{35} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}$

3) $1\frac{1}{6} \cdot 0,75 = \frac{7}{6} \cdot \frac{75}{100} = \frac{7}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7 \cdot 3}{6 \cdot 4} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

Получился ряд ответов: $\frac{5}{6}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{7}{8}$.

Правило: Это последовательность правильных дробей вида $\frac{n}{n+1}$, где числитель $n$ последовательно увеличивается на 1, начиная с 5.

Следующее число в ряду будет для $n=8$: $\frac{8}{9}$.

Ответ: результаты: $\frac{5}{6}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{7}{8}$. Следующее число в ряду: $\frac{8}{9}$.

в)

1) $1\frac{1}{9} - 3 = \frac{10}{9} - \frac{27}{9} = -\frac{17}{9} = -1\frac{8}{9}$

2) $-\frac{1}{2} : \frac{5}{28} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{28}{5} = -\frac{28}{10} = -\frac{14}{5} = -2\frac{4}{5}$

3) $1,3 \cdot (-2\frac{8}{11}) = \frac{13}{10} \cdot (-\frac{30}{11}) = -\frac{13 \cdot 3}{11} = -\frac{39}{11} = -3\frac{6}{11}$

Получился ряд ответов: $-1\frac{8}{9}$; $-2\frac{4}{5}$; $-3\frac{6}{11}$.

Правило: В этой последовательности можно выделить два правила. Первое: целая часть каждого следующего числа уменьшается на 1 (последовательность целых частей: -1, -2, -3). Второе: сумма числителя и знаменателя дробной части чередуется: $8+9=17$, $4+5=9$, $6+11=17$.

Следуя этим правилам, следующее число должно иметь целую часть -4, а сумма числителя и знаменателя его дробной части должна быть равна 9. Можно предположить, что последовательность знаменателей состоит из нечетных чисел (9, 5, 11, ...). Возьмем в качестве следующего знаменателя нечетное число 7. Тогда числитель будет равен $9-7=2$. Таким образом, следующее число может быть $-4\frac{2}{7}$.

Ответ: результаты: $-1\frac{8}{9}$; $-2\frac{4}{5}$; $-3\frac{6}{11}$. Предполагаемое следующее число в ряду: $-4\frac{2}{7}$.

426 Реши примеры по столбцам и предложи правило, по которому можно было бы записать следующее число в ряду ответов:

а) $4,2 \cdot \frac{1}{3}$

$6 - 3\frac{1}{2}$

$9,6 : 2\frac{2}{3}$

б) $1 : 1,2$

$3\frac{9}{35} - 2,4$

$1\frac{1}{6} \cdot 0,75$

в) $1\frac{1}{9} - 3$

$-\frac{1}{2} : \frac{5}{28}$

$1,3 \cdot (-2\frac{8}{11})$

427 Докажи, что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную, и запиши её в виде бесконечной периодической дроби, указав период:

а) $ \frac{4}{9} $;
б) $ \frac{7}{30} $;
в) $ \frac{5}{12} $;
г) $ \frac{6}{11} $;
д) $ \frac{35}{6} $;
е) $ \frac{23}{18} $;
ж) $ \frac{47}{22} $;
з) $ \frac{25}{3} $.

Образец: $ \frac{23}{15} = 1,5333... = 1,5(3) $; $ \frac{11}{27} = 0,407407... = 0,(407) $.

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда ее знаменатель в несократимой форме не содержит простых множителей, отличных от 2 и 5.

а)

Рассмотрим дробь $ \frac{4}{9} $. Она является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $ 9 = 3^2 $. Так как в разложении знаменателя присутствует простой множитель 3, отличный от 2 и 5, данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Для представления дроби в виде бесконечной периодической выполним деление числителя на знаменатель: $ 4 \div 9 = 0,444... = 0,(4) $. Период дроби — 4.

Ответ: $ 0,(4) $.

б)

Рассмотрим дробь $ \frac{7}{30} $. Она является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 $. Так как в разложении знаменателя присутствует простой множитель 3, отличный от 2 и 5, данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Выполним деление числителя на знаменатель: $ 7 \div 30 = 0,2333... = 0,2(3) $. Период дроби — 3.

Ответ: $ 0,2(3) $.

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{5}{12} $. Она является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $ 12 = 2^2 \cdot 3 $. Так как в разложении знаменателя присутствует простой множитель 3, отличный от 2 и 5, данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Выполним деление числителя на знаменатель: $ 5 \div 12 = 0,41666... = 0,41(6) $. Период дроби — 6.

Ответ: $ 0,41(6) $.

г)

Рассмотрим дробь $ \frac{6}{11} $. Она является несократимой. Знаменатель 11 является простым числом, отличным от 2 и 5, поэтому данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Выполним деление числителя на знаменатель: $ 6 \div 11 = 0,5454... = 0,(54) $. Период дроби — 54.

Ответ: $ 0,(54) $.

д)

Рассмотрим дробь $ \frac{35}{6} $. Она является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $. Так как в разложении знаменателя присутствует простой множитель 3, отличный от 2 и 5, данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Выполним деление числителя на знаменатель: $ 35 \div 6 = 5,8333... = 5,8(3) $. Период дроби — 3.

Ответ: $ 5,8(3) $.

е)

Рассмотрим дробь $ \frac{23}{18} $. Она является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $ 18 = 2 \cdot 3^2 $. Так как в разложении знаменателя присутствует простой множитель 3, отличный от 2 и 5, данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Выполним деление числителя на знаменатель: $ 23 \div 18 = 1,2777... = 1,2(7) $. Период дроби — 7.

Ответ: $ 1,2(7) $.

ж)

Рассмотрим дробь $ \frac{47}{22} $. Она является несократимой. Разложим ее знаменатель на простые множители: $ 22 = 2 \cdot 11 $. Так как в разложении знаменателя присутствует простой множитель 11, отличный от 2 и 5, данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Выполним деление числителя на знаменатель: $ 47 \div 22 = 2,13636... = 2,1(36) $. Период дроби — 36.

Ответ: $ 2,1(36) $.

з)

Рассмотрим дробь $ \frac{25}{3} $. Она является несократимой. Знаменатель 3 является простым числом, отличным от 2 и 5, поэтому данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную.

Выполним деление числителя на знаменатель: $ 25 \div 3 = 8,333... = 8,(3) $. Период дроби — 3.

Ответ: $ 8,(3) $.

427 Докажи, что данную дробь нельзя перевести в конечную десятичную, и запиши ее в виде бесконечной периодической дроби, указав период:

а) $\frac{4}{9}$;

б) $\frac{7}{30}$;

в) $\frac{5}{12}$;

г) $\frac{6}{11}$;

д) $\frac{35}{6}$;

е) $\frac{23}{18}$;

ж) $\frac{47}{22}$;

з) $\frac{25}{3}$.

Образец: $\frac{23}{15} = 1,5333... = 1,5(3)$; $\frac{11}{27} = 0,407407... = 0,(407)$.