Страница 93, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

397 Реши уравнение:

1) $3,18x + 2,6 + 0,9x + x = 28;$

2) $2,4(3x + 2) + 0,3(x + 4) = 6,6;$

3) $7 \frac{1}{3} \cdot x = 1,6 : \frac{6}{11};$

4) $x : 0,4 = 2 \frac{1}{9} : 3 \frac{1}{6};$

5) $\frac{x}{1,8} = \frac{2,4}{3,6};$

6) $\frac{2,1}{x + 1 \frac{4}{5}} = \frac{3}{10x}.$

1) $3,18x + 2,6 + 0,9x + x = 28$
Сначала сгруппируем и сложим все слагаемые, содержащие переменную $x$:
$3,18x + 0,9x + 1x = (3,18 + 0,9 + 1)x = 5,08x$.
Теперь уравнение выглядит так:
$5,08x + 2,6 = 28$.
Перенесем $2,6$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$5,08x = 28 - 2,6$.
$5,08x = 25,4$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $5,08$:
$x = \frac{25,4}{5,08}$.
Для удобства деления умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$x = \frac{2540}{508}$.
$x = 5$.
Ответ: $x=5$.

2) $2,4(3x + 2) + 0,3(x + 4) = 6,6$
Раскроем скобки, умножив множители перед ними на каждое слагаемое внутри скобок:
$(2,4 \cdot 3x) + (2,4 \cdot 2) + (0,3 \cdot x) + (0,3 \cdot 4) = 6,6$.
$7,2x + 4,8 + 0,3x + 1,2 = 6,6$.
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(7,2x + 0,3x) + (4,8 + 1,2) = 6,6$.
$7,5x + 6 = 6,6$.
Перенесем $6$ в правую часть уравнения:
$7,5x = 6,6 - 6$.
$7,5x = 0,6$.
Найдем $x$:
$x = \frac{0,6}{7,5} = \frac{6}{75}$.
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{2}{25}$.
Представим ответ в виде десятичной дроби:
$x = 0,08$.
Ответ: $x=0,08$.

3) $7\frac{1}{3} \cdot x = 1,6 : \frac{6}{11}$
Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби:
$7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$;
$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
Подставим эти значения в уравнение:
$\frac{22}{3} \cdot x = \frac{8}{5} : \frac{6}{11}$.
Выполним деление в правой части, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{8}{5} : \frac{6}{11} = \frac{8}{5} \cdot \frac{11}{6} = \frac{8 \cdot 11}{5 \cdot 6} = \frac{88}{30} = \frac{44}{15}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{22}{3} \cdot x = \frac{44}{15}$.
Чтобы найти $x$, разделим правую часть на коэффициент при $x$:
$x = \frac{44}{15} : \frac{22}{3} = \frac{44}{15} \cdot \frac{3}{22}$.
Сократим дробь: $44$ и $22$ на $22$, $15$ и $3$ на $3$.
$x = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{5}$.
$x = 0,4$.
Ответ: $x=0,4$.

4) $x : 0,4 = 2\frac{1}{9} : 3\frac{1}{6}$
Преобразуем все числа в обыкновенные дроби:
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$;
$2\frac{1}{9} = \frac{19}{9}$;
$3\frac{1}{6} = \frac{19}{6}$.
Подставим в уравнение:
$x : \frac{2}{5} = \frac{19}{9} : \frac{19}{6}$.
Вычислим правую часть:
$\frac{19}{9} : \frac{19}{6} = \frac{19}{9} \cdot \frac{6}{19} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
Уравнение принимает вид:
$x : \frac{2}{5} = \frac{2}{3}$.
Чтобы найти делимое $x$, нужно частное умножить на делитель:
$x = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$.
$x = \frac{4}{15}$.
Ответ: $x=\frac{4}{15}$.

5) $\frac{x}{1,8} = \frac{2,4}{3,6}$
Это пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
$x \cdot 3,6 = 1,8 \cdot 2,4$.
Выразим $x$:
$x = \frac{1,8 \cdot 2,4}{3,6}$.
Сократим $1,8$ и $3,6$ на $1,8$ (так как $3,6 = 2 \cdot 1,8$):
$x = \frac{1 \cdot 2,4}{2}$.
$x = \frac{2,4}{2}$.
$x = 1,2$.
Ответ: $x=1,2$.

6) $\frac{2,1}{x + 1\frac{4}{5}} = \frac{3}{10x}$
Преобразуем числа в дроби:
$2,1 = \frac{21}{10}$;
$1\frac{4}{5} = \frac{9}{5}$.
Уравнение примет вид:
$\frac{\frac{21}{10}}{x + \frac{9}{5}} = \frac{3}{10x}$.
Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$\frac{21}{10} \cdot 10x = 3 \cdot (x + \frac{9}{5})$.
Упростим левую часть:
$21x = 3 \cdot (x + \frac{9}{5})$.
Раскроем скобки в правой части:
$21x = 3x + 3 \cdot \frac{9}{5}$.
$21x = 3x + \frac{27}{5}$.
Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:
$21x - 3x = \frac{27}{5}$.
$18x = \frac{27}{5}$.
Найдем $x$:
$x = \frac{27}{5} : 18 = \frac{27}{5 \cdot 18}$.
Сократим $27$ и $18$ на $9$:
$x = \frac{3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$.
$x = 0,3$.
Ответ: $x=0,3$.

397 Реши уравнения:

1) $3.18x + 2.6 + 0.9x + x = 28;$

2) $2.4(3x + 2) + 0.3(x + 4) = 6.6;$

3) $7 \frac{1}{3} \cdot x = 1.6 : \frac{6}{11};$

4) $x : 0.4 = 2 \frac{1}{9} : 3 \frac{1}{6};$

5) $\frac{x}{1.8} = \frac{2.4}{3.6};$

6) $\frac{2.1}{x + 1 \frac{4}{5}} = \frac{3}{10x}.$

398 Объясни, почему доказательство проведено неверно. Для ложных утверждений приведи контрпример, а верные – докажи правильно.

1) Сумма двух простых чисел – простое число: например, $2$ – простое, $3$ – простое, и их сумма $2 + 3 = 5$ – тоже простое.

2) Произведение трёх последовательных натуральных чисел кратно $6$: например, при перемножении чисел $8, 9$ и $10$ получается число $720$, кратное $6$.

3) Если при делении на $5$ одно число даёт в остатке $2$, а другое $-3$, то их сумма кратна $5$: например, числа $12$ и $13$ дают при делении на $5$ остатки, соответственно, $2$ и $3$, а их сумма $12 + 13 = 25$ делится на $5$.

4) Сумма двух взаимно простых чисел – число простое: например, числа $9$ и $14$ – взаимно простые, и их сумма $9 + 14 = 23$ – число простое.

Общая ошибка во всех приведённых "доказательствах" заключается в том, что один частный пример, даже если он подтверждает утверждение, не может служить доказательством общего правила. Математическое утверждение, претендующее на общность, должно быть доказано для всех возможных случаев, а не для одного выбранного. Для опровержения общего утверждения, напротив, достаточно одного контрпримера.

1) Сумма двух простых чисел – простое число
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($2+3=5$), который подтверждает утверждение. Однако это не доказывает, что утверждение верно для любых двух простых чисел.
Данное утверждение является ложным.
Контрпример: Возьмём простые числа 3 и 7. Их сумма $3 + 7 = 10$. Число 10 является составным, так как оно делится на 2 и 5. Другой контрпример: сумма любых двух простых чисел, больших 2, будет чётным числом, большим 2, а следовательно, составным. Например, $5 + 11 = 16$.
Ответ: Утверждение ложно. Доказательство неверно, так как один пример не является доказательством. Контрпример: $3 + 7 = 10$, где 10 – составное число.

2) Произведение трёх последовательных натуральных чисел кратно 6
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($8 \cdot 9 \cdot 10 = 720$), который не доказывает общее правило. Однако само утверждение является верным.
Правильное доказательство:
Рассмотрим произведение трёх последовательных натуральных чисел: $n(n+1)(n+2)$.
Чтобы число было кратно 6, оно должно быть кратно 2 и 3 одновременно (поскольку 2 и 3 – взаимно простые числа).
1. Кратность 2: Среди любых двух последовательных чисел одно обязательно чётное. В нашей последовательности $n, n+1, n+2$ есть как минимум одно чётное число. Следовательно, их произведение всегда делится на 2.
2. Кратность 3: Среди любых трёх последовательных чисел одно обязательно делится на 3.

• Если $n$ кратно 3, то произведение кратно 3.
• Если $n$ даёт остаток 1 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+1$), то $n+2 = 3k+1+2 = 3k+3 = 3(k+1)$ кратно 3.
• Если $n$ даёт остаток 2 при делении на 3 (т.е. $n = 3k+2$), то $n+1 = 3k+2+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ кратно 3.

Таким образом, в любом случае один из множителей делится на 3, а значит и всё произведение делится на 3.
Поскольку произведение делится и на 2, и на 3, оно делится на $2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: Утверждение верно. Приведённый пример не является доказательством. Правильное доказательство основано на свойствах делимости последовательных чисел.

3) Если при делении на 5 одно число даёт в остатке 2, а другое – 3, то их сумма кратна 5
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($12+13=25$). Однако само утверждение является верным.
Правильное доказательство:
Пусть число $a$ при делении на 5 даёт в остатке 2. Это можно записать как $a = 5k + 2$ для некоторого целого $k$.
Пусть число $b$ при делении на 5 даёт в остатке 3. Это можно записать как $b = 5m + 3$ для некоторого целого $m$.
Тогда их сумма равна:
$a + b = (5k + 2) + (5m + 3) = 5k + 5m + 5 = 5(k + m + 1)$.
Полученное выражение представляет собой произведение числа 5 на целое число $(k + m + 1)$, следовательно, сумма $a+b$ всегда делится на 5.
Ответ: Утверждение верно. Приведённый пример не является доказательством. Правильное доказательство использует алгебраическое представление чисел с остатком.

4) Сумма двух взаимно простых чисел – число простое
Приведённое "доказательство" неверно, так как оно основано на единственном примере ($9+14=23$). Данное утверждение является ложным.
Контрпример: Возьмём числа 4 и 5. Они являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(4,5)=1). Их сумма $4 + 5 = 9$. Число 9 является составным, так как делится на 3.
Другой контрпример: числа 8 и 15. НОД(8,15)=1. Их сумма $8 + 15 = 23$ (простое). А вот числа 8 и 9 взаимно простые, но их сумма $8 + 9 = 17$ (простое). Ещё один контрпример: 15 и 16 взаимно простые, но $15+16=31$ (простое). Контрпример: 2 и 7 взаимно просты, $2+7=9$ (составное).
Ответ: Утверждение ложно. Доказательство неверно, так как один пример не является доказательством. Контрпример: числа 4 и 5 взаимно просты, но их сумма 9 – составное число.

398 Объясни, почему доказательство проведено неверно. Для ложных утверждений приведи контрпример, а верные – докажи правильно.

1) Сумма двух простых чисел – простое число: например, 2 – простое, 3 – простое, и их сумма $2 + 3 = 5$ – тоже простое.

2) Произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 6: например, при перемножении чисел 8, 9 и 10 получается число 720, кратное 6.

3) Если при делении на 5 одно число дает в остатке 2, а другое – 3, то их сумма кратна 5: например, числа 12 и 13 дают при делении на 5 остатки, соответственно, 2 и 3, а их сумма $12 + 13 = 25$ делится на 5.

4) Сумма двух взаимно простых чисел – число простое: например, числа 9 и 14 взаимно просты, и их сумма $9 + 14 = 23$ – число простое.

399 Переведи высказывание с математического языка на русский и докажи его:

1) $\exists a, b \in N: a^2 - 3b = 6;$

2) $\exists x, y \in N: x \ne y \text{ и } x^y = y^x;$

3) $\forall a, b, n \in N: (an) : (bn) = a : b;$

4) $\forall n \in N: [(2n + 1) + (2n + 3)] \text{ – кратно } 4.$

1) $ \exists a, b \in N: a^2 - 3b = 6 $

Перевод на русский язык: Существуют такие натуральные числа $a$ и $b$, что разность квадрата числа $a$ и утроенного числа $b$ равна 6.

Доказательство: Данное высказывание является утверждением о существовании. Чтобы его доказать, достаточно найти хотя бы одну пару натуральных чисел $a$ и $b$, которая удовлетворяет данному равенству.

Преобразуем уравнение: $a^2 = 6 + 3b$, или $a^2 = 3(2+b)$.

Из этого следует, что $a^2$ должно быть кратно 3. Если квадрат числа кратен 3, то и само число кратно 3. Попробуем подставить натуральные значения для $a$, кратные 3.

Пусть $a = 3$. Тогда $a^2 = 9$.

Подставим это значение в исходное уравнение: $9 - 3b = 6$.

$3b = 9 - 6$

$3b = 3$

$b = 1$

Мы нашли пару чисел $a=3$ и $b=1$. Оба числа являются натуральными. Следовательно, утверждение истинно.

Ответ: Высказывание верно, например, при $a=3$ и $b=1$.

2) $ \exists x, y \in N: x \neq y \text{ и } x^y = y^x $

Перевод на русский язык: Существуют такие различные натуральные числа $x$ и $y$, что $x$, возведенное в степень $y$, равно $y$, возведенному в степень $x$.

Доказательство: Это также утверждение о существовании. Необходимо найти хотя бы одну пару различных натуральных чисел $x$ и $y$, удовлетворяющих равенству.

Рассмотрим пару чисел $x = 2$ и $y = 4$. Они натуральные и не равны друг другу ($2 \neq 4$).

Проверим равенство:

Левая часть: $x^y = 2^4 = 16$.

Правая часть: $y^x = 4^2 = 16$.

Так как $16 = 16$, равенство выполняется. Мы нашли такую пару чисел.

Ответ: Высказывание верно, например, при $x=2$ и $y=4$.

3) $ \forall a, b, n \in N: (an) : (bn) = a : b $

Перевод на русский язык: Для любых натуральных чисел $a, b$ и $n$ отношение произведения $a$ на $n$ к произведению $b$ на $n$ равно отношению числа $a$ к числу $b$.

Доказательство: Данное высказывание является утверждением общности, поэтому оно должно быть верным для любых натуральных $a, b, n$.

Запишем левую часть равенства в виде дроби:

$(an) : (bn) = \frac{an}{bn}$

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \neq 0$. Согласно основному свойству дроби, мы можем сократить дробь на общий множитель $n$ в числителе и знаменателе:

$\frac{an}{bn} = \frac{a}{b}$

Выражение $\frac{a}{b}$ можно записать как $a:b$.

Таким образом, мы показали, что $(an) : (bn) = a : b$ для любых натуральных $a, b, n$.

Ответ: Высказывание верно, так как оно представляет собой основное свойство пропорции (или дроби).

4) $ \forall n \in N: [(2n + 1) + (2n + 3)] - \text{кратно 4} $

Перевод на русский язык: Для любого натурального числа $n$ сумма выражений $(2n + 1)$ и $(2n + 3)$ кратна 4.

Доказательство: Утверждение должно быть верным для любого натурального $n$.

Рассмотрим выражение в скобках и упростим его:

$(2n + 1) + (2n + 3) = 2n + 1 + 2n + 3 = 4n + 4$

Теперь вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4n + 4 = 4(n+1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+1$ также является натуральным числом. Полученное выражение $4(n+1)$ представляет собой произведение числа 4 и натурального числа $n+1$. Любое число, являющееся произведением 4 и целого числа, по определению кратно 4.

Следовательно, утверждение истинно для любого натурального $n$.

Ответ: Высказывание верно, так как сумма всегда равна $4(n+1)$, что по определению кратно 4.

399 Переведи высказывания с математического языка на русский и докажи их:

1) $\exists a, b \in N: a^2 - 3b = 6;$

2) $\exists x, y \in N: x \neq y \text{ и } x^y = y^x;$

3) $\forall a, b, n \in N: (an):(bn) = a:b;$

4) $\forall n \in N: [(2n + 1) + (2n + 3)] - \text{ кратно 4}.$

400 1) Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?

2) Существует ли квадрат, у которого длина стороны – натуральное число, а площадь равна 201201201?

1) Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?

Чтобы определить, какая из дробей ближе к единице, нужно сравнить расстояния от этих дробей до единицы на числовой прямой. Расстояние — это модуль разности между числом и единицей.

Пусть дана произвольная несократимая положительная правильная дробь $ \frac{a}{b} $. По определению правильной дроби, её числитель меньше знаменателя, то есть $ a < b $, где $ a $ и $ b $ — натуральные числа. Значение такой дроби меньше 1.

Обратная ей дробь будет $ \frac{b}{a} $. Поскольку $ a < b $, эта дробь является неправильной, и её значение больше 1.

1. Найдем расстояние от правильной дроби $ \frac{a}{b} $ до единицы: $ d_1 = |1 - \frac{a}{b}| = 1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b} $

2. Найдем расстояние от обратной ей неправильной дроби $ \frac{b}{a} $ до единицы: $ d_2 = |\frac{b}{a} - 1| = \frac{b}{a} - 1 = \frac{b-a}{a} $

3. Теперь сравним эти два расстояния: $ d_1 = \frac{b-a}{b} $ и $ d_2 = \frac{b-a}{a} $. Обе дроби имеют одинаковый положительный числитель $ (b-a) $. Из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

По условию, для правильной дроби $ a < b $. Следовательно, знаменатель $ a $ меньше знаменателя $ b $. Отсюда следует, что $ \frac{b-a}{a} > \frac{b-a}{b} $, то есть $ d_2 > d_1 $.

Это означает, что расстояние от неправильной дроби до единицы больше, чем расстояние от правильной дроби до единицы. Таким образом, правильная дробь всегда ближе к единице.

Пример: Возьмем правильную дробь $ \frac{3}{4} $. Обратная ей неправильная дробь — $ \frac{4}{3} $.

Расстояние от $ \frac{3}{4} $ до 1 равно $ 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $.

Расстояние от $ \frac{4}{3} $ до 1 равно $ \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} $.

Так как $ \frac{1}{4} < \frac{1}{3} $, правильная дробь $ \frac{3}{4} $ ближе к единице.

Ответ: К единице ближе правильная дробь.

2) Существует ли квадрат, у которого длина стороны — натуральное число, а площадь равна 201 201 201?

Площадь квадрата со стороной $ a $ равна $ S = a^2 $. Если длина стороны $ a $ — натуральное число, то его площадь $ a^2 $ должна быть полным квадратом (точным квадратом) натурального числа.

Таким образом, задача сводится к проверке, является ли число 201 201 201 полным квадратом.

Для того чтобы число было полным квадратом, все простые множители в его разложении должны входить в четных степенях.

Разложим число 201 201 201 на множители. Представим число в виде: $ 201201201 = 201 \times 10^6 + 201 \times 10^3 + 201 = 201 \times (10^6 + 10^3 + 1) = 201 \times 1001001 $

Теперь разложим на простые множители число 201. Сумма его цифр $ 2+0+1=3 $, значит, оно делится на 3. $ 201 = 3 \times 67 $

Число 67 является простым.

Таким образом, разложение числа 201 201 201 содержит простой множитель 67. $ 201201201 = 3 \times 67 \times 1001001 $

Чтобы исходное число было полным квадратом, множитель 67 должен входить в его разложение в четной степени. Это значит, что второй сомножитель, 1 001 001, также должен делиться на 67.

Проверим, делится ли 1 001 001 на 67, выполнив деление столбиком:

$ 1001001 \div 67 $

$ 100 \div 67 = 1 $ (остаток 33)

$ 331 \div 67 = 4 $ (остаток 63)

$ 630 \div 67 = 9 $ (остаток 27)

$ 270 \div 67 = 4 $ (остаток 2)

$ 21 \div 67 = 0 $ (остаток 21)

Деление дает частное 14940 и остаток 21. Следовательно, число 1 001 001 не делится нацело на 67.

Это означает, что в разложении числа 201 201 201 на простые множители простой множитель 67 входит в первой степени (нечетной).

Поскольку в разложении числа есть простой множитель в нечетной степени, оно не может быть полным квадратом натурального числа.

Ответ: Нет, такого квадрата не существует.

400 1) Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей неправильная?

2) Существует ли квадрат, у которого длина стороны – натуральное число, а площадь равна 201201201?

401 Построй формулу, выражающую зависимость площади $S$ фигуры от длин отрезков, указанных на чертеже. Вырази из этой формулы длину $b$.

1) $S = \frac{1}{2}ab$

$b = \frac{2S}{a}$

2) $S = \frac{1}{2}(a+b)c$

$b = \frac{2S}{c} - a$

3) $S = \frac{1}{2}(a+c)b$

$b = \frac{2S}{a+c}$

1)

Фигура на чертеже 1 представляет собой прямоугольный треугольник, катеты которого равны a и b. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Таким образом, формула для площади S имеет вид:

$S = \frac{1}{2}ab$

Чтобы выразить длину b из этой формулы, сначала умножим обе части уравнения на 2, а затем разделим на a:

$2S = ab$

$b = \frac{2S}{a}$

Ответ: $S = \frac{1}{2}ab$; $b = \frac{2S}{a}$.

2)

Фигура на чертеже 2 — это треугольник. Его основание состоит из двух отрезков, a и b, поэтому длина основания равна $a+b$. Высота треугольника, проведенная к этому основанию, равна c. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Формула для площади S будет следующей:

$S = \frac{1}{2}(a+b)c$

Чтобы выразить b, выполним следующие преобразования: умножим обе части на 2, разделим на c, а затем вычтем a.

$2S = (a+b)c$

$\frac{2S}{c} = a+b$

$b = \frac{2S}{c} - a$

Ответ: $S = \frac{1}{2}(a+b)c$; $b = \frac{2S}{c} - a$.

3)

Фигура на чертеже 3 является трапецией. Ее основаниями являются параллельные стороны длиной a (верхнее основание) и $a+c$ (нижнее основание). Высота трапеции равна b. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Таким образом, формула для площади S:

$S = \frac{a+(a+c)}{2} \cdot b = \frac{2a+c}{2} \cdot b$

Чтобы выразить b из этой формулы, умножим обе части уравнения на 2, а затем разделим на $(2a+c)$:

$2S = (2a+c)b$

$b = \frac{2S}{2a+c}$

Ответ: $S = \frac{2a+c}{2} \cdot b$; $b = \frac{2S}{2a+c}$.

401 Построй формулы, выражающие зависимость площади S фигуры от длин отрезков, указанных на чертеже. Вырази из этой формулы длину b.

1) $S = \frac{1}{2}ab$

$b = \frac{2S}{a}$

2) $S = \frac{1}{2}(a+b)c$

$b = \frac{2S}{c} - a$

3) $S = \frac{1}{2}(a+c)b$

$b = \frac{2S}{a+c}$

402 Вычисли площадь фигуры.

1) Треугольник:

Высота: $3$ м

Основание: $4$ м и $2$ м

2) Трапеция:

Верхнее основание: $20$ см

Высота: $12$ см

Части нижнего основания: $3$ см, $20$ см, $1$ см

3) Прямоугольный треугольник:

Основание: $10$ дм

Высота: $8$ дм

Отрезок на основании: $5$ дм

1)

Фигура представляет собой треугольник. Основание треугольника $a$ равно сумме длин двух отрезков: $4 \text{ м} + 2 \text{ м} = 6 \text{ м}$. Высота треугольника $h$ равна $3 \text{ м}$. Площадь фигуры вычисляется по формуле площади треугольника $S = \frac{1}{2}ah$.
Подставим значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 9$ м².
Ответ: 9 м².

2)

Фигура является трапецией. Верхнее основание $b = 20$ см. Нижнее основание $a$ состоит из трех отрезков и его длина равна $3 \text{ см} + 20 \text{ см} + 1 \text{ см} = 24 \text{ см}$. Высота трапеции $h = 12$ см. Площадь фигуры вычисляется по формуле площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$.
Подставим значения в формулу:
$S = \frac{24 \text{ см} + 20 \text{ см}}{2} \cdot 12 \text{ см} = \frac{44}{2} \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 22 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 264$ см².
Ответ: 264 см².

3)

Закрашенная фигура является прямоугольным треугольником. Его основание $a = 10$ дм, а высота $h = 8$ дм (эти стороны являются катетами треугольника). Площадь фигуры вычисляется по формуле площади треугольника $S = \frac{1}{2}ah$.
Подставим значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ дм} \cdot 8 \text{ дм} = 40$ дм².
Ответ: 40 дм².

402 Вычисли площади фигур:

1) $3 \text{ м}$

$4 \text{ м}$

$2 \text{ м}$

2) $20 \text{ см}$

$12 \text{ см}$

$3 \text{ см}$

$1 \text{ см}$

3) $8 \text{ дм}$

$10 \text{ дм}$

$5 \text{ дм}$

416 Расположи числа в порядке убывания. Сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй названия геометрических фигур:

1) $-17,5;$ Д $6,2;$ О $0;$ Т $-25 \frac{2}{3};$ Р $-4 \frac{2}{9};$ А $-6,8;$ Э $2 \frac{4}{9};$ К

2) $-0,2;$ С $19,6;$ О $-1,96;$ Э $-2,06;$ Р $19 \frac{6}{7};$ К $-2 \frac{2}{3};$ А $91,2;$ И $-2.$ Д

1)

Чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо их сравнить. Для удобства сравнения представим все числа в виде десятичных дробей.

Данные числа:

• Д: $-17,5$
• О: $6,2$
• Т: $0$
• Р: $-25\frac{2}{3} = -25,666... = -25,(6)$
• А: $-4\frac{2}{9} = -4,222... = -4,(2)$
• Э: $-6,8$
• К: $2\frac{4}{9} = 2,444... = 2,(4)$

Теперь расположим эти числа в порядке от наибольшего к наименьшему. Сначала идут положительные числа, затем ноль, а после — отрицательные. При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше.

$6,2 > 2\frac{4}{9} > 0 > -4\frac{2}{9} > -6,8 > -17,5 > -25\frac{2}{3}$

Сопоставив числа с их буквами, получаем следующую последовательность:

О, К, Т, А, Э, Д, Р

Из этих букв складывается название геометрической фигуры.

Ответ: ОКТАЭДР.

2)

Аналогично первому пункту, представим все числа в виде десятичных дробей для удобства сравнения.

Данные числа:

• С: $-0,2$
• О: $19,6$
• Э: $-1,96$
• Р: $-2,06$
• К: $19\frac{6}{7} \approx 19,857$
• А: $-\frac{2}{3} = -0,666... = -0,(6)$
• И: $91,2$
• Д: $-2$

Расположим числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему):

$91,2 > 19\frac{6}{7} > 19,6 > -0,2 > -\frac{2}{3} > -1,96 > -2 > -2,06$

Теперь сопоставим числа с соответствующими им буквами:

И, К, О, С, А, Э, Д, Р

Из этих букв складывается название другой геометрической фигуры.

Ответ: ИКОСАЭДР.

416 Расположи числа в порядке убывания, сопоставь их соответствующим буквам и расшифруй названия геометрических фигур:

1) $-17,5$; Д

$6,2$; О

$0$; Т

$-25\frac{2}{3}$; Р

$-4\frac{2}{9}$; А

$-6,8$; Э

$2\frac{4}{9}$. К

2) $-0,2$; С

$19,6$; О

$-1,96$; Э

$-2,06$; Р

$19\frac{6}{7}$; К

$-\frac{2}{3}$; А

$91,2$; И

$-2$. Д

417 Поставь вместо звёздочки знак > или знак <:

a) $1\frac{3}{4} * -1,85;$

б) $-78,9 * 0;$

в) $-15 * -17;$

г) $-3,06 * 2,6;$

д) $-9,4 * -9,2;$

е) $-2\frac{1}{3} * -2\frac{1}{5};$

ж) $-4\frac{5}{11} * -4\frac{7}{13};$

з) $12,045 * 12,35;$

и) $-7\frac{5}{6} * -7,8.$

417 Поставь вместо звездочки знак > или знак < :

а) $1 \frac{3}{4} * -1,85;$

б) $-78,9 * 0;$

в) $-15 * -17;$

г) $-3,06 * 2,6;$

д) $-9,4 * -9,2;$

е) $-2 \frac{1}{3} * -2 \frac{1}{5};$

ж) $-4 \frac{5}{11} * -4 \frac{7}{13};$

з) $12,045 * 12,35;$

и) $-7 \frac{5}{6} * -7,8.$

418 Реши уравнения:

1) $(3,6 - 2,5x) \cdot 1\frac{5}{7} - \frac{5}{7} = 1,6;$

2) $\frac{2}{3}y + 2y + \frac{5}{6}y + 1,5y = 0,35;$

3) $9z - 14 = 7z + 8;$

4) $\frac{1,6}{n + 6} = \frac{3}{5n};$

1) $(3,6 - 2,5x) \cdot 1\frac{5}{7} - \frac{5}{7} = 1,6$
Перенесем слагаемое $-\frac{5}{7}$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$(3,6 - 2,5x) \cdot 1\frac{5}{7} = 1,6 + \frac{5}{7}$
Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби для удобства вычислений: $1\frac{5}{7} = \frac{12}{7}$ и $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
$(3,6 - 2,5x) \cdot \frac{12}{7} = \frac{8}{5} + \frac{5}{7}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 35:
$\frac{8}{5} + \frac{5}{7} = \frac{8 \cdot 7}{35} + \frac{5 \cdot 5}{35} = \frac{56 + 25}{35} = \frac{81}{35}$
Уравнение принимает вид:
$(3,6 - 2,5x) \cdot \frac{12}{7} = \frac{81}{35}$
Теперь найдем значение выражения в скобках, разделив правую часть на известный множитель $\frac{12}{7}$:
$3,6 - 2,5x = \frac{81}{35} \div \frac{12}{7} = \frac{81}{35} \cdot \frac{7}{12}$
Сократим полученную дробь:
$3,6 - 2,5x = \frac{81 \cdot 7}{35 \cdot 12} = \frac{27 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{27}{20}$
Переведем дробь $\frac{27}{20}$ в десятичную: $1,35$.
$3,6 - 2,5x = 1,35$
Найдем $2,5x$:
$2,5x = 3,6 - 1,35$
$2,5x = 2,25$
Найдем $x$:
$x = 2,25 \div 2,5$
$x = 0,9$
Ответ: 0,9

2) $\frac{2}{3}y + 2y + \frac{5}{6}y + 1,5y = 0,35$
Сгруппируем все слагаемые с переменной $y$, вынеся ее за скобки:
$(\frac{2}{3} + 2 + \frac{5}{6} + 1,5)y = 0,35$
Для удобства вычислений преобразуем все коэффициенты в обыкновенные дроби: $2 = \frac{2}{1}$, $1,5 = \frac{3}{2}$ и $0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.
$(\frac{2}{3} + \frac{2}{1} + \frac{5}{6} + \frac{3}{2})y = \frac{7}{20}$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:
$(\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{5}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6})y = \frac{7}{20}$
$(\frac{4 + 12 + 5 + 9}{6})y = \frac{7}{20}$
$\frac{30}{6}y = \frac{7}{20}$
$5y = \frac{7}{20}$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 5:
$y = \frac{7}{20} \div 5 = \frac{7}{20 \cdot 5} = \frac{7}{100}$
$y = 0,07$
Ответ: 0,07

3) $9z - 14 = 7z + 8$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть уравнения, а постоянные члены (числа) - в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$9z - 7z = 8 + 14$
Упростим обе части уравнения:
$2z = 22$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $z$:
$z = \frac{22}{2}$
$z = 11$
Ответ: 11

4) $\frac{1,6}{n+6} = \frac{3}{5n}$
Данное уравнение является пропорцией. Область допустимых значений переменной $n$ определяется условиями $n+6 \neq 0$ и $5n \neq 0$, то есть $n \neq -6$ и $n \neq 0$.
Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1,6 \cdot 5n = 3 \cdot (n+6)$
Выполним умножение и раскроем скобки:
$8n = 3n + 18$
Перенесем слагаемое $3n$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$8n - 3n = 18$
$5n = 18$
Разделим обе части на 5, чтобы найти $n$:
$n = \frac{18}{5}$
$n = 3,6$
Полученное значение $n = 3,6$ удовлетворяет области допустимых значений.
Ответ: 3,6

418 Реши уравнения:

1) $(3,6-2,5x) \cdot 1\frac{5}{7} - \frac{5}{7} = 1,6;$

2) $\frac{2}{3}y + 2y + \frac{5}{6}y + 1,5y = 0,35;$

3) $9z - 14 = 7z + 8;$

4) $\frac{1,6}{n+6} = \frac{3}{5n}.$

419 Юбка, блузка и пиджак стоят вместе 5040 р. Стоимость блузки составляет 40 % стоимости пиджака и $ \frac{2}{7} $ стоимости юбки. Сколько стоит каждая вещь?

Во сколько раз стоимость юбки больше среднего арифметического стоимости пиджака и блузки?

Сколько стоит каждая вещь?

Пусть $Ю$ – стоимость юбки, $Б$ – стоимость блузки, $П$ – стоимость пиджака.

Согласно условию, составим систему уравнений:
1. $Ю + Б + П = 5040$
2. $Б = 0.4 \times П$ (стоимость блузки составляет 40% от стоимости пиджака)
3. $Б = \frac{2}{7} \times Ю$ (стоимость блузки составляет $\frac{2}{7}$ от стоимости юбки)

Из уравнений (2) и (3) выразим стоимость пиджака и юбки через стоимость блузки:
Из (2): $П = \frac{Б}{0.4} = \frac{Б}{4/10} = \frac{10}{4}Б = 2.5Б$
Из (3): $Ю = \frac{Б}{2/7} = \frac{7}{2}Б = 3.5Б$

Подставим полученные выражения для $Ю$ и $П$ в первое уравнение:
$3.5Б + Б + 2.5Б = 5040$
$(3.5 + 1 + 2.5)Б = 5040$
$7Б = 5040$

Теперь найдем стоимость блузки:
$Б = \frac{5040}{7} = 720$ (руб.)

Зная стоимость блузки, найдем стоимость юбки и пиджака:
Стоимость юбки: $Ю = 3.5 \times 720 = 2520$ (руб.)
Стоимость пиджака: $П = 2.5 \times 720 = 1800$ (руб.)

Проверка: $2520 + 720 + 1800 = 5040$ (руб.)

Ответ: Стоимость юбки – 2520 р., блузки – 720 р., пиджака – 1800 р.

Во сколько раз стоимость юбки больше среднего арифметического стоимости пиджака и блузки?

1. Найдем среднее арифметическое стоимости пиджака и блузки:
$\frac{П + Б}{2} = \frac{1800 + 720}{2} = \frac{2520}{2} = 1260$ (руб.)

2. Найдем, во сколько раз стоимость юбки (2520 руб.) больше полученного среднего арифметического (1260 руб.):
$\frac{2520}{1260} = 2$

Ответ: Стоимость юбки в 2 раза больше среднего арифметического стоимости пиджака и блузки.

419 Юбка, блузка и пиджак стоят вместе 5040 р. Стоимость блузки составляет 40% стоимости пиджака и $\frac{2}{7}$ стоимости юбки. Сколько стоит каждая вещь?

Во сколько раз стоимость юбки больше среднего арифметического стоимости пиджака и блузки?

420 Выполни деление $15,5151 : 0,36$ и округли результат:

1) до десятков;

2) до единиц;

3) до десятых;

4) до сотых;

5) до тысячных.

Сначала выполним деление 15,5151 на 0,36. Для того чтобы разделить на десятичную дробь, необходимо перенести запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их в делителе после запятой. В делителе 0,36 два знака после запятой, поэтому переносим запятую на два знака вправо и в делимом, и в делителе.

$15,5151 : 0,36 = 1551,51 : 36$

Выполнив деление (например, столбиком), получаем точный результат:

$1551,51 : 36 = 43,0975$

Теперь необходимо округлить полученное число 43,0975 до указанных разрядов.

1) до десятков

Чтобы округлить число до десятков, смотрим на цифру в следующем разряде (в разряде единиц). В числе 43,0975 это цифра 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятков (4) оставляем без изменений, а цифру в разряде единиц заменяем нулем. Дробную часть отбрасываем.

Ответ: 40

2) до единиц

Чтобы округлить число до единиц, смотрим на цифру в разряде десятых. В числе 43,0975 это цифра 0. Так как $0 < 5$, то цифру в разряде единиц (3) оставляем без изменений, а всю дробную часть отбрасываем.

Ответ: 43

3) до десятых

Чтобы округлить число до десятых, смотрим на цифру в разряде сотых. В числе 43,0975 это цифра 9. Так как $9 \geq 5$, то цифру в разряде десятых (0) увеличиваем на единицу ($0 + 1 = 1$), а все последующие цифры дробной части отбрасываем.

Ответ: 43,1

4) до сотых

Чтобы округлить число до сотых, смотрим на цифру в разряде тысячных. В числе 43,0975 это цифра 7. Так как $7 \geq 5$, то цифру в разряде сотых (9) увеличиваем на единицу. Так как $9 + 1 = 10$, в разряде сотых пишем 0, а к разряду десятых прибавляем 1 ($0 + 1 = 1$).

Ответ: 43,10

5) до тысячных

Чтобы округлить число до тысячных, смотрим на цифру в разряде десятитысячных. В числе 43,0975 это цифра 5. Так как $5 \geq 5$, то цифру в разряде тысячных (7) увеличиваем на единицу ($7 + 1 = 8$).

Ответ: 43,098

420 Выполни деление $15,5151 : 0,36$ и округли результат:

1) до десятков;

2) до единиц;

3) до десятых;

4) до сотых;

5) до тысячных.

C 421 Старинная задача

У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. У трёх вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец.

Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа коров в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было лошадей, коров и овец?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Количество лошадей у Власа, Тараса и Панаса: $Л_В, Л_Т, Л_П$
• Количество коров у Власа, Тараса и Панаса: $К_В, К_Т, К_П$
• Количество овец у Власа, Тараса и Панаса: $О_В, О_Т, О_П$
• Общее количество лошадей, коров и овец: $Л_{общ}, К_{общ}, О_{общ}$

Из условия известно, что у каждого хозяина общее число голов скота одинаково. Обозначим это число как $N$.

$Л_В + К_В + О_В = N$

$Л_Т + К_Т + О_Т = N$

$Л_П + К_П + О_П = N$

1. Найдем соотношение общего количества животных каждого вида.

По условию, у трёх вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец.

$Л_{общ} = \frac{К_{общ}}{2} \implies К_{общ} = 2 \cdot Л_{общ}$

$К_{общ} = \frac{О_{общ}}{3} \implies О_{общ} = 3 \cdot К_{общ}$

Выразим все через количество лошадей. Если $Л_{общ} = x$, то:

$К_{общ} = 2x$

$О_{общ} = 3 \cdot (2x) = 6x$

Общее число всех животных у троих хозяев равно $x + 2x + 6x = 9x$. Так как у каждого хозяина животных поровну, общее число животных должно быть кратно 3. $9x$ кратно 3 при любом целом $x$. Количество животных у каждого хозяина равно $N = \frac{9x}{3} = 3x$.

Ответ: Общее количество лошадей, коров и овец соотносятся как $1:2:6$.

2. Найдем количество лошадей у каждого хозяина.

По условию, у Власа и Тараса лошадей поровну ($Л_В = Л_Т$), а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трёх вместе ($Л_П = \frac{Л_{общ}}{4}$).

Так как $Л_{общ} = Л_В + Л_Т + Л_П$, подставим известные соотношения:

$Л_{общ} = Л_В + Л_В + \frac{Л_{общ}}{4}$

$Л_{общ} - \frac{Л_{общ}}{4} = 2Л_В$

$\frac{3}{4}Л_{общ} = 2Л_В \implies Л_В = \frac{3}{8}Л_{общ}$

Поскольку количество лошадей должно быть целым числом, общее количество лошадей $Л_{общ} = x$ должно быть кратно 8. Возьмем наименьшее возможное значение $x = 8$.

Тогда:

$Л_{общ} = 8$

$К_{общ} = 2 \cdot 8 = 16$

$О_{общ} = 6 \cdot 8 = 48$

Общее число животных: $8 + 16 + 48 = 72$.

Число животных у каждого хозяина: $N = \frac{72}{3} = 24$.

Теперь рассчитаем количество лошадей у каждого:

$Л_В = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3$ лошади

$Л_Т = Л_В = 3$ лошади

$Л_П = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2$ лошади

Проверка: $3 + 3 + 2 = 8 = Л_{общ}$.

Ответ: У Власа 3 лошади, у Тараса 3 лошади, у Панаса 2 лошади.

3. Найдем количество коров у каждого хозяина.

По условию, у Тараса и Панаса коров поровну ($К_Т = К_П$), а у Власа в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса вместе ($К_В = \frac{К_Т + К_П}{3}$).

Так как $К_Т = К_П$, то $К_В = \frac{2К_Т}{3}$.

Общее количество коров $К_{общ} = К_В + К_Т + К_П$. Подставляем значения:

$16 = \frac{2К_Т}{3} + К_Т + К_Т$

$16 = \frac{2К_Т}{3} + 2К_Т$

$16 = \frac{2К_Т + 6К_Т}{3} = \frac{8К_Т}{3}$

$К_Т = \frac{16 \cdot 3}{8} = 6$ коров

Теперь находим количество коров у остальных:

$К_П = К_Т = 6$ коров

$К_В = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4$ коровы

Проверка: $4 + 6 + 6 = 16 = К_{общ}$.

Ответ: У Власа 4 коровы, у Тараса 6 коров, у Панаса 6 коров.

4. Найдем количество овец у каждого и проведем итоговую проверку.

Мы знаем, что у каждого хозяина по 24 животных. Также по условию у Власа овец на две больше, чем у Тараса ($О_В = О_Т + 2$).

Для Власа: $Л_В + К_В + О_В = 24 \implies 3 + 4 + О_В = 24 \implies 7 + О_В = 24 \implies О_В = 17$ овец.

Для Тараса: $О_В = О_Т + 2 \implies 17 = О_Т + 2 \implies О_Т = 15$ овец.

Для Панаса: $О_{общ} = О_В + О_Т + О_П \implies 48 = 17 + 15 + О_П \implies 48 = 32 + О_П \implies О_П = 16$ овец.

Проверим общее количество животных для Тараса и Панаса:

Тарас: $Л_Т + К_Т + О_Т = 3 + 6 + 15 = 24$. Верно.

Панас: $Л_П + К_П + О_П = 2 + 6 + 16 = 24$. Верно.

Все условия задачи выполнены.

Ответ:

• У Власа: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец.
• У Тараса: 3 лошади, 6 коров, 15 овец.
• У Панаса: 2 лошади, 6 коров, 16 овец.

C 421 Старинная задача.

У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. У трех вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трех вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа коров в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было лошадей, коров и овец?

422 Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трёх- и четырёхлитровая. Как налить $1$ л сока в трёхлитровую банку?

Для того чтобы отмерить 1 литр сока и налить его в трёхлитровую банку, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Наполнить доверху четырёхлитровую банку из шестилитровой. В исходной шестилитровой банке останется $6 - 4 = 2$ литра сока.

2. Из полной четырёхлитровой банки перелить сок в пустую трёхлитровую банку до её наполнения. В четырёхлитровой банке при этом останется $4 - 3 = 1$ литр сока.

3. Вылить весь сок (3 литра) из трёхлитровой банки обратно в шестилитровую. В шестилитровой банке станет $2 + 3 = 5$ литров, а трёхлитровая банка снова станет пустой.

4. Перелить 1 литр сока, который остался в четырёхлитровой банке, в пустую трёхлитровую банку.

В результате в трёхлитровой банке окажется ровно 1 литр сока.

Ответ: Сначала налить полную 4-литровую банку, затем из неё наполнить 3-литровую (в 4-литровой останется 1 л). После этого 3-литровую банку опорожнить обратно в 6-литровую. В конце перелить 1 л из 4-литровой банки в пустую 3-литровую.

422 Имеются шестилитровая банка сока и две пустые банки: трех- и четырехлитровая. Как налить 1 литр сока в трехлитровую банку?

395 Сформулируй высказывания с использованием союза «если..., то...» и запиши их на математическом языке. Построй обратные высказывания. Как объединить прямое и обратное высказывания в одно предложение?

а) Параллельные прямые не имеют общих точек.

б) Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.

а)

Исходное утверждение «Параллельные прямые не имеют общих точек» в форме высказывания с использованием союза «если..., то...» (прямое высказывание) выглядит так:
Если две прямые на плоскости параллельны, то они не имеют общих точек.
На математическом языке, для двух прямых $a$ и $b$ на плоскости, это записывается как импликация:
$a \parallel b \Rightarrow a \cap b = \emptyset$

Обратное высказывание получается заменой условия и заключения местами:
Если две прямые на плоскости не имеют общих точек, то они параллельны.
Математическая запись обратного высказывания:
$a \cap b = \emptyset \Rightarrow a \parallel b$

Прямое и обратное высказывания можно объединить в одно предложение, поскольку оба они истинны для прямых на плоскости. Для этого используется оборот «тогда и только тогда, когда».
Две прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда они не имеют общих точек.
На математическом языке это соответствует знаку эквиваленции (равносильности):
$a \parallel b \Leftrightarrow a \cap b = \emptyset$

Ответ:
Прямое высказывание: «Если две прямые на плоскости параллельны, то они не имеют общих точек» ($a \parallel b \Rightarrow a \cap b = \emptyset$).
Обратное высказывание: «Если две прямые на плоскости не имеют общих точек, то они параллельны» ($a \cap b = \emptyset \Rightarrow a \parallel b$).
Объединить прямое и обратное высказывания можно в одно предложение с помощью оборота «тогда и только тогда, когда».

б)

Исходное утверждение «Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом» в форме высказывания с использованием союза «если..., то...» (прямое высказывание) выглядит так:
Если две прямые перпендикулярны, то они пересекаются под прямым углом.
На математическом языке, для двух прямых $a$ и $b$, это записывается следующим образом:
$a \perp b \Rightarrow \angle(a, b) = 90^\circ$

Обратное высказывание для данного утверждения:
Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они перпендикулярны.
Математическая запись обратного высказывания:
$\angle(a, b) = 90^\circ \Rightarrow a \perp b$

Прямое и обратное высказывания являются истинными (фактически, это определение перпендикулярных прямых) и могут быть объединены в одно эквивалентное утверждение с помощью оборота «тогда и только тогда, когда».
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда они пересекаются под прямым углом.
На математическом языке:
$a \perp b \Leftrightarrow \angle(a, b) = 90^\circ$

Ответ:
Прямое высказывание: «Если две прямые перпендикулярны, то они пересекаются под прямым углом» ($a \perp b \Rightarrow \angle(a, b) = 90^\circ$).
Обратное высказывание: «Если две прямые пересекаются под прямым углом, то они перпендикулярны» ($\angle(a, b) = 90^\circ \Rightarrow a \perp b$).
Объединить прямое и обратное высказывания можно в одно предложение с помощью оборота «тогда и только тогда, когда».

395 Сформулируй высказывания с использованием союза «если..., то...» и запиши их на математическом языке. Построй обратные высказывания. Как объединить прямое и обратное высказывания в одно предложение?

a) Параллельные прямые не имеют общих точек.

б) Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.

396 Построй обратные высказывания к данным общим высказываниям. Докажи, что обратные высказывания являются ложными, и построй их отрицания.

а) Вертикальные углы равны.

б) Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

а)

Исходное высказывание: "Вертикальные углы равны". В форме условного утверждения "Если..., то..." оно звучит так: "Если два угла являются вертикальными, то они равны".

Обратным к нему будет высказывание, в котором условие и заключение меняются местами: "Если два угла равны, то они являются вертикальными".

Докажем, что это обратное высказывание ложно. Для этого достаточно привести один контрпример. Рассмотрим любой равнобедренный треугольник. Углы при его основании равны, но они не являются вертикальными. Таким образом, утверждение, что любые два равных угла обязательно являются вертикальными, неверно.

Отрицанием ложного обратного высказывания "Если два угла равны, то они являются вертикальными" будет истинное высказывание: "Существуют равные углы, которые не являются вертикальными".

Ответ: Обратное высказывание: "Если два угла равны, то они являются вертикальными". Оно ложно, что доказывается на примере равных углов при основании равнобедренного треугольника, которые не являются вертикальными. Отрицание обратного высказывания: "Существуют равные углы, которые не являются вертикальными".

б)

Исходное высказывание: "Сумма смежных углов равна 180°". В форме условного утверждения: "Если два угла являются смежными, то их сумма равна $180°$".

Обратное высказывание: "Если сумма двух углов равна $180°$, то они являются смежными".

Это высказывание также является ложным. Приведем контрпример: рассмотрим два противолежащих угла в прямоугольнике. Каждый из них равен $90°$, и их сумма составляет $90° + 90° = 180°$. Однако эти углы не являются смежными, так как у них нет общей стороны.

Отрицанием ложного обратного высказывания "Если сумма двух углов равна $180°$, то они являются смежными" будет истинное высказывание: "Существуют углы, сумма которых равна $180°$, но они не являются смежными".

Ответ: Обратное высказывание: "Если сумма двух углов равна $180°$, то они являются смежными". Оно ложно, так как, например, сумма двух противолежащих углов прямоугольника равна $180°$, но они не смежные. Отрицание обратного высказывания: "Существуют углы, сумма которых равна $180°$, но они не являются смежными".

396 Построй обратные высказывания к данным общим высказываниям. Докажи, что обратные высказывания являются ложными, и построй их отрицания.

a) Вертикальные углы равны.

б) Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

397 Прочитай определения и сделай рисунки. Назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. В какой последовательности могут вводиться эти определения?

а) Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

б) Отрезок $AH$ называется перпендикуляром, проведённым из точки $A$ к прямой $a$ ($A \notin a$, $H \in a$), если прямые $AH$ и $a$ перпендикулярны.

в) Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

г) Прямая, пересекающая прямую $p$ и не перпендикулярная ей, называется наклонной к прямой $p$.

а)

Здесь определяется понятие высоты треугольника. Для его определения используются следующие понятия: перпендикуляр, проведённый из точки к прямой (в данном случае, из вершины треугольника), вершина треугольника, прямая, содержащая противоположную сторону.

Ответ: Определяемое понятие — высота треугольника. Оно опирается на понятия: перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, вершина треугольника, прямая, содержащая противоположную сторону.

б)

Здесь определяется понятие перпендикуляра, проведённого из точки к прямой. Оно опирается на понятия: отрезок, точка, прямая и, самое главное, на понятие перпендикулярных прямых.

Ответ: Определяемое понятие — перпендикуляр, проведённый из точки к прямой. Оно опирается на понятия: отрезок, точка, прямая, перпендикулярные прямые.

в)

Здесь определяется понятие перпендикулярных прямых. Это определение опирается на более фундаментальные понятия: прямая, пересечение прямых и прямой угол (угол в $90^\circ$).

Ответ: Определяемое понятие — перпендикулярные прямые. Оно опирается на понятия: прямая, пересечение прямых, прямой угол.

г)

Здесь определяется понятие наклонной. Оно вводится через отрицание перпендикулярности, а значит, опирается на понятия: прямая, пересечение прямых и уже известное определение перпендикулярных прямых.

Ответ: Определяемое понятие — наклонная. Оно опирается на понятия: прямая, пересечение прямых, перпендикулярные прямые (через отрицание).

Последовательность введения определений

Чтобы ввести новое определение, необходимо, чтобы все понятия, на которые оно опирается, уже были определены. Проанализируем зависимости:

1. Определение высоты (а) требует понятия перпендикуляра из точки к прямой (б). Значит, (б) должно быть раньше (а).

2. Определение перпендикуляра (б) требует понятия перпендикулярных прямых (в). Значит, (в) должно быть раньше (б).

3. Определение наклонной (г) требует понятия перпендикулярных прямых (в). Значит, (в) должно быть раньше (г).

4. Определение перпендикулярных прямых (в) является самым базовым из представленных, так как оно опирается на фундаментальное понятие прямого угла.

Таким образом, логическая цепочка выстраивается следующим образом: сначала должно идти определение (в), затем (б) и (г) (они оба зависят от (в), но независимы друг от друга), и только после (б) можно ввести определение (а).

Ответ: Одна из возможных логически верных последовательностей введения этих определений: в) → б) → г) → а). Другая возможная последовательность: в) → г) → б) → а).

397 Прочитай определения и сделай рисунки. Назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. В какой последовательности могут вводиться эти определения?

а) Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

б) Отрезок $AH$ называется перпендикуляром, проведенным из точки $A$ к прямой $a$ ($A \notin a, H \in a$), если прямые $AH$ и $a$ перпендикулярны.

в) Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

г) Прямая, пересекающая прямую $p$ и не перпендикулярная ей, называется наклонной к прямой $p$.

398 Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства чисел помогают упростить вычисления? Запиши их в буквенном виде.

а) 2,76 + 46,8 + 5,24 + 3,2;

б) 0,01 + 0,02 + ... + 0,98 + 0,99;

в) $\frac{11}{79} \cdot \frac{4}{9} \cdot 7\frac{2}{11} \cdot 2,25;$

г) 8 · 40 · 0,2 · 1,25 · 5 · 0,25.

а) $2,76 + 46,8 + 5,24 + 3,2$

Чтобы упростить вычисления, используем переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать слагаемые, дающие в сумме "круглые" числа.

$2,76 + 46,8 + 5,24 + 3,2 = (2,76 + 5,24) + (46,8 + 3,2) = 8 + 50 = 58$

Использованные свойства:
Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$.
Сочетательное свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Ответ: 58

б) $0,01 + 0,02 + ... + 0,98 + 0,99$

Это сумма членов арифметической прогрессии. Удобнее всего сгруппировать слагаемые парами: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. Сумма каждой такой пары равна 1.

$(0,01 + 0,99) + (0,02 + 0,98) + \dots$

Всего в последовательности 99 чисел. Из них можно составить 49 пар, сумма каждой из которых равна 1. Центральное число 0,50 останется без пары.
Сумма 49 пар: $49 \cdot 1 = 49$.
Общая сумма: $49 + 0,50 = 49,5$.

Другой способ — использовать формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $n=99$:
$S_{99} = \frac{(0,01 + 0,99) \cdot 99}{2} = \frac{1 \cdot 99}{2} = 49,5$.

Для группировки слагаемых использовались переместительное и сочетательное свойства сложения.
Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$.
Сочетательное свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Ответ: 49,5

в) $\frac{11}{79} \cdot \frac{4}{9} \cdot 7\frac{2}{11} \cdot 2,25$

Сначала преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби:
$7\frac{2}{11} = \frac{7 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{79}{11}$
$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

Теперь перепишем выражение и, используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем взаимно обратные множители:
$\frac{11}{79} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{79}{11} \cdot \frac{9}{4} = (\frac{11}{79} \cdot \frac{79}{11}) \cdot (\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4}) = 1 \cdot 1 = 1$

Использованные свойства:
Переместительное свойство умножения: $a \cdot b = b \cdot a$.
Сочетательное свойство умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Ответ: 1

г) $8 \cdot 40 \cdot 0,2 \cdot 1,25 \cdot 5 \cdot 0,25$

Сгруппируем множители так, чтобы их произведения были круглыми числами, используя переместительное и сочетательное свойства умножения.

$(8 \cdot 1,25) \cdot (40 \cdot 0,25) \cdot (0,2 \cdot 5)$

Вычислим произведения в скобках:
$8 \cdot 1,25 = 10$
$40 \cdot 0,25 = 40 \cdot \frac{1}{4} = 10$
$0,2 \cdot 5 = 1$

Теперь перемножим полученные результаты:
$10 \cdot 10 \cdot 1 = 100$

Использованные свойства:
Переместительное свойство умножения: $a \cdot b = b \cdot a$.
Сочетательное свойство умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Ответ: 100

398 Вычисли наиболее удобным способом. Какие свойства чисел помогают упростить вычисления? Запиши их в буквенном виде.

а) $2,76 + 46,8 + 5,24 + 3,2;$

б) $0,01 + 0,02 + ... + 0,98 + 0,99;$

в) $\frac{11}{79} \cdot \frac{4}{9} \cdot 7\frac{2}{11} \cdot 2,25;$

г) $8 \cdot 40 \cdot 0,2 \cdot 1,25 \cdot 5 \cdot 0,25.$

399 Найди значение выражения:

а) $-a + \frac{1}{2}b + 0,4a - 0,5b$, если $a = 4,5$, $b = -0,78$;

б) $0,4(2n - 2,5) - 1,6(k - 0,5) - 0,8(n - k)$, если $n = 9,6$, $k = -5,25$.

а) $-a + \frac{1}{2}b + 0,4a - 0,5b$, если $a = 4,5, b = -0,78$

Сначала упростим выражение, сгруппировав подобные слагаемые. Для удобства представим обыкновенную дробь в виде десятичной: $\frac{1}{2} = 0,5$.

$-a + \frac{1}{2}b + 0,4a - 0,5b = (-a + 0,4a) + (0,5b - 0,5b)$

Выполним действия в скобках:

$-a + 0,4a = (-1 + 0,4)a = -0,6a$

$0,5b - 0,5b = 0$

Таким образом, исходное выражение упрощается до $-0,6a$. Значение переменной $b$ не влияет на результат.

Теперь подставим значение $a = 4,5$ в упрощенное выражение:

$-0,6 \cdot 4,5 = -2,7$

Ответ: -2,7

б) $0,4(2n - 2,5) - 1,6(k - 0,5) - 0,8(n - k)$, если $n = 9,6, k = -5,25$

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$0,4(2n - 2,5) - 1,6(k - 0,5) - 0,8(n - k) = 0,4 \cdot 2n - 0,4 \cdot 2,5 - 1,6 \cdot k - 1,6 \cdot (-0,5) - 0,8 \cdot n - 0,8 \cdot (-k)$

$= 0,8n - 1 - 1,6k + 0,8 - 0,8n + 0,8k$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(0,8n - 0,8n) + (-1,6k + 0,8k) + (-1 + 0,8)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$0,8n - 0,8n = 0$

$-1,6k + 0,8k = -0,8k$

$-1 + 0,8 = -0,2$

В результате упрощения получаем выражение: $-0,8k - 0,2$. Значение переменной $n$ не влияет на результат.

Подставим значение $k = -5,25$ в упрощенное выражение:

$-0,8 \cdot (-5,25) - 0,2$

Сначала выполним умножение:

$-0,8 \cdot (-5,25) = 4,2$

Теперь выполним вычитание:

$4,2 - 0,2 = 4$

Ответ: 4

399 Найди значения выражений:

a) $-a + \frac{1}{2}b + 0.4a - 0.5b$, если $a = 4.5, b = -0.78$;

б) $0.4(2n - 2.5) - 1.6(k - 0.5) - 0.8(n - k)$, если $n = 9.6, k = -5.25$.

400 Найди множество корней уравнения:

a) $2,4x - 1,5 = 0,2 - 0,6(3 - 4x);$

б) $1,4y - 0,4(5y - 3) = -0,6(y - 2);$

в) $9,2a + 36,9 = 4,8(12,6 - a) + 10,72;$

г) $-7,14 + 2,7b = 20,5 - 3,5(14,8 - b).$

а) $2,4x - 1,5 = 0,2 - 0,6(3 - 4x)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $-0,6$ на каждый член в скобках:

$2,4x - 1,5 = 0,2 - (0,6 \cdot 3 - 0,6 \cdot 4x)$

$2,4x - 1,5 = 0,2 - (1,8 - 2,4x)$

$2,4x - 1,5 = 0,2 - 1,8 + 2,4x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$2,4x - 1,5 = -1,6 + 2,4x$

Теперь перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены (числа) в другую. Вычтем $2,4x$ из обеих частей уравнения:

$2,4x - 2,4x - 1,5 = -1,6$

$-1,5 = -1,6$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: множество корней пустое ($\emptyset$).

б) $1,4y - 0,4(5y - 3) = -0,6(y - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$1,4y - (0,4 \cdot 5y - 0,4 \cdot 3) = -0,6 \cdot y - 0,6 \cdot (-2)$

$1,4y - 2y + 1,2 = -0,6y + 1,2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(1,4 - 2)y + 1,2 = -0,6y + 1,2$

$-0,6y + 1,2 = -0,6y + 1,2$

Мы получили тождество, то есть равенство, которое верно при любом значении переменной $y$. Следовательно, решением уравнения является любое число.

Ответ: множество корней - все действительные числа ($\mathbb{R}$).

в) $9,2a + 36,9 = 4,8(12,6 - a) + 10,72$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$9,2a + 36,9 = 4,8 \cdot 12,6 - 4,8 \cdot a + 10,72$

$9,2a + 36,9 = 60,48 - 4,8a + 10,72$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$9,2a + 36,9 = (60,48 + 10,72) - 4,8a$

$9,2a + 36,9 = 71,2 - 4,8a$

Перенесем члены с переменной $a$ в левую часть, а свободные члены в правую:

$9,2a + 4,8a = 71,2 - 36,9$

$14a = 34,3$

Найдем $a$, разделив обе части на 14:

$a = \frac{34,3}{14}$

$a = 2,45$

Ответ: $2,45$.

г) $-7,14 + 2,7b = 20,5 - 3,5(14,8 - b)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$-7,14 + 2,7b = 20,5 - (3,5 \cdot 14,8 - 3,5 \cdot b)$

$-7,14 + 2,7b = 20,5 - 51,8 + 3,5b$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$-7,14 + 2,7b = (20,5 - 51,8) + 3,5b$

$-7,14 + 2,7b = -31,3 + 3,5b$

Перенесем члены с переменной $b$ в правую часть, а свободные члены в левую:

$-7,14 + 31,3 = 3,5b - 2,7b$

$24,16 = 0,8b$

Найдем $b$, поменяв части местами и разделив на 0,8:

$b = \frac{24,16}{0,8}$

$b = \frac{241,6}{8}$

$b = 30,2$

Ответ: $30,2$.

400 Найди множество корней уравнения:

а) $2.4x - 1.5 = 0.2 - 0.6(3 - 4x)$;

б) $1.4y - 0.4(5y - 3) = -0.6(y - 2)$;

в) $9.2a + 36.9 = 4.8(12.6 - a) + 10.72$;

г) $-7.14 + 2.7b = 20.5 - 3.5(14.8 - b)$.

D 401 Построй треугольник ABC по двум сторонам $a$ и $b$. Сколько решений имеет эта задача?

$a$

$b$

Построй треугольник ABC по двум сторонам a и b

Задача в такой постановке не имеет единственного решения, так как для однозначного определения треугольника необходимо знать три его элемента (например, две стороны и угол между ними). Имея только длины двух сторон $a$ и $b$, мы можем построить бесконечно много различных треугольников.

Чтобы выполнить построение, необходимо задать третий параметр. Например, можно выбрать произвольную точку для третьей вершины, соблюдая одно из условий. Ниже приведён общий алгоритм построения одного из возможных треугольников.

1. Выберем на плоскости произвольную точку $C$, которая будет одной из вершин треугольника.
2. Проведём из точки $C$ произвольный луч и отложим на нём отрезок $CA$, длина которого равна $b$.
3. Теперь нужно найти положение третьей вершины $B$. Мы знаем, что её расстояние от точки $C$ должно быть равно $a$. Геометрическим местом точек, удалённых от $C$ на расстояние $a$, является окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.
4. Выберем на построенной окружности любую точку $B$, не лежащую на прямой $AC$ (чтобы треугольник не был вырожденным).
5. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками.

Полученный треугольник $ABC$ будет иметь стороны $CA = b$ и $CB = a$, что удовлетворяет условию. Поскольку точку $B$ на окружности можно выбрать бесконечным числом способов, то и треугольников можно построить бесконечно много.

Сколько решений имеет эта задача?

Эта задача имеет бесконечное множество решений.

Причина в том, что по двум сторонам треугольник однозначно не определяется. Третий независимый элемент, который зафиксировал бы форму и размеры треугольника, может быть выбран произвольно в определённых границах:

• Выбор третьей стороны: Длина третьей стороны $c$ (в нашем построении это сторона $AB$) должна удовлетворять неравенству треугольника: $|a - b| < c < a + b$. Любое число из этого интервала может быть длиной третьей стороны. Поскольку в этом интервале существует бесконечное множество действительных чисел, существует и бесконечное множество возможных треугольников.
• Выбор угла: Угол $\gamma = \angle ACB$ между сторонами $a$ и $b$ может принимать любое значение в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$ для невырожденного треугольника. Каждому значению угла соответствует свой уникальный треугольник. Так как в этом интервале бесконечно много значений, то и решений бесконечно много.

Таким образом, по двум заданным сторонам можно построить не один конкретный треугольник, а целое семейство различных треугольников.

Ответ: Задача имеет бесконечное множество решений.

401 Построй треугольник ABC по двум сторонам $a$ и $b$. Сколько решений имеет эта задача?

$a$

$b$