Номер 421, страница 93, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Сравнение рациональных чисел. Параграф 1. Понятие рационального числа. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 421, страница 93.

Условие 2023.

C 421 Старинная задача

У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. У трёх вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец.

Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трёх вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа коров в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было лошадей, коров и овец?

Решение 2 (2023).

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Количество лошадей у Власа, Тараса и Панаса: $Л_В, Л_Т, Л_П$
• Количество коров у Власа, Тараса и Панаса: $К_В, К_Т, К_П$
• Количество овец у Власа, Тараса и Панаса: $О_В, О_Т, О_П$
• Общее количество лошадей, коров и овец: $Л_{общ}, К_{общ}, О_{общ}$

Из условия известно, что у каждого хозяина общее число голов скота одинаково. Обозначим это число как $N$.

$Л_В + К_В + О_В = N$

$Л_Т + К_Т + О_Т = N$

$Л_П + К_П + О_П = N$

1. Найдем соотношение общего количества животных каждого вида.

По условию, у трёх вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец.

$Л_{общ} = \frac{К_{общ}}{2} \implies К_{общ} = 2 \cdot Л_{общ}$

$К_{общ} = \frac{О_{общ}}{3} \implies О_{общ} = 3 \cdot К_{общ}$

Выразим все через количество лошадей. Если $Л_{общ} = x$, то:

$К_{общ} = 2x$

$О_{общ} = 3 \cdot (2x) = 6x$

Общее число всех животных у троих хозяев равно $x + 2x + 6x = 9x$. Так как у каждого хозяина животных поровну, общее число животных должно быть кратно 3. $9x$ кратно 3 при любом целом $x$. Количество животных у каждого хозяина равно $N = \frac{9x}{3} = 3x$.

Ответ: Общее количество лошадей, коров и овец соотносятся как $1:2:6$.

2. Найдем количество лошадей у каждого хозяина.

По условию, у Власа и Тараса лошадей поровну ($Л_В = Л_Т$), а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трёх вместе ($Л_П = \frac{Л_{общ}}{4}$).

Так как $Л_{общ} = Л_В + Л_Т + Л_П$, подставим известные соотношения:

$Л_{общ} = Л_В + Л_В + \frac{Л_{общ}}{4}$

$Л_{общ} - \frac{Л_{общ}}{4} = 2Л_В$

$\frac{3}{4}Л_{общ} = 2Л_В \implies Л_В = \frac{3}{8}Л_{общ}$

Поскольку количество лошадей должно быть целым числом, общее количество лошадей $Л_{общ} = x$ должно быть кратно 8. Возьмем наименьшее возможное значение $x = 8$.

Тогда:

$Л_{общ} = 8$

$К_{общ} = 2 \cdot 8 = 16$

$О_{общ} = 6 \cdot 8 = 48$

Общее число животных: $8 + 16 + 48 = 72$.

Число животных у каждого хозяина: $N = \frac{72}{3} = 24$.

Теперь рассчитаем количество лошадей у каждого:

$Л_В = \frac{3}{8} \cdot 8 = 3$ лошади

$Л_Т = Л_В = 3$ лошади

$Л_П = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2$ лошади

Проверка: $3 + 3 + 2 = 8 = Л_{общ}$.

Ответ: У Власа 3 лошади, у Тараса 3 лошади, у Панаса 2 лошади.

3. Найдем количество коров у каждого хозяина.

По условию, у Тараса и Панаса коров поровну ($К_Т = К_П$), а у Власа в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса вместе ($К_В = \frac{К_Т + К_П}{3}$).

Так как $К_Т = К_П$, то $К_В = \frac{2К_Т}{3}$.

Общее количество коров $К_{общ} = К_В + К_Т + К_П$. Подставляем значения:

$16 = \frac{2К_Т}{3} + К_Т + К_Т$

$16 = \frac{2К_Т}{3} + 2К_Т$

$16 = \frac{2К_Т + 6К_Т}{3} = \frac{8К_Т}{3}$

$К_Т = \frac{16 \cdot 3}{8} = 6$ коров

Теперь находим количество коров у остальных:

$К_П = К_Т = 6$ коров

$К_В = \frac{2 \cdot 6}{3} = 4$ коровы

Проверка: $4 + 6 + 6 = 16 = К_{общ}$.

Ответ: У Власа 4 коровы, у Тараса 6 коров, у Панаса 6 коров.

4. Найдем количество овец у каждого и проведем итоговую проверку.

Мы знаем, что у каждого хозяина по 24 животных. Также по условию у Власа овец на две больше, чем у Тараса ($О_В = О_Т + 2$).

Для Власа: $Л_В + К_В + О_В = 24 \implies 3 + 4 + О_В = 24 \implies 7 + О_В = 24 \implies О_В = 17$ овец.

Для Тараса: $О_В = О_Т + 2 \implies 17 = О_Т + 2 \implies О_Т = 15$ овец.

Для Панаса: $О_{общ} = О_В + О_Т + О_П \implies 48 = 17 + 15 + О_П \implies 48 = 32 + О_П \implies О_П = 16$ овец.

Проверим общее количество животных для Тараса и Панаса:

Тарас: $Л_Т + К_Т + О_Т = 3 + 6 + 15 = 24$. Верно.

Панас: $Л_П + К_П + О_П = 2 + 6 + 16 = 24$. Верно.

Все условия задачи выполнены.

Ответ:

• У Власа: 3 лошади, 4 коровы, 17 овец.
• У Тараса: 3 лошади, 6 коров, 15 овец.
• У Панаса: 2 лошади, 6 коров, 16 овец.

Условие 2010-2022.

C 421 Старинная задача.

У Власа, Тараса и Панаса было поровну голов скота: лошадей, коров и овец. У трех вместе лошадей в два раза меньше, чем коров, а коров в три раза меньше, чем овец. Лошадей у Власа и Тараса поровну, а у Панаса в четыре раза меньше, чем у трех вместе. Коров у Тараса и Панаса поровну, а у Власа коров в три раза меньше, чем у Тараса и Панаса у обоих вместе. Овец у Власа было двумя больше, чем у Тараса. Сколько у кого было лошадей, коров и овец?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).