Страница 101, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

436 С помощью диаграммы изменения остаточной стоимости медиапроектора, купленного в 2002 г., определи:

а) срок его службы;

б) стоимость при покупке;

в) накопленный износ (т. е. общую сумму уменьшения стоимости) на начало 2009 года;

г) остаточную стоимость в 2009 году (остаточная стоимость равна разности первоначальной стоимости и накопленного износа);

д) процент износа на начало 2009 года (т. е. отношение накопленного износа к первоначальной стоимости).

Остаточная стоимость

Тыс. р.

40

30

20

10

0

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

Годы

а) срок его службы
Из диаграммы следует, что медиапроектор был куплен в 2002 году, а его остаточная стоимость стала равной нулю в 2010 году. Это означает, что он служил с начала 2002 года до конца 2009 года. Срок службы составляет $2010 - 2002 = 8$ лет.
Ответ: 8 лет.

б) стоимость при покупке
Стоимость при покупке — это остаточная стоимость в год покупки, то есть в 2002 году. Согласно диаграмме, столбец для 2002 года соответствует значению 40 по оси "Тыс. р.".
Ответ: 40 тыс. р.

в) накопленный износ на начало 2009 года
Накопленный износ — это разница между первоначальной стоимостью и остаточной стоимостью на определенный момент. На начало 2009 года остаточная стоимость равна стоимости на конец 2008 года.
Первоначальная стоимость (в 2002 г.): 40 тыс. р.
Остаточная стоимость на конец 2008 г.: 10 тыс. р.
Накопленный износ = $40 - 10 = 30$ тыс. р.
Ответ: 30 тыс. р.

г) остаточную стоимость в 2009 году
Остаточную стоимость в 2009 году можно определить непосредственно по диаграмме. Столбец, соответствующий 2009 году, достигает отметки 5 на оси стоимости.
Ответ: 5 тыс. р.

д) процент износа на начало 2009 года
Процент износа — это отношение накопленного износа к первоначальной стоимости, выраженное в процентах.
Накопленный износ на начало 2009 года: 30 тыс. р.
Первоначальная стоимость: 40 тыс. р.
Процент износа = $\frac{30}{40} \times 100\% = 0,75 \times 100\% = 75\%$.
Ответ: 75%.

436 С помощью диаграммы изменения остаточной стоимости медиапроектора, купленного в 2002 г., определи:

а) срок его службы;

б) стоимость при покупке;

в) накопленный износ (т.е. общую сумму уменьшения стоимости) на начало 2009 года;

г) остаточную стоимость в 2009 году (остаточная стоимость равна разности первоначальной стоимости и накопленного износа);

д) процент износа на начало 2009 года (т.е. отношение накопленного износа к первоначальной стоимости).

Остаточная стоимость

437 По закону о защите прав потребителя продавец несёт ответственность за каждый день задержки выполнения требований потребителя о замене некачественного товара в размере $1\%$ цены вещи. Чему была равна стоимость товара, если продавец вынужден был заплатить (включая стоимость товара):

1) с учётом задержки на 15 дней – 1840 р.;

2) с учётом задержки на 45 дней – 1203,5 р.;

3) с учётом задержки на 3 дня – 10,3 тыс. р.?

Пусть $C$ — первоначальная стоимость товара. По условию, за каждый день задержки продавец выплачивает неустойку в размере 1% от стоимости товара. В долях это составляет $0,01 \times C$. Если задержка составила $n$ дней, то общая сумма неустойки будет равна $n \times 0,01 \times C$. Общая сумма $S$, которую заплатил продавец, складывается из стоимости товара и общей суммы неустойки:
$S = C + n \times 0,01 \times C$
Эту формулу можно упростить, вынеся $C$ за скобки:
$S = C \times (1 + 0,01 \times n)$
Из этой формулы можно выразить первоначальную стоимость товара $C$:
$C = \frac{S}{1 + 0,01 \times n}$
Используем эту формулу для решения каждого из трёх случаев.

437 По закону о защите прав потребителя продавец несет ответственность за каждый день задержки выполнения требований потребителя о замене некачественного товара в размере $1\%$ цены вещи. Чему была равна стоимость товара, если продавец вынужден был заплатить (включая стоимость товара):

1) с учетом задержки на 15 дней – 1840 р.;

2) с учетом задержки на 45 дней – 1203,5 р.;

3) с учетом задержки на 3 дня – 10,3 тыс. р.?

438 Стоимость нереализованного товара в конце каждого 5-го дня уменьшается на 3 % от первоначальной стоимости. Считая первоначальную стоимость равной 200 р., вычисли стоимость этого товара:

а) на 6-й день;

б) на 15-й день;

в) на 20-й день;

г) на 26-й день.

По условию, первоначальная стоимость товара составляет 200 рублей. В конце каждого 5-го дня стоимость уменьшается на 3% от первоначальной стоимости, а не от текущей. Это означает, что сумма, на которую уменьшается цена, всегда одна и та же.

1. Вычислим величину этого постоянного уменьшения стоимости:
$200 \text{ р.} \times \frac{3}{100} = 6 \text{ р.}$
Таким образом, стоимость товара уменьшается на 6 рублей в конце 5-го, 10-го, 15-го, 20-го дня и так далее.

2. Теперь рассчитаем стоимость для каждого указанного дня.

а) на 6-й день

К началу 6-го дня прошел один 5-дневный период. Снижение цены произошло один раз — в конце 5-го дня.
Новая стоимость товара составляет:
$200 - 1 \times 6 = 194$ рубля.
Ответ: 194 рубля.

б) на 15-й день

К началу 15-го дня прошло два полных 5-дневных периода. Снижение цены происходило дважды: в конце 5-го и в конце 10-го дня. Третье снижение произойдет только в конце 15-го дня, поэтому в течение дня цена еще не изменится.
Общее уменьшение стоимости составляет:
$2 \times 6 = 12$ рублей.
Стоимость товара на 15-й день:
$200 - 12 = 188$ рублей.
Ответ: 188 рублей.

в) на 20-й день

К началу 20-го дня прошло три полных 5-дневных периода. Снижение цены происходило трижды: в конце 5-го, 10-го и 15-го дня.
Общее уменьшение стоимости составляет:
$3 \times 6 = 18$ рублей.
Стоимость товара на 20-й день:
$200 - 18 = 182$ рубля.
Ответ: 182 рубля.

г) на 26-й день

К началу 26-го дня прошло пять полных 5-дневных периодов. Снижение цены происходило пять раз: в конце 5-го, 10-го, 15-го, 20-го и 25-го дня.
Общее уменьшение стоимости составляет:
$5 \times 6 = 30$ рублей.
Стоимость товара на 26-й день:
$200 - 30 = 170$ рублей.
Ответ: 170 рублей.

438 Стоимость нереализованного товара в конце каждого 5-го дня уменьшается на $3\%$ от первоначальной стоимости. Считая первоначальную стоимость равной 200 р., вычисли стоимость этого товара:

а) на 6-й день;

б) на 15-й день;

в) на 20-й день;

г) на 26-й день.

439 Под какой процент годовых, считая от первоначальной суммы, надо положить в банк сумму 1 тыс. р., чтобы по истечении восьми лет получить:

a) 2 тыс. р.;

б) 1,4 тыс. р.;

в) 5 тыс. р.;

г) 9 тыс. р.?

В задаче речь идет о простом проценте, так как указано "считая от первоначальной суммы". Это означает, что проценты каждый год начисляются на исходную сумму вклада, а не на сумму с уже начисленными процентами.

Формула для расчета итоговой суммы $A$ при вкладе с простыми процентами выглядит так:
$A = P + I$
где $P$ – первоначальная сумма, а $I$ – общая сумма начисленных процентов за весь срок.
Сумма процентов $I$ вычисляется по формуле:
$I = P \cdot r \cdot t$
где $r$ – годовая процентная ставка (в виде десятичной дроби), а $t$ – количество лет.

Таким образом, итоговая формула: $A = P + P \cdot r \cdot t$ или $A = P(1 + rt)$.
Наша задача – найти годовую процентную ставку $r$. Выразим ее из формулы:
$A - P = P \cdot r \cdot t$
$r = \frac{A - P}{P \cdot t}$

По условию задачи:
Первоначальная сумма $P = 1$ тыс. р.
Срок вклада $t = 8$ лет.

Теперь решим задачу для каждого случая.

а)

Итоговая сумма $A = 2$ тыс. р.

Подставим значения в формулу для $r$:
$r = \frac{2 - 1}{1 \cdot 8} = \frac{1}{8} = 0,125$

Чтобы выразить ставку в процентах, умножим полученное значение на 100:
$0,125 \cdot 100\% = 12,5\%$

Ответ: 12,5%.

б)

Итоговая сумма $A = 1,4$ тыс. р.

Подставим значения в формулу:
$r = \frac{1,4 - 1}{1 \cdot 8} = \frac{0,4}{8} = 0,05$

Переведем в проценты:
$0,05 \cdot 100\% = 5\%$

Ответ: 5%.

в)

Итоговая сумма $A = 5$ тыс. р.

Подставим значения в формулу:
$r = \frac{5 - 1}{1 \cdot 8} = \frac{4}{8} = 0,5$

Переведем в проценты:
$0,5 \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: 50%.

г)

Итоговая сумма $A = 9$ тыс. р.

Подставим значения в формулу:
$r = \frac{9 - 1}{1 \cdot 8} = \frac{8}{8} = 1$

Переведем в проценты:
$1 \cdot 100\% = 100\%$

Ответ: 100%.

439 Под какой процент годовых, считая от первоначальной суммы, надо положить в банк сумму 1 тыс. р., чтобы по истечении восьми лет получить:

а) 2 тыс. р.;

б) 1,4 тыс. р.;

в) 5 тыс. р.;

г) 9 тыс. р.?

440 Сколько рублей составят пени за несвоевременную квартирную плату в размере 5100 р., которая была просрочена на:

а) 30 дней;

б) 36 дней;

в) 66 дней;

г) 130 дней?

Для решения этой задачи необходимо знать правила начисления пеней за просрочку коммунальных платежей. Согласно части 14 статьи 155 Жилищного кодекса РФ, пени не начисляются за первые 30 дней просрочки. С 31-го по 90-й день пени начисляются в размере $ \frac{1}{300} $ от ключевой ставки Центрального банка РФ за каждый день, а с 91-го дня — в размере $ \frac{1}{130} $ от ключевой ставки.

Поскольку ключевая ставка в условии задачи не указана, для расчетов примем ее условное значение, часто используемое в учебных задачах, — 10% годовых.
Сумма задолженности ($S$) составляет 5100 рублей.

Просрочка составляет 30 дней. Так как пени начинают начисляться только с 31-го дня, за 30 дней просрочки их размер равен нулю.
Ответ: 0 рублей.

Просрочка составляет 36 дней. Пени начисляются за период с 31-го по 36-й день, то есть за $36 - 30 = 6$ дней. Расчет ведется по ставке $ \frac{1}{300} $.
Формула для расчета: $Пени = S \times \frac{1}{300} \times \frac{Ставка_{ЦБ}}{100} \times Количество\_дней$
$Пени = 5100 \times \frac{1}{300} \times \frac{10}{100} \times 6 = 17 \times 0.1 \times 6 = 10.2$ рубля.
Ответ: 10,2 рубля.

Просрочка составляет 66 дней. Пени начисляются за период с 31-го по 66-й день, то есть за $66 - 30 = 36$ дней. Расчет ведется по ставке $ \frac{1}{300} $.
$Пени = 5100 \times \frac{1}{300} \times \frac{10}{100} \times 36 = 17 \times 0.1 \times 36 = 61.2$ рубля.
Ответ: 61,2 рубля.

Просрочка составляет 130 дней. Расчет разбивается на два периода, так как с 91-го дня ставка меняется.
1. Расчет за период с 31-го по 90-й день ($90 - 30 = 60$ дней) по ставке $ \frac{1}{300} $:
$Пени_1 = 5100 \times \frac{1}{300} \times \frac{10}{100} \times 60 = 17 \times 0.1 \times 60 = 102$ рубля.
2. Расчет за период с 91-го по 130-й день ($130 - 90 = 40$ дней) по ставке $ \frac{1}{130} $:
$Пени_2 = 5100 \times \frac{1}{130} \times \frac{10}{100} \times 40 = \frac{5100 \times 0.1 \times 40}{130} = \frac{20400}{130} = \frac{2040}{13} \approx 156.92$ рубля.
3. Общая сумма пеней является суммой пеней за два периода:
$Общие\_пени = Пени_1 + Пени_2 = 102 + 156.92 = 258.92$ рубля.
Ответ: 258,92 рубля.

440 Сколько процентов составляет пеня за несвоевременную квартирную плату, если за 20 дней просрочки сумма квартплаты увеличилась:

а) с 1500 до 1530 р.;

б) с 900 до 954 р.;

в) с 1200 до 1236 р.;

г) с 1400 до 1419,6 р.?

441 Господин N решил похудеть, и для этого он стал заниматься на велотренажёре. В первый день он «проехал» 5 км. Каждый следующий день он решил проезжать больше предыдущего дня на 10 % от расстояния первого дня. На какой день занятий он должен будет проехать 15 км? Сколько всего километров он проедет за всё это время?

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, так как каждый день расстояние увеличивается на одну и ту же величину.

Первый член прогрессии ($a_1$) — это расстояние, пройденное в первый день, то есть $a_1 = 5$ км.

Разность прогрессии ($d$) — это величина, на которую увеличивается расстояние каждый день. По условию, это 10% от расстояния первого дня:
$d = 5 \text{ км} \times 10\% = 5 \times 0.1 = 0.5$ км.

Таким образом, мы имеем арифметическую прогрессию с параметрами: $a_1 = 5$ и $d = 0.5$.

На какой день занятий он должен будет проехать 15 км?

Чтобы найти, на какой день ($n$) он проедет 15 км ($a_n$), воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения в формулу:
$15 = 5 + (n-1) \times 0.5$

Решим уравнение относительно $n$:
$15 - 5 = (n-1) \times 0.5$
$10 = (n-1) \times 0.5$
$n - 1 = \frac{10}{0.5}$
$n - 1 = 20$
$n = 21$

Таким образом, 15 км он проедет на 21-й день.
Ответ: на 21-й день.

Сколько всего километров он проедет за всё это время?

Теперь нужно найти общее расстояние, пройденное за все 21 день. Это сумма первых 21 членов арифметической прогрессии ($S_{21}$).

Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2}$.

Мы знаем все необходимые значения:
- количество дней $n = 21$;
- расстояние в первый день $a_1 = 5$ км;
- расстояние в последний (21-й) день $a_{21} = 15$ км.

Подставим эти значения в формулу:
$S_{21} = \frac{(5 + 15) \times 21}{2}$
$S_{21} = \frac{20 \times 21}{2}$
$S_{21} = 10 \times 21$
$S_{21} = 210$ км.

За 21 день господин N проедет в общей сложности 210 км.
Ответ: 210 км.

441 Господин N решил похудеть, и для этого он стал заниматься на велотренажере. В первый день он "проехал" $5 \text{ км}$. Каждый следующий день он решил проезжать больше предыдущего дня на $10\%$ от расстояния первого дня. На какой день занятий он должен будет проехать $15 \text{ км}$? Сколько всего километров он проедет за все это время?

452 Длина прямоугольника на 3 см больше ширины. Чему равны периметр и площадь прямоугольника, если:

1) длина больше ширины в 1,3 раза;

2) ширина составляет $\frac{4}{7}$ длины;

3) длина на 60 % больше ширины;

4) ширина на 10 % меньше длины?

Для решения задачи обозначим длину прямоугольника как $l$, а ширину как $w$.

Из основного условия известно, что длина на 3 см больше ширины. Это можно записать в виде уравнения: $l = w + 3$.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(l+w)$, а площадь ($S$) — по формуле $S = l \cdot w$.

Рассмотрим каждый из четырех случаев.

1) длина больше ширины в 1,3 раза;

Это условие можно записать как $l = 1.3w$.

Получаем систему из двух уравнений:

$l = w + 3$

$l = 1.3w$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части, чтобы найти ширину $w$:

$w + 3 = 1.3w$

$1.3w - w = 3$

$0.3w = 3$

$w = \frac{3}{0.3} = 10$ см.

Теперь найдем длину $l$, подставив значение $w$ в первое уравнение:

$l = 10 + 3 = 13$ см.

Вычислим периметр и площадь прямоугольника:

$P = 2(13 + 10) = 2 \cdot 23 = 46$ см.

$S = 13 \cdot 10 = 130$ см².

Ответ: периметр 46 см, площадь 130 см².

2) ширина составляет $\frac{4}{7}$ длины;

Это условие можно записать как $w = \frac{4}{7}l$.

Получаем систему из двух уравнений:

$l = w + 3$

$w = \frac{4}{7}l$

Подставим выражение для $w$ из второго уравнения в первое, чтобы найти длину $l$:

$l = (\frac{4}{7}l) + 3$

$l - \frac{4}{7}l = 3$

$\frac{7}{7}l - \frac{4}{7}l = 3$

$\frac{3}{7}l = 3$

$l = 3 \cdot \frac{7}{3} = 7$ см.

Теперь найдем ширину $w$:

$w = 7 - 3 = 4$ см.

Вычислим периметр и площадь прямоугольника:

$P = 2(7 + 4) = 2 \cdot 11 = 22$ см.

$S = 7 \cdot 4 = 28$ см².

Ответ: периметр 22 см, площадь 28 см².

3) длина на 60 % больше ширины;

Это означает, что длина равна ширине плюс 60% от ширины. Математически это записывается так: $l = w + 0.6w = 1.6w$.

Получаем систему из двух уравнений:

$l = w + 3$

$l = 1.6w$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти ширину $w$:

$w + 3 = 1.6w$

$1.6w - w = 3$

$0.6w = 3$

$w = \frac{3}{0.6} = 5$ см.

Теперь найдем длину $l$:

$l = 5 + 3 = 8$ см.

Вычислим периметр и площадь прямоугольника:

$P = 2(8 + 5) = 2 \cdot 13 = 26$ см.

$S = 8 \cdot 5 = 40$ см².

Ответ: периметр 26 см, площадь 40 см².

4) ширина на 10 % меньше длины?

Это означает, что ширина равна длине минус 10% от длины. Математически это записывается так: $w = l - 0.1l = 0.9l$.

Получаем систему из двух уравнений:

$l = w + 3$

$w = 0.9l$

Подставим выражение для $w$ из второго уравнения в первое, чтобы найти длину $l$:

$l = (0.9l) + 3$

$l - 0.9l = 3$

$0.1l = 3$

$l = \frac{3}{0.1} = 30$ см.

Теперь найдем ширину $w$:

$w = 30 - 3 = 27$ см.

Вычислим периметр и площадь прямоугольника:

$P = 2(30 + 27) = 2 \cdot 57 = 114$ см.

$S = 30 \cdot 27 = 810$ см².

Ответ: периметр 114 см, площадь 810 см².

452 Длина прямоугольника на 3 см больше ширины. Чему равны периметр и площадь прямоугольника, если:

1) длина больше ширины в 1,3 раза;

2) ширина составляет $ \frac{4}{7} $ длины;

3) длина на 60% больше ширины;

4) ширина на 10% меньше длины?

453 БЛИЦтурнир

1) Ширина прямоугольника $a$ см, а длина на $30 \%$ больше. Чему равен периметр прямоугольника?

2) Длина прямоугольника $b$ дм, а ширина на $20 \%$ меньше. Чему равна площадь прямоугольника?

3) Ширина прямоугольника $c$ м, что составляет $\frac{1}{3}$ его длины. Чему равна длина стороны квадрата с тем же периметром?

4) Сторону квадрата, равную $d$ см, уменьшили на $40 \%$. На сколько квадратных сантиметров уменьшилась его площадь?

5) Длина прямоугольника $a$ дм, а площадь – $n$ дм$^2$. Чему равен периметр прямоугольника?

6) Ширина прямоугольника $b$ м, а периметр – $p$ м. Чему равна площадь прямоугольника?

1) Пусть ширина прямоугольника равна $a$ см. Длина на 30% больше, это значит, что она составляет $100\% + 30\% = 130\%$ от ширины.
Найдем длину: $a \times \frac{130}{100} = 1.3a$ см.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(ширина + длина)$.
$P = 2(a + 1.3a) = 2(2.3a) = 4.6a$ см.
Ответ: $4.6a$ см.

2) Пусть длина прямоугольника равна $b$ дм. Ширина на 20% меньше, это значит, что она составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от длины.
Найдем ширину: $b \times \frac{80}{100} = 0.8b$ дм.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = длина \times ширина$.
$S = b \times 0.8b = 0.8b^2$ дм².
Ответ: $0.8b^2$ дм².

3) Ширина прямоугольника равна $c$ м, что составляет $\frac{1}{3}$ его длины.
Найдем длину: если $ширина = \frac{1}{3} \times длина$, то $длина = 3 \times ширина = 3c$ м.
Найдем периметр прямоугольника: $P_{прямоугольника} = 2(ширина + длина) = 2(c + 3c) = 2(4c) = 8c$ м.
По условию, периметр квадрата равен периметру прямоугольника, то есть $P_{квадрата} = 8c$ м.
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{квадрата} = 4 \times сторона$.
Найдем сторону квадрата: $сторона = \frac{P_{квадрата}}{4} = \frac{8c}{4} = 2c$ м.
Ответ: $2c$ м.

4) Начальная сторона квадрата равна $d$ см.
Начальная площадь квадрата: $S_1 = d^2$ см².
Сторону уменьшили на 40%, значит, новая сторона составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от начальной.
Новая сторона квадрата: $d \times 0.6 = 0.6d$ см.
Новая площадь квадрата: $S_2 = (0.6d)^2 = 0.36d^2$ см².
Найдем, на сколько уменьшилась площадь: $S_1 - S_2 = d^2 - 0.36d^2 = 0.64d^2$ см².
Ответ: на $0.64d^2$ см².

5) Длина прямоугольника равна $a$ дм, а площадь — $n$ дм².
Из формулы площади $S = длина \times ширина$ найдем ширину: $ширина = \frac{S}{длина} = \frac{n}{a}$ дм.
Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(длина + ширина)$.
$P = 2(a + \frac{n}{a})$ дм.
Ответ: $2(a + \frac{n}{a})$ дм.

6) Ширина прямоугольника равна $b$ м, а периметр — $p$ м.
Из формулы периметра $P = 2(длина + ширина)$ найдем длину.
$p = 2(длина + b)$
$\frac{p}{2} = длина + b$
$длина = \frac{p}{2} - b$ м.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = длина \times ширина$.
$S = (\frac{p}{2} - b) \times b = b(\frac{p}{2} - b)$ м².
Ответ: $b(\frac{p}{2} - b)$ м².

453 БЛИЦтурнир.

1) Ширина прямоугольника $a$ см, а длина на 30% больше. Чему равен периметр прямоугольника?

2) Длина прямоугольника $b$ дм, а ширина на 20% меньше. Чему равна площадь прямоугольника?

3) Ширина прямоугольника $c$ м, что составляет $\frac{1}{3}$ его длины. Чему равна длина стороны квадрата с тем же периметром?

4) Сторону квадрата, равную $d$ см, уменьшили на 40%. На сколько квадратных сантиметров уменьшилась его площадь?

5) Длина прямоугольника $a$ дм, а площадь – $n$ дм$^2$. Чему равен периметр прямоугольника?

6) Ширина прямоугольника $b$ м, а периметр – $p$ м. Чему равна площадь прямоугольника?

454 1) Одну сторону прямоугольника уменьшили на 25 %, а вторую – увеличили на 60 %. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов?

2) Длина прямоугольника в 1,5 раза больше ширины. Длину уменьшили на 40%, а ширину увеличили на 40 %. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?

1) Пусть исходные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его исходная площадь равна $S = a \cdot b$.
После уменьшения одной стороны на 25%, ее новая длина стала $a_1 = a - 0.25a = 0.75a$.
После увеличения второй стороны на 60%, ее новая длина стала $b_1 = b + 0.60b = 1.6b$.
Новая площадь прямоугольника будет равна $S_1 = a_1 \cdot b_1 = (0.75a) \cdot (1.6b) = 1.2ab$.
Сравним новую площадь с исходной: $S_1 = 1.2S$. Так как $1.2 > 1$, площадь увеличилась.
Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, вычислим разницу в процентах:
$\frac{S_1 - S}{S} \cdot 100\% = \frac{1.2S - S}{S} \cdot 100\% = \frac{0.2S}{S} \cdot 100\% = 0.2 \cdot 100\% = 20\%$.
Ответ: площадь увеличилась на 20 %.

2) Пусть исходная ширина прямоугольника равна $w$. Тогда, согласно условию, его длина равна $l = 1.5w$.
Исходный периметр прямоугольника равен $P = 2(l + w) = 2(1.5w + w) = 2(2.5w) = 5w$.
Длину уменьшили на 40%, новая длина стала $l_1 = l - 0.4l = 0.6l = 0.6 \cdot (1.5w) = 0.9w$.
Ширину увеличили на 40%, новая ширина стала $w_1 = w + 0.4w = 1.4w$.
Новый периметр прямоугольника будет равен $P_1 = 2(l_1 + w_1) = 2(0.9w + 1.4w) = 2(2.3w) = 4.6w$.
Сравним новый периметр с исходным: $P_1 = 4.6w$, а $P = 5w$. Так как $4.6w < 5w$, периметр уменьшился.
Чтобы найти, на сколько процентов уменьшился периметр, вычислим процентное изменение:
$\frac{P - P_1}{P} \cdot 100\% = \frac{5w - 4.6w}{5w} \cdot 100\% = \frac{0.4w}{5w} \cdot 100\% = 0.08 \cdot 100\% = 8\%$.
Ответ: периметр уменьшился на 8 %.

454 1) Одну сторону прямоугольника уменьшили на 25%, а вторую – увеличили на 60%. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов?

2) Длина прямоугольника в 1,5 раза больше ширины. Длину уменьшили на 40%, а ширину увеличили на 40%. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?

455 Прочитай и упрости отношения, если значения всех переменных отличны от нуля. Какое свойство отношений при этом используется?

а) $39 : 52;$

б) $\frac{320}{480};$

в) $4 : 1,6;$

г) $5\frac{2}{3} : 2,125;$

д) $0,3 : 0,18 : 0,12;$

е) $7 : 2\frac{1}{3} : 2,8;$

ж) $(3,2m^2) : (8mn);$

з) $\frac{4,5ab}{5,4b^2}.$

Для упрощения всех отношений используется основное свойство отношения: значение отношения не изменится, если все его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

а) 39 : 52

Отношение читается как «тридцать девять к пятидесяти двум». Для упрощения разделим оба члена отношения на их наибольший общий делитель. $НОД(39, 52) = 13$.
$39 : 52 = (39 : 13) : (52 : 13) = 3 : 4$.

Ответ: $3:4$

б) $\frac{320}{480}$

Отношение читается как «триста двадцать к четырёмстам восьмидесяти». Для упрощения сократим дробь. Сначала можно сократить на 10, а затем на 16 (наибольший общий делитель для 32 и 48).
$\frac{320}{480} = \frac{32}{48} = \frac{32 : 16}{48 : 16} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) 4 : 1,6

Отношение читается как «четыре к одной целой шести десятым». Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим оба члена отношения на 10.
$4 : 1,6 = (4 \cdot 10) : (1,6 \cdot 10) = 40 : 16$.
Теперь упростим полученное отношение, разделив оба члена на их $НОД(40, 16) = 8$.
$40 : 16 = (40 : 8) : (16 : 8) = 5 : 2$.

Ответ: $5:2$

г) $5\frac{2}{3}$ : 2,125

Отношение читается как «пять целых две третьих к двум целым ста двадцати пяти тысячным». Преобразуем оба числа в неправильные дроби.
$5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}$
$2,125 = 2\frac{125}{1000} = 2\frac{1}{8} = \frac{17}{8}$
Получаем отношение: $\frac{17}{3} : \frac{17}{8}$.
Разделим оба члена на 17: $\frac{1}{3} : \frac{1}{8}$.
Теперь умножим оба члена на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 8, то есть на 24.
$(\frac{1}{3} \cdot 24) : (\frac{1}{8} \cdot 24) = 8 : 3$.

Ответ: $8:3$

д) 0,3 : 0,18 : 0,12

Отношение читается как «ноль целых три десятых к нолю целых восемнадцати сотым к нолю целых двенадцати сотым». Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим все члены отношения на 100.
$0,3 : 0,18 : 0,12 = (0,3 \cdot 100) : (0,18 \cdot 100) : (0,12 \cdot 100) = 30 : 18 : 12$.
Теперь разделим все члены на их наибольший общий делитель $НОД(30, 18, 12) = 6$.
$30 : 18 : 12 = (30:6) : (18:6) : (12:6) = 5 : 3 : 2$.

Ответ: $5:3:2$

е) 7 : $2\frac{1}{3}$ : 2,8

Отношение читается как «семь к двум целым одной третьей к двум целым восьми десятым». Преобразуем все члены в неправильные дроби.
$7 = \frac{7}{1}$
$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$
$2,8 = 2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5} = \frac{14}{5}$
Получаем отношение: $7 : \frac{7}{3} : \frac{14}{5}$.
Разделим все члены на 7: $1 : \frac{1}{3} : \frac{2}{5}$.
Умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15.
$(1 \cdot 15) : (\frac{1}{3} \cdot 15) : (\frac{2}{5} \cdot 15) = 15 : 5 : 6$.

Ответ: $15:5:6$

ж) $(3,2m^2) : (8mn)$

Отношение читается как «три целых две десятых эм в квадрате к восьми эм эн». Запишем отношение в виде дроби и сократим ее.
$\frac{3,2m^2}{8mn} = \frac{3,2}{8} \cdot \frac{m^2}{mn}$.
Упростим числовую часть, умножив числитель и знаменатель на 10: $\frac{3,2}{8} = \frac{32}{80} = \frac{32:16}{80:16} = \frac{2}{5}$.
Упростим буквенную часть: $\frac{m^2}{mn} = \frac{m \cdot m}{m \cdot n} = \frac{m}{n}$.
Результат: $\frac{2}{5} \cdot \frac{m}{n} = \frac{2m}{5n}$. В виде отношения это $2m : 5n$.

Ответ: $2m:5n$

з) $\frac{4,5ab}{5,4b^2}$

Отношение читается как «четыре целых пять десятых а бэ к пяти целым четырём десятым бэ в квадрате». Упростим дробь.
$\frac{4,5ab}{5,4b^2} = \frac{4,5}{5,4} \cdot \frac{ab}{b^2}$.
Упростим числовую часть, умножив числитель и знаменатель на 10 и сократив на 9: $\frac{4,5}{5,4} = \frac{45}{54} = \frac{45:9}{54:9} = \frac{5}{6}$.
Упростим буквенную часть: $\frac{ab}{b^2} = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a}{b}$.
Результат: $\frac{5}{6} \cdot \frac{a}{b} = \frac{5a}{6b}$. В виде отношения это $5a : 6b$.

Ответ: $5a:6b$

455 Прочитай и упрости отношения, если значения всех переменных отличны от нуля. Какое свойство отношений при этом используется?

а) $39 : 52$;

б) $\frac{320}{480}$;

в) $4 : 1,6$;

г) $5\frac{2}{3} : 2,125$;

д) $0,3 : 0,18 : 0,12$;

е) $7 : 2\frac{1}{3} : 2,8$;

ж) $(3,2mn^2) : (8mn)$;

з) $\frac{4,5ab}{5,4b^2}$.

456 В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1 : 6$, а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $3 : 4$, считая соответственно от вершин $A$ и $D$. Известно, что $AB = 14$ см, $AD = 5$ см.

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MN$ делит прямоугольник $ABCD$?

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Отрезок MN делит прямоугольник ABCD на две фигуры: AMND и MBCN. Поскольку AB || CD (как противоположные стороны прямоугольника), то и AM || DN. Также AD ⊥ AB и, следовательно, AD ⊥ CD. Это означает, что AMND и MBCN являются прямоугольными трапециями.

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MN делит прямоугольник ABCD?

Найдем площади этих трапеций. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию, точка M делит сторону AB в отношении $AM:MB = 1:6$. Это значит, что сторона AB разделена на $1+6=7$ равных частей. Тогда: $AM = \frac{1}{7} AB$ и $MB = \frac{6}{7} AB$.

Точка N делит сторону CD в отношении $DN:NC = 3:4$. Это значит, что сторона CD разделена на $3+4=7$ равных частей. Тогда: $DN = \frac{3}{7} CD$ и $NC = \frac{4}{7} CD$.

Так как ABCD — прямоугольник, то $AB = CD$ и $AD = BC$.

Найдем площадь трапеции AMND ($S_{AMND}$). Ее основания — AM и DN, а высота — AD. $S_{AMND} = \frac{AM + DN}{2} \cdot AD = \frac{\frac{1}{7}AB + \frac{3}{7}CD}{2} \cdot AD = \frac{\frac{1}{7}AB + \frac{3}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{\frac{4}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{2}{7} AB \cdot AD$

Теперь найдем площадь трапеции MBCN ($S_{MBCN}$). Ее основания — MB и NC, а высота — BC. $S_{MBCN} = \frac{MB + NC}{2} \cdot BC = \frac{\frac{6}{7}AB + \frac{4}{7}CD}{2} \cdot BC = \frac{\frac{6}{7}AB + \frac{4}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{\frac{10}{7}AB}{2} \cdot AD = \frac{5}{7} AB \cdot AD$

Найдем отношение площадей: $\frac{S_{AMND}}{S_{MBCN}} = \frac{\frac{2}{7} AB \cdot AD}{\frac{5}{7} AB \cdot AD} = \frac{2/7}{5/7} = \frac{2}{5}$

Отношение площадей фигур равно $2:5$.

Ответ: $2:5$

Найди лишние данные в условии этой задачи.

При вычислении отношения площадей мы использовали только пропорции, в которых точки M и N делят стороны прямоугольника. Как видно из решения, произведение $AB \cdot AD$ (площадь прямоугольника) сократилось. Это означает, что для нахождения отношения площадей конкретные значения длин сторон прямоугольника не требуются.

Следовательно, данные о длинах сторон $AB = 14$ см и $AD = 5$ см являются лишними для нахождения отношения площадей.

Ответ: лишними данными являются длины сторон прямоугольника: $AB=14$ см и $AD=5$ см.

456 В прямоугольнике $ABCD$ точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $1 : 6$, а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $3 : 4$, считая соответственно от вершин $A$ и $D$. Известно, что $AB = 14$ см, $AD = 5$ см. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MN$ делит прямоугольник $ABCD$?

Найди лишние данные в условии этой задачи.

436 Моторная лодка шла 40 мин по течению реки и 1 ч 30 мин против течения. За всё это время она прошла 41,4 км. Чему равна скорость течения реки, если скорость лодки по течению на 20 % больше её скорости против течения?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение.

1. Определение переменных и перевод единиц.

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки против течения. По условию, скорость лодки по течению на 20% больше, значит, она составляет 120% от скорости против течения. Следовательно, скорость лодки по течению равна $1.2x$ км/ч.

Переведем время в часы:

• Время движения по течению: $t_{по} = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
• Время движения против течения: $t_{против} = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \text{ ч} = \frac{3}{2} \text{ ч}$.

2. Составление и решение уравнения.

Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения. Формула расстояния: $S = v \cdot t$. $S_{общ} = S_{по} + S_{против}$ $S_{общ} = (v_{по} \cdot t_{по}) + (v_{против} \cdot t_{против})$ Подставим известные значения и переменные:

$41.4 = (1.2x \cdot \frac{2}{3}) + (x \cdot \frac{3}{2})$

Упростим уравнение:

$\frac{2.4x}{3} + \frac{3x}{2} = 41.4$

$0.8x + 1.5x = 41.4$

$2.3x = 41.4$

$x = \frac{41.4}{2.3} = \frac{414}{23}$

$x = 18$

Таким образом, скорость лодки против течения ($v_{против}$) равна 18 км/ч.

3. Нахождение скорости течения.

Найдем скорость лодки по течению:

$v_{по} = 1.2x = 1.2 \cdot 18 = 21.6$ км/ч.

Скорость течения реки ($v_{теч}$) можно найти по формуле:

$v_{теч} = \frac{v_{по} - v_{против}}{2}$

Подставим найденные значения скоростей:

$v_{теч} = \frac{21.6 - 18}{2} = \frac{3.6}{2} = 1.8$ км/ч.

Ответ: 1,8 км/ч.

436 Моторная лодка шла 40 мин по течению реки и 1 ч 30 мин против течения. За все это время она прошла 41,4 км. Чему равна скорость течения реки, если скорость лодки по течению на 20% больше ее скорости против течения?

437 Теплоход проплыл некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а то же расстояние по течению реки – за 5 ч. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть это же расстояние по реке?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S$ – расстояние, которое проплыл теплоход.
$v_{т}$ – собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде, например, в озере).
$v_{р}$ – скорость течения реки.

1. Скорость теплохода на озере.
Поскольку в озере нет течения, скорость теплохода равна его собственной скорости $v_{т}$. Он проплыл расстояние $S$ за 6 часов. Следовательно, его скорость можно выразить как:
$v_{т} = \frac{S}{6}$

2. Скорость теплохода по течению реки.
Когда теплоход плывет по течению, его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения: $v_{т} + v_{р}$. По условию, то же расстояние $S$ он проплыл за 5 часов. Значит:
$v_{т} + v_{р} = \frac{S}{5}$

3. Найдем скорость течения реки.
Мы можем найти скорость течения $v_{р}$, вычтя собственную скорость теплохода из его скорости по течению:
$v_{р} = (v_{т} + v_{р}) - v_{т}$
Подставим выражения для скоростей, которые мы нашли ранее:
$v_{р} = \frac{S}{5} - \frac{S}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$v_{р} = \frac{6S}{30} - \frac{5S}{30} = \frac{S}{30}$

4. Найдем время движения плота.
Плот не имеет собственного двигателя, поэтому его скорость равна скорости течения реки, то есть $v_{р}$. Нам нужно найти, сколько времени ($t_{плот}$) понадобится плоту, чтобы проплыть расстояние $S$ со скоростью $v_{р}$.
$t_{плот} = \frac{S}{v_{р}}$
Подставим найденное значение $v_{р} = \frac{S}{30}$:
$t_{плот} = \frac{S}{\frac{S}{30}} = S \cdot \frac{30}{S} = 30$ часов.

Ответ: 30 часов.

437 Теплоход проплыл некоторое расстояние по озеру за 6 ч, а то же расстояние по течению реки – за 5 ч. Сколько времени понадобится плоту, чтобы проплыть это же расстояние по реке?

438 Построй треугольник $ABC$ по трём сторонам $a$, $b$ и $c$ и опиши около него окружность.

1) $a$

$b$

$c$

2) $a$

$b$

$c$

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить треугольник по трём сторонам, а затем описать около него окружность. Выполним построение с помощью циркуля и линейки.

I. Построение треугольника ABC

Для построения треугольника воспользуемся следующим алгоритмом:

1. Проведём произвольную прямую и отметим на ней точку A.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $c$. Поставим ножку циркуля в точку A и проведём дугу радиусом $c$, которая пересечёт прямую в точке B. Отрезок AB – одна из сторон будущего треугольника, $AB = c$.
3. Измерим циркулем длину отрезка $b$. Проведём дугу окружности с центром в точке A и радиусом $b$.
4. Измерим циркулем длину отрезка $a$. Проведём дугу окружности с центром в точке B и радиусом $a$.
5. Точку пересечения дуг, построенных в пунктах 3 и 4, обозначим C. Эта точка будет третьей вершиной треугольника. Такое построение возможно, так как для данных отрезков выполняется неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны ($a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$).
6. Соединим отрезками точки A с C и B с C. Треугольник ABC построен.

II. Построение описанной окружности

Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

1. Построим серединный перпендикуляр к стороне AB. Для этого:
   • Проведём две дуги окружности с одинаковым радиусом (большим, чем половина длины AB) с центрами в точках A и B.
   • Через две точки пересечения этих дуг проведём прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к стороне AB.
2. Аналогичным образом построим серединный перпендикуляр к другой стороне, например, BC.
3. Точку пересечения двух построенных серединных перпендикуляров обозначим O. Эта точка O равноудалена от всех вершин треугольника ($OA = OB = OC$) и является центром описанной окружности.
4. Установим ножку циркуля в точку O, а грифель — в любую из вершин треугольника (A, B или C), определив таким образом радиус $R$ описанной окружности.
5. Проведём окружность с центром O и радиусом $R$. Эта окружность пройдёт через все три вершины и будет являться описанной около треугольника ABC.

Ответ: Треугольник ABC и описанная около него окружность построены в соответствии с приведенным алгоритмом.

Построение для второго набора сторон $a$, $b$, $c$ выполняется абсолютно аналогично первому случаю. Алгоритм действий не меняется.

I. Построение треугольника ABC

1. На произвольной прямой откладываем отрезок AB, равный по длине заданному отрезку $c$.
2. Из точки A как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $b$.
3. Из точки B как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $a$.
4. Точку пересечения этих дуг обозначаем как C.
5. Соединяем точки A, B и C отрезками, получая искомый треугольник ABC. Для данных отрезков также выполняется неравенство треугольника, поэтому построение возможно.

II. Построение описанной окружности

1. Находим точку O — точку пересечения серединных перпендикуляров к двум любым сторонам треугольника (например, AB и AC).
2. Точка O является центром описанной окружности.
3. Радиус описанной окружности равен расстоянию от точки O до любой из вершин треугольника (например, $R = OA$).
4. Проводим окружность с центром в точке O и радиусом $R$.

Ответ: Треугольник ABC и описанная около него окружность построены.

D 438 Построй треугольник ABC по трем сторонам $a$, $b$ и $c$ и опиши около него окружность.

1) $a$

$b$

$c$

2) $a$

$b$

$c$

439 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $C$, заключённому между ними, и впиши в него окружность.

$a$

$b$

$C$

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить треугольник по заданным элементам, а затем вписать в него окружность. Выполним эти построения последовательно с помощью циркуля и линейки.

1. Построение треугольника $ABC$ по двум сторонам $a$, $b$ и углу $C$ между ними

1. Начертим произвольный луч с началом в точке $C$.
2. От этого луча отложим угол, равный данному углу $C$. Для этого:
   • На данном угле $C$ проведём дугу произвольного радиуса с центром в вершине $C$, которая пересечёт стороны угла в двух точках.
   • На нашем луче с центром в точке $C$ проведём дугу того же радиуса.
   • Измерим циркулем расстояние между точками пересечения на данном угле $C$ и отложим это расстояние на построенной дуге от точки её пересечения с лучом.
   • Проведём второй луч из точки $C$ через полученную точку. Угол между лучами будет равен данному углу $C$.
3. На одном из построенных лучей отложим от вершины $C$ отрезок, равный по длине стороне $b$. Обозначим конец этого отрезка точкой $A$. Таким образом, $AC = b$.
4. На втором луче отложим от вершины $C$ отрезок, равный по длине стороне $a$. Обозначим конец этого отрезка точкой $B$. Таким образом, $BC = a$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$ построен по двум сторонам и углу между ними.

2. Вписание окружности в построенный треугольник $ABC$

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис.

1. Построим биссектрису любого угла треугольника, например, угла $A$. Для этого:
   • Из вершины $A$ проведём дугу окружности произвольного радиуса, пересекающую стороны $AB$ и $AC$.
   • Из точек пересечения дуги со сторонами проведём две новые дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла.
   • Проведём луч из вершины $A$ через точку пересечения этих дуг. Этот луч является биссектрисой угла $A$.
2. Аналогичным образом построим биссектрису другого угла, например, угла $B$.
3. Точку пересечения двух биссектрис обозначим $O$. Эта точка — центр вписанной окружности.
4. Для определения радиуса вписанной окружности нужно опустить перпендикуляр из центра $O$ на любую из сторон треугольника, например, на сторону $AC$. Для этого:
   • Из точки $O$ проведём дугу окружности, пересекающую сторону $AC$ в двух точках.
   • Из этих двух точек, как из центров, проведём две пересекающиеся дуги одинакового радиуса по другую сторону от точки $O$.
   • Проведём прямую через точку $O$ и точку пересечения этих дуг. Отрезок этой прямой от точки $O$ до стороны $AC$ является перпендикуляром. Обозначим его основание точкой $H$.
5. Отрезок $OH$ — это радиус $r$ вписанной окружности.
6. Установим ножку циркуля в центр $O$, а грифель — в точку $H$ (радиус $r=OH$). Проведём окружность.

Построенная окружность касается всех трёх сторон треугольника $ABC$ и является вписанной в него.

Ответ: Выполнены построения треугольника $ABC$ по заданным сторонам $a$, $b$ и углу $C$ между ними, а также вписана окружность с центром в точке пересечения биссектрис $O$ и радиусом, равным длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на любую из сторон треугольника.

439 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $C$, заключенному между ними, и впиши в него окружность.

440. Построй треугольник $ABC$ по стороне $c$ и двум прилежащим к ней углам $A$ и $B$. Построй центр тяжести треугольника $ABC$.

1) $c$

$A$ $B$

2) $c$

$A$ $B$

Построение треугольника $ABC$

Дано: отрезок длины $c$, угол $A$, угол $B$. Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы $AB=c$, $\angle CAB = \angle A$, $\angle CBA = \angle B$.

1. Проведём произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
3. Построим угол, равный данному углу $A$, с вершиной в точке $A$ и одной из сторон на луче $AB$.
4. Построим угол, равный данному углу $B$, с вершиной в точке $B$ и одной из сторон на луче $BA$. Этот угол должен быть построен в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и угол $A$.
5. Лучи, построенные в пунктах 3 и 4, пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$.
6. Треугольник $ABC$ построен.

Построение центра тяжести треугольника $ABC$

Центр тяжести треугольника (также называемый центроидом) является точкой пересечения его медиан. Для его нахождения достаточно построить две любые медианы.

1. Найдём середину стороны $AB$. Для этого построим её серединный перпендикуляр: проведём две дуги окружности одинакового радиуса (большего половины длины $AB$) с центрами в точках $A$ и $B$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, пересечёт отрезок $AB$ в его середине. Обозначим эту точку $M_c$.
2. Соединим вершину $C$ с точкой $M_c$. Отрезок $CM_c$ является медианой треугольника $ABC$.
3. Аналогичным образом найдём середину стороны $BC$. Обозначим эту точку $M_a$.
4. Соединим вершину $A$ с точкой $M_a$. Отрезок $AM_a$ является второй медианой треугольника.
5. Точка пересечения медиан $CM_c$ и $AM_a$ является центром тяжести треугольника $ABC$. Обозначим эту точку $G$.

Ответ: Треугольник $ABC$ и его центр тяжести $G$ построены в соответствии с условием задачи.

Построение для второго случая, в котором угол $A$ является тупым, а угол $B$ — острым, производится аналогично первому случаю. Все шаги построения остаются неизменными.

Построение треугольника $ABC$

1. На прямой откладываем отрезок $AB$, равный по длине данному отрезку $c$.
2. От луча $AB$ откладываем угол, равный данному тупому углу $A$.
3. От луча $BA$ в той же полуплоскости откладываем угол, равный данному острому углу $B$.
4. Точка пересечения построенных лучей является третьей вершиной треугольника — точкой $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Построение центра тяжести треугольника $ABC$

1. Находим середину $M_c$ стороны $AB$ с помощью построения серединного перпендикуляра.
2. Проводим медиану $CM_c$.
3. Находим середину $M_b$ стороны $AC$.
4. Проводим медиану $BM_b$.
5. Точка $G$, в которой пересекаются медианы $CM_c$ и $BM_b$, является искомым центром тяжести треугольника.

Ответ: Треугольник $ABC$ и его центр тяжести $G$ построены в соответствии с условием задачи.

440 Построй треугольник $\triangle ABC$ по стороне $c$ и двум прилежащим к ней углам $A$ и $B$. Построй центр тяжести треугольника $\triangle ABC$.

1) Сторона $c$, угол $A$, угол $B$.

2) Сторона $c$, угол $A$, угол $B$.

441 Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до целых, десятых, сотых, тысячных:

а) $&frac{83}{11}$;

б) $&frac{40}{39}$;

в) $&frac{70}{27}$;

г) $&frac{214}{43}$.

а)

Чтобы заменить обыкновенную дробь $\frac{83}{11}$ десятичной с разной точностью, сначала выполним деление числителя на знаменатель. Нам нужно получить как минимум 4 знака после запятой, чтобы можно было округлить до тысячных.
$83 \div 11 = 7.5454...$
Теперь выполним округление полученного числа по правилам:
С точностью до целых: отбрасываем дробную часть и смотрим на первую цифру после запятой (5). Так как $5 \ge 5$, то к целой части прибавляем 1. $7.5454... \approx 8$.
С точностью до десятых: оставляем одну цифру после запятой и смотрим на вторую (4). Так как $4 < 5$, то последнюю оставляемую цифру (5) не меняем. $7.5454... \approx 7.5$.
С точностью до сотых: оставляем две цифры после запятой и смотрим на третью (5). Так как $5 \ge 5$, то последнюю оставляемую цифру (4) увеличиваем на 1. $7.5454... \approx 7.55$.
С точностью до тысячных: оставляем три цифры после запятой и смотрим на четвертую (4). Так как $4 < 5$, то последнюю оставляемую цифру (5) не меняем. $7.5454... \approx 7.545$.
Ответ: 8; 7,5; 7,55; 7,545.

б)

Представим дробь $\frac{40}{39}$ в виде десятичной:
$40 \div 39 = 1.02564...$
Выполним округление:
С точностью до целых: первая цифра после запятой 0. Так как $0 < 5$, целую часть оставляем без изменений. $1.0256... \approx 1$.
С точностью до десятых: вторая цифра после запятой 2. Так как $2 < 5$, цифру в разряде десятых не меняем. $1.0256... \approx 1.0$.
С точностью до сотых: третья цифра после запятой 5. Так как $5 \ge 5$, цифру в разряде сотых увеличиваем на 1. $1.0256... \approx 1.03$.
С точностью до тысячных: четвертая цифра после запятой 6. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1. $1.0256... \approx 1.026$.
Ответ: 1; 1,0; 1,03; 1,026.

в)

Представим дробь $\frac{70}{27}$ в виде десятичной:
$70 \div 27 = 2.59259...$
Выполним округление:
С точностью до целых: первая цифра после запятой 5. Так как $5 \ge 5$, целую часть увеличиваем на 1. $2.5925... \approx 3$.
С точностью до десятых: вторая цифра после запятой 9. Так как $9 \ge 5$, цифру в разряде десятых увеличиваем на 1. $2.5925... \approx 2.6$.
С точностью до сотых: третья цифра после запятой 2. Так как $2 < 5$, цифру в разряде сотых не меняем. $2.5925... \approx 2.59$.
С точностью до тысячных: четвертая цифра после запятой 5. Так как $5 \ge 5$, цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1. $2.5925... \approx 2.593$.
Ответ: 3; 2,6; 2,59; 2,593.

г)

Представим дробь $\frac{214}{43}$ в виде десятичной:
$214 \div 43 = 4.97674...$
Выполним округление:
С точностью до целых: первая цифра после запятой 9. Так как $9 \ge 5$, целую часть увеличиваем на 1. $4.9767... \approx 5$.
С точностью до десятых: вторая цифра после запятой 7. Так как $7 \ge 5$, цифру в разряде десятых (9) увеличиваем на 1, что приводит к увеличению целой части. $4.9767... \approx 5.0$.
С точностью до сотых: третья цифра после запятой 6. Так как $6 \ge 5$, цифру в разряде сотых (7) увеличиваем на 1. $4.9767... \approx 4.98$.
С точностью до тысячных: четвертая цифра после запятой 7. Так как $7 \ge 5$, цифру в разряде тысячных (6) увеличиваем на 1. $4.9767... \approx 4.977$.
Ответ: 5; 5,0; 4,98; 4,977.

441 Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до целых, десятых, сотых, тысячных:

а) $\frac{83}{11}$;

б) $\frac{40}{39}$;

в) $\frac{70}{27}$;

г) $\frac{214}{43}$.

442 Трамвай проехал мимо светофора за 2 с, а по мосту длиной 175 м – за 16 с. Чему равна длина трамвая?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $L$ — это искомая длина трамвая в метрах, а $v$ — его скорость в м/с, которую будем считать постоянной.

1. Проезд мимо светофора. Когда трамвай проезжает мимо неподвижного точечного объекта (светофора), расстояние, которое он проходит, равно его собственной длине. По условию, это занимает 2 секунды. Таким образом, можно составить первое уравнение: $L = v \cdot 2$

2. Проезд по мосту. Когда трамвай проезжает мост, общее расстояние, которое проходит его передняя точка от въезда на мост до момента, когда задняя точка покидает мост, равно сумме длины моста и длины трамвая. По условию, длина моста составляет 175 м, а время движения — 16 с. Составим второе уравнение: $175 + L = v \cdot 16$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. $\begin{cases} L = 2v \\ 175 + L = 16v \end{cases}$

Подставим выражение для $L$ из первого уравнения во второе: $175 + (2v) = 16v$

Теперь решим полученное уравнение относительно скорости $v$: $175 = 16v - 2v$ $175 = 14v$ $v = \frac{175}{14} = 12.5$ м/с

Зная скорость трамвая, мы можем найти его длину, используя первое уравнение: $L = 2v = 2 \cdot 12.5 = 25$ м

Ответ: 25 м.

442 Трамвай проехал мимо светофора за 2 с, а по мосту длиной 175 м – за 16 с. Чему равна длина трамвая?