Страница 103, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

447 Какое число получится, если число $n$:

а) уменьшить на 18 %;

б) уменьшить на 45 %;

в) увеличить на 36 %;

г) увеличить на 100 %;

д) уменьшить на 75 %;

е) увеличить на 150 %;

ж) увеличить на 400 %;

з) уменьшить на 40 % ?

Для решения задачи воспользуемся общим правилом изменения числа на определенный процент. Если число $n$ нужно увеличить на $p\%$, то новое число будет равно $n \cdot (1 + \frac{p}{100})$. Если число $n$ нужно уменьшить на $p\%$, то новое число будет равно $n \cdot (1 - \frac{p}{100})$.

а) Чтобы уменьшить число $n$ на $18\%$, нужно найти $100\% - 18\% = 82\%$ от исходного числа. Переведем проценты в десятичную дробь: $82\% = 0.82$. Таким образом, новое число будет равно $n \cdot 0.82$.
Математически это выглядит так: $n - n \cdot \frac{18}{100} = n - 0.18n = (1 - 0.18)n = 0.82n$.
Ответ: $0.82n$

б) Чтобы уменьшить число $n$ на $45\%$, мы находим, какая часть числа останется: $100\% - 45\% = 55\%$. Переводим $55\%$ в десятичную дробь, получая $0.55$. Новое число будет $n \cdot 0.55$.
Формула: $n - n \cdot \frac{45}{100} = n - 0.45n = 0.55n$.
Ответ: $0.55n$

в) Чтобы увеличить число $n$ на $36\%$, мы к исходным $100\%$ прибавляем $36\%$, что дает $136\%$. В виде десятичной дроби это $1.36$. Новое число будет равно $n \cdot 1.36$.
Формула: $n + n \cdot \frac{36}{100} = n + 0.36n = 1.36n$.
Ответ: $1.36n$

г) Увеличить число $n$ на $100\%$ означает прибавить к нему само себя. В процентах это будет $100\% + 100\% = 200\%$, что равносильно умножению на $2$.
Формула: $n + n \cdot \frac{100}{100} = n + n = 2n$.
Ответ: $2n$

д) Чтобы уменьшить число $n$ на $75\%$, мы вычисляем оставшуюся часть: $100\% - 75\% = 25\%$. Переводим в десятичную дробь: $25\% = 0.25$. Новое число будет $n \cdot 0.25$.
Формула: $n - n \cdot \frac{75}{100} = n - 0.75n = 0.25n$.
Ответ: $0.25n$

е) Чтобы увеличить число $n$ на $150\%$, мы к $100\%$ прибавляем $150\%$, что составляет $250\%$. В виде десятичной дроби это $2.5$. Новое число будет равно $n \cdot 2.5$.
Формула: $n + n \cdot \frac{150}{100} = n + 1.5n = 2.5n$.
Ответ: $2.5n$

ж) Чтобы увеличить число $n$ на $400\%$, мы прибавляем к $100\%$ еще $400\%$, получая $500\%$. В виде десятичной дроби это $5$. Новое число будет равно $n \cdot 5$.
Формула: $n + n \cdot \frac{400}{100} = n + 4n = 5n$.
Ответ: $5n$

з) Чтобы уменьшить число $n$ на $40\%$, мы находим оставшуюся долю: $100\% - 40\% = 60\%$. Переводим в десятичную дробь: $60\% = 0.6$. Новое число будет $n \cdot 0.6$.
Формула: $n - n \cdot \frac{40}{100} = n - 0.4n = 0.6n$.
Ответ: $0.6n$

447 Какое число получится, если число $n$:

а) уменьшить на $18\%$;

б) уменьшить на $45\%$;

в) увеличить на $36\%$;

г) увеличить на $100\%$;

д) уменьшить на $75\%$;

е) увеличить на $150\%$;

ж) увеличить на $400\%$;

з) уменьшить на $40\%$?

448. Как изменится число, если его:

а) сначала уменьшить на $50\%$, а потом увеличить на $80\%$;

б) сначала увеличить на $10\%$, а потом увеличить на $40\%$;

в) сначала уменьшить на $25\%$, а потом уменьшить на $60\%$?

а) Пусть исходное число равно $x$. Уменьшение числа на 50% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{50}{100} = 0.5$. После первого действия число станет равным $0.5x$. Увеличение на 80% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{80}{100} = 1.8$. После второго действия число станет равным $0.5x \times 1.8 = 0.9x$. Чтобы найти, как изменилось число, сравним итоговое значение с начальным: $\frac{0.9x}{x} = 0.9$. Это составляет 90% от исходного числа. Следовательно, число уменьшилось на $100\% - 90\% = 10\%$.
Ответ: число уменьшится на 10%.

б) Пусть исходное число равно $x$. Увеличение числа на 10% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{10}{100} = 1.1$. После первого действия число станет равным $1.1x$. Увеличение на 40% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + \frac{40}{100} = 1.4$. После второго действия число станет равным $1.1x \times 1.4 = 1.54x$. Сравним итоговое значение с начальным: $\frac{1.54x}{x} = 1.54$. Это составляет 154% от исходного числа. Следовательно, число увеличилось на $154\% - 100\% = 54\%$.
Ответ: число увеличится на 54%.

в) Пусть исходное число равно $x$. Уменьшение числа на 25% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{25}{100} = 0.75$. После первого действия число станет равным $0.75x$. Уменьшение на 60% эквивалентно умножению на коэффициент $1 - \frac{60}{100} = 0.4$. После второго действия число станет равным $0.75x \times 0.4 = 0.3x$. Сравним итоговое значение с начальным: $\frac{0.3x}{x} = 0.3$. Это составляет 30% от исходного числа. Следовательно, число уменьшилось на $100\% - 30\% = 70\%$.
Ответ: число уменьшится на 70%.

448. Как изменится число, если его:

а) сначала уменьшить на $50\%$, а потом увеличить на $80\%$;

б) сначала увеличить на $10\%$, а потом увеличить на $40\%$;

в) сначала уменьшить на $25\%$, а потом уменьшить на $60\%$?

449 1) Число $a$ на 150% больше, чем число $b$. На сколько процентов $b$ меньше, чем $a$?

2) Число $x$ на 50% меньше, чем число $y$. На сколько процентов $y$ больше, чем $x$?

1)

По условию, число $a$ на 150% больше, чем число $b$. Это означает, что $a$ равно $b$ плюс 150% от $b$. Выразим это математически, учитывая, что $150\% = 1,5$:

$a = b + 1,5b = 2,5b$

Теперь необходимо найти, на сколько процентов число $b$ меньше, чем число $a$. В этом случае за 100% принимается число $a$. Чтобы найти искомое процентное соотношение, нужно найти разницу между числами $(a - b)$, разделить ее на число $a$ и умножить на 100%.

Формула для вычисления: $\frac{a - b}{a} \times 100\%$.

Подставим в формулу найденное ранее соотношение $a = 2,5b$:

$\frac{2,5b - b}{2,5b} \times 100\% = \frac{1,5b}{2,5b} \times 100\%$

Сокращаем $b$ и вычисляем:

$\frac{1,5}{2,5} \times 100\% = \frac{15}{25} \times 100\% = \frac{3}{5} \times 100\% = 0,6 \times 100\% = 60\%$

Ответ: на 60%.

2)

По условию, число $x$ на 50% меньше, чем число $y$. Это означает, что $x$ равно $y$ минус 50% от $y$. Запишем это в виде формулы, учитывая, что $50\% = 0,5$:

$x = y - 0,5y = 0,5y$

Теперь нужно найти, на сколько процентов число $y$ больше, чем число $x$. В этом случае за 100% мы принимаем число $x$. Вычисляем процентное отношение разницы $(y - x)$ к $x$.

Формула для вычисления: $\frac{y - x}{x} \times 100\%$.

Подставим в формулу выражение для $x$, которое мы нашли ($x = 0,5y$):

$\frac{y - 0,5y}{0,5y} \times 100\% = \frac{0,5y}{0,5y} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$

Ответ: на 100%.

449 1) Число $a$ на $150\%$ больше, чем число $b$. На сколько процентов $b$ меньше, чем $a$?

2) Число $x$ на $50\%$ меньше, чем число $y$. На сколько процентов $y$ больше, чем $x$?

450 Пени за несвоевременную квартирную плату зависят от суммы квартплаты, количества дней просрочки и ставки рефинансирования Центрального банка России (см. с. 97). На сколько дней была задержана квартирная плата, если на сумму 6000 р. были начислены пени:

а) 64,6 р.;

б) 95 р.;

в) 684 р.?

Для решения задачи воспользуемся формулой для расчета пеней за несвоевременную уплату жилищно-коммунальных услуг, которая, согласно законодательству, составляет 1/300 ставки рефинансирования Центрального банка РФ за каждый день просрочки. Формула имеет вид:

$П = С \times Д \times \frac{C_p}{100} \times \frac{1}{300}$

где:

• $П$ – сумма начисленных пеней в рублях;
• $С$ – сумма задолженности (квартплаты), равная 6000 р.;
• $Д$ – количество дней просрочки;
• $C_p$ – годовая ставка рефинансирования в процентах.

В условии задачи ставка рефинансирования не указана, но есть ссылка на страницу 97. Поскольку эта информация недоступна, мы можем определить ставку, исходя из данных задачи. Подставив значения, можно установить, что для целочисленных ответов по всем пунктам подходит ставка рефинансирования $C_p = 19\%$.

Выразим из формулы количество дней просрочки $Д$:

$Д = \frac{П \times 100 \times 300}{С \times C_p}$

Подставим известные значения $С = 6000$ и $C_p = 19$:

$Д = \frac{П \times 30000}{6000 \times 19} = \frac{5 \times П}{19}$

Теперь рассчитаем количество дней для каждого случая.

а)

Начислены пени в размере 64,6 р. Подставим это значение в нашу формулу:

$Д = \frac{5 \times 64,6}{19} = \frac{323}{19} = 17$ (дней).

Ответ: 17 дней.

б)

Начислены пени в размере 95 р. Подставим это значение в формулу:

$Д = \frac{5 \times 95}{19} = \frac{475}{19} = 25$ (дней).

Ответ: 25 дней.

в)

Начислены пени в размере 684 р. Подставим это значение в формулу:

$Д = \frac{5 \times 684}{19} = \frac{3420}{19} = 180$ (дней).

Ответ: 180 дней.

450 Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе $N$ начисляется в размере $0,1\%$ от неуплаченной суммы за каждый день просрочки. На сколько дней была задержана квартирная плата, если на сумму 2000 р. была начислена пеня:

а) 6 р.;

б) 24 р.;

в) 80 р.;

г) 128 р.?

451 В общественном транспорте города N четырнадцать процентов пассажиров читают фантастику. Из них 73 % - мужчины, из которых 70 % в возрасте до 35 лет. Сколько процентов всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику? Ответ округли до десятых.

Для решения этой задачи необходимо найти долю искомой группы пассажиров (мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику) от общего числа всех пассажиров. Это можно сделать, последовательно перемножив доли каждой группы.

1. Сначала определим долю пассажиров, читающих фантастику. По условию это 14%, что в виде десятичной дроби составляет $0.14$.

2. Из этих пассажиров 73% являются мужчинами. Чтобы найти долю мужчин, читающих фантастику, от общего числа пассажиров, умножим долю читающих фантастику на долю мужчин среди них:
$0.14 \times 0.73 = 0.1022$.
Таким образом, мужчины, читающие фантастику, составляют 10,22% от всех пассажиров.

3. Среди этих мужчин 70% находятся в возрасте до 35 лет. Чтобы найти их долю от общего числа пассажиров, умножим предыдущий результат на долю этой возрастной группы:
$0.1022 \times 0.70 = 0.07154$.

4. Мы нашли искомую долю в виде десятичной дроби. Чтобы выразить эту долю в процентах, умножим ее на 100:
$0.07154 \times 100\% = 7.154\%$.

5. Согласно условию, ответ необходимо округлить до десятых. В числе 7,154 цифра в разряде сотых равна 5, поэтому округляем разряд десятых в большую сторону:
$7.154\% \approx 7.2\%$.

Ответ: 7,2%.

451 В общественном транспорте города N четырнадцать процентов пассажиров читают фантастику. Из них 73% – мужчины, из которых 70% в возрасте до 35 лет. Сколько процентов всех пассажиров составляют мужчины в возрасте до 35 лет, читающие фантастику? Ответ округли до десятых.

452 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её непараллельных сторон.

2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями трапеций.

3) Сколько средних линий можно провести в трапеции?

4) Построй трапецию $ABCD$ и проведи её среднюю линию. Сравни сумму длин оснований с длиной средней линии. Проведи эксперимент ещё 2 раза и сформулируй гипотезу.

5) Рассмотри расположение средней линии и оснований трапеции. Сформулируй гипотезу. Можно ли доказать твои гипотезы, построив ещё 10 трапеций? А если построить миллион трапеций?

1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

В определении "Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её непараллельных сторон" определяется понятие "средняя линия трапеции".

Ответ: определяемое понятие — средняя линия трапеции.

2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями трапеций.

Согласно определению, средняя линия соединяет середины непараллельных (боковых) сторон трапеции. На представленных чертежах такими отрезками являются:

• EF в трапеции ABCD;
• IJ в трапеции KLMN;
• ST в трапеции OPQR;
• VX в трапеции YZUW.

Ответ: EF, IJ, ST, VX.

3) Сколько средних линий можно провести в трапеции?

Трапеция имеет две непараллельные стороны. У каждого отрезка (стороны) есть только одна середина. Поскольку средняя линия по определению соединяет именно эти две точки (середины боковых сторон), и такая пара точек в трапеции только одна, то и среднюю линию можно провести только одну.

Ответ: одну.

4) Построй трапецию ABCD и проведи её среднюю линию. Сравни сумму длин оснований с длиной средней линии. Проведи эксперимент ещё 2 раза и сформулируй гипотезу.

При построении и измерении различных трапеций можно заметить следующую закономерность. Пусть $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $m$ — длина её средней линии. Проведя измерения для нескольких трапеций, мы получим примерно такие результаты:

• Трапеция 1: основания $a = 4$ см, $b = 8$ см. Сумма оснований $a+b = 12$ см. Длина средней линии $m = 6$ см.
• Трапеция 2: основания $a = 5$ см, $b = 7$ см. Сумма оснований $a+b = 12$ см. Длина средней линии $m = 6$ см.
• Трапеция 3: основания $a = 3$ см, $b = 9$ см. Сумма оснований $a+b = 12$ см. Длина средней линии $m = 6$ см.

Во всех случаях сумма длин оснований ($a+b$) оказывается в два раза больше длины средней линии ($m$). Это позволяет сформулировать гипотезу.

Гипотеза: Длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований. Математически это можно записать так: $m = \frac{a+b}{2}$.

Ответ: Гипотеза: сумма длин оснований трапеции равна удвоенной длине её средней линии ($a+b=2m$).

5) Рассмотри расположение средней линии и оснований трапеции. Сформулируй гипотезу. Можно ли доказать твои гипотезы, построив ещё 10 трапеций? А если построить миллион трапеций?

Рассматривая чертежи, можно заметить, что средняя линия всегда выглядит параллельной двум основаниям трапеции. На основании этого наблюдения можно сформулировать ещё одну гипотезу.

Гипотеза: Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Доказать сформулированные гипотезы (о длине и о параллельности средней линии) путем построения дополнительных примеров невозможно. Построение ещё 10, 100 или даже миллиона трапеций, для которых гипотезы выполняются, будет лишь подтверждением этих гипотез на частных примерах. Однако это не является строгим математическим доказательством, так как всегда остаётся вероятность существования трапеции, для которой эти свойства не выполняются. Математическое доказательство должно быть универсальным, то есть доказывать утверждение для любой трапеции с помощью логических выводов, основанных на аксиомах и ранее доказанных теоремах.

Ответ: Гипотеза: средняя линия трапеции параллельна её основаниям. Доказать гипотезы, построив любое конечное число трапеций (даже миллион), нельзя, поскольку это не является строгим математическим доказательством, а лишь проверкой на частных примерах.

452 1) Прочитай определение и назови определяемое понятие.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее непараллельных сторон.

2) Найди на чертеже отрезки, которые являются средними линиями трапеций:

3) Сколько средних линий можно провести в трапеции?

4) Построй трапецию $ABCD$ и проведи ее среднюю линию. Сравни сумму длин оснований с длиной средней линии. Проведи эксперимент еще 2 раза и сформулируй гипотезу.

5) Рассмотри расположение средней линии и оснований трапеции. Сформулируй гипотезу. Можно ли доказать твои гипотезы, построив еще 10 трапеций? А если построить миллион трапеций?

464 Вычисли и расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Что обозначает получившееся слово? Что тебе известно о нём?

К $-7 + (-9)$

О $-3 + 12$

Л $5 + (-11)$

И $-4 + (-8)$

А $-1.4 + 0.8$

М $-0.9 + (-0.5)$

Д $3.7 + (-4)$

Р $-2.9 + 6$

Н $0.05 + (-0.5)$

А $\left(+\frac{5}{8}\right) + (-0.125)$

И $-3.6 + 0$

Ж $\left(+1\frac{4}{5}\right) + (-1.8)$

Для решения задачи сначала вычислим значение каждого выражения.

Теперь расположим полученные ответы в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

-16 (К)
-12 (И)
-6 (Л)
-3,6 (И)
-1,4 (М)
-0,6 (А)
-0,45 (Н)
-0,3 (Д)
0 (Ж)
0,5 (А)
3,1 (Р)
9 (О)

Если записать буквы в этом порядке, получится слово: КИЛИМАНДЖАРО.

Что обозначает получившееся слово? Что тебе известно о нём?

Килиманджаро — это вулкан в Танзании (Африка) и самая высокая точка этого континента (5895 метров над уровнем моря). Это также самая высокая отдельно стоящая гора в мире. Несмотря на то, что Килиманджаро находится недалеко от экватора, его вершина покрыта ледниками. Гора состоит из трех главных вулканических конусов: Кибо (самый высокий, спящий), Мавензи (потухший) и Шира (потухший). Килиманджаро является популярным туристическим объектом и привлекает альпинистов со всего мира.

464 Вычисли и расположи ответы примеров в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Что обозначает получившееся слово? Что тебе известно о нем?

К $(-7) + (-9)$

А $(-1,4) + (+0,8)$

Н $(+0,05) + (-0,5)$

О $(-3) + (+12)$

М $(-0,9) + (-0,5)$

А $(+\frac{5}{8}) + (-0,125)$

Л $(+5) + (-11)$

Д $(+3,7) + (-4)$

И $(-3,6) + 0$

И $(-4) + (-8)$

Р $(-2,9) + (+6)$

Ж $(+1\frac{4}{5}) + (-1,8)$

465 Подбери неизвестные слагаемые в сумме:

а) $(+5) + \dots = -3;$

б) $(+4) + \dots = +1;$

в) $(-2) + \dots = -7;$

г) $(+3) + \dots = -9;$

д) $(-1) + \dots = +3;$

е) $(-9) + \dots = -7;$

ж) $(+12) + \dots = 0;$

з) $0 + \dots = -6;$

и) $(-4) + \dots = -4.$

а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($-3$) вычесть известное слагаемое ($+5$). Выполним вычитание: $-3 - (+5) = -3 - 5 = -8$. Таким образом, искомое слагаемое равно $-8$.
Проверка: $(+5) + (-8) = 5 - 8 = -3$.
Ответ: $-8$

б) Найдём неизвестное слагаемое, вычтя из суммы ($+1$) известное слагаемое ($+4$): $+1 - (+4) = 1 - 4 = -3$.
Проверка: $(+4) + (-3) = 4 - 3 = 1$.
Ответ: $-3$

в) Вычтем из суммы ($-7$) известное слагаемое ($-2$): $-7 - (-2) = -7 + 2 = -5$.
Проверка: $(-2) + (-5) = -2 - 5 = -7$.
Ответ: $-5$

г) Найдём неизвестное слагаемое, вычтя из суммы ($-9$) известное слагаемое ($+3$): $-9 - (+3) = -9 - 3 = -12$.
Проверка: $(+3) + (-12) = 3 - 12 = -9$.
Ответ: $-12$

д) Вычтем из суммы ($+3$) известное слагаемое ($-1$): $+3 - (-1) = 3 + 1 = 4$. Неизвестное слагаемое равно $+4$.
Проверка: $(-1) + (+4) = -1 + 4 = 3$.
Ответ: $+4$

е) Найдём неизвестное слагаемое, вычтя из суммы ($-7$) известное слагаемое ($-9$): $-7 - (-9) = -7 + 9 = 2$. Неизвестное слагаемое равно $+2$.
Проверка: $(-9) + (+2) = -9 + 2 = -7$.
Ответ: $+2$

ж) Чтобы в сумме получить ноль, нужно к числу прибавить противоположное ему число. Противоположным числу $+12$ является число $-12$. Также можно найти разность: $0 - (+12) = -12$.
Проверка: $(+12) + (-12) = 12 - 12 = 0$.
Ответ: $-12$

з) Если одно из слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому. В данном случае сумма равна $-6$, а одно из слагаемых $0$, значит второе слагаемое равно $-6$. Вычислением: $-6 - 0 = -6$.
Проверка: $0 + (-6) = -6$.
Ответ: $-6$

и) Если сумма равна одному из слагаемых, то второе слагаемое должно быть равно нулю. В данном случае сумма ($-4$) равна известному слагаемому ($-4$), следовательно, неизвестное слагаемое равно $0$. Вычислением: $-4 - (-4) = -4 + 4 = 0$.
Проверка: $(-4) + 0 = -4$.
Ответ: $0$

465 Подбери неизвестные слагаемые в сумме:

а) $(+5) + ... = -3;$

б) $(+4) + ... = +1;$

в) $(-2) + ... = -7;$

г) $(+3) + ... = -9;$

д) $(-1) + ... = +3;$

е) $(-9) + ... = -7;$

ж) $(+12) + ... = 0;$

з) $0 + ... = -6;$

и) $(-4) + ... = -4.$

466 Вычисли:

а) $-3 + 9;$

б) $5 - 7;$

в) $-4 - 6;$

г) $4,5 - 5;$

д) $-0,6 - 0,8;$

е) $-2,9 + 5,4;$

ж) $+0,75 - \frac{3}{4};$

з) $0 - 2,4;$

и) $-2,6 + 1\frac{3}{5};$

к) $1,08 - 2;$

л) $-2,56 - 4,4;$

м) $-3\frac{5}{8} + 3,7.$

а) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками $-3$ и $9$, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. Модуль числа $9$ больше модуля числа $-3$ ($|9| > |-3|$), поэтому результат будет положительным.
$-3 + 9 = 9 - 3 = 6$.
Ответ: 6.

б) Чтобы из меньшего числа $5$ вычесть большее число $7$, нужно из большего вычесть меньшее и перед результатом поставить знак минус.
$5 - 7 = -(7 - 5) = -2$.
Ответ: -2.

в) Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел $-4$ и $-6$, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.
$-4 - 6 = -(4 + 6) = -10$.
Ответ: -10.

г) Вычитаем из меньшего числа $4,5$ большее число $5$. Для этого из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак минус.
$4,5 - 5 = -(5 - 4,5) = -0,5$.
Ответ: -0,5.

д) Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и ставим перед суммой знак минус.
$-0,6 - 0,8 = -(0,6 + 0,8) = -1,4$.
Ответ: -1,4.

е) Чтобы найти сумму чисел с разными знаками $-2,9$ и $5,4$, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем. Модуль $|5,4|$ больше модуля $|-2,9|$, поэтому результат будет положительным.
$-2,9 + 5,4 = 5,4 - 2,9 = 2,5$.
Ответ: 2,5.

ж) Для вычисления представим обыкновенную дробь в виде десятичной.
$\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0,75$.
Теперь выполним вычитание:
$0,75 - \frac{3}{4} = 0,75 - 0,75 = 0$.
Ответ: 0.

з) При вычитании числа из нуля получается противоположное ему число.
$0 - 2,4 = -2,4$.
Ответ: -2,4.

и) Для вычисления представим смешанное число в виде десятичной дроби.
$1\frac{3}{5} = 1 + \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 1 + \frac{6}{10} = 1,6$.
Теперь найдем сумму чисел с разными знаками. Модуль отрицательного числа $|-2,6|$ больше модуля положительного числа $|1,6|$, поэтому результат будет отрицательным.
$-2,6 + 1,6 = -(2,6 - 1,6) = -1$.
Ответ: -1.

к) Вычитаем из меньшего числа $1,08$ большее число $2$. Результат будет отрицательным.
$1,08 - 2 = -(2 - 1,08) = -0,92$.
Ответ: -0,92.

л) Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и ставим перед суммой знак минус.
$-2,56 - 4,4 = -(2,56 + 4,4) = -(2,56 + 4,40) = -6,96$.
Ответ: -6,96.

м) Для удобства вычислений представим смешанное число в виде десятичной дроби.
$-3\frac{5}{8} = -3 - \frac{5}{8} = -3 - (5 : 8) = -3 - 0,625 = -3,625$.
Теперь найдем сумму чисел с разными знаками. Модуль положительного числа $|3,7|$ больше модуля отрицательного числа $|-3,625|$, поэтому результат будет положительным.
$-3,625 + 3,7 = 3,7 - 3,625 = 3,700 - 3,625 = 0,075$.
Ответ: 0,075.

466 Вычисли:

а) $-3 + 9;$

г) $4,5 - 5;$

ж) $0,75 - \frac{3}{4};$

к) $1,08 - 2;$

б) $5 - 7;$

д) $-0,6 - 0,8;$

з) $0 - 2,4;$

л) $-2,56 - 4,4;$

в) $-4 - 6;$

е) $-2,9 + 5,4;$

и) $-2,6 + 1\frac{3}{5};$

м) $-3\frac{5}{8} + 3,7.$

467 Найди значения выражений и расположи их в порядке возрастания. Ответ запиши в виде двойного неравенства.

A $-36 - 14 + 29 - 56 + 67 + 14;$

B $225 - 536 + 439 - 74 - 439 + 382;$

C $0.42 - 9.3 + 2.4 + 3.8 - 0.9 + 1.08.$

468 Реши уравнения и неравенства:

Для того чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, сначала вычислим значение каждого из них.

A

Вычислим значение выражения: $-36 - 14 + 29 - 56 + 67 + 14$.
В выражении есть противоположные числа $-14$ и $+14$, которые в сумме дают $0$. Упростим выражение, убрав их:
$-36 + 29 - 56 + 67$
Теперь сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:
$(29 + 67) - (36 + 56) = 96 - 92 = 4$.
Итак, значение выражения A равно $4$.

B

Вычислим значение выражения: $225 - 536 + 439 - 74 - 439 + 382$.
Здесь также есть противоположные числа $+439$ и $-439$, которые взаимно уничтожаются:
$225 - 536 - 74 + 382$
Сгруппируем слагаемые:
$(225 + 382) - (536 + 74) = 607 - 610 = -3$.
Итак, значение выражения B равно $-3$.

C

Вычислим значение выражения: $+0,42 - 9,3 + 2,4 + 3,8 - 0,9 + 1,08$.
Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:
$(0,42 + 2,4 + 3,8 + 1,08) - (9,3 + 0,9)$
Сумма положительных чисел: $0,42 + 1,08 + 2,4 + 3,8 = 1,5 + 6,2 = 7,7$.
Сумма модулей отрицательных чисел: $9,3 + 0,9 = 10,2$.
Найдем разность: $7,7 - 10,2 = -2,5$.
Итак, значение выражения C равно $-2,5$.

Мы получили следующие значения: A = $4$, B = $-3$, C = $-2,5$.
Теперь расположим эти числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):
$-3$; $-2,5$; $4$.

Запишем итоговый результат в виде двойного неравенства.

Ответ: $-3 < -2,5 < 4$

467 Найди значения выражений и расположи их в порядке возрастания. Ответ запиши в виде двойного неравенства.

A $-36 - 14 + 29 - 56 + 67 + 14;$

B $225 - 536 + 439 - 74 - 439 + 382;$

C $+0.42 - 9.3 + 2.4 + 3.8 - 0.9 + 1.08.$

468 Реши уравнения и неравенства:

a) $|x|=7;$

б) $|y|=1.2;$

в) $|x|<4;$

г) $|y|\leq5.$

а)

Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 7$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 7. Таких чисел два: 7 и -7.

Ответ: $-7; 7$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, уравнение $|y| = 1,2$ означает, что расстояние от $y$ до нуля равно 1,2. Следовательно, $y$ может быть равен 1,2 или -1,2.

Ответ: $-1,2; 1,2$.

в)

Неравенство $|x| < 4$ означает, что расстояние от $x$ до нуля меньше 4. Этому условию удовлетворяют все числа, которые находятся между -4 и 4, не включая концы интервала. Таким образом, решение можно записать в виде двойного неравенства: $-4 < x < 4$.

Ответ: $(-4; 4)$.

г)

Неравенство $|y| \le 5$ означает, что расстояние от $y$ до нуля меньше или равно 5. Этому условию удовлетворяют все числа, которые находятся между -5 и 5, включая сами числа -5 и 5. Решение можно записать в виде двойного неравенства: $-5 \le y \le 5$.

Ответ: $[-5; 5]$.

468 Реши уравнения и неравенства:

а) $|x|=7;$

б) $|y|=1,2;$

в) $|x|<4;$

г) $|y|\le 5.$

469 Ширина прямоугольника на 8 м меньше длины. Найди периметр и площадь прямоугольника, если:

1) ширина составляет $ \frac{1}{5} $ длины;

2) длина больше ширины в 1,4 раза;

3) ширина на 20 % меньше длины;

4) длина на 80 % больше ширины.

Пусть длина прямоугольника равна $a$ м, а ширина — $b$ м. По основному условию задачи, ширина на 8 м меньше длины, что можно записать в виде уравнения: $b = a - 8$.

469 Ширина прямоугольника на 8 м меньше длины. Найди периметр и площадь прямоугольника, если:

1) ширина составляет $\frac{1}{5}$ длины ;

2) длина больше ширины в 1,4 раза;

3) ширина на 20% меньше длины;

4) длина на 80% больше ширины.

470 1) Одну сторону прямоугольника увеличили на 50 %, а вторую уменьшили на 30 %. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов?

2) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 60 %, а ширину уменьшили на 40 %. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?

1) Пусть первоначальные стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Тогда его первоначальная площадь $S_1 = a \cdot b$.
После увеличения одной стороны на 50% ее новая длина стала $a' = a + 0.5a = 1.5a$.
После уменьшения второй стороны на 30% ее новая длина стала $b' = b - 0.3b = 0.7b$.
Новая площадь прямоугольника равна $S_2 = a' \cdot b' = (1.5a) \cdot (0.7b) = 1.05ab$.
Чтобы найти, на сколько процентов изменилась площадь, найдем отношение изменения площади к первоначальной площади:
$\frac{S_2 - S_1}{S_1} \cdot 100\% = \frac{1.05ab - ab}{ab} \cdot 100\% = \frac{0.05ab}{ab} \cdot 100\% = 0.05 \cdot 100\% = 5\%$.
Так как результат — положительное число, площадь увеличилась.
Ответ: площадь увеличилась на 5 %.

2) Пусть первоначальная ширина прямоугольника равна $w$. Так как она в 4 раза меньше длины, то длина равна $l = 4w$.
Первоначальный периметр прямоугольника: $P_1 = 2(l + w) = 2(4w + w) = 2(5w) = 10w$.
Длину увеличили на 60%, ее новая длина стала $l' = l + 0.6l = 1.6l = 1.6(4w) = 6.4w$.
Ширину уменьшили на 40%, ее новая ширина стала $w' = w - 0.4w = 0.6w$.
Новый периметр прямоугольника равен $P_2 = 2(l' + w') = 2(6.4w + 0.6w) = 2(7w) = 14w$.
Чтобы найти, на сколько процентов изменился периметр, найдем отношение изменения периметра к первоначальному периметру:
$\frac{P_2 - P_1}{P_1} \cdot 100\% = \frac{14w - 10w}{10w} \cdot 100\% = \frac{4w}{10w} \cdot 100\% = 0.4 \cdot 100\% = 40\%$.
Так как результат — положительное число, периметр увеличился.
Ответ: периметр увеличился на 40 %.

470 1) Одну сторону прямоугольника увеличили на 50%, а вторую уменьшили на 30%. Уменьшилась или увеличилась его площадь и на сколько процентов?

2) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 60%, а ширину уменьшили на 40%. Уменьшился или увеличился его периметр и на сколько процентов?