Страница 122, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

514 a) Сколько больших окружностей можно провести на сфере через одну точку? Проиллюстрируй с помощью предметной модели шара.

б) Можно ли провести на шаре две большие окружности так, чтобы они не пересекались? А две произвольные окружности?

в) На сколько частей делится сфера одной большой окружностью, 2 большими окружностями, 3 большими окружностями, имеющими общий диаметр?

а) Большая окружность на сфере — это окружность, плоскость которой проходит через центр сферы. Пусть на сфере дана точка $A$. Диаметрально противоположная ей точка будет $A'$. Любая большая окружность, проходящая через точку $A$, должна проходить и через точку $A'$. Таким образом, плоскость любой такой большой окружности должна содержать диаметр $AA'$. Через одну прямую (в данном случае диаметр) можно провести бесконечное множество плоскостей. Каждая из этих плоскостей пересечет сферу по большой окружности.
В качестве иллюстрации можно представить глобус: все меридианы являются большими окружностями и все они проходят через Северный и Южный полюсы.
Ответ: Через одну точку на сфере можно провести бесконечное множество больших окружностей.

б) Провести на шаре две большие окружности так, чтобы они не пересекались, нельзя. Плоскость каждой большой окружности проходит через центр шара. Две различные плоскости, проходящие через центр, обязательно пересекутся по прямой, которая является диаметром шара. Концы этого диаметра — это две общие точки для двух больших окружностей.
Две произвольные окружности на шаре провести так, чтобы они не пересекались, можно. Если окружности образованы пересечением сферы с двумя параллельными плоскостями (например, как параллели на глобусе), то такие окружности не будут иметь общих точек.
Ответ: Две большие окружности — нельзя; две произвольные окружности — можно.

в) Одна большая окружность делит сферу на 2 части (полусферы). Две большие окружности, пересекаясь, делят сферу на 4 части. Три большие окружности, имеющие общий диаметр, пересекаются в двух общих точках и делят сферу на 6 частей.
Ответ: 2, 4 и 6 частей соответственно.

514 a) Сколько больших окружностей можно провести на сфере через одну точку? Проиллюстрируй с помощью предметной модели шара.

б) Можно ли провести на шаре две большие окружности так, чтобы они не пересекались? А две произвольные окружности?

в) На сколько частей делится сфера одной большой окружностью, 2 большими окружностями, 3 большими окружностями, имеющими общий диаметр?

515 На сфере проведены две большие окружности (рис. 85). По рисунку можно предположить, что они пересеклись в четырёх точках. А сколько на самом деле точек пересечения?

Рис. 85

Рис. 86

Большая окружность на сфере — это окружность, полученная в результате пересечения сферы плоскостью, которая проходит через центр этой сферы. Таким образом, каждая большая окружность лежит в плоскости, содержащей центр сферы.

Когда мы рассматриваем две различные большие окружности, мы имеем дело с двумя различными плоскостями, проходящими через одну и ту же точку — центр сферы.

Из курса стереометрии известно, что две различные плоскости, имеющие общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Следовательно, плоскости, в которых лежат наши две большие окружности, пересекаются по прямой, проходящей через центр сферы.

Эта прямая, являясь диаметром сферы, пересекает ее поверхность ровно в двух точках. Эти две точки и являются точками пересечения двух больших окружностей, так как они принадлежат обеим плоскостям (а значит, и обеим окружностям) и одновременно лежат на сфере.

Иллюзия на рисунке 85, где кажется, что точек пересечения четыре, возникает из-за двумерной проекции трехмерного объекта. На самом деле, точки пересечения всегда диаметрально противоположны. Например, видимая точка пересечения спереди-сверху и невидимая (пунктирная) сзади-снизу являются концами одного диаметра. Таким образом, на самом деле точек пересечения всего две.

Ответ: 2.

515 На сфере проведены две большие окружности (рис. 85). По рисунку можно предположить, что они пересеклись в четырех точках. А сколько на самом деле точек пересечения?

Рис. 85

Рис. 86

516 Отрезок $OA$ на рис. 86 равен 5 см. Что можно сказать о длинах отрезков $OB$ и $OC$ на этом рисунке?

Для решения этой задачи необходимо сделать наиболее вероятное предположение о содержании рисунка 86, который не приложен. В контексте школьной геометрии, если точки A, B, C упоминаются вместе с центром O, то, как правило, речь идет об окружности с центром в точке O, на которой лежат точки A, B и C.

При таком допущении отрезки OA, OB и OC являются радиусами одной и той же окружности. По определению, радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.

Основное свойство радиусов одной окружности заключается в том, что все они равны между собой. Это следует из определения окружности как геометрического места точек, равноудаленных от центра.

В условии задачи указана длина отрезка OA:

$OA = 5 \text{ см}$

Поскольку все радиусы равны, мы можем записать равенство:

$OA = OB = OC$

Следовательно, длины отрезков OB и OC также будут равны 5 см.

Ответ: Длины отрезков OB и OC равны длине отрезка OA и составляют 5 см.

516 Отрезок OA на рис. 86 равен 5 см. Что можно сказать о длинах отрезков OB и OC на этом рисунке?

517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела, которые получаются при вращении вокруг прямой $l$ данных фигур. Опиши их.

а) При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус.

б) При вращении треугольника вокруг стороны, на которой лежат два его вершины, образуется тело, состоящее из двух конусов, соединенных по общему основанию.

в) При вращении данной фигуры вокруг прямой $l$ образуется тело, состоящее из двух усеченных конусов (один сверху, один снизу) и цилиндра между ними.

а)

При вращении данного прямоугольного треугольника вокруг прямой $l$, которая является одним из его катетов, получается конус. Высота этого конуса равна длине катета, лежащего на оси вращения, а радиус основания равен длине другого катета. По исходному рисунку на клетчатой бумаге, высота треугольника составляет 4 клетки, а основание — 2 клетки.

В соответствии с заданным масштабом 2:1, все линейные размеры необходимо увеличить в два раза. Таким образом, размеры получаемого конуса будут следующими:

• Высота конуса: $h = 4 \text{ клетки} \cdot 2 = 8$ клеток.
• Радиус основания конуса: $R = 2 \text{ клетки} \cdot 2 = 4$ клетки.

Для построения необходимо нарисовать осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с высотой 8 клеток и основанием $2 \cdot R = 8$ клеток, а затем дорисовать эллипс в основании.

Ответ: В результате вращения получается конус с высотой 8 клеток и радиусом основания 4 клетки.

б)

Фигура, данная в этом пункте, представляет собой треугольник. Для определения тела вращения удобно мысленно разделить этот треугольник горизонтальной линией, проведенной из средней вершины перпендикулярно оси вращения $l$. В результате такого деления исходный треугольник разбивается на две фигуры: верхний треугольник и нижнюю трапецию.

При вращении этих фигур вокруг оси $l$ получаются следующие тела:

• Вращение верхнего треугольника (исходная высота 2 клетки, основание 2 клетки) образует конус.
• Вращение нижней трапеции (исходная высота 2 клетки, основания 2 и 3 клетки) образует усеченный конус.

Итоговое тело вращения является составным и представляет собой конус, установленный на усеченный конус, причем основание конуса совпадает с верхним, меньшим основанием усеченного конуса.

В масштабе 2:1 размеры этих тел будут:

• Для верхнего конуса: высота $h_к = 2 \cdot 2 = 4$ клетки, радиус основания $R_к = 2 \cdot 2 = 4$ клетки.
• Для нижнего усеченного конуса: высота $h_{ук} = 2 \cdot 2 = 4$ клетки, радиус верхнего основания $r_{ук} = 2 \cdot 2 = 4$ клетки, радиус нижнего основания $R_{ук} = 2 \cdot 3 = 6$ клеток.

Общая высота составного тела будет $H = h_к + h_{ук} = 4 + 4 = 8$ клеток.

Ответ: В результате вращения получается составное тело, состоящее из конуса и усеченного конуса, соединенных по общему основанию. Размеры в масштабе 2:1: высота конуса 4 клетки, радиус его основания 4 клетки; высота усеченного конуса 4 клетки, радиусы его оснований 4 клетки и 6 клеток. Общая высота тела — 8 клеток.

в)

Исходная фигура — пятиугольник, симметричный относительно горизонтальной оси. Одна из его сторон лежит на оси вращения $l$. Эту фигуру можно представить как две одинаковые прямоугольные трапеции, соединенные по своему большему основанию.

При вращении прямоугольной трапеции вокруг стороны, прилежащей к прямым углам (в данном случае эта сторона лежит на оси $l$), образуется усеченный конус. Так как исходная фигура состоит из двух таких трапеций, то и тело вращения будет состоять из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных своими большими основаниями.

Рассмотрим одну из трапеций (например, верхнюю). Ее исходные размеры: высота (на оси $l$) — 2 клетки, меньшее основание — 1 клетка, большее основание — 2 клетки. Эти размеры соответствуют высоте и радиусам оснований усеченного конуса.

В масштабе 2:1 размеры каждого из двух усеченных конусов будут:

• Высота: $h_{ук} = 2 \text{ клетки} \cdot 2 = 4$ клетки.
• Радиус меньшего основания: $r_{ук} = 1 \text{ клетка} \cdot 2 = 2$ клетки.
• Радиус большего (общего) основания: $R_{ук} = 2 \text{ клетки} \cdot 2 = 4$ клетки.

Общая высота всего тела вращения будет равна сумме высот двух усеченных конусов: $H = 4 + 4 = 8$ клеток.

Ответ: В результате вращения получается тело, состоящее из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных большими основаниями. Размеры каждого усеченного конуса в масштабе 2:1: высота 4 клетки, радиус меньшего основания 2 клетки, радиус большего основания 4 клетки. Общая высота тела — 8 клеток.

517 Нарисуй в масштабе 2 : 1 геометрические тела, которые получаются при вращении вокруг прямой $l$ данных фигур. Опиши их.

а) б) в)

518 Пусть радиус основания конуса равен r, а его боковую поверхность можно «развернуть» в сектор круга радиуса R. Величина угла α этого сектора в градусах вычисляется по формуле

$$\alpha = \frac{360^\circ \cdot r}{R}$$

Вычисли угол α и построй развёртку конуса для значений r = 2 см и R = 5 см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и, свернув её в конус, убедись в том, что длина дуги сектора равна длине окружности основания.

Вычисли угол α

Для вычисления величины угла α воспользуемся формулой, приведённой в условии задачи:
$α = \frac{360^\circ \cdot r}{R}$
Подставим заданные значения радиуса основания конуса $r = 2$ см и радиуса сектора $R = 5$ см в эту формулу:
$α = \frac{360^\circ \cdot 2}{5} = \frac{720^\circ}{5} = 144^\circ$
Ответ: $α = 144^\circ$.

Построй развёртку конуса

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Для её построения на бумаге необходимо выполнить следующие действия:
1. С помощью циркуля начертить дугу окружности с радиусом $R = 5$ см.
2. Из центра этой дуги провести один радиус (прямую линию от центра до любой точки на дуге).
3. Используя транспортир, отложить от построенного радиуса угол $\alpha = 144^\circ$ и провести второй радиус.
Полученная фигура (сектор круга с радиусом 5 см и центральным углом 144°) и является развёрткой боковой поверхности заданного конуса.

Убедись в том, что длина дуги сектора равна длине окружности основания

Для проверки этого утверждения необходимо рассчитать длину дуги сектора и длину окружности основания, а затем сравнить полученные результаты.

1. Вычислим длину окружности основания конуса ($L_{основания}$).
Формула для длины окружности: $L = 2\pi r$.
При радиусе $r = 2$ см, получаем:
$L_{основания} = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4\pi$ см.

2. Вычислим длину дуги сектора ($L_{дуги}$), который является развёрткой боковой поверхности конуса.
Формула для длины дуги сектора: $L_{дуги} = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ}$.
При радиусе сектора $R = 5$ см и угле $\alpha = 144^\circ$, получаем:
$L_{дуги} = \frac{2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 144^\circ}{360^\circ} = \frac{10\pi \cdot 144}{360} = 10\pi \cdot \frac{144}{360}$
Сократим дробь $\frac{144}{360}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 72:
$\frac{144}{360} = \frac{144 \div 72}{360 \div 72} = \frac{2}{5}$
Тогда длина дуги равна:
$L_{дуги} = 10\pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi$ см.

Сравнивая результаты, видим, что $L_{основания} = 4\pi$ см и $L_{дуги} = 4\pi$ см. Таким образом, их длины равны.
Ответ: Длина дуги сектора ($4\pi$ см) равна длине окружности основания ($4\pi$ см), что и требовалось проверить.

518 Пусть радиус основания конуса равен $r$, а его боковую поверхность можно «развернуть» в сектор круга радиуса $R$. Величина угла $\alpha$ этого сектора в градусах вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{360^{\circ} \cdot r}{R}$

Вычисли угол $\alpha$ и построй развертку конуса для значений $r = 2$ см и $R = 5$ см. Вырежи боковую поверхность из бумаги и, свернув ее в конус, убедись в том, что длина дуги сектора равна длине окружности основания.