Страница 115, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

521 Вычисли:

а) $(-3,4 + 4) \cdot (-1,6 - 0,9)$;

б) $(-0,8 - 0,5 + 2,1) \cdot (\frac{2}{5} - 1)$;

в) $(-0,05 - (-0,5) - (+1,2)) \cdot (-4,8)$;

г) $0,375 \cdot (-0,08 - 0,52 - (-0,04))$.

а) $(-3,4 + 4) \cdot (-1,6 - 0,9)$

Решение по действиям:

1. Вычислим значение выражения в первой скобке: $-3,4 + 4 = 0,6$.

2. Вычислим значение выражения во второй скобке: $-1,6 - 0,9 = -2,5$.

3. Умножим полученные результаты: $0,6 \cdot (-2,5) = -1,5$.

Ответ: -1,5

б) $(-0,8 - 0,5 + 2,1) \cdot (\frac{2}{5} - 1)$

Решение по действиям:

1. Вычислим значение выражения в первой скобке: $-0,8 - 0,5 + 2,1 = -1,3 + 2,1 = 0,8$.

2. Вычислим значение выражения во второй скобке. Для этого представим обыкновенную дробь в виде десятичной: $\frac{2}{5} = 0,4$. Тогда $0,4 - 1 = -0,6$.

3. Умножим полученные результаты: $0,8 \cdot (-0,6) = -0,48$.

Ответ: -0,48

в) $(-0,05 - (-0,5) - (+1,2)) \div (-4,8)$

Решение по действиям:

1. Вычислим значение выражения в скобке, предварительно раскрыв внутренние скобки: $-0,05 - (-0,5) - (+1,2) = -0,05 + 0,5 - 1,2 = 0,45 - 1,2 = -0,75$.

2. Выполним деление. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным: $-0,75 \div (-4,8) = 0,75 \div 4,8$.

3. Представим деление в виде дроби и избавимся от запятых в числителе и знаменателе: $\frac{0,75}{4,8} = \frac{75}{480}$.

4. Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 15: $\frac{75 \div 15}{480 \div 15} = \frac{5}{32}$.

5. Переведем обыкновенную дробь в десятичную: $5 \div 32 = 0,15625$.

Ответ: 0,15625

г) $0,375 \cdot (-0,08 - 0,52 - (-0,04))$

Решение по действиям:

1. Вычислим значение выражения в скобке, предварительно раскрыв внутренние скобки: $-0,08 - 0,52 - (-0,04) = -0,08 - 0,52 + 0,04 = -0,60 + 0,04 = -0,56$.

2. Выполним умножение. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,375$ в виде обыкновенной: $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.

3. Умножим дроби: $\frac{3}{8} \cdot (-0,56) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{56}{100}) = -\frac{3 \cdot 56}{8 \cdot 100}$.

4. Сократим дробь: $-\frac{3 \cdot 56}{8 \cdot 100} = -\frac{3 \cdot 7}{100} = -\frac{21}{100} = -0,21$.

Ответ: -0,21

521 Вычисли:

a) $(-3,4 + 4) \cdot (-1,6 - 0,9);$

б) $(-0,8 - 0,5 + 2,1) \cdot (\frac{2}{5} - 1);$

в) $(-0,05 - (-0,5) - (+1,2)) \cdot (-4,8);$

г) $0,375 \cdot (-0,08 - 0,52 - (-0,04)).$

522 1) Запиши на математическом языке переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения и проверь их для произвольно выбранных тобой значений переменных.

2) Вычисли, используя законы умножения:

а) $-50 \cdot 0,9 \cdot (-2) \cdot (-0,03);$

б) $-12,5 \cdot 0,25 \cdot (-0,6) \cdot 0,8 \cdot (-4);$

в) $-1\frac{4}{5} \cdot (-\frac{2}{7}) \cdot (-5) \cdot \frac{1}{9} \cdot (-1\frac{3}{4});$

г) $0,3 \cdot (-4,28) + 0,3 \cdot (-5,72);$

д) $-15,87 \cdot (-1,09) - (-5,87) \cdot (-1,09);$

е) $(-\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12}) \cdot (-24).$

1)

Переместительный закон умножения (коммутативность): для любых чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $a \cdot b = b \cdot a$.
Проверка: выберем произвольные значения, например, $a = -3$ и $b = 7$.
Левая часть: $(-3) \cdot 7 = -21$.
Правая часть: $7 \cdot (-3) = -21$.
Результаты совпадают ($ -21 = -21 $), закон подтверждается.

Сочетательный закон умножения (ассоциативность): для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Проверка: выберем произвольные значения, например, $a = 2$, $b = -5$, $c = -4$.
Левая часть: $(2 \cdot (-5)) \cdot (-4) = (-10) \cdot (-4) = 40$.
Правая часть: $2 \cdot ((-5) \cdot (-4)) = 2 \cdot 20 = 40$.
Результаты совпадают ($ 40 = 40 $), закон подтверждается.

Распределительный закон умножения относительно сложения (дистрибутивность): для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливо равенство $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Проверка: выберем произвольные значения, например, $a = 3$, $b = -8$, $c = 5$.
Левая часть: $3 \cdot ((-8) + 5) = 3 \cdot (-3) = -9$.
Правая часть: $3 \cdot (-8) + 3 \cdot 5 = -24 + 15 = -9$.
Результаты совпадают ($ -9 = -9 $), закон подтверждается.

2)

а) $-50 \cdot 0,9 \cdot (-2) \cdot (-0,03) = (-50 \cdot (-2)) \cdot (0,9 \cdot (-0,03)) = 100 \cdot (-0,027) = -2,7$
Ответ: $-2,7$

б) $-12,5 \cdot 0,25 \cdot (-0,6) \cdot 0,8 \cdot (-4) = (-12,5 \cdot 0,8) \cdot (0,25 \cdot (-4)) \cdot (-0,6) = (-10) \cdot (-1) \cdot (-0,6) = 10 \cdot (-0,6) = -6$
Ответ: $-6$

в) $-1\frac{4}{5} \cdot (-\frac{2}{7}) \cdot (-5) \cdot \frac{1}{9} \cdot (-1\frac{3}{4}) = (-\frac{9}{5}) \cdot (-\frac{2}{7}) \cdot (-5) \cdot \frac{1}{9} \cdot (-\frac{7}{4})$. Так как в произведении 4 отрицательных множителя, результат будет положительным. Перегруппируем множители: $(\frac{9}{5} \cdot 5 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{4}) = 1 \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $0,3 \cdot (-4,28) + 0,3 \cdot (-5,72) = 0,3 \cdot ((-4,28) + (-5,72)) = 0,3 \cdot (-10) = -3$
Ответ: $-3$

д) $-15,87 \cdot (-1,09) - (-5,87) \cdot (-1,09) = (-15,87 - (-5,87)) \cdot (-1,09) = (-15,87 + 5,87) \cdot (-1,09) = (-10) \cdot (-1,09) = 10,9$
Ответ: $10,9$

е) $(-\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12}) \cdot (-24) = (-\frac{1}{6}) \cdot (-24) + \frac{1}{8} \cdot (-24) - \frac{1}{3} \cdot (-24) + \frac{1}{12} \cdot (-24) = 4 - 3 + 8 - 2 = 7$
Ответ: $7$

522 1) Запиши на математическом языке переместительный, сочетательный и распределительный законы умножения и проверь их для произвольно выбранных тобой значений переменных.

2) Вычисли, используя законы умножения:

а) $ -50 \cdot 0.9 \cdot (-2) \cdot (-0.03) $

б) $ -12.5 \cdot 0.25 \cdot (-0.6) \cdot 0.8 \cdot (-4) $

в) $ -1 \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) \cdot (-5) \cdot \frac{1}{9} \cdot \left(-1 \frac{3}{4}\right) $

г) $ 0.3 \cdot (-4.28) + 0.3 \cdot (-5.72) $

д) $ -15.87 \cdot (-1.09) - (-5.87) \cdot (-1.09) $

е) $ \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{3} + \frac{1}{12}\right) \cdot (-24) $

523 Раскрой скобки, пользуясь распределительным законом умножения:

1) $-(a-b)$;

2) $-3(c+d)$;

3) $2(-x+y)$;

4) $x(-x+2y+1)$;

5) $-y(x-y+3)$;

6) $-2a(-a+b-4)$;

7) $-4(a-2b+3c-0,5)$;

8) $c(-3a+2c-d+1)$;

9) $-5x(x-0,2y+0,6n-1,8)$.

1) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $-(a - b)$, нужно учесть, что знак "минус" перед скобкой меняет знак каждого слагаемого внутри скобок на противоположный.

$-(a - b) = -a - (-b) = -a + b$.

Ответ: $-a + b$.

2) Используя распределительный закон, умножим $-3$ на каждое слагаемое в скобках $(c + d)$.

$-3(c + d) = (-3) \cdot c + (-3) \cdot d = -3c - 3d$.

Ответ: $-3c - 3d$.

3) Раскроем скобки в выражении $2(-x + y)$, умножив $2$ на каждое слагаемое в скобках.

$2(-x + y) = 2 \cdot (-x) + 2 \cdot y = -2x + 2y$.

Ответ: $-2x + 2y$.

4) Умножим $x$ на каждое слагаемое в скобках $(-x + 2y + 1)$.

$x(-x + 2y + 1) = x \cdot (-x) + x \cdot (2y) + x \cdot 1 = -x^2 + 2xy + x$.

Ответ: $-x^2 + 2xy + x$.

5) Умножим $-y$ на каждое слагаемое в скобках $(x - y + 3)$.

$-y(x - y + 3) = (-y) \cdot x + (-y) \cdot (-y) + (-y) \cdot 3 = -xy + y^2 - 3y$.

Ответ: $-xy + y^2 - 3y$.

6) Умножим $-2a$ на каждое слагаемое в скобках $(-a + b - 4)$.

$-2a(-a + b - 4) = (-2a) \cdot (-a) + (-2a) \cdot b + (-2a) \cdot (-4) = 2a^2 - 2ab + 8a$.

Ответ: $2a^2 - 2ab + 8a$.

7) Умножим $-4$ на каждое слагаемое в скобках $(a - 2b + 3c - 0,5)$.

$-4(a - 2b + 3c - 0,5) = (-4) \cdot a + (-4) \cdot (-2b) + (-4) \cdot (3c) + (-4) \cdot (-0,5) = -4a + 8b - 12c + 2$.

Ответ: $-4a + 8b - 12c + 2$.

8) Умножим $c$ на каждое слагаемое в скобках $(-3a + 2c - d + 1)$.

$c(-3a + 2c - d + 1) = c \cdot (-3a) + c \cdot (2c) + c \cdot (-d) + c \cdot 1 = -3ac + 2c^2 - cd + c$.

Ответ: $-3ac + 2c^2 - cd + c$.

9) Умножим $-5x$ на каждое слагаемое в скобках $(x - 0,2y + 0,6n - 1,8)$.

$-5x(x - 0,2y + 0,6n - 1,8) = (-5x) \cdot x + (-5x) \cdot (-0,2y) + (-5x) \cdot (0,6n) + (-5x) \cdot (-1,8) = -5x^2 + (5 \cdot 0,2)xy - (5 \cdot 0,6)xn + (5 \cdot 1,8)x = -5x^2 + xy - 3xn + 9x$.

Ответ: $-5x^2 + xy - 3xn + 9x$.

523 Раскрой скобки, пользуясь распределительным законом умножения:

1) $-(a - b)$;

2) $-3(c + d)$;

3) $2(-x + y)$;

4) $x(-x + 2y + 1)$;

5) $-y(x - y + 3)$;

6) $-2a(-a + b - 4)$;

7) $-4(a - 2b + 3c - 0,5)$;

8) $c(-3a + 2c - d + 1)$;

9) $-5x(x - 0,2y + 0,6n - 1,8)$.

524 Заключи выражение в скобки двумя способами, ставя перед скобками знак «+» и знак «-»:

1) $a - b;$

2) $-c - d;$

3) $x + y - 2;$

4) $-m + n + 5;$

5) $a + b - c;$

6) $-x + y - z;$

7) $-3a - b + 2c - 4;$

8) $2x - 5y + z + 3.$

Чтобы заключить выражение в скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно просто записать это выражение в скобках, не меняя знаки слагаемых. Это основано на правиле: $a = +(a)$.

Чтобы заключить выражение в скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно записать в скобках все слагаемые этого выражения с противоположными знаками. Это основано на правиле: $a = -(-a)$.

1) Для выражения $a - b$:

а) Ставим знак «+» перед скобками: $a - b = +(a - b)$.

б) Ставим знак «-» перед скобками и меняем знаки всех слагаемых внутри: $a - b = -(-a + b)$.

Ответ: $+(a - b)$ и $-(-a + b)$.

2) Для выражения $-c - d$:

а) Со знаком «+»: $-c - d = +(-c - d)$.

б) Со знаком «-»: $-c - d = -(c + d)$.

Ответ: $+(-c - d)$ и $-(c + d)$.

3) Для выражения $x + y - 2$:

а) Со знаком «+»: $x + y - 2 = +(x + y - 2)$.

б) Со знаком «-»: $x + y - 2 = -(-x - y + 2)$.

Ответ: $+(x + y - 2)$ и $-(-x - y + 2)$.

4) Для выражения $-m + n + 5$:

а) Со знаком «+»: $-m + n + 5 = +(-m + n + 5)$.

б) Со знаком «-»: $-m + n + 5 = -(m - n - 5)$.

Ответ: $+(-m + n + 5)$ и $-(m - n - 5)$.

5) Для выражения $a + b - c$:

а) Со знаком «+»: $a + b - c = +(a + b - c)$.

б) Со знаком «-»: $a + b - c = -(-a - b + c)$.

Ответ: $+(a + b - c)$ и $-(-a - b + c)$.

6) Для выражения $-x + y - z$:

а) Со знаком «+»: $-x + y - z = +(-x + y - z)$.

б) Со знаком «-»: $-x + y - z = -(x - y + z)$.

Ответ: $+(-x + y - z)$ и $-(x - y + z)$.

7) Для выражения $-3a - b + 2c - 4$:

а) Со знаком «+»: $-3a - b + 2c - 4 = +(-3a - b + 2c - 4)$.

б) Со знаком «-»: $-3a - b + 2c - 4 = -(3a + b - 2c + 4)$.

Ответ: $+(-3a - b + 2c - 4)$ и $-(3a + b - 2c + 4)$.

8) Для выражения $2x - 5y + z + 3$:

а) Со знаком «+»: $2x - 5y + z + 3 = +(2x - 5y + z + 3)$.

б) Со знаком «-»: $2x - 5y + z + 3 = -(-2x + 5y - z - 3)$.

Ответ: $+(2x - 5y + z + 3)$ и $-(-2x + 5y - z - 3)$.

524 Заключи выражение в скобки двумя способами – ставя перед скобками знак “+” и знак “–”:

1) $a - b$;

2) $-c - d$;

3) $x + y - 2$;

4) $-m + n + 5$;

5) $a + b - c$;

6) $-x + y - z$;

7) $-3a - b + 2c - 4$;

8) $2x - 5y + z + 3$.

525 Вынеси за скобки общий множитель:

1) $$-2a + 2b;$$

2) $$xc - xd;$$

3) $$-5m - 10;$$

4) $$-3n + n^2;$$

5) $$-14x - 21y + 28;$$

6) $$-am + m^2 - 3bm;$$

7) $$4a^2 + 12ab - 16ac;$$

8) $$-15xy + 3yz - 9y^2.$$

1) В выражении $-2a + 2b$ оба члена имеют общий числовой множитель $2$. Чтобы первый член в скобках был положительным, удобно вынести за скобки $-2$. Для этого разделим каждый член выражения на $-2$:

$-2a : (-2) = a$

$2b : (-2) = -b$

Таким образом, выражение принимает вид: $-2(a - b)$.

Ответ: $-2(a - b)$

2) В выражении $xc - xd$ оба члена содержат общую переменную $x$. Вынесем $x$ за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на $x$:

$xc : x = c$

$-xd : x = -d$

Таким образом, получаем: $x(c - d)$.

Ответ: $x(c - d)$

3) В выражении $-5m - 10$ наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $|-5|=5$ и $|-10|=10$ равен $5$. Поскольку оба члена отрицательны, вынесем за скобки $-5$. Разделим каждый член на $-5$:

$-5m : (-5) = m$

$-10 : (-5) = 2$

В итоге имеем: $-5(m + 2)$.

Ответ: $-5(m + 2)$

4) В выражении $-3n + n^2$ оба члена содержат общую переменную $n$. Вынесем $n$ за скобки. Разделим каждый член на $n$:

$-3n : n = -3$

$n^2 : n = n$

Получаем: $n(-3 + n)$. Для удобства записи поменяем слагаемые в скобках местами.

Ответ: $n(n - 3)$

5) В выражении $-14x - 21y + 28$ найдем наибольший общий делитель модулей коэффициентов $14$, $21$ и $28$. $НОД(14, 21, 28) = 7$. Так как первый член отрицательный, вынесем за скобки $-7$. Разделим каждый член на $-7$:

$-14x : (-7) = 2x$

$-21y : (-7) = 3y$

$28 : (-7) = -4$

Получаем: $-7(2x + 3y - 4)$.

Ответ: $-7(2x + 3y - 4)$

6) В выражении $-am + m^2 - 3bm$ все три члена содержат общую переменную $m$. Это и будет общий множитель. Вынесем $m$ за скобки, разделив каждый член на $m$:

$-am : m = -a$

$m^2 : m = m$

$-3bm : m = -3b$

В результате получаем: $m(-a + m - 3b)$. Для более удобного вида переставим слагаемые в скобках.

Ответ: $m(m - a - 3b)$

7) В выражении $4a^2 + 12ab - 16ac$ найдем общий множитель для всех членов. Наибольший общий делитель коэффициентов $4, 12, 16$ равен $4$. Общей переменной является $a$ в наименьшей степени, то есть $a^1=a$. Таким образом, общий множитель равен $4a$. Разделим каждый член на $4a$:

$4a^2 : (4a) = a$

$12ab : (4a) = 3b$

$-16ac : (4a) = -4c$

Получаем: $4a(a + 3b - 4c)$.

Ответ: $4a(a + 3b - 4c)$

8) В выражении $-15xy + 3yz - 9y^2$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов $15, 3, 9$ равен $3$. Общей переменной для всех членов является $y$. Значит, общий множитель — $3y$. Поскольку первый член отрицательный, вынесем за скобки $-3y$. Разделим каждый член на $-3y$:

$-15xy : (-3y) = 5x$

$3yz : (-3y) = -z$

$-9y^2 : (-3y) = 3y$

В результате получаем: $-3y(5x - z + 3y)$.

Ответ: $-3y(5x - z + 3y)$

525 Вынеси за скобки общий множитель:

1) $-2a + 2b;$

2) $xc - xd;$

3) $-5m - 10;$

4) $-3n + n^2;$

5) $-14x - 21y + 28;$

6) $-am + m^2 - 3bm;$

7) $4a^2 + 12ab - 16ac;$

8) $-15xy + 3yz - 9y^2.$

526. Вычисли.

а) $0,3 \cdot 0,6$

$0,08 \cdot 40$

$0,7 \cdot 0,12$

$0,04 \cdot 1,5$

$2\frac{6}{7} \cdot 3,5$

б) $15 \cdot 0,01$

$0,68 \cdot 1000$

$0 \cdot 3,412$

$4,56 \cdot 1$

$\frac{2}{11} \cdot 5,5$

в) $2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 25$

$16 \cdot 0,25 \cdot 0,86$

$4 \cdot 3,9 \cdot 0,5 \cdot 2 \cdot 2,5$

$8 \cdot 0,01 \cdot 7,4 \cdot 12,5$

$\frac{1}{3} \cdot 5,6 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{7}$

г) $-12 - 6$

$8 - 15$

$-0,5 + 0,9$

$3,4 - (-0,8)$

$-2\frac{1}{5} - 8,5$

а)

$0,3 \cdot 0,6 = 0,18$. Ответ: 0,18

$0,08 \cdot 40 = 3,2$. Ответ: 3,2

$0,7 \cdot 0,12 = 0,084$. Ответ: 0,084

$0,04 \cdot 1,5 = 0,06$. Ответ: 0,06

$2\frac{6}{7} \cdot 3,5 = \frac{20}{7} \cdot \frac{35}{10} = \frac{20 \cdot 35}{7 \cdot 10} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 7}{7 \cdot 10} = 10$. Ответ: 10

б)

$15 \cdot 0,01 = 0,15$. Ответ: 0,15

$0,68 \cdot 1000 = 680$. Ответ: 680

$0 \cdot 3,412 = 0$. Ответ: 0

$4,56 \cdot 1 = 4,56$. Ответ: 4,56

$\frac{2}{11} \cdot 5,5 = \frac{2}{11} \cdot \frac{55}{10} = \frac{2 \cdot 55}{11 \cdot 10} = \frac{110}{110} = 1$. Ответ: 1

в)

$2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 25 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 25) = 10 \cdot 10 \cdot 100 = 10000$. Ответ: 10000

$16 \cdot 0,25 \cdot 0 \cdot 8,6 = 0$. Ответ: 0

$4 \cdot 3,9 \cdot 0,5 \cdot 2 \cdot 2,5 = (4 \cdot 2,5) \cdot (0,5 \cdot 2) \cdot 3,9 = 10 \cdot 1 \cdot 3,9 = 39$. Ответ: 39

$8 \cdot 0,01 \cdot 7,4 \cdot 12,5 = (8 \cdot 12,5) \cdot (0,01 \cdot 7,4) = 100 \cdot 0,074 = 7,4$. Ответ: 7,4

$\frac{1}{3} \cdot 5,6 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{7} = (\frac{1}{3} \cdot 3) \cdot 1 \cdot (5,6 \cdot \frac{1}{7}) = 1 \cdot \frac{5,6}{7} = 0,8$. Ответ: 0,8

г)

$-12 - 6 = -18$. Ответ: -18

$8 - 15 = -7$. Ответ: -7

$-0,5 + 0,9 = 0,9 - 0,5 = 0,4$. Ответ: 0,4

$3,4 - (-0,8) = 3,4 + 0,8 = 4,2$. Ответ: 4,2

$-2\frac{1}{5} - 8,5 = -2,2 - 8,5 = -10,7$. Ответ: -10,7

Π 526 Вычисли:

a) $0,3 \cdot 0,6$

$0,08 \cdot 40$

$0,7 \cdot 0,12$

$0,04 \cdot 1,5$

$2\frac{6}{7} \cdot 3,5$

б) $15 \cdot 0,01$

$0,68 \cdot 1000$

$0 \cdot 3,412$

$4,56 \cdot 1$

$\frac{2}{11} \cdot 5,5$

в) $2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 25$

$16 \cdot 0,25 \cdot 0 \cdot 8,6$

$4 \cdot 3,9 \cdot 0,5 \cdot 2 \cdot 2,5$

$8 \cdot 0,01 \cdot 7,4 \cdot 12,5$

$\frac{1}{3} \cdot 5,6 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{7}$

г) $-12 - 6$

$8 - 15$

$-0,5 + 0,9$

$3,4 - (-0,8)$

$-2\frac{1}{5} - 8,5$

527 По таблице, задающей зависимость между $x$ и $y$, построй формулу и график зависимости и установи, является ли она прямой или обратной пропорциональностью. Придумай по три примера величин, которые могут быть связаны этой зависимостью.

1) $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
$y$ | 1,5 | 3 | 4,5 | 6 | 7,5 | 9

2) $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6
$y$ | 12 | 6 | 4 | 3 | 2,4 | 2

1)

1. Построение формулы и определение вида зависимости.
Чтобы определить вид зависимости между x и y, проанализируем данные из таблицы. Проверим, является ли отношение $\frac{y}{x}$ постоянной величиной для всех пар значений.
$1,5 / 1 = 1,5$
$3 / 2 = 1,5$
$4,5 / 3 = 1,5$
$6 / 4 = 1,5$
$7,5 / 5 = 1,5$
$9 / 6 = 1,5$
Так как отношение $\frac{y}{x}$ постоянно и равно 1,5, то данная зависимость является прямой пропорциональностью. Коэффициент пропорциональности $k = 1,5$. Формула, описывающая эту зависимость, имеет вид $y = kx$, то есть: $y = 1,5x$.

2. Построение графика.
Графиком прямой пропорциональности является прямая линия, проходящая через начало координат (0, 0). Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки из таблицы, например, (2; 3) и (4; 6), и провести через них прямую.

3. Примеры величин.
Три примера величин, которые могут быть связаны этой зависимостью:
а) Стоимость покупки ($y$) и количество купленного товара ($x$) по цене 1,5 денежных единиц за штуку.
б) Расстояние в километрах ($y$), пройденное объектом, и время движения ($x$) в часах при постоянной скорости 1,5 км/ч.
в) Масса сахара ($y$) в кг и масса ягод ($x$) в кг для приготовления варенья по рецепту, где на 1 кг ягод требуется 1,5 кг сахара.

Ответ: Формула зависимости: $y = 1,5x$. Это прямая пропорциональность. График — прямая, проходящая через начало координат. Примеры величин: стоимость и количество товара; расстояние и время при постоянной скорости; количество одного ингредиента относительно другого в рецепте.

2)

1. Построение формулы и определение вида зависимости.
Проанализируем данные из второй таблицы. Сначала проверим, является ли отношение $\frac{y}{x}$ постоянным:
$12 / 1 = 12$
$6 / 2 = 3$
Отношение не является постоянным, следовательно, это не прямая пропорциональность.
Теперь проверим, является ли произведение $x \cdot y$ постоянной величиной.
$1 \cdot 12 = 12$
$2 \cdot 6 = 12$
$3 \cdot 4 = 12$
$4 \cdot 3 = 12$
$5 \cdot 2,4 = 12$
$6 \cdot 2 = 12$
Так как произведение $x \cdot y$ постоянно и равно 12, то данная зависимость является обратной пропорциональностью. Коэффициент пропорциональности $k = 12$. Формула, описывающая эту зависимость, имеет вид $y = \frac{k}{x}$, то есть: $y = \frac{12}{x}$.

2. Построение графика.
Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Поскольку все значения $x$ и $y$ в таблице положительны, график представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти. Она проходит через точки (2; 6), (3; 4), (6; 2) и т.д., и асимптотически приближается к осям координат, не пересекая их.

3. Примеры величин.
Три примера величин, которые могут быть связаны этой зависимостью:
а) Скорость движения ($x$) в км/ч и время ($y$) в часах, необходимое для преодоления фиксированного расстояния в 12 км.
б) Количество рабочих ($x$) и количество дней ($y$), за которое они выполнят определенный объем работы, равный 12 человеко-дням.
в) Цена за единицу товара ($x$) и количество товара ($y$), которое можно приобрести на фиксированную сумму в 12 денежных единиц.

Ответ: Формула зависимости: $y = \frac{12}{x}$. Это обратная пропорциональность. График — гипербола. Примеры величин: скорость и время для преодоления фиксированного расстояния; число рабочих и время выполнения работы; цена и количество товара на фиксированную сумму.

527 По таблице, задающей зависимость между $x$ и $y$, построй формулу и график зависимости и установи, является ли она прямой или обратной пропорциональностью. Придумай по три примера величин, которые могут быть связаны этой зависимостью.

1) $x$: 1, 2, 3, 4, 5, 6

$y$: 1,5, 3, 4,5, 6, 7,5, 9

2) $x$: 1, 2, 3, 4, 5, 6

$y$: 12, 6, 4, 3, 2,4, 2

484 а) Сколько рёбер прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой вершины? Сколько граней сходится к одной вершине?

б) Сколько у прямоугольного параллелепипеда рёбер, граней, вершин?

в) На спичечном коробке закрась одним цветом равные рёбра. Сколько цветов для этого требуется? А сколько цветов понадобится, чтобы раскрасить равные грани?

а) Прямоугольный параллелепипед — это трёхмерная фигура. Каждая его вершина (угол) является точкой, где сходятся рёбра и грани.

Из каждой вершины выходит 3 ребра. Эти рёбра соответствуют трём измерениям параллелепипеда: длине, ширине и высоте.

Также в каждой вершине сходится 3 грани. Эти грани перпендикулярны друг другу.

Ответ: из каждой вершины выходит 3 ребра; к одной вершине сходится 3 грани.

б) Посчитаем количество рёбер, граней и вершин у прямоугольного параллелепипеда.

• Грани: Это плоские поверхности, ограничивающие фигуру. У параллелепипеда есть 2 основания (верхнее и нижнее) и 4 боковые грани. Всего $2 + 4 = 6$ граней.
• Вершины: Это угловые точки фигуры. У параллелепипеда 4 вершины на верхнем основании и 4 вершины на нижнем. Всего $4 + 4 = 8$ вершин.
• Рёбра: Это отрезки, соединяющие вершины. У параллелепипеда 4 ребра на верхнем основании, 4 ребра на нижнем и 4 боковых ребра, соединяющих основания. Всего $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.

Эти числа удовлетворяют формуле Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Проверим: $8 - 12 + 6 = 2$.

Ответ: у прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер, 6 граней, 8 вершин.

в) Спичечный коробок имеет форму прямоугольного параллелепипеда. У него есть три измерения: длина, ширина и высота, которые, как правило, различны.

Раскраска рёбер: Рёбра, имеющие одинаковую длину, нужно закрасить одним цветом.
В прямоугольном параллелепипеде есть 3 группы рёбер одинаковой длины, по 4 ребра в каждой группе (4 длины, 4 ширины, 4 высоты).
Следовательно, потребуется 3 разных цвета, чтобы закрасить равные рёбра.

Раскраска граней: Грани, имеющие одинаковую площадь и форму, нужно закрасить одним цветом.
У прямоугольного параллелепипеда есть 3 пары равных противолежащих граней:
1. Верхняя и нижняя грани.
2. Передняя и задняя грани.
3. Две боковые грани.
Таким образом, понадобится 3 цвета, чтобы раскрасить равные грани.

Ответ: для рёбер требуется 3 цвета; для граней понадобится 3 цвета.

484 a) Сколько ребер прямоугольного параллелепипеда выходит из каждой вершины? Сколько граней сходится к одной вершине?

б) Сколько у прямоугольного параллелепипеда всего: ребер, граней, вершин?

в) На спичечном коробке закрась одним цветом равные ребра. Сколько цветов для этого требуется? А сколько цветов понадобится, чтобы раскрасить равные грани?

485 а) Начерти прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Какие вершины, рёбра, грани являются невидимыми? Проверь с помощью модели.

б) Сколько измерений имеет прямоугольный параллелепипед? Раскрась равные рёбра одним цветом.

в) Выпиши пары равных граней. Сколько получилось пар?

а) На изображении прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ невидимые элементы (вершина, рёбра и грани) — это те, которые скрыты от наблюдателя видимыми гранями. Невидимые рёбра принято изображать пунктирными линиями.
Невидимая вершина (скрыта внутри фигуры): $A$.
Невидимые рёбра (показаны пунктиром): $AB$, $AD$, $AA_1$.
Невидимые грани (грани, которые не видны с данного ракурса): $ABCD$ (нижняя), $ABB_1A_1$ (задняя) и $ADD_1A_1$ (левая боковая).
Ответ: невидимая вершина – $A$; невидимые рёбра – $AB$, $AD$, $AA_1$; невидимые грани – $ABCD$, $ABB_1A_1$, $ADD_1A_1$.

б) Прямоугольный параллелепипед является объёмной (трёхмерной) фигурой, поэтому он имеет три измерения: длину, ширину и высоту. Рёбра, соответствующие одному измерению, равны и параллельны друг другу. Всего в прямоугольном параллелепипеде 12 рёбер, которые можно разбить на 3 группы по 4 равных ребра в каждой. Если раскрашивать равные рёбра одним цветом, то понадобится 3 цвета.
Группы равных рёбер:
1. Четыре ребра равны длине: $AB = CD = A_1B_1 = D_1C_1$.
2. Четыре ребра равны ширине: $AD = BC = A_1D_1 = B_1C_1$.
3. Четыре ребра равны высоте: $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$.
Ответ: прямоугольный параллелепипед имеет 3 измерения.

в) У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. Противоположные грани попарно равны и параллельны. Таким образом, можно выделить 3 пары равных граней.
Пары равных граней:
1. Верхняя и нижняя грани: $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$.
2. Передняя и задняя грани: $DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$.
3. Правая и левая боковые грани: $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$.
Ответ: 3 пары равных граней: ($A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$), ($DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$), ($BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$).

485 а) Начерти прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Какие вершины, ребра, грани являются невидимыми? Проверь с помощью модели.

б) Сколько измерений имеет прямоугольный параллелепипед? Раскрась равные ребра одним цветом.

в) Выпиши пары равных граней. Сколько получилось пар?

486 На рис. 64 изображена развёртка прямоугольного параллелепипеда. Перечерти её на лист бумаги, увеличив размеры в 2 раза, вырежи и сверни многогранник.

Рис. 64

Рис. 65

$A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $K$, $M$, $N$, $O$, $P$, $R$, $S$, $T$.

Задача состоит в том, чтобы проанализировать данную развёртку прямоугольного параллелепипеда, увеличить её размеры в два раза, начертить, вырезать и сложить. Решение можно разбить на следующие этапы.

Сначала определим размеры граней прямоугольного параллелепипеда по его развёртке на рис. 64, принимая сторону одной клетки за 1 условную единицу (у.е.). Развёртка состоит из шести прямоугольных граней. Внимательно посчитав клетки, мы видим, что в неё входят:

• Два одинаковых квадрата размером $2 \times 2$ у.е.
• Четыре одинаковых прямоугольника размером $3 \times 2$ у.е.

Прямоугольный параллелепипед имеет три пары одинаковых граней. Пусть его измерения (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Тогда площади его граней будут $a \times b$, $a \times c$ и $b \times c$. В нашем случае мы имеем грани двух различных размеров. Это означает, что два из трёх измерений параллелепипеда должны быть равны. Пусть $a = b$. Тогда у параллелепипеда будут две грани с площадью $a \times a = a^2$ и четыре грани с площадью $a \times c$.

Сравнивая это с нашей разверткой, получаем:

• Площадь квадратных граней: $a^2 = 2 \times 2 = 4$ кв. ед., откуда $a = 2$ у.е.
• Площадь прямоугольных граней: $a \times c = 3 \times 2 = 6$ кв. ед. Поскольку мы нашли, что $a=2$, то $2 \times c = 6$, откуда $c = 3$ у.е.

Таким образом, исходный прямоугольный параллелепипед имеет измерения 2 у.е., 2 у.е. и 3 у.е.

Ответ: Размеры исходного прямоугольного параллелепипеда составляют $2 \times 2 \times 3$ условных единиц.

По условию задачи, размеры необходимо увеличить в 2 раза. Рассчитаем новые измерения параллелепипеда:

• Новая ширина: $2 \times 2 = 4$ у.е.
• Новая глубина: $2 \times 2 = 4$ у.е.
• Новая высота: $3 \times 2 = 6$ у.е.

Новый многогранник будет представлять собой прямоугольный параллелепипед (прямую призму с квадратным основанием) с размерами $4 \times 4 \times 6$ у.е. Его развёртка будет состоять из граней следующих размеров:

• Два квадрата (основания) размером $4 \times 4$ у.е.
• Четыре прямоугольника (боковые грани) размером $4 \times 6$ у.е.

Чтобы начертить новую развёртку, нужно сохранить расположение граней как на рис. 64, но использовать новые размеры.

Ответ: Новая развёртка будет состоять из двух квадратов размером $4 \times 4$ у.е. и четырёх прямоугольников размером $4 \times 6$ у.е., расположенных аналогично исходной развертке.

Для выполнения практической части задания следуйте этим шагам:

1. Возьмите лист бумаги (лучше в клетку для удобства) и карандаш с линейкой.
2. Начертите на листе новую, увеличенную развёртку. Она будет состоять из центральной полосы и двух "крыльев".
   • Начните с горизонтальной полосы из четырёх фигур, идущих слева направо: квадрат $4 \times 4$, прямоугольник $6 \times 4$, квадрат $4 \times 4$, прямоугольник $6 \times 4$. Общая длина этой полосы будет $4+6+4+6 = 20$ у.е., а высота — 4 у.е.
   • К верхнему и нижнему краю второго элемента полосы (прямоугольника $6 \times 4$) пририсуйте ещё по одному прямоугольнику размером $6 \times 4$.
3. Аккуратно вырежьте получившуюся фигуру по внешнему контуру.
4. Согните заготовку по всем внутренним линиям. Все сгибы должны быть направлены в одну сторону.
5. Сложите из развёртки многогранник. Грани должны сойтись, образуя замкнутую фигуру. Для фиксации можно использовать клей или скотч, проклеивая рёбра изнутри или снаружи.

В результате у вас получится модель прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: После выполнения чертежа, вырезания и сборки развёртки с новыми размерами получится многогранник — прямоугольный параллелепипед с измерениями 4, 4 и 6 условных единиц.

486 На рис. 64 изображена развертка прямоугольного параллелепипеда. Перечерти ее на лист бумаги, увеличив размеры в 2 раза, вырежи и сверни многогранник.

Рис. 64

Рис. 65

487 Какие точки совместятся с точками A, D, N при склеивании развёртки прямоугольного параллелепипеда на рис. 65?

Чтобы определить, какие точки на развёртке совместятся при её склеивании в прямоугольный параллелепипед, необходимо мысленно проследить за процессом сборки. За основу возьмём стандартную крестообразную развёртку, где одна из граней является передней, а примыкающие к ней — боковыми, верхней и нижней. Проанализируем каждую точку по отдельности.

Представим, что мы сгибаем развёртку. Точка A принадлежит грани, которая станет левой боковой стенкой (грань DCFA). Точка G принадлежит грани, которая станет дном (грань FEHG). При сборке ребро AF левой стенки должно склеиться с ребром FG дна, так как они обе примыкают к передней грани в вершинах F и E. Следовательно, точка A совместится с точкой G, образуя заднюю левую нижнюю вершину параллелепипеда.

Ответ: Точка G.

Точка D принадлежит той же левой боковой стенке (грань DCFA). Точка N принадлежит грани, которая станет верхней крышкой (грань NMCB). При сборке ребро DC левой стенки должно склеиться с ребром NC верхней крышки. Это произойдет потому, что обе эти грани примыкают к передней грани (грань CFEB) и их рёбра DC и NC сходятся в одной точке C на передней грани. Таким образом, точка D совместится с точкой N, образуя заднюю левую верхнюю вершину.

Ответ: Точка N.

Исходя из рассуждений в предыдущем пункте, точка N, принадлежащая верхней грани, при склеивании совмещается с точкой D, принадлежащей левой боковой грани. Они вместе образуют одну из вершин параллелепипеда.

Ответ: Точка D.

487 Какие точки совместятся с точками A, D, N при склеивании развертки прямоугольного параллелепипеда на рис. 65?

488. а) Почему заготовка на рис. 66 не может быть развёрткой прямоугольного параллелепипеда?

Рис. 66

Рис. 67

б) Какие из заготовок на рис. 67 не могут быть развёртками куба?

а)

Развёртка прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней (прямоугольников), причём противолежащие грани должны быть равны. Рассмотрим заготовку на рис. 66. Она состоит из 6 прямоугольников.

Предположим, что длинная полоса из четырёх прямоугольников образует боковые грани параллелепипеда. Обозначим их слева направо как Грань 1, Грань 2, Грань 3 и Грань 4.

• При сворачивании этой полосы в "трубу" Грань 1 и Грань 3 станут противолежащими боковыми гранями, а Грань 2 и Грань 4 – другой парой противолежащих боковых граней. Следовательно, Грань 1 должна быть равна Грани 3, а Грань 2 – Грани 4. Судя по рисунку, это условие выполняется: Грань 1 и Грань 3 – одинаковые квадраты, а Грань 2 и Грань 4 – одинаковые прямоугольники.
• Пусть сторона квадратов (Грань 1 и Грань 3) равна $a$. Тогда высота параллелепипеда равна $a$. Пусть ширина прямоугольников (Грань 2 и Грань 4) равна $b$. Тогда основанием этого параллелепипеда будет прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.
• Две оставшиеся грани (верхняя и нижняя, прикреплённые к Грани 2) должны служить основаниями (крышками) параллелепипеда. Поэтому их размеры должны быть $a \times b$.
• Однако на рисунке видно, что верхняя и нижняя грани являются квадратами, равными Грани 1 и Грани 3, то есть их размер $a \times a$.

Возникает противоречие: боковые грани определяют, что основание должно быть прямоугольником со сторонами $a$ и $b$ (где $b \neq a$), а грани, предназначенные для оснований, являются квадратами со стороной $a$. Если бы $b=a$, то все грани были бы одинаковыми квадратами, и это была бы развёртка куба. Но на рисунке Грань 2 и Грань 4 – явные прямоугольники. Таким образом, при сборке верхняя и нижняя грани не смогут полностью закрыть основания параллелепипеда.

Ответ: Заготовка не может быть развёрткой прямоугольного параллелепипеда, так как размеры верхней и нижней граней не соответствуют размерам основания, которое формируется боковыми гранями.

б)

Развёртка куба должна состоять из 6 одинаковых квадратов. Все четыре заготовки на рис. 67 удовлетворяют этому условию. Проверим, можно ли из каждой из них собрать куб без наложения граней.

• Заготовка A: Можно собрать куб. Если взять второй квадрат в длинной полосе за основание, то первый квадрат станет левой стенкой, третий – правой, а четвёртый, обогнув правую стенку, станет задней стенкой. Квадрат над левой стенкой станет крышкой, а квадрат, примыкающий к задней стенке, – передней стенкой. Все грани занимают свои места.
• Заготовка B: Можно собрать куб. Это одна из самых распространённых развёрток. Полоса из четырёх квадратов образует боковые стенки, а два оставшихся квадрата (сверху и снизу от второго квадрата полосы) становятся дном и крышкой.
• Заготовка C: Нельзя собрать куб. Если принять центральный квадрат нижнего ряда за основание, то левый и правый квадраты этого ряда станут левой и правой стенками, а центральный квадрат верхнего ряда – задней стенкой. Тогда оставшийся левый квадрат верхнего ряда при сгибании наложится на левую стенку, а правый квадрат верхнего ряда наложится на правую стенку. В итоге две стенки окажутся двойными, а передняя стенка и крышка будут отсутствовать.
• Заготовка D: Можно собрать куб. Это классическая развёртка в форме креста. Центральный квадрат можно взять за основание, четыре смежных с ним квадрата станут боковыми стенками, а последний квадрат – крышкой.

Таким образом, единственная заготовка, из которой нельзя собрать куб, – это заготовка C.

Ответ: Заготовка C.

488 a) Почему заготовка на рис. 66 не может быть разверткой прямоугольного параллелепипеда?

Рис. 66

Рис. 67

б) Какие из заготовок на рис. 67 не могут быть развертками куба?