Страница 120, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

550 Вычисли (устно).

а) $5 : 8$
$0,12 : 0,4$
$\frac{7}{16} : 0,25$
$4,8 : 0,06$

б) $-7 + 36$
$-0,8 - 0,4$
$0,5 - \frac{3}{4}$
$-6 + 4,3$

в) $-0,3 \cdot (-0,5)$
$-3,6 \cdot 0,1$
$\frac{1}{25} \cdot (-300,2)$
$-0,06 \cdot (-0,7)$

а)

$5:8$

Чтобы разделить 5 на 8, можно представить это как дробь $\frac{5}{8}$ и перевести ее в десятичную. Домножим числитель и знаменатель на 125, чтобы в знаменателе получилось 1000.

$\frac{5 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{625}{1000} = 0,625$

Или можно выполнить деление столбиком.

$5,000 | \underline{8}$
$-\underline{0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ | 0,625$
$\ 50$
$-\underline{48}$
$\ \ 20$
$\ -\underline{16}$
$\ \ \ \ 40$
$\ \ -\underline{40}$
$\ \ \ \ \ \ 0$

Ответ: $0,625$

$0,12:0,4$

Чтобы разделить на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе (в данном случае на один знак). Получим выражение:

$1,2:4 = 0,3$

Ответ: $0,3$

$\frac{7}{16}:0,25$

Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{7}{16}:\frac{1}{4} = \frac{7}{16} \cdot \frac{4}{1} = \frac{7 \cdot 4}{16} = \frac{28}{16}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{28:4}{16:4} = \frac{7}{4} = 1,75$

Ответ: $1,75$

$4,8:0,06$

Перенесем запятую в делимом и делителе вправо на два знака (по количеству знаков после запятой в делителе):

$480:6 = 80$

Ответ: $80$

б)

$-7+36$

При сложении чисел с разными знаками нужно из большего по модулю числа вычесть меньшее и поставить знак большего по модулю числа. В данном случае $36 > 7$, знак будет "+".

$36-7=29$

Ответ: $29$

$-0,8-0,4$

Вычитание можно представить как сложение с противоположным числом: $-0,8 + (-0,4)$.

При сложении двух отрицательных чисел их модули складываются, и перед результатом ставится знак "минус".

$-(0,8+0,4) = -1,2$

Ответ: $-1,2$

$0,5-\frac{3}{4}$

Для выполнения вычитания представим оба числа в одном виде, например, в виде десятичных дробей. $\frac{3}{4} = 0,75$.

$0,5 - 0,75 = -0,25$

Ответ: $-0,25$

$-6+4,3$

Из большего по модулю числа ($|-6|=6$) вычитаем меньшее ($|4,3|=4,3$) и ставим знак большего по модулю числа ("минус").

$-(6 - 4,3) = -1,7$

Ответ: $-1,7$

в)

$-0,3 \cdot (-0,5)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Умножаем модули чисел:

$0,3 \cdot 0,5 = 0,15$

Ответ: $0,15$

$-3,6 \cdot 0,1$

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом.

Умножение на $0,1$ равносильно делению на $10$, то есть сдвигу запятой на один знак влево.

$-(3,6 \cdot 0,1) = -0,36$

Ответ: $-0,36$

$\frac{1}{25} \cdot (-300,2)$

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Умножение на $\frac{1}{25}$ это то же самое, что и деление на $25$.

$-\frac{300,2}{25}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на $4$:

$-\frac{300,2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = -\frac{1200,8}{100} = -12,008$

Ответ: $-12,008$

$-0,06 \cdot (-0,7)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Умножаем $0,06$ на $0,7$.

$6 \cdot 7 = 42$. В первом множителе два знака после запятой, во втором - один. В результате должно быть $2+1=3$ знака после запятой.

$0,06 \cdot 0,7 = 0,042$

Ответ: $0,042$

550 Вычисли (устно):

а) $5 : 8$

$0,12 : 0,4$

$\frac{7}{16} : 0,25$

$4,8 : 0,06$

б) $-7 + 36$

$-0,8 - 0,4$

$0,5 - \frac{3}{4}$

$-6 + 4,3$

в) $-0,3 \cdot (-0,5)$

$-3,6 \cdot 0,1$

$\frac{1}{25} \cdot (-300,2)$

$-0,06 \cdot (-0,7)$

551 1) Первая в мире по длине река, Амазонка, на карте с масштабом $1 : 40\,000\,000$ имеет длину 18 см. Чему примерно равна её длина в действительности?

2) Длина самого большого по протяжённости пролива, Мозамбикского, равна примерно 1760 км. Чему будет равна длина этого пролива на карте с масштабом $1 : 25\,000\,000$?

3) На плане, масштаб которого $3 : 8$, отрезок имеет длину 12 см. Чему будет равна длина этого отрезка на плане с масштабом $5 : 4$?

551 1) Вторая в мире по длине река, Амазонка, на карте с масштабом $1 : 40 000 000$ имеет длину 16 см. Чему примерно равна ее длина в действительности?

2) Длина самого большого по протяженности пролива, Мозамбикского, равна примерно 1760 км. Чему будет равна длина этого пролива на карте с масштабом $1 : 25 000 000$?

3) На плане, масштаб которого $3 : 8$, отрезок имеет длину 12 см. Чему будет равна длина этого отрезка на плане с масштабом $5 : 4$?

552 Через один кран бак наполняется за 2 ч, а через второй – за 3 ч. На сколько времени надо открыть оба крана, чтобы наполнить $ \frac{2}{3} $ бака?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти производительность каждого крана.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем весь объем бака за 1.
Первый кран наполняет бак за 2 часа, значит его производительность $P_1 = \frac{1}{2}$ бака в час.
Второй кран наполняет бак за 3 часа, его производительность $P_2 = \frac{1}{3}$ бака в час.

2. Найти общую производительность двух кранов.

Когда оба крана открыты, их производительности складываются:
$P_{общая} = P_1 + P_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю 6:
$P_{общая} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ бака в час.

3. Найти время, необходимое для наполнения $\frac{2}{3}$ бака.

Время ($t$) можно найти, разделив требуемый объем работы на общую производительность:
$t = \frac{\text{Объем работы}}{P_{общая}}$
$t = \frac{2/3}{5/6}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:
$t = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 5} = \frac{12}{15}$ часа.
Сократим полученную дробь на 3:
$t = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5}$ часа.

4. Перевести время в минуты для наглядности (необязательно).

В одном часе 60 минут.
$t = \frac{4}{5} \cdot 60 = \frac{4 \cdot 60}{5} = 4 \cdot 12 = 48$ минут.

Ответ: чтобы наполнить $\frac{2}{3}$ бака, надо открыть оба крана на 48 минут (или $\frac{4}{5}$ часа).

552 Через один кран бак наполняется за 2 ч, а через второй – за 3 ч. На сколько времени надо открыть оба крана, чтобы наполнить $\frac{2}{3}$ бака?

553 В бассейн подведено две трубы – большая и маленькая. Через большую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через маленькую – за 15 ч. После того как в течение 2,5 ч работала одна большая труба, дополнительно была подключена маленькая. Через сколько времени работы обеих труб бассейн наполнился на $3/4$?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1. Тогда производительность (скорость наполнения) каждой трубы будет равна:

1. Производительность большой трубы: так как она наполняет весь бассейн за 10 часов, ее производительность составляет $P_б = \frac{1}{10}$ бассейна в час.

2. Производительность маленькой трубы: так как она наполняет весь бассейн за 15 часов, ее производительность составляет $P_м = \frac{1}{15}$ бассейна в час.

Сначала в течение 2,5 часов работала только большая труба. Найдем, какую часть бассейна она успела наполнить за это время:

$V_1 = P_б \times t_1 = \frac{1}{10} \times 2,5 = \frac{2,5}{10} = \frac{1}{4}$

Таким образом, за 2,5 часа была заполнена $\frac{1}{4}$ часть бассейна.

По условию задачи, бассейн должен быть наполнен на три четверти, то есть на $\frac{3}{4}$.

Найдем, какую часть бассейна осталось наполнить после работы одной большой трубы, чтобы достичь уровня $\frac{3}{4}$:

$V_{ост} = \frac{3}{4} - V_1 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь эту оставшуюся половину бассейна будут наполнять обе трубы вместе. Найдем их совместную производительность:

$P_{совм} = P_б + P_м = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ бассейна в час.

Определим, сколько времени потребуется двум трубам, чтобы наполнить оставшуюся $\frac{1}{2}$ часть бассейна:

$t_2 = \frac{V_{ост}}{P_{совм}} = \frac{1/2}{1/6} = \frac{1}{2} \times \frac{6}{1} = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

553 В бассейн подведено две трубы – большая и маленькая. Через большую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через маленькую – за 15 ч. После того как в течение 2,5 ч работала одна большая труба, дополнительно была подключена маленькая. Через сколько времени работы обеих труб бассейн наполнился на три четверти?

554 Выполни деление:

а) $-128 : (-40);$

б) $0,24 : (-0,3);$

в) $(-7,5) : 0,015;$

г) $-1\frac{5}{9} : (-2\frac{1}{3});$

д) $0 : (-9,7);$

е) $-8,48 : \frac{2}{5};$

ж) $3,56 : (-3,56);$

з) $-24\frac{6}{25} : (-2,4).$

а) При делении двух отрицательных чисел, результат будет положительным. Следовательно, необходимо разделить модуль делимого на модуль делителя.
$ -128 : (-40) = 128 : 40 = 3,2 $
Ответ: $3,2$

б) При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Чтобы разделить десятичные дроби, можно умножить и делимое, и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом.
$0,24 : (-0,3) = -(0,24 : 0,3) = -(2,4 : 3) = -0,8$
Ответ: $-0,8$

в) При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим оба числа на 1000.
$(-7,5) : 0,015 = -(7,5 : 0,015) = -(7500 : 15) = -500$
Ответ: $-500$

г) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Сначала представим смешанные числа в виде неправильных дробей.
$-1\frac{5}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = -\frac{14}{9}$
$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$
Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.
$(-\frac{14}{9}) : (-\frac{7}{3}) = \frac{14}{9} : \frac{7}{3} = \frac{14}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

д) При делении нуля на любое число, не равное нулю, в результате получается нуль.
$0 : (-9,7) = 0$
Ответ: $0$

е) При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Представим обыкновенную дробь в виде десятичной: $\frac{2}{5} = 0,4$.
$-8,48 : \frac{2}{5} = -8,48 : 0,4 = -(8,48 : 0,4) = -(84,8 : 4) = -21,2$
Ответ: $-21,2$

ж) При делении числа на противоположное ему число (не равное нулю) результат всегда равен -1.
$3,56 : (-3,56) = -1$
Ответ: $-1$

з) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Для удобства вычислений преобразуем оба числа в неправильные дроби.
$-24\frac{6}{25} = -\frac{24 \cdot 25 + 6}{25} = -\frac{600+6}{25} = -\frac{606}{25}$
$-2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}$
$(-\frac{606}{25}) : (-\frac{12}{5}) = \frac{606}{25} : \frac{12}{5} = \frac{606}{25} \cdot \frac{5}{12} = \frac{606 \cdot 5}{25 \cdot 12} = \frac{101 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{101}{5 \cdot 2} = \frac{101}{10} = 10,1$
Ответ: $10,1$

D 554 Выполни деление:

а) $-128 : (-40);$

в) $(-7,5) : 0,015;$

д) $0 : (-9,7);$

ж) $3,56 : (-3,56);$

б) $0,24 : (-0,3);$

г) $-1 \frac{5}{9} : \left(-2 \frac{1}{3}\right);$

е) $-8,48 : \frac{2}{5};$

з) $-24 \frac{6}{25} : (-2,4).$

555 Реши уравнения:

$1) -7,2 : (-x) = -1\frac{4}{5};$

$2) -3\frac{2}{11}y = -17,5;$

$3) \frac{-z}{0,8} = 4,5.$

556

1) Дано уравнение: $-7,2 : (-x) = -1\frac{4}{5}$.
Чтобы найти неизвестный делитель $(-x)$, нужно делимое $(-7,2)$ разделить на частное $(-1\frac{4}{5})$.
$-x = -7,2 : (-1\frac{4}{5})$
Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби для удобства вычислений.
$-7,2 = -\frac{72}{10} = -\frac{36}{5}$
$-1\frac{4}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = -\frac{9}{5}$
Теперь подставим дроби в уравнение:
$-x = (-\frac{36}{5}) : (-\frac{9}{5})$
Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь.
$-x = \frac{36}{5} \cdot \frac{5}{9}$
Сокращаем дроби:
$-x = \frac{36}{9} = 4$
Теперь находим $x$, умножая обе части на $-1$:
$x = -4$
Ответ: -4

2) Дано уравнение: $-3\frac{2}{11} y = -17,5$.
Чтобы найти неизвестный множитель $y$, нужно произведение $(-17,5)$ разделить на известный множитель $(-3\frac{2}{11})$.
$y = -17,5 : (-3\frac{2}{11})$
Преобразуем оба числа в неправильные дроби.
$-17,5 = -17\frac{5}{10} = -17\frac{1}{2} = -\frac{35}{2}$
$-3\frac{2}{11} = -\frac{3 \cdot 11 + 2}{11} = -\frac{35}{11}$
Подставляем дроби в уравнение:
$y = (-\frac{35}{2}) : (-\frac{35}{11})$
Деление двух отрицательных чисел дает положительный результат. Заменяем деление умножением на обратную дробь.
$y = \frac{35}{2} \cdot \frac{11}{35}$
Сокращаем дроби:
$y = \frac{11}{2} = 5,5$
Ответ: 5,5

3) Дано уравнение: $\frac{-z}{0,8} = 4,5$.
Это уравнение можно записать в виде $(-z) : 0,8 = 4,5$.
Чтобы найти неизвестное делимое $(-z)$, нужно частное $(4,5)$ умножить на делитель $(0,8)$.
$-z = 4,5 \cdot 0,8$
Выполним умножение:
$-z = 3,6$
Чтобы найти $z$, умножим обе части уравнения на $-1$.
$z = -3,6$
Ответ: -3,6

555 Реши уравнения:

1) $-7,2 : (-x) = -1\frac{4}{5}$

2) $-3\frac{2}{11}y = -17,5$

3) $\frac{z}{0,8} = 4,5$

556. Найди значения выражений:

а) $\frac{-5.6 \cdot 0.38 \cdot (-4.2)}{-1.9 \cdot (-4.9) \cdot 0.96 \cdot 0.4}$

б) $\frac{-2 \frac{4}{7} \cdot 6.4 \cdot (-0.45) \cdot (-\frac{10}{11}) \cdot 0.5}{\frac{3}{11} \cdot (-0.72) \cdot (-3 \frac{3}{7})}$

а) $\frac{-5,6 \cdot 0,38 \cdot (-4,2)}{-1,9 \cdot (-4,9) \cdot 0,96 \cdot 0,4}$

1. Сначала определим знак всего выражения. В числителе два отрицательных множителя ($-5,6$ и $-4,2$), их произведение даст положительное число. В знаменателе также два отрицательных множителя ($-1,9$ и $-4,9$), их произведение также будет положительным. При делении положительного числа на положительное, результат будет положительным.

2. Теперь будем работать с модулями чисел:

$\frac{5,6 \cdot 0,38 \cdot 4,2}{1,9 \cdot 4,9 \cdot 0,96 \cdot 0,4}$

3. Для удобства сокращения, сгруппируем множители:

$\frac{5,6 \cdot 0,38 \cdot 4,2}{1,9 \cdot 4,9 \cdot 0,96 \cdot 0,4} = \frac{0,38}{1,9} \cdot \frac{4,2}{4,9} \cdot \frac{5,6}{0,96 \cdot 0,4}$

4. Вычислим значение каждой группы:

• $\frac{0,38}{1,9} = \frac{38}{190} = \frac{2 \cdot 19}{10 \cdot 19} = \frac{2}{10} = 0,2$
• $\frac{4,2}{4,9} = \frac{42}{49} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{6}{7}$
• $\frac{5,6}{0,96 \cdot 0,4} = \frac{5,6}{0,384} = \frac{5600}{384} = \frac{700}{48} = \frac{175}{12}$

5. Перемножим полученные результаты:

$0,2 \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{175}{12} = \frac{2}{10} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{175}{12} = \frac{1}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{175}{12} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 175}{5 \cdot 7 \cdot 12} = \frac{6 \cdot (25 \cdot 7)}{35 \cdot 12} = \frac{6 \cdot 25}{5 \cdot 12} = \frac{1 \cdot 5}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5

б) $\frac{-2\frac{4}{7} \cdot 6,4 \cdot (-0,45) \cdot (-\frac{10}{11}) \cdot 0,5}{\frac{3}{11} \cdot (-0,72) \cdot (-3\frac{3}{7})}$

1. Определим знак выражения. В числителе три отрицательных множителя, их произведение будет отрицательным. В знаменателе два отрицательных множителя, их произведение будет положительным. При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.

2. Переведем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби, работая с их модулями:

• $2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}$
• $6,4 = \frac{64}{10} = \frac{32}{5}$
• $0,45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$
• $0,5 = \frac{1}{2}$
• $0,72 = \frac{72}{100} = \frac{18}{25}$
• $3\frac{3}{7} = \frac{24}{7}$

3. Подставим дроби в выражение и поставим знак минус перед всей дробью:

$- \frac{\frac{18}{7} \cdot \frac{32}{5} \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{11} \cdot \frac{18}{25} \cdot \frac{24}{7}}$

4. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$- \left( \frac{18}{7} \cdot \frac{32}{5} \cdot \frac{9}{20} \cdot \frac{10}{11} \cdot \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{11}{3} \cdot \frac{25}{18} \cdot \frac{7}{24} \right)$

5. Запишем все в виде одной дроби и сократим общие множители:

$- \frac{18 \cdot 32 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 1 \cdot 11 \cdot 25 \cdot 7}{7 \cdot 5 \cdot 20 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 18 \cdot 24}$

Сокращаем $18, 11, 7$:

$- \frac{32 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 25}{5 \cdot 20 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 24}$

Далее, $10 = 5 \cdot 2$, сокращаем с $5$ и $2$ в знаменателе:

$- \frac{32 \cdot 9 \cdot 25}{20 \cdot 3 \cdot 24}$

Сокращаем $9$ и $3$. В числителе останется $3$:

$- \frac{32 \cdot 3 \cdot 25}{20 \cdot 24}$

Сокращаем $32$ и $24$ на $8$. В числителе останется $4$, в знаменателе $3$:

$- \frac{4 \cdot 3 \cdot 25}{20 \cdot 3}$

Сокращаем $3$:

$- \frac{4 \cdot 25}{20} = - \frac{100}{20} = -5$

Ответ: -5

556 Найди значения выражений:

а) $\frac{-5.6 \cdot 0.38 \cdot (-4.2)}{-1.9 \cdot (-4.9) \cdot 0.96 \cdot 0.4}$

б) $\frac{-2\frac{4}{7} \cdot 6.4 \cdot (-0.45) \cdot \left(-\frac{10}{11}\right) \cdot 0.5}{\frac{3}{11} \cdot (-0.72) \cdot \left(-3\frac{3}{7}\right)}$

557 Выполни дейс...

557 Выполни действия:

a) $(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) \cdot 0.6 - 0.6 : (-\frac{3}{5});$

б) $-5 : ((-\frac{1}{5} - \frac{3}{4}) : (-1.9) + \frac{1}{6} : (-2)).$

а) $(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) \cdot 0,6 - 0,6 : (-\frac{3}{5})$

Решим по действиям:

1) Сначала выполним сложение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, равному 6:

$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

2) Теперь выполним умножение. Представим десятичную дробь 0,6 в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$\frac{1}{6} \cdot 0,6 = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 5} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

3) Далее выполним деление:

$0,6 : (-\frac{3}{5}) = \frac{3}{5} : (-\frac{3}{5}) = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{3}) = -1$

4) Наконец, выполним вычитание результатов второго и третьего действий:

$\frac{1}{10} - (-1) = \frac{1}{10} + 1 = 1\frac{1}{10} = 1,1$

Ответ: $1,1$

б) $-5 : ((-\frac{1}{5} - \frac{3}{4}) : (-1,9) + \frac{1}{6} : (-2))$

Решим по действиям, соблюдая порядок их выполнения:

1) Выполним вычитание в первых внутренних скобках. Общий знаменатель для 5 и 4 равен 20:

$-\frac{1}{5} - \frac{3}{4} = -\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = -\frac{4}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{19}{20}$

2) Выполним деление результата первого действия на -1,9. Представим -1,9 в виде обыкновенной дроби: $-1,9 = -1\frac{9}{10} = -\frac{19}{10}$.

$(-\frac{19}{20}) : (-1,9) = (-\frac{19}{20}) : (-\frac{19}{10}) = (-\frac{19}{20}) \cdot (-\frac{10}{19}) = \frac{19 \cdot 10}{20 \cdot 19} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

3) Выполним второе деление во внешних скобках:

$\frac{1}{6} : (-2) = \frac{1}{6} : (-\frac{2}{1}) = \frac{1}{6} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{12}$

4) Выполним сложение результатов второго и третьего действий. Общий знаменатель для 2 и 12 равен 12:

$\frac{1}{2} + (-\frac{1}{12}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$

5) Выполним последнее действие — деление -5 на результат четвертого действия:

$-5 : \frac{5}{12} = -5 \cdot \frac{12}{5} = -\frac{5 \cdot 12}{5} = -12$

Ответ: $-12$

557 Выполни действия:

а) $(- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}) \cdot 0,6 - 0,6 : (- \frac{3}{5});$

б) $-5 : ((-\frac{1}{5} - \frac{3}{4}) \cdot (-1,9) + \frac{1}{6} : (-2)).$

558 1) Расстояние от Екатеринбурга до Челябинска равно примерно 202 км. Чему равна длина отрезка, соединяющего эти города, на карте с масштабом $1:2\,000\,000$?

2) Земельный участок имеет форму прямоугольника. Найди его периметр и площадь, если на плане с масштабом $3:500$ стороны прямоугольника имеют длину 12 см и 45 см.

1)

Масштаб карты $1:2\,000\,000$ показывает, что 1 см на карте соответствует $2\,000\,000$ см в реальной местности.

Сначала переведем реальное расстояние из километров в сантиметры. Мы знаем, что:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, $1 \text{ км} = 1000 \times 100 = 100\,000 \text{ см}$.

Теперь переведем расстояние между городами в сантиметры:

$202 \text{ км} = 202 \times 100\,000 \text{ см} = 20\,200\,000 \text{ см}$.

Чтобы найти длину отрезка на карте, нужно реальное расстояние в сантиметрах разделить на знаменатель масштаба:

$L_{карты} = \frac{20\,200\,000}{2\,000\,000} = 10.1 \text{ см}$.

Ответ: 10,1 см.

2)

Масштаб плана $3:500$ означает, что 3 единицам длины на плане соответствуют 500 таких же единиц на местности.

Сначала найдем реальные размеры сторон земельного участка. Пусть $a_{реал}$ и $b_{реал}$ — реальные длины сторон, а $a_{план} = 12$ см и $b_{план} = 45$ см — длины на плане.

Составим пропорцию для первой стороны:

$\frac{3}{500} = \frac{a_{план}}{a_{реал}} \Rightarrow \frac{3}{500} = \frac{12}{a_{реал}}$

Отсюда находим $a_{реал}$:

$a_{реал} = \frac{12 \times 500}{3} = 4 \times 500 = 2000 \text{ см}$.

Аналогично для второй стороны:

$\frac{3}{500} = \frac{b_{план}}{b_{реал}} \Rightarrow \frac{3}{500} = \frac{45}{b_{реал}}$

$b_{реал} = \frac{45 \times 500}{3} = 15 \times 500 = 7500 \text{ см}$.

Для удобства вычисления периметра и площади переведем размеры участка в метры:

$a_{реал} = 2000 \text{ см} = 20 \text{ м}$

$b_{реал} = 7500 \text{ см} = 75 \text{ м}$

Теперь найдем периметр ($P$) и площадь ($S$) участка.

Периметр прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

$P = 2 \times (20 \text{ м} + 75 \text{ м}) = 2 \times 95 \text{ м} = 190 \text{ м}$.

Площадь прямоугольника: $S = a \times b$.

$S = 20 \text{ м} \times 75 \text{ м} = 1500 \text{ м}^2$.

Ответ: периметр земельного участка равен 190 м, а его площадь — 1500 м².

558 1) Расстояние от Екатеринбурга до Челябинска равно примерно 202 км.

Чему равна длина отрезка, соединяющего эти города, на карте с масштабом 1 : 2 000 000?

2) Земельный участок имеет форму прямоугольника. Найди его периметр

и площадь, если на плане с масштабом 3 : 500 стороны прямоугольника

имеют длину 12 см и 45 см.

K 509 a) Продемонстрируй, как с помощью 4–5 карандашей цилиндрической формы одного диаметра осуществить перемещение какого-нибудь предмета.

б) Сверни из бумаги коническую поверхность и продемонстрируй, как можно использовать её в виде пробки.

а) Для перемещения предмета с помощью 4–5 цилиндрических карандашей их используют в качестве роликов или катков. Этот принцип основан на замене трения скольжения трением качения, которое значительно меньше. Это позволяет перемещать даже тяжелые предметы с минимальным усилием.

Процесс демонстрации:

1. Положите 4–5 карандашей на ровную горизонтальную поверхность (стол, пол) параллельно друг другу. Расстояние между ними должно быть меньше, чем размер предмета.
2. Сверху на карандаши аккуратно поместите предмет с плоским и твердым основанием, например, толстую книгу или деревянный брусок.
3. Слегка толкните предмет в направлении, перпендикулярном осям карандашей.
4. Предмет начнет катиться по карандашам, которые, в свою очередь, будут вращаться и перемещаться вместе с ним.
5. Когда предмет прокатится по самому заднему карандашу и тот освободится, возьмите его и переложите вперед, перед предметом, по ходу его движения.
6. Повторяя этот шаг, можно перемещать предмет на любое расстояние.

Ответ: Предмет нужно положить на несколько параллельных карандашей, которые будут играть роль катков. При движении предмета освободившиеся сзади карандаши следует перекладывать вперед, обеспечивая непрерывное качение.

б) Коническую поверхность можно использовать в качестве пробки, так как её поперечное сечение имеет разный диаметр на разной высоте. Это позволяет подобрать участок конуса, диаметр которого совпадает с диаметром отверстия, которое нужно закрыть.

Процесс демонстрации:

1. Возьмите прямоугольный или квадратный лист бумаги.
2. Начните сворачивать его с одного из углов, чтобы получился кулёк — конус. Край бумаги можно закрепить скотчем, чтобы конус не разворачивался.
3. Возьмите любую ёмкость с круглым горлышком, например, бутылку или банку.
4. Вставьте бумажный конус узким концом в горлышко.
5. Надавливайте на конус, пока его стенки не прижмутся к внутренним стенкам горлышка. За счет увеличения диаметра конуса от вершины к основанию, он плотно войдет в отверстие и зафиксируется в нем благодаря силе трения.

Таким образом, бумажный конус выполнит роль пробки, закрыв отверстие.

Ответ: Свернутый из бумаги конус вставляется в отверстие узким концом и проталкивается до тех пор, пока его диаметр не сравняется с диаметром отверстия, плотно закупоривая его.

509 а) Продемонстрируй, как с помощью 4–5 карандашей цилиндрической формы одного диаметра осуществить перемещение какого-нибудь предмета.

б) Сверни из бумаги коническую поверхность и продемонстрируй, как можно использовать ее в виде пробки.

510 Нарисуй от руки окружность и постарайся с помощью штриховки придать «объёмность» получившемуся кругу.

Чтобы придать нарисованному от руки кругу «объёмность» и превратить его в подобие шара, необходимо использовать технику светотени. С помощью штриховки — нанесения множества близко расположенных друг к другу линий — можно показать, как свет и тень распределяются по поверхности объекта, создавая иллюзию трёхмерности.

Процесс можно разбить на следующие шаги:

1. Нарисуйте окружность. Это будет контур нашего будущего шара.
2. Определите источник света. Мысленно выберите направление, откуда падает свет (например, сверху и слева). От этого зависит расположение всех светлых и тёмных участков.
3. Нанесите штриховку в области тени. Начинайте штриховать ту сторону круга, которая противоположна источнику света. Чтобы подчеркнуть объём, наносите штрихи не прямыми линиями, а дугообразными, как бы повторяя форму шара.
4. Создайте градацию тона. Самая тёмная часть (собственная тень) будет на краю, наиболее удалённом от света. Здесь штриховка должна быть самой плотной и тёмной. По мере приближения к свету делайте штрихи реже и слабее, создавая плавный переход — полутень.
5. Оставьте блик. Область, на которую свет падает под прямым углом, должна остаться самой светлой. Оставьте её незакрашенной или нанесите лишь несколько очень лёгких штрихов. Это называется бликом.
6. Добавьте падающую тень. Для большей реалистичности нарисуйте тень, которую шар отбрасывает на поверхность. Она будет находиться с противоположной от источника света стороны и будет наиболее тёмной у самого основания шара.

Ниже представлена схема, иллюстрирующая распределение света и тени на шаре.

Важно помнить, что эта схема использует градиент для наглядности. При рисовании от руки этот эффект достигается именно штриховкой — множеством отдельных линий, плотность и толщина которых создают нужный тон.

Ответ: Чтобы придать кругу объём с помощью штриховки, нужно вообразить источник света и нанести на противоположную ему сторону дугообразные штрихи. Плотность штриховки должна плавно уменьшаться от самого тёмного края (собственная тень) к более светлым участкам (полутень), оставляя самое освещённое место (блик) почти нетронутым. Добавление падающей тени под объектом усилит иллюзию объёма.

510 Нарисуй от руки окружность и постарайся с помощью штриховки придать «объемность» получившемуся кругу.