Страница 119, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

543 Найди значения выражений:

а) $ \frac{2.1 \cdot (-4.5) \cdot 0.14 \cdot (-0.6)}{-1.2 \cdot (-0.49) \cdot 0.9} $

б) $ \frac{-\frac{2}{3} \cdot 2.4 \cdot (-4.2)}{-0.35 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 1.6 \cdot (-4.8)} $

в) $ \frac{-0.36 \cdot (-1.7) \cdot 0.05 \cdot (-6.4) \cdot 2.7}{4.8 \cdot (-0.51) \cdot (-5.4) \cdot 0.08} $

г) $ \frac{-\frac{2}{7} \cdot (-1.5) \cdot (-1 \frac{2}{5}) \cdot 8.1}{-0.18 \cdot (-6.3) \cdot (-\frac{4}{5}) \cdot (-7.5) \cdot (-\frac{3}{7})} $

а)

Дано выражение: $ \frac{2,1 \cdot (-4,5) \cdot 0,14 \cdot (-0,6)}{-1,2 \cdot (-0,49) \cdot 0,9} $

1. Сначала определим знак всего выражения. В числителе два отрицательных множителя ((-4,5) и (-0,6)), их произведение даст положительное число. Значит, весь числитель будет положительным. В знаменателе также два отрицательных множителя ((-1,2) и (-0,49)), их произведение тоже даст положительное число. Значит, и знаменатель будет положительным. Частное двух положительных чисел является положительным числом.

2. Теперь можем вычислять значение выражения, игнорируя знаки минус:

$ \frac{2,1 \cdot 4,5 \cdot 0,14 \cdot 0,6}{1,2 \cdot 0,49 \cdot 0,9} $

3. Для упрощения вычислений сгруппируем множители так, чтобы было удобно сокращать:

$ (\frac{4,5}{0,9}) \cdot (\frac{0,14}{0,49}) \cdot (\frac{0,6}{1,2}) \cdot 2,1 $

Вычислим значение каждой группы:

$ \frac{4,5}{0,9} = \frac{45}{9} = 5 $

$ \frac{0,14}{0,49} = \frac{14}{49} = \frac{2}{7} $

$ \frac{0,6}{1,2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $

4. Теперь подставим полученные значения обратно в выражение и вычислим окончательный результат:

$ 5 \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2,1 = \frac{5 \cdot 2 \cdot 2,1}{7 \cdot 2} = \frac{5 \cdot 2,1}{7} = \frac{10,5}{7} = 1,5 $

Ответ: 1,5

б)

Дано выражение: $ \frac{-\frac{2}{3} \cdot 2,4 \cdot (-4,2)}{-0,35 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 1,6 \cdot (-4,8)} $

1. Определим знак выражения. В числителе два отрицательных множителя, что дает в итоге положительный результат. В знаменателе три отрицательных множителя, что дает в итоге отрицательный результат. При делении положительного числа на отрицательное получится отрицательное число.

2. Вычислим значение выражения без учета знаков:

$ \frac{\frac{2}{3} \cdot 2,4 \cdot 4,2}{0,35 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1,6 \cdot 4,8} $

3. Заметим, что в числителе есть множитель $ \frac{2}{3} $, а в знаменателе $ \frac{1}{3} $. Можем сократить $ \frac{1}{3} $, тогда в числителе останется 2.

$ \frac{2 \cdot 2,4 \cdot 4,2}{0,35 \cdot 1,6 \cdot 4,8} $

4. Сократим десятичные дроби:

$ \frac{2,4}{4,8} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} $

Подставим это в выражение:

$ \frac{2 \cdot 4,2 \cdot \frac{1}{2}}{0,35 \cdot 1,6} = \frac{4,2}{0,35 \cdot 1,6} $

5. Вычислим произведение в знаменателе:

$ 0,35 \cdot 1,6 = 0,56 $

6. Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{4,2}{0,56} = \frac{420}{56} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7, а затем на 8:

$ \frac{420 : 7}{56 : 7} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7,5 $

7. Учитывая знак, который мы определили вначале, получаем конечный результат.

Ответ: -7,5

в)

Дано выражение: $ \frac{-0,36 \cdot (-1,7) \cdot 0,05 \cdot (-6,4) \cdot 2,7}{4,8 \cdot (-0,51) \cdot (-5,4) \cdot 0,08} $

1. Определим знак. В числителе три отрицательных множителя, результат будет отрицательным. В знаменателе два отрицательных множителя, результат будет положительным. При делении отрицательного числа на положительное получится отрицательное число.

2. Вычислим значение выражения без знаков:

$ \frac{0,36 \cdot 1,7 \cdot 0,05 \cdot 6,4 \cdot 2,7}{4,8 \cdot 0,51 \cdot 5,4 \cdot 0,08} $

3. Перегруппируем множители для удобства сокращения:

$ (\frac{0,36}{0,08}) \cdot (\frac{1,7}{0,51}) \cdot (\frac{6,4}{4,8}) \cdot (\frac{2,7}{5,4}) \cdot 0,05 $

4. Вычислим значение каждой дроби:

$ \frac{0,36}{0,08} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} $

$ \frac{1,7}{0,51} = \frac{170}{51} = \frac{10 \cdot 17}{3 \cdot 17} = \frac{10}{3} $

$ \frac{6,4}{4,8} = \frac{64}{48} = \frac{4 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{4}{3} $

$ \frac{2,7}{5,4} = \frac{27}{54} = \frac{1}{2} $

5. Перемножим полученные результаты и оставшийся множитель 0,05:

$ \frac{9}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0,05 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} \cdot 0,05 = \frac{360}{36} \cdot 0,05 = 10 \cdot 0,05 = 0,5 $

6. Учитывая знак, получаем ответ.

Ответ: -0,5

г)

Дано выражение: $ \frac{-\frac{2}{7} \cdot (-1,5) \cdot (-1\frac{2}{5}) \cdot 8,1}{-0,18 \cdot (-6,3) \cdot (-\frac{4}{5}) \cdot (-7,5) \cdot (-\frac{3}{7})} $

1. Определим знак. В числителе 3 отрицательных множителя, результат будет отрицательным. В знаменателе 5 отрицательных множителей, результат будет отрицательным. При делении отрицательного числа на отрицательное получится положительное число.

2. Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные дроби в обыкновенные:

$ 1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} $

$ 1\frac{2}{5} = \frac{7}{5} $

$ 8,1 = \frac{81}{10} $

$ 0,18 = \frac{18}{100} = \frac{9}{50} $

$ 6,3 = \frac{63}{10} $

$ 7,5 = \frac{75}{10} = \frac{15}{2} $

3. Подставим эти значения в выражение (без знаков):

$ \frac{\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{81}{10}}{\frac{9}{50} \cdot \frac{63}{10} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{3}{7}} $

4. Упростим отдельно числитель и знаменатель. Числитель: $ \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{5} \cdot \frac{81}{10} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 81}{7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 10} = \frac{3 \cdot 81}{5 \cdot 10} = \frac{243}{50} $

Знаменатель: $ \frac{9}{50} \cdot \frac{63}{10} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9 \cdot 63 \cdot 4 \cdot 15 \cdot 3}{50 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7} $. Сократим: $ 63 = 9 \cdot 7 $, $ 4=2 \cdot 2 $, $ 15=3 \cdot 5 $. Получим: $ \frac{9 \cdot (9 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 3}{50 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{9 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}{50 \cdot 10} = \frac{81 \cdot 18}{500} = \frac{1458}{500} = \frac{729}{250} $

5. Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{243}{50} : \frac{729}{250} = \frac{243}{50} \cdot \frac{250}{729} $

Сократим: $ \frac{250}{50} = 5 $ и $ 729 = 3 \cdot 243 $, поэтому $ \frac{243}{729} = \frac{1}{3} $.

$ \frac{243}{729} \cdot \frac{250}{50} = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $

Знак выражения положительный.

Ответ: $1\frac{2}{3}$

543 Найди значения выражений:

a) $\frac{2,1 \cdot (-4,5) \cdot 0,14 \cdot (-0,6)}{-1,2 \cdot (-0,49) \cdot 0,9}$;

б) $\frac{-\frac{2}{3} \cdot 2,4 \cdot (-4,2)}{-0,35 \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot 1,6 \cdot (-4,8)}$;

в) $\frac{-0,36 \cdot (-1,7) \cdot 0,05 \cdot (-6,4) \cdot 2,7}{4,8 \cdot (-0,51) \cdot (-5,4) \cdot 0,08}$;

г) $\frac{-\frac{2}{7} \cdot (-1,5) \cdot (-1\frac{2}{5}) \cdot 8,1}{-0,18 \cdot (-6,3) \cdot (-\frac{4}{5}) \cdot (-7,5) \cdot (-\frac{3}{7})}$.

544 Какие из дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Расположи их в порядке убывания, сопоставь соответствующим буквам и расшифруй название озера. Остальные дроби переведи в бесконечные периодические дроби, указав период.

$ \frac{7}{30}, -\frac{2}{25}, -\frac{8}{75}, -\frac{9}{-20}, \frac{39}{800}, -\frac{10}{11}, \frac{3}{8}, \frac{7}{-4}, -\frac{4}{240}, \frac{3}{6}. $

У К Р А Й Н А Л И Б

Для того чтобы определить, можно ли обыкновенную дробь представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо сначала сократить ее, если это возможно. Затем нужно разложить знаменатель несократимой дроби на простые множители. Если в разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5, то эту дробь можно представить в виде конечной десятичной. В противном случае дробь представляется в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Какие из дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Расположи их в порядке убывания, сопоставь соответствующим буквам и расшифруй название озера.

Сначала выберем дроби, которые можно перевести в конечную десятичную дробь, проанализировав знаменатели их несократимых форм:

• К: $-\frac{2}{25}$. Дробь несократима. Знаменатель $25 = 5^2$. Можно перевести.

• А: $\frac{-9}{-20} = \frac{9}{20}$. Дробь несократима. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5$. Можно перевести.

• Й: $\frac{39}{800}$. Дробь несократима. Знаменатель $800 = 8 \cdot 100 = 2^3 \cdot 10^2 = 2^5 \cdot 5^2$. Можно перевести.

• А: $\frac{3}{8}$. Дробь несократима. Знаменатель $8 = 2^3$. Можно перевести.

• Л: $\frac{7}{-4} = -\frac{7}{4}$. Дробь несократима. Знаменатель $4 = 2^2$. Можно перевести.

• Б: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Знаменатель 2. Можно перевести.

Теперь переведем отобранные дроби в десятичные значения:

$\frac{1}{2} = 0.5$ (Б)

$\frac{9}{20} = 0.45$ (А)

$\frac{3}{8} = 0.375$ (А)

$\frac{39}{800} = 0.04875$ (Й)

$-\frac{2}{25} = -0.08$ (К)

$-\frac{7}{4} = -1.75$ (Л)

Расположим полученные числа в порядке убывания: $0.5; 0.45; 0.375; 0.04875; -0.08; -1.75$.

Соответствующий порядок букв: Б, А, А, Й, К, Л.

Ответ: Расшифрованное название озера — БАЙКАЛ.

Остальные дроби переведи в бесконечные периодические дроби, указав период.

Дроби, которые нельзя перевести в конечные десятичные, так как их знаменатели в несократимом виде содержат простые множители, отличные от 2 и 5:

• У: $\frac{7}{30}$. Знаменатель $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Наличие множителя 3 не позволяет перевести дробь в конечную десятичную.
$\frac{7}{30} = 0.2333... = 0.2(3)$. Период равен 3.

• Р: $-\frac{8}{75}$. Знаменатель $75 = 3 \cdot 5^2$. Наличие множителя 3 не позволяет перевести дробь в конечную десятичную.
$-\frac{8}{75} = -0.10666... = -0.10(6)$. Период равен 6.

• Н: $-\frac{10}{11}$. Знаменатель 11 — простое число, отличное от 2 и 5.
$-\frac{10}{11} = -0.909090... = -0.(90)$. Период равен 90.

• И: $\frac{-4}{240} = -\frac{1}{60}$. Знаменатель $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Наличие множителя 3 не позволяет перевести дробь в конечную десятичную.
$-\frac{1}{60} = -0.01666... = -0.01(6)$. Период равен 6.

Ответ:

$\frac{7}{30} = 0.2(3)$;

$-\frac{8}{75} = -0.10(6)$;

$-\frac{10}{11} = -0.(90)$;

$\frac{-4}{240} = -0.01(6)$.

544 Какие из дробей можно перевести в конечную десятичную дробь? Расположи их в порядке убывания, сопоставь соответствующим буквам и расшифруй название озера. Остальные дроби переведи в бесконечные периодические дроби, указав период.

$\frac{7}{30}$, $-\frac{2}{25}$, $-\frac{8}{75}$, $\frac{-9}{-20}$, $\frac{39}{800}$, $-\frac{10}{11}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{7}{-4}$, $\frac{-4}{240}$, $\frac{3}{6}$.

У К Р А Й Н А Л И Б

545 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1;$

2) $\exists a \in Q: (-a)^2 < 0;$

3) $\forall a \in Q, a > 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = 1;$

4) $\forall a \in Q, a < 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = -1.$

1) $ \forall a \in Q: \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1 $

Данное высказывание ложно. Оно утверждает, что равенство верно для любого рационального числа $a$. Однако, если $a = 0$, то знаменатели в дробях $ \frac{a}{-a} $ и $ \frac{-a}{a} $ обращаются в ноль. Деление на ноль не определено, поэтому равенство не выполняется для $a=0$. Таким образом, мы нашли контрпример, который опровергает исходное утверждение.

Отрицание ложного высказывания строится по правилу: отрицанием для $ \forall a: P(a) $ является $ \exists a: \neg P(a) $. В данном случае это означает, что "существует такое рациональное число $a$, для которого равенство $ \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1 $ неверно". Таким числом является $ a=0 $, при котором выражения не определены.

Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $ \exists a \in Q: (\frac{a}{-a} \neq -1 \lor \frac{-a}{a} \neq -1) $.

2) $ \exists a \in Q: (-a)^2 < 0 $

Данное высказывание ложно. Выражение $ (-a)^2 $ можно упростить: $ (-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = a^2 $. Таким образом, высказывание эквивалентно $ \exists a \in Q: a^2 < 0 $. Квадрат любого рационального числа всегда неотрицателен, то есть $ a^2 \ge 0 $ для любого $a \in Q$. Не существует рационального числа, квадрат которого был бы отрицательным.

Отрицание ложного высказывания строится по правилу: отрицанием для $ \exists a: P(a) $ является $ \forall a: \neg P(a) $. В данном случае это означает, что "для любого рационального числа $a$ утверждение $ (-a)^2 < 0 $ неверно", то есть верно обратное: $ (-a)^2 \ge 0 $.

Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $ \forall a \in Q: (-a)^2 \ge 0 $.

3) $ \forall a \in Q, a > 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = 1 $

Данное высказывание истинно. По условию, $a$ - положительное рациональное число ($a>0$). По определению модуля, для любого положительного числа $a$ выполняется равенство $ |a| = a $. Подставим это значение в исходные выражения:
$ \frac{a}{|a|} = \frac{a}{a} = 1 $ (поскольку $a \neq 0$)
$ \frac{|a|}{a} = \frac{a}{a} = 1 $ (поскольку $a \neq 0$)
Оба равенства верны для любого $a > 0$.

Ответ: высказывание истинно.

4) $ \forall a \in Q, a < 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = -1 $

Данное высказывание истинно. По условию, $a$ - отрицательное рациональное число ($a<0$). По определению модуля, для любого отрицательного числа $a$ выполняется равенство $ |a| = -a $. Подставим это значение в исходные выражения:
$ \frac{a}{|a|} = \frac{a}{-a} = -1 $ (поскольку $a \neq 0$)
$ \frac{|a|}{a} = \frac{-a}{a} = -1 $ (поскольку $a \neq 0$)
Оба равенства верны для любого $a < 0$.

Ответ: высказывание истинно.

545 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1;$

2) $\exists a \in Q: (-a)^2 < 0;$

3) $\forall a \in Q, a > 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = 1;$

4) $\forall a \in Q, a < 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = -1.$

546 Вычисли и проверь с помощью умножения:

а) $44,24 : (-5,6);$

б) $-190,76 : (-3,8);$

в) $-2,7744 : 1,36.$

а) Выполним деление $44,24$ на $(-5,6)$. Так как мы делим положительное число на отрицательное, результат будет отрицательным. Для удобства вычислений, перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо, чтобы делитель стал целым числом.
$44,24 : 5,6 = 442,4 : 56 = 7,9$
Следовательно, $44,24 : (-5,6) = -7,9$.
Проверка:
Для проверки умножим полученное частное $(-7,9)$ на делитель $(-5,6)$. Произведение двух отрицательных чисел положительно.
$(-7,9) \cdot (-5,6) = 7,9 \cdot 5,6 = 44,24$
Результат умножения совпадает с делимым, значит, вычисление выполнено верно.
Ответ: -7,9

б) Выполним деление $-190,76$ на $(-3,8)$. Так как мы делим отрицательное число на отрицательное, результат будет положительным. Перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо.
$190,76 : 3,8 = 1907,6 : 38 = 50,2$
Следовательно, $-190,76 : (-3,8) = 50,2$.
Проверка:
Для проверки умножим полученное частное $(50,2)$ на делитель $(-3,8)$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.
$50,2 \cdot (-3,8) = -190,76$
Результат умножения совпадает с делимым, значит, вычисление выполнено верно.
Ответ: 50,2

в) Выполним деление $-2,7744$ на $1,36$. Так как мы делим отрицательное число на положительное, результат будет отрицательным. Перенесем запятую в делимом и делителе на два знака вправо.
$2,7744 : 1,36 = 277,44 : 136 = 2,04$
Следовательно, $-2,7744 : 1,36 = -2,04$.
Проверка:
Для проверки умножим полученное частное $(-2,04)$ на делитель $(1,36)$. Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно.
$(-2,04) \cdot 1,36 = -2,7744$
Результат умножения совпадает с делимым, значит, вычисление выполнено верно.
Ответ: -2,04

$|u|$

546 Вычисли и проверь с помощью умножения:

а) $44,24 : (-5,6);$

б) $-190,76 : (-3,8);$

в) $-2,7744 : 1,36.$

547 Известны следующие свойства деления для положительных чисел:

1) $(a + b) : c = a : c + b : c;$

2) $(a - b) : c = a : c - b : c;$

3) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = (b : c) \cdot a;$

4) $a : (b \cdot c) = (a : b) : c = (a : c) : b.$

Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой рациональных чисел.

1) $(a + b) : c = a : c + b : c$

Перевод на русский язык: чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число, можно разделить каждое слагаемое на это число, а затем сложить полученные результаты. Это распределительное свойство деления относительно сложения.

Проверим справедливость этого высказывания для произвольно выбранных рациональных чисел. Пусть $a = \frac{3}{4}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{1}{4}$.

Вычислим значение левой части равенства:

$(a + b) : c = (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} + \frac{2}{4}) : \frac{1}{4} = \frac{5}{4} : \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{1} = 5$.

Вычислим значение правой части равенства:

$a : c + b : c = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} + \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}) = 3 + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5$.

Левая и правая части равенства равны ($5 = 5$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Частное от деления суммы на число равно сумме частных от деления каждого слагаемого на это число.

2) $(a - b) : c = a : c - b : c$

Перевод на русский язык: чтобы разделить разность двух чисел на некоторое число, можно разделить уменьшаемое и вычитаемое на это число, а затем из первого результата вычесть второй. Это распределительное свойство деления относительно вычитания.

Проверим справедливость этого высказывания, используя те же числа: $a = \frac{3}{4}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{1}{4}$.

Вычислим значение левой части равенства:

$(a - b) : c = (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) : \frac{1}{4} = \frac{1}{4} : \frac{1}{4} = 1$.

Вычислим значение правой части равенства:

$a : c - b : c = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} - \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{1}) - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}) = 3 - \frac{4}{2} = 3 - 2 = 1$.

Левая и правая части равенства равны ($1 = 1$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Частное от деления разности на число равно разности частных от деления уменьшаемого и вычитаемого на это число.

3) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = (b : c) \cdot a$

Перевод на русский язык: чтобы разделить произведение двух чисел на некоторое число, можно сначала разделить один из множителей на это число, а затем полученный результат умножить на второй множитель.

Проверим справедливость этого высказывания. Пусть $a = 6$, $b = \frac{2}{3}$, $c = 2$.

Вычислим значение первого выражения:

$(a \cdot b) : c = (6 \cdot \frac{2}{3}) : 2 = \frac{12}{3} : 2 = 4 : 2 = 2$.

Вычислим значение второго выражения:

$(a : c) \cdot b = (6 : 2) \cdot \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

Вычислим значение третьего выражения:

$(b : c) \cdot a = (\frac{2}{3} : 2) \cdot 6 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}) \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.

Все три части равенства равны ($2 = 2 = 2$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей, а результат умножить на другой множитель.

4) $a : (b \cdot c) = (a : b) : c = (a : c) : b$

Перевод на русский язык: чтобы разделить число на произведение двух других чисел, можно разделить это число последовательно на каждый из множителей в любом порядке.

Проверим справедливость этого высказывания. Пусть $a = 12$, $b = 2$, $c = \frac{1}{2}$.

Вычислим значение первого выражения:

$a : (b \cdot c) = 12 : (2 \cdot \frac{1}{2}) = 12 : 1 = 12$.

Вычислим значение второго выражения:

$(a : b) : c = (12 : 2) : \frac{1}{2} = 6 : \frac{1}{2} = 6 \cdot 2 = 12$.

Вычислим значение третьего выражения:

$(a : c) : b = (12 : \frac{1}{2}) : 2 = (12 \cdot 2) : 2 = 24 : 2 = 12$.

Все три части равенства равны ($12 = 12 = 12$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Чтобы разделить число на произведение, можно разделить это число последовательно на каждый из множителей.

547 Известны следующие свойства деления для положительных чисел:

1) $(a+b):c = a:c+b:c;$

2) $(a-b):c = a:c-b:c;$

3) $(a \cdot b):c = (a:c) \cdot b = (b:c) \cdot a;$

4) $a:(b \cdot c) = (a:b):c = (a:c):b.$

Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой рациональных чисел.

548 Вычисли, используя свойства деления:

a) $(-0,78 \cdot 4,6) : (-0,78);$

б) $(-\frac{8}{17} \cdot (-12\frac{3}{4})) : (-3);$

в) $(25,8 \cdot (-6,09)) : (-60,9);$

г) $17000 : (17 \cdot (-125));$

д) $-1\frac{2}{9} : (-0,25 \cdot 1\frac{2}{9});$

е) $-0,548 : (-0,548 \cdot (-1,5)).$

а) Используем свойство деления произведения на число: $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b$. В данном примере $a = -0,78$, $b = 4,6$ и $c = -0,78$. Применив свойство, получаем: $(-0,78 \cdot 4,6) : (-0,78) = (-0,78 : (-0,78)) \cdot 4,6 = 1 \cdot 4,6 = 4,6$.
Ответ: 4,6

б) Используем свойство деления произведения на число: $(a \cdot b) : c = a \cdot (b : c)$. Выражение принимает вид: $(-\frac{8}{17} \cdot (-12\frac{3}{4})) : (-3) = -\frac{8}{17} \cdot ((-12\frac{3}{4}) : (-3))$. Сначала выполним действие в скобках. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $-12\frac{3}{4} = -\frac{12 \cdot 4 + 3}{4} = -\frac{51}{4}$. Тогда $(-\frac{51}{4}) : (-3) = \frac{51}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{17 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{17}{4}$. Теперь выполним умножение: $-\frac{8}{17} \cdot \frac{17}{4} = -\frac{8 \cdot 17}{17 \cdot 4} = -\frac{8}{4} = -2$.
Ответ: -2

в) Используем свойство деления произведения на число: $(a \cdot b) : c = a \cdot (b : c)$. Получаем: $(25,8 \cdot (-6,09)) : (-60,9) = 25,8 \cdot ((-6,09) : (-60,9))$. Выполним деление в скобках: $(-6,09) : (-60,9) = 6,09 : 60,9 = 0,1$. Затем выполним умножение: $25,8 \cdot 0,1 = 2,58$.
Ответ: 2,58

г) Используем свойство деления числа на произведение: $a : (b \cdot c) = (a : b) : c$. Получаем: $17000 : (17 \cdot (-125)) = (17000 : 17) : (-125)$. Выполним деление в скобках: $17000 : 17 = 1000$. Затем разделим результат на второе число: $1000 : (-125) = -8$.
Ответ: -8

д) Используем свойство деления числа на произведение, изменив порядок делителей для удобства: $a : (b \cdot c) = (a : c) : b$. Выражение принимает вид: $-1\frac{2}{9} : (-0,25 \cdot 1\frac{2}{9}) = (-1\frac{2}{9} : 1\frac{2}{9}) : (-0,25)$. Результат деления в скобках (число, деленное на само себя с противоположным знаком) равен $-1$. Теперь разделим $-1$ на $-0,25$: $-1 : (-0,25) = 1 : 0,25$. Так как $0,25 = \frac{1}{4}$, то $1 : \frac{1}{4} = 1 \cdot 4 = 4$.
Ответ: 4

е) Используем свойство деления числа на произведение: $a : (b \cdot c) = (a : b) : c$. Получаем: $-0,548 : (-0,548 \cdot (-1,5)) = (-0,548 : (-0,548)) : (-1,5)$. Результат деления в скобках (число, деленное на само себя) равен $1$. Теперь разделим $1$ на $-1,5$: $1 : (-1,5) = -\frac{1}{1,5}$. Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Тогда $1 : (-\frac{3}{2}) = 1 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$

548 Вычисли, используя свойства деления:

а) $(-0,78 \cdot 4,6) : (-0,78)$;

б) $(-\frac{8}{17} \cdot (-12\frac{3}{4})) : (-3)$;

в) $(25,8 \cdot (-6,09)) : (-6,09)$;

г) $17000 : (17 \cdot (-125))$;

д) $-1\frac{2}{9} : (-0,25 \cdot 1\frac{2}{9})$;

е) $-0,548 : (-0,548 \cdot (-1,5)).$

549 Выполни действия:

а) $-3\frac{7}{20} + (-0.25 \text{:} (-\frac{1}{4}) - 1.5 \text{:} (-\frac{3}{16})) \text{:} (-4\frac{1}{11})$

б) $(6\frac{8}{25} \text{:} (-1) - (-0.8) \cdot (-0.1)) \text{:} (-0.25 \text{:} 1.25 - 1\frac{3}{5} \text{:} (-5\frac{1}{3}))$

а)

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения. Сначала выполним действия в скобках. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.
$ -0,25 = -\frac{1}{4} $; $ 1,5 = \frac{3}{2} $.
1) Первое деление в скобках: $ -0,25 : (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} : (-\frac{1}{4}) = 1 $.
2) Второе деление в скобках: $ 1,5 : (-\frac{3}{16}) = \frac{3}{2} : (-\frac{3}{16}) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{16}{3}) = -8 $.
3) Вычитание в скобках: $ 1 - (-8) = 1 + 8 = 9 $.
Теперь исходное выражение можно записать так: $ -3\frac{7}{20} + 9 : (-4\frac{1}{11}) $.
4) Выполним деление. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $ -4\frac{1}{11} = -\frac{4 \cdot 11 + 1}{11} = -\frac{45}{11} $.
$ 9 : (-\frac{45}{11}) = 9 \cdot (-\frac{11}{45}) = -\frac{9 \cdot 11}{45} = -\frac{11}{5} $.
5) Выполним сложение. Преобразуем $ -3\frac{7}{20} $ в неправильную дробь: $ -3\frac{7}{20} = -\frac{3 \cdot 20 + 7}{20} = -\frac{67}{20} $.
$ -\frac{67}{20} + (-\frac{11}{5}) = -\frac{67}{20} - \frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{67}{20} - \frac{44}{20} = \frac{-67-44}{20} = -\frac{111}{20} $.
6) Преобразуем результат в смешанное число: $ -\frac{111}{20} = -5\frac{11}{20} $.
Ответ: $ -5\frac{11}{20} $

б)

Решим выражение по действиям. Сначала вычислим значения выражений в каждой из двух пар скобок.
Вычислим значение в первой скобке: $ (6\frac{8}{25} : (-1) - (-0,8) \cdot (-0,1)) $.
1) $ 6\frac{8}{25} : (-1) = -6\frac{8}{25} $.
2) $ (-0,8) \cdot (-0,1) = 0,08 $.
3) $ -6\frac{8}{25} - 0,08 = -6\frac{8 \cdot 4}{25 \cdot 4} - \frac{8}{100} = -6\frac{32}{100} - \frac{8}{100} = -6\frac{40}{100} = -6\frac{2}{5} $. Преобразуем в неправильную дробь: $ -6\frac{2}{5} = -\frac{32}{5} $.
Вычислим значение во второй скобке: $ (-0,25 : 1,25 - 1\frac{3}{5} : (-5\frac{1}{3})) $.
4) $ -0,25 : 1,25 = -\frac{1}{4} : \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{1}{5} $.
5) $ 1\frac{3}{5} : (-5\frac{1}{3}) = \frac{8}{5} : (-\frac{16}{3}) = \frac{8}{5} \cdot (-\frac{3}{16}) = -\frac{8 \cdot 3}{5 \cdot 16} = -\frac{3}{10} $.
6) $ -\frac{1}{5} - (-\frac{3}{10}) = -\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{3}{10} = -\frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{1}{10} $.
Теперь разделим результат первой скобки на результат второй.
7) $ (-\frac{32}{5}) : \frac{1}{10} = -\frac{32}{5} \cdot \frac{10}{1} = -32 \cdot 2 = -64 $.
Ответ: $ -64 $

549 Выполни действия:

а) $-3\frac{7}{20} + (-0.25 : (-\frac{1}{4}) - 1.5 : (-\frac{3}{16})) : (-4\frac{1}{11})$

б) $(6\frac{8}{25} : (-1) - (-0.8) \cdot (-0.1)) : (-0.25 : 1.25 - 1\frac{3}{5} : (-5\frac{1}{3}))$