Номер 547, страница 119, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Деление рациональных чисел. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 547, страница 119.

Условие 2023.

547 Известны следующие свойства деления для положительных чисел:

1) $(a + b) : c = a : c + b : c;$

2) $(a - b) : c = a : c - b : c;$

3) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = (b : c) \cdot a;$

4) $a : (b \cdot c) = (a : b) : c = (a : c) : b.$

Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой рациональных чисел.

Решение 2 (2023).

1) $(a + b) : c = a : c + b : c$

Перевод на русский язык: чтобы разделить сумму двух чисел на некоторое число, можно разделить каждое слагаемое на это число, а затем сложить полученные результаты. Это распределительное свойство деления относительно сложения.

Проверим справедливость этого высказывания для произвольно выбранных рациональных чисел. Пусть $a = \frac{3}{4}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{1}{4}$.

Вычислим значение левой части равенства:

$(a + b) : c = (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} + \frac{2}{4}) : \frac{1}{4} = \frac{5}{4} : \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{1} = 5$.

Вычислим значение правой части равенства:

$a : c + b : c = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} + \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{1}) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}) = 3 + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5$.

Левая и правая части равенства равны ($5 = 5$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Частное от деления суммы на число равно сумме частных от деления каждого слагаемого на это число.

2) $(a - b) : c = a : c - b : c$

Перевод на русский язык: чтобы разделить разность двух чисел на некоторое число, можно разделить уменьшаемое и вычитаемое на это число, а затем из первого результата вычесть второй. Это распределительное свойство деления относительно вычитания.

Проверим справедливость этого высказывания, используя те же числа: $a = \frac{3}{4}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = \frac{1}{4}$.

Вычислим значение левой части равенства:

$(a - b) : c = (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) : \frac{1}{4} = \frac{1}{4} : \frac{1}{4} = 1$.

Вычислим значение правой части равенства:

$a : c - b : c = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} - \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{1}) - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}) = 3 - \frac{4}{2} = 3 - 2 = 1$.

Левая и правая части равенства равны ($1 = 1$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Частное от деления разности на число равно разности частных от деления уменьшаемого и вычитаемого на это число.

3) $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b = (b : c) \cdot a$

Перевод на русский язык: чтобы разделить произведение двух чисел на некоторое число, можно сначала разделить один из множителей на это число, а затем полученный результат умножить на второй множитель.

Проверим справедливость этого высказывания. Пусть $a = 6$, $b = \frac{2}{3}$, $c = 2$.

Вычислим значение первого выражения:

$(a \cdot b) : c = (6 \cdot \frac{2}{3}) : 2 = \frac{12}{3} : 2 = 4 : 2 = 2$.

Вычислим значение второго выражения:

$(a : c) \cdot b = (6 : 2) \cdot \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

Вычислим значение третьего выражения:

$(b : c) \cdot a = (\frac{2}{3} : 2) \cdot 6 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}) \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.

Все три части равенства равны ($2 = 2 = 2$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей, а результат умножить на другой множитель.

4) $a : (b \cdot c) = (a : b) : c = (a : c) : b$

Перевод на русский язык: чтобы разделить число на произведение двух других чисел, можно разделить это число последовательно на каждый из множителей в любом порядке.

Проверим справедливость этого высказывания. Пусть $a = 12$, $b = 2$, $c = \frac{1}{2}$.

Вычислим значение первого выражения:

$a : (b \cdot c) = 12 : (2 \cdot \frac{1}{2}) = 12 : 1 = 12$.

Вычислим значение второго выражения:

$(a : b) : c = (12 : 2) : \frac{1}{2} = 6 : \frac{1}{2} = 6 \cdot 2 = 12$.

Вычислим значение третьего выражения:

$(a : c) : b = (12 : \frac{1}{2}) : 2 = (12 \cdot 2) : 2 = 24 : 2 = 12$.

Все три части равенства равны ($12 = 12 = 12$), следовательно, высказывание справедливо для выбранных рациональных чисел.

Ответ: Высказывание справедливо. Чтобы разделить число на произведение, можно разделить это число последовательно на каждый из множителей.

Условие 2010-2022.

547 Известны следующие свойства деления для положительных чисел:

1) $(a+b):c = a:c+b:c;$

2) $(a-b):c = a:c-b:c;$

3) $(a \cdot b):c = (a:c) \cdot b = (b:c) \cdot a;$

4) $a:(b \cdot c) = (a:b):c = (a:c):b.$

Переведи высказывания с математического языка на русский и проверь их справедливость для произвольно выбранных тобой рациональных чисел.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).