Номер 545, страница 119, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Деление рациональных чисел. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 545, страница 119.

Условие 2023.

545 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1;$

2) $\exists a \in Q: (-a)^2 < 0;$

3) $\forall a \in Q, a > 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = 1;$

4) $\forall a \in Q, a < 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = -1.$

Решение 2 (2023).

1) $ \forall a \in Q: \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1 $

Данное высказывание ложно. Оно утверждает, что равенство верно для любого рационального числа $a$. Однако, если $a = 0$, то знаменатели в дробях $ \frac{a}{-a} $ и $ \frac{-a}{a} $ обращаются в ноль. Деление на ноль не определено, поэтому равенство не выполняется для $a=0$. Таким образом, мы нашли контрпример, который опровергает исходное утверждение.

Отрицание ложного высказывания строится по правилу: отрицанием для $ \forall a: P(a) $ является $ \exists a: \neg P(a) $. В данном случае это означает, что "существует такое рациональное число $a$, для которого равенство $ \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1 $ неверно". Таким числом является $ a=0 $, при котором выражения не определены.

Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $ \exists a \in Q: (\frac{a}{-a} \neq -1 \lor \frac{-a}{a} \neq -1) $.

2) $ \exists a \in Q: (-a)^2 < 0 $

Данное высказывание ложно. Выражение $ (-a)^2 $ можно упростить: $ (-a)^2 = (-1 \cdot a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = a^2 $. Таким образом, высказывание эквивалентно $ \exists a \in Q: a^2 < 0 $. Квадрат любого рационального числа всегда неотрицателен, то есть $ a^2 \ge 0 $ для любого $a \in Q$. Не существует рационального числа, квадрат которого был бы отрицательным.

Отрицание ложного высказывания строится по правилу: отрицанием для $ \exists a: P(a) $ является $ \forall a: \neg P(a) $. В данном случае это означает, что "для любого рационального числа $a$ утверждение $ (-a)^2 < 0 $ неверно", то есть верно обратное: $ (-a)^2 \ge 0 $.

Ответ: высказывание ложно. Отрицание: $ \forall a \in Q: (-a)^2 \ge 0 $.

3) $ \forall a \in Q, a > 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = 1 $

Данное высказывание истинно. По условию, $a$ - положительное рациональное число ($a>0$). По определению модуля, для любого положительного числа $a$ выполняется равенство $ |a| = a $. Подставим это значение в исходные выражения:
$ \frac{a}{|a|} = \frac{a}{a} = 1 $ (поскольку $a \neq 0$)
$ \frac{|a|}{a} = \frac{a}{a} = 1 $ (поскольку $a \neq 0$)
Оба равенства верны для любого $a > 0$.

Ответ: высказывание истинно.

4) $ \forall a \in Q, a < 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = -1 $

Данное высказывание истинно. По условию, $a$ - отрицательное рациональное число ($a<0$). По определению модуля, для любого отрицательного числа $a$ выполняется равенство $ |a| = -a $. Подставим это значение в исходные выражения:
$ \frac{a}{|a|} = \frac{a}{-a} = -1 $ (поскольку $a \neq 0$)
$ \frac{|a|}{a} = \frac{-a}{a} = -1 $ (поскольку $a \neq 0$)
Оба равенства верны для любого $a < 0$.

Ответ: высказывание истинно.

Условие 2010-2022.

545 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: \frac{a}{-a} = \frac{-a}{a} = -1;$

2) $\exists a \in Q: (-a)^2 < 0;$

3) $\forall a \in Q, a > 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = 1;$

4) $\forall a \in Q, a < 0: \frac{a}{|a|} = \frac{|a|}{a} = -1.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).