Номер 539, страница 118, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Деление рациональных чисел. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 539, страница 118.

Условие 2023.

539 Переведи с математического языка на русский и докажи утверждения:

1) $a : (-1) = -a$;

2) $a : (-a) = (-a) : a = -1 (a \neq 0)$.

Решение 2 (2023).

1)

Перевод с математического языка на русский: частное от деления любого числа $a$ на $-1$ равно числу $-a$, которое является противоположным числу $a$.

Доказательство: Чтобы доказать утверждение $a : (-1) = -a$, воспользуемся определением деления. Согласно этому определению, равенство будет верным, если произведение частного (результата деления) и делителя равно делимому. В данном случае, произведение частного $(-a)$ и делителя $(-1)$ должно быть равно делимому $a$.

Выполним проверку умножением: $(-a) \cdot (-1)$.

Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное, равное произведению их модулей: $|-a| \cdot |-1| = a \cdot 1 = a$.

Так как в результате проверки мы получили делимое $a$, то равенство $a : (-1) = -a$ является верным, и утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Перевод с математического языка на русский: частное от деления ненулевого числа $a$ на противоположное ему число $-a$ равно $-1$. Аналогично, частное от деления числа $-a$ на число $a$ также равно $-1$. Иными словами, частное двух противоположных ненулевых чисел всегда равно $-1$.

Доказательство: Утверждение $a : (-a) = (-a) : a = -1$ при $a \neq 0$ состоит из двух равенств. Докажем каждое из них по отдельности, используя определение деления.

а) Докажем, что $a : (-a) = -1$.
Равенство будет верным, если произведение частного $(-1)$ и делителя $(-a)$ равно делимому $a$.
Проверка: $(-1) \cdot (-a) = |-1| \cdot |-a| = 1 \cdot a = a$.
Равенство выполняется. Условие $a \neq 0$ необходимо, так как оно гарантирует, что делитель $(-a)$ не равен нулю.

б) Докажем, что $(-a) : a = -1$.
Равенство будет верным, если произведение частного $(-1)$ и делителя $a$ равно делимому $(-a)$.
Проверка: $(-1) \cdot a = -a$.
Это равенство верно по свойству умножения на $-1$. Условие $a \neq 0$ гарантирует, что делитель $a$ не равен нулю.

Поскольку оба равенства, составляющие исходное утверждение, доказаны, то и все утверждение является верным.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2010-2022.

539 Переведи с математического языка на русский и докажи утверждения:

1) $a \div (-1) = -a$;

2) $a \div (-a) = (-a) \div a = -1$. $(a \neq 0)$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).