Номер 534, страница 116, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Умножение рациональных чисел. Параграф 2. Арифметика рациональных чисел. Глава 3. Рациональные числа. Часть 2 - номер 534, страница 116.

Условие 2023.

534 Заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь? Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке.

$x$ | $-5$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{3}$ | $-\frac{1}{4}$ | $-\frac{1}{5}$ | $0$

$x^2$ | | | | | | | | | |

$x^3$ | | | | | | | | | |

Решение 2 (2023).

Заполни таблицу

Для заполнения таблицы возведем каждое значение $x$ в квадрат ($x^2$) и в куб ($x^3$).

• При $x = -5$: $x^2 = (-5)^2 = 25$; $x^3 = (-5)^3 = -125$
• При $x = -4$: $x^2 = (-4)^2 = 16$; $x^3 = (-4)^3 = -64$
• При $x = -3$: $x^2 = (-3)^2 = 9$; $x^3 = (-3)^3 = -27$
• При $x = -2$: $x^2 = (-2)^2 = 4$; $x^3 = (-2)^3 = -8$
• При $x = -1$: $x^2 = (-1)^2 = 1$; $x^3 = (-1)^3 = -1$
• При $x = -\frac{1}{2}$: $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$; $x^3 = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$
• При $x = -\frac{1}{3}$: $x^2 = (-\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$; $x^3 = (-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}$
• При $x = -\frac{1}{4}$: $x^2 = (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$; $x^3 = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$
• При $x = -\frac{1}{5}$: $x^2 = (-\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$; $x^3 = (-\frac{1}{5})^3 = -\frac{1}{125}$
• При $x = 0$: $x^2 = 0^2 = 0$; $x^3 = 0^3 = 0$

Ответ:

$x$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{4}$	$-\frac{1}{5}$	$0$
$x^2$	$25$	$16$	$9$	$4$	$1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{25}$	$0$
$x^3$	$-125$	$-64$	$-27$	$-8$	$-1$	$-\frac{1}{8}$	$-\frac{1}{27}$	$-\frac{1}{64}$	$-\frac{1}{125}$	$0$

Какие закономерности ты наблюдаешь?

На основе заполненной таблицы можно заметить следующие закономерности:

Ответ:

• Значения $x^2$ всегда неотрицательны (положительны или равны нулю), независимо от знака $x$.
• Знак значения $x^3$ всегда совпадает со знаком $x$. Если $x$ отрицательное, то и $x^3$ отрицательное.
• Квадраты противоположных чисел равны. Например, $(-4)^2 = 16$ и $4^2 = 16$.
• Кубы противоположных чисел также являются противоположными числами. Например, $(-2)^3 = -8$, а $2^3 = 8$.
• Если модуль числа $x$ больше 1 (например, -5, -4, -3, -2), то при возведении в степень его модуль увеличивается.
• Если модуль числа $x$ меньше 1 (например, $-\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}$), то при возведении в степень его модуль уменьшается.
• Для чисел -1 и 0, возведение в куб не меняет значение. Для числа 0 возведение в квадрат также не меняет значение. Для -1 квадрат равен 1.

Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке.

Наблюдаемые закономерности можно сформулировать в виде следующих математических гипотез для любого действительного числа $x$.

Ответ:

• Четность и нечетность степенных функций:
  • Функция $y=x^2$ является четной, так как для любого $x$ выполняется равенство: $(-x)^2 = x^2$.
  • Функция $y=x^3$ является нечетной, так как для любого $x$ выполняется равенство: $(-x)^3 = -x^3$.
• Знак степени:
  • Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом: $x^2 \ge 0$.
  • Знак куба числа совпадает со знаком самого числа.
• Сравнение модуля числа с модулем его степени:
  • Если $|x| > 1$, то $|x| < x^2$ и $|x| < |x^3|$.
  • Если $0 < |x| < 1$, то $|x| > x^2$ и $|x| > |x^3|$.
  • Если $|x| = 1$ или $x = 0$, то $x^2 = |x|$ и $|x^3| = |x|$.

Условие 2010-2022.

534 Заполни таблицу. Какие закономерности ты наблюдаешь? Попробуй записать свою гипотезу на математическом языке.

$x$: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{5}$, $0$

$x^2$

$x^3$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).